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不等式への招待第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
2 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:30.11 ID:e1oKVpnI.net: 【不等式の和書】

[1]　不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸善出版，2003年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
　　 http://amazon.jp/dp/4844372661
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5]　不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～，安藤哲哉，数学書房，2012年
　　http://amazon.jp/dp/4903342700、（正誤表+補遺）http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9]　美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
　　http://amazon.jp/dp/4254111371
[10]　思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
　　http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091

【不等式のpdf】

[1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities.　http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
[2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど.　http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html

【おもな埋蔵地】

[1] JIPAM　https://www.emis.de/journals/JIPAM/
[2] MIA　http://mia.ele-math.com/volume/20
[3] AoPS　https://artofproblemsolving.com/community
[4] Maths problems　http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/index.html
[5] IMO　http://www.imo-official.org/problems.aspx
[6] American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html

※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
3 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:58.79 ID:e1oKVpnI.net: 諸君　私は不等式が好きだ
諸君　私は不等式が大好きだ

改造が好きだ　改良が好きだ　拡張が好きだ

AM-GMで　Cauchyで　Holderで　Jensenで　Schurで
Chebyshevで　rearrangementで　Bernoulliで
Muirheadで　Karamataで　Maclaurinで　ぬるぽビッチで

この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ

大小順をそろえた歩兵の横隊を並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える

糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ

君達は一体何を望んでいる？更なる不等式を望むか？

　　　　　『不等式！　不等式！　不等式！』

よろしい　ならば証明だ！

　　　　　　　　　　　　　　rv―v―､　r-v-v
　　　　　 r､　　　　　　ﾉ　　も（ﾉ　ま (　　　　　 ,ｨx
　　　　　　(＼＼(＾}　　) !! 厳. っ ( ）　だ (　　 /)///7
　　　　　　{＾ヽ＾ヽ { 　　）　し. と ( ）　だ (　　/ 'ヽ　/
　　　　　＼｀Y ﾉ}_　ﾊ　く　　ﾉ乂　ノ　　{.　〈 /
　　　　　　〉,r彡ﾊ　_＞　　＜ /　ま (　人＿ノ〉
　　　　　　　 V　　∨ !! 改も（) !! だ（ / 　7　/
　　　　　　　　　 'v　　V　良っ（). 　だ(/　　 /
　　　　　　　　 'v 　　V .をと人＿,ノ〈　　 /
　　　　　　　　　　　V　　V　rfﾃ弐ミk　/　　　}'
　　　　　　　　 'v　　',仔r＝r弌ﾘ'　　　/
　　　　　　　　　 'v　　 '({ ヾ二ﾌ,j'　　　/
　　　　　　　　　　　 }　　 j个ー‐个ﾄ, 　/
　　　　　　　　　　　　　}> ／ /＞ｭ<ﾄ､＼ノ{
　　　　　　　　＿j／　 / | / :| |　＼＼
　　　　　　　 _,＞､__, イ＞＼／　_｣/＼￣{_
　　　　　　　　　 /　　/:::::|　＼／＿_,＞|:::::∧ 　{
　　　　　　 /| 　./:::::/　　厂　　　　 |::::::::∧　|＼
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4 ：１３２人目の素数さん：2018/12/18(火) 21:55:19.66 ID:e1oKVpnI.net: 前スレ967の不等式、(3)が2019年度中国数学オリンピック第一問

(1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

---------------------------------------
(1)の証明
a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。

a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.

１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.

---------------------------------------
〔予想〕
　a_1, a_2, …, a_n ≧ -1,　a_1+a_2+…+a_n = n, のとき

・n：奇数 (n≧5) ならば
　-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),

・n:偶数ならば
　-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2.
5 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 01:42:03.32 ID:01wf4Nsj.net: 削除依頼を出しました
6 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 05:34:28.01 ID:5zoTD2o3.net: >>1
スレ立て乙
ついに２桁に到達したでござるな。

・次スレ用のメモ。

【過去スレ】
　～.2ch.net/　→　～.5ch.net/
・過去スレのミラー置き場
　　　http://onedrive.live.com/?id=D357AFBB34F5B26F%21110&cid=D357AFBB34F5B26F

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/highmath/471952/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/
7 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 05:36:05.68 ID:5zoTD2o3.net: >>2
次スレ用のメモ

【不等式の和書】

[1]　不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p.
　　　http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4621063510
[2]　不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p.
　　　ASIN B000JA494Y,
[3]　不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太，近代科学社，1992年, 162p.
　　　ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0,
　　　http://www.kindaikagaku.co.jp/news/20120912/index.html
[4]　不等式入門 (数学のかんどころシリーズ9), 大関清太, 共立出版, 2012年, 186p.
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5]　不等式入門 (数学ライブラリー教養篇4), 渡部隆一，森北出版，2005年, 154p.
　　　ASIN 4627010494, ISBN 978-4-627-01049-9,
　　　http://www.morikita.co.jp/books/book/84
[6]　不等式の工学への応用, 海津聰(訳), 森北出版，2004年, 160p.
　　　ASIN 4627075812, ISBN 978-4-627-07581-8,
　　　http://www.morikita.co.jp/books/book/437
[7]　不等式 (モノグラフ4), 梁取弘(著)、矢野健太郎(監修), 科学新興新社, 1998年, 118p.
　　　http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～, 安藤哲哉, 数学書房, 2012年, 280p.
　　　ASIN 4903342700, ISBN 978-4-903-34270-2,
　　　http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html
　　（正誤表+補遺) http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9]　美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として, 佐藤淳郎(訳), 朝倉書店, 2013年, 260p.
　　　http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11137-8
[10]　思考力を鍛える不等式 (大学への数学・別冊), 栗田哲也, 東京出版, 2014年, 135p,
　　　ASIN 4887422091, ISBN 978-4-887-42209-4,
　　　http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html

※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照　https://seesaawiki.jp/w/loveinequality/
8 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 06:39:43.21 ID:K5b8go44.net: >>6-7
乙。修正すべきことがたくさんあるね。
9 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 09:51:30.85 ID:K5b8go44.net: >>4
> (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.

a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。
また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。

結局、次の3つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a.
(iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a.

(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16.

(ii)のとき、4<b+c≦6に注意して
0 ≦ -27(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {3(a+b)+(b+c)+3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b+c)^4 ≦1296,.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≧-48.

(iii)のとき、-1≦d<b≦7に注意して
0 ≦ 9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b-d-2)^4 ≦1296.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.

( ﾟ∀ﾟ) こんなものかな。次は(5)か…
10 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 16:49:09.59 ID:K5b8go44.net: >>9
蛇足： (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。
11 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 18:10:46.72 ID:K5b8go44.net: >>10
アホだ。ちゃんと書いとったわ。
12 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 20:38:59.29 ID:K5b8go44.net: >>4
> (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。
また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。

結局、次の5つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a.
(iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a.
(iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a.
(v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a.

(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦32.

(ii)のとき、-2≦e+a<0 に注意して
0 ≦ -(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
　≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)-(e+a)}/5]^5
　＝ {2 - (2/5)*(e+a)}^5
　≦ (14/5)^5
　＜ 512.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)>-512.

(iii)のとき、-1≦e≦5, 5<b+c-e≦9 に注意して
0 ≦ 27648(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
　≦ [ {8(a+b)+3(b+c)+8(c+d)-12(d+e)-12(e+a)}/5]^5
　＝ {3(b+c-e)-e-4}^5
　≦ 24^5.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

(iv)のとき、5<b≦9 に注意して
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
　≦ [ {(a+b)+(b+c)+(d+e)}/3]^3 * [ {-(c+d)-(e+a)}/2]^2
　＝ {(b+5)/3}^3 * {(b-5)/2}^2
　≦ (14/3)^3 * 2^2
　＜ 288.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)<288.

(v)のとき、-1≦d,e<b≦9 に注意して
0 ≦ -64(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
　≦ [ {(a+b)+(b+c)-4(c+d)-4(d+e)-4(e+a)}/5]^5
　＝ (b-d-e-3)^5
　≦ 8^5.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≧-512.

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！残りは一般のnの場合だが、こんなやり方じゃ場合分けで死ぬ…
13 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 04:43:23.11 ID:PuO49N5y.net: 〔問題A-3〕
　a, b ≧1 のとき不等式
　　(1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
が成り立つことを証明して下さい。

(近畿大学数学コンテスト21,　2018/11/03)
http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84 → 第21回(H30年)
http://suseum.jp/gq/question/2997
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-327
14 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 05:40:15.79 ID:v/6AAPaR.net: >>4
一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。
15 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 22:59:48.76 ID:fXYd5inn.net: 正整数t,k,mがあって、t^2>kmを満たす。
このとき次の不等式が成立
Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k
16 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 00:39:01.84 ID:VHyUt/tL.net: 迫力満点なのを…
http://mobile.twitter.com/cho_san111000/status/954730066033831940
(deleted an unsolicited ad)
17 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 01:38:05.87 ID:AdUIceWu.net: 変なのが住み着いたな
18 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 01:39:21.03 ID:AdUIceWu.net: そういうのは自分のブロクの中だけに留めとけよ
19 ：１３２人目の素数さん：2018/12/26(水) 09:35:55.89 ID:2DcmDNkQ.net: 〔補題〕
自然数mについて
　4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),

(略解)
　a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
　b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
　a_m < b_m,

(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1　より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
a_m は単調増加。

(3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m　より
b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1,
b_m は単調減少。

よって
a_1 < a_2 < ････ < a_m < ････ < b_m < ････ < b_2 < b_1
ゆえ収束する。
極限値　１
20 ：１３２人目の素数さん：2018/12/26(水) 23:29:50.65 ID:2DcmDNkQ.net: >>19 (続き)

3<π<4　　√(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3))　より　a_0 < 1 < b_0
3<π<3.2　√(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3))　より　a_1 < 1 < b_1
m>1 のときも　a_m < 1 < b_m
21 ：１３２人目の素数さん：2018/12/28(金) 01:30:14.08 ID:NvXV1n10.net: >>19
極限値はウォリスの公式
　　C[2m,m] = (2m)! / (m!)^2 ～ 4^m / √(πm),
またはスターリングの公式
　log(n!) = (n+1/2)log(n) - n + (1/2)log(2π) + 1/(12n) + O(1/n^3)
　log{C[2m,m]} = log{(2m)!} - 2log(m!) = m log(4) - (1/2)log{π(m+1/4)} + O(1/m^3)
から出る。
22 ：１３２人目の素数さん：2018/12/29(土) 11:48:56.87 ID:Ca6iUqF7T: f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d が任意の実数 x (resp. 任意の x>=0)に対して
f(x)>=0 を満たす条件を a,b,c,d の式で表せ、という古典的な問題
解けたけど、昔から答は知られている気もする。
答の書いてある本とか論文とかWEBを知ってる人いる?
自分の解は複雑で5chには書けないけど、誰も知らないなら論文に投稿する。
23 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 00:06:21.22 ID:HV303Epp.net: 　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　新年あけまして
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) ≧ 9 (abc)^(4/3),

[第９章.395, 397]
24 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 08:18:44.24 ID:xFQI3nN2.net: botの104が面白いな
25 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 11:28:11.24 ID:HV303Epp.net: Inequalitybot [104]
(aa+bb+cc)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|,

[前スレ.574, 576]
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式２-196
じゅー君 (作)
26 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 12:27:27.17 ID:HV303Epp.net: >>23

x^2019 - x^31 + 3 ≧ 2．08319787624644064040 x^(4/3),
等号成立は x = 0．99794707802373850618 のとき。
　(6053x^2019 - 89x^31 - 12 = 0 の正根)

最良値　9．040481720894526247626

　　　　　　　人
　／⌒＼（＿_）
　＼●／（＿＿）／⌒＼
　　　∩ （・∀・）＼●／　　あけおめでござる。
　　　Y ￣　||ｙ|| ￣`''φ
　　　 Lノ　/ニ||　!　ソ >
　　　　乂/ﾉﾊヽー´
　　　　`ー-、＿_|
27 ：１３２人目の素数さん：2019/01/07(月) 14:07:43.34 ID:nTHVJaxN.net: >>23
〔問題390〕
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 - a^31 + 3) (b^2019 - b^31 + 3) (c^2019 - c^31 + 3) > 3 (a^4 + b^4 + c^4),

[前スレ.390]
28 ：１３２人目の素数さん：2019/01/08(火) 01:02:25.62 ID:WdFpB4mR.net: >>27
x0 = 0．99794707802373850618 とおく。　　>>26

(x^2019 - x^31 + 3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 + 1 + 1} ≧ 3k (x/x0)^4,
ここに　k = 2．98882413327445720383

(左辺) = (a^2019 - a^31 + 3)(b^2019 - b^31 + 3)(c^2019 - c^31 + 3)
≧ k [{(a/x0)^12 + 1 + 1} {1 + (b/x0)^12 + 1} {1 + 1 + (c/x0)^12}]^{1/3}
≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4}　　　　　(←コーシー)
= (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3．01349390694842082546 (a^4 + b^4 + c^4)

等号成立は a=b=c=x0.
29 ：１３２人目の素数さん：2019/01/08(火) 23:08:11.82 ID:WdFpB4mR.net: >>28 訂正ｽﾏｿ
　k/(x0^4) = 3．0134939069６484208254
30 ：１３２人目の素数さん：2019/01/09(水) 15:53:33.07 ID:Cl/0e+Ah.net: ｘはn次元ベクトル
||x||_p はp-norm
p>q>0に対して、||x||_p ≦ ||x||_q ≦ n^(1/q - 1/p)*||x||_p.

今年もよろしくお願いします ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
31 ：１３２人目の素数さん：2019/01/10(木) 04:13:48.85 ID:4mlVGqNc.net: >>30

||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ････ + |x_n|^p)^{1/p}

p次平均ノルム
p≧1
32 ：１３２人目の素数さん：2019/01/10(木) 06:11:46.62 ID:4mlVGqNc.net: >>28
x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば
(x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ････},
(x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ････},
(x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ････},
33 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1：2019/01/16(水) 00:31:34.87 ID:YX5hCMKx/: a(0)=b(0)=1, ∀n(nが自然数ならばa(n+1)=a(n)+2b(n)かつb(n+1)=a(n)+b(n)) が成り立つとすると,
自然数 n に対して m が 2n より大きい自然数ならば a(2n)/b(2n)<a(m)/b(m) が成り立ち,
自然数 n に対して m が (2n+1) より大きい自然数ならば a(2n+1)/b(2n+1)>a(m)/b(m) が成り立つ.
34 ：１３２人目の素数さん：2019/01/20(日) 05:29:41.07 ID:3c2tpFSV.net: >>13
左:
　0 < t < 1/2　⇒　1-t > t,
　1/2 < t < 1　⇒　t > 1-t,
　(中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
　= [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1)
　= (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
　= (1/2)^{a+b-2},

右:
ヤングの不等式より
　t^{a-1}･(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),

　(中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2)
　= [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
　= 1,
35 ：１３２人目の素数さん：2019/01/22(火) 05:49:20.92 ID:hfoTnJ0x.net: 〔前スレ.950〕
a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2,

( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 325, 336 )
( //suseum.jp/gq/question/3013 )
36 ：１３２人目の素数さん：2019/01/22(火) 06:04:00.30 ID:hfoTnJ0x.net: >>35
bはaとcの中間にあるとしてよい。
　(a-b)(b-c) ≧ 0,
　(c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,

s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺 - 右辺)･ssu
= [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
= (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
= [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)･2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
= 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
≧ 0,

　(b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
　bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
　(a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,
37 ：１３２人目の素数さん：2019/01/25(金) 08:47:28.94 ID:dfwh8WQW.net: a,b,c >0 のとき

(1)　(abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2･(a^3 +b^3 +c^3)
　　　バルカンMO-2015、P1

(2)　　a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)･√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)},
　　　セルビアMO-2017、P1改

(3)　　(a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a),
　　　クロアチアMO-2018、A1改

ｶﾞｲｼｭﾂかも知れませんが････
38 ：１３２人目の素数さん：2019/02/04(月) 16:57:27.17 ID:KxBFZY2a.net: a,b,c>0に対して、1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≧ (3√3)/{2√(aa+bb+cc)}.

( ﾟ∀ﾟ)ノごきげんよう
39 ：１３２人目の素数さん：2019/02/05(火) 12:41:14.63 ID:xI3EwwZt.net: とりあえず改造････

a,b,c>0 に対して
　1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}.

( ﾟ∀ﾟ)ノ　ごぶさたでござる。
40 ：１３２人目の素数さん：2019/02/05(火) 20:23:14.73 ID:lfo16SY3.net: >>39
なんと！元の不等式はヌルヌルでござったか…
41 ：１３２人目の素数さん：2019/02/11(月) 18:01:27.73 ID:dvi1QDx1.net: 等式だけど
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2.

これって何か背景あるのかな？
42 ：１３２人目の素数さん：2019/02/12(火) 17:06:09.82 ID:zTm0tcyX.net: >>41
行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。
43 ：１３２人目の素数さん：2019/02/16(土) 01:12:40.14 ID:fRyCy6GA.net: >>41
　(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2.
= (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2,　　(複号同順)
同じことだけど････
44 ：１３２人目の素数さん：2019/02/16(土) 01:20:11.40 ID:fRyCy6GA.net: 数セミ3月号 NOTE より

n個の正数 x_1,　x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。
それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき
　n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}),

[前スレ.866, 872]
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式
45 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 01:07:20.81 ID:3W69H09M.net: >>44
NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの？
46 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 18:08:19.89 ID:3JHzAJ6Y.net: >>45
畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れましたことやら。

溜池通信
http://tameike.net/writing/shanghai27.htm
47 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 23:35:18.28 ID:3W69H09M.net: >>46
いい加減にしろよ馬鹿が
48 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 06:44:03.40 ID:u2k/hpyq.net: >>45
それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。
49 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 07:16:40.17 ID:4ATqaV2Y.net: 記事のコメントには、ヤコブスタールの不等式そのものであるとか指摘はなかったけど、ZZZは知らなかったのか？
50 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 23:05:39.15 ID:u2k/hpyq.net: 学術誌レベルの新規性を要求されちゃカナワンよなぁ。
雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。
51 ：１３２人目の素数さん：2019/02/21(木) 00:14:53.49 ID:vd6keGE+.net: ヤコブスタールの不等式は、一般人には有名じゃないの？
コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど…
52 ：１３２人目の素数さん：2019/02/22(金) 02:26:44.49 ID:C/jpUJqi.net: 読者（一般人）に有名でなければ再発見でもOK
ということで願いたい。
53 ：１３２人目の素数さん：2019/03/05(火) 01:25:25.02 ID:gNDCshUz.net: 〔問題3043〕
A, B, C は正の実数で次式を満たす。
　M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1),
　n = 1, 2, ････
このとき次式を示せ。
　{(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p,
ただし　p = 1/(n+1).
　by　K. Chikaya (2019/Feb)

http://suseum.jp/gq/question/3043
54 ：１３２人目の素数さん：2019/03/05(火) 18:54:10.14 ID:jTRcgByS.net: 難しいな。
55 ：１３２人目の素数さん：2019/03/08(金) 19:36:03.74 ID:aQYf5MtB.net: bot59の不自然な不等式は何なんですかね？
56 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 06:26:00.80 ID:3JHzAJ6Y.net: 〔bot-59〕
x,y,z>0 のとき次を示せ。
　4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz,
　カナダMO-2012 A.1

左から AM-GM するだけ....
　4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw,
57 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 07:57:40.75 ID:Vpcwz/ga.net: なるほど！
カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。
58 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 23:16:13.39 ID:Vpcwz/ga.net: a,b,c,d,e>0 に対して、
(abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3
59 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 00:59:41.06 ID:gRQ8L5Xj.net: >>58
　abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H,
　a+b+c+d+e = 5A,
　abcde = G^5,
だから
　A^(n-1)･H ≧ G^n ≧ A･H^(n-1)　　…　Sierpinskiの不等式
の右側でござるか。

・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80
60 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 10:40:22.46 ID:gRQ8L5Xj.net: >>58
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。　与式は
　(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。　　左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
　(4,1)　(3,1,1)　(2,2)　(2,1,1)　(1,1,1,1)
の5パターンがある。
　(4,1)　A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
　(3,1)　4(A^3)(B+C+D+E) + …
　(2,2)　6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
　(2,1,1)　12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
　(1,1,1,1)　24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,

AM-GM より　(A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
　(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
　(3,1) ≧ 16v,
　(2,2) ≧ 12v,
　(2,1,1) ≧ 72v,
　(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
　(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),
61 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 10:43:09.35 ID:gRQ8L5Xj.net: >>60
　訂正ｽﾏｿ

5つから重複を許して4つを取り出す場合は
　(４)　(3,1)　(2,2)　(2,1,1)　(1,1,1,1)
の5パターンがある。
62 ：１３２人目の素数さん：2019/03/12(火) 00:28:15.75 ID:iP2fXkuo.net: >>60
Muirhead から
　(4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v,
ですね。
一般のnについても、同様に成立。
63 ：１３２人目の素数さん：2019/03/13(水) 08:42:52.77 ID:fplJdFRX.net: 奥が深いですね。勉強になります。
64 ：１３２人目の素数さん：2019/03/13(水) 08:51:11.62 ID:fplJdFRX.net: B.5009
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201902&t=mat&l=en
C.1511
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201812&t=mat&l=en
B.4980
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201810&t=mat&l=en
C.1493, B.4968の分数の取りうる値は？
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201809&t=mat&l=en
65 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 04:36:47.63 ID:QG1K7uiM.net: 〔B.5009〕
　Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that
　　2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6,　　　　　　　　　　　(2019/Feb)

(略証)
コーシーで
　(xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27,
あるいは AM-HM で
　1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3,
AM-GM で
　(左辺) ≧ 3･2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3･2 = 6,
等号成立は x=y=z=1.
66 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:04:01.19 ID:QG1K7uiM.net: 〔C.1511〕
B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD.
　Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane.　　　(2018/Dec)

(略証)
・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。
　ADの中点 = BCの中点をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。
　問題図は点Fに関して対称である。
　⊿PAF ≡ ⊿QDF、　⊿PBF ≡ ⊿QCF
　PA = QD、　PB = QC
　ここで、⊿PDQ ⊃ ⊿PCQ　だから
　QD + PD ≧ QC + PC,
　∴　PA + PD ≧ PB + PC,
・B=C の場合は△不等式となる。
・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。
67 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:10:51.33 ID:QG1K7uiM.net: 〔B.4980〕
Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ････, a_n be positive real numbers. Prove that
　1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ････ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2]
where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number.
( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.)　　　(2018/Oct)

(左側)
　(分母) < a_1+a_2+････+a_n　により成立。
　また　ε>0, 　a_i = ε^(i-1)　とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε,
　　ε→0　とすれば1に近づく。

(右側)
nが偶数のとき、隣合うペアについて
　a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1,
だから成立。
nが奇数のときは、分母（a_{j-1}+a_j+a_{j+1}）が最小となるような j に対して
　a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1,
残った偶数項を隣合うペアに分ける。　後略
68 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:30:26.45 ID:QG1K7uiM.net: 〔C.1493〕
A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c.
Show that b ≧ √2.　　　　　　　　　　　　　　　(2018/Sep)

(略解)
　2⊿ = bc･sin(A) ≦ bc ≦ bb,
　b ≧ √(2⊿),
等号成立は直角2等辺⊿
69 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:33:39.14 ID:QG1K7uiM.net: 〔B.4968〕
Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers:
　1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1,
　a+b+c+d = 4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2018/Sep)

(略解)
　abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1,　　　　(← GM-AM)
　1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1),
　1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a),
　1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab),
　(左辺) ≧ 1,
　等号条件から　a=b=c=d=1.
70 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 05:38:56.61 ID:dNAYt8q7.net: >>68

bを底辺としたときの高さ（辺bに下した垂線の長さ）m はc以下だから
　2⊿ = bm ≦ bc ≦ bb,
71 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 06:08:30.13 ID:3VSzAGCU.net: >>69
ワクワクするね
72 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 07:03:09.00 ID:3VSzAGCU.net: a,b,c>0 に対して、
3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}.
73 ：１３２人目の素数さん：2019/03/25(月) 11:16:31.87 ID:PVNNz8L/.net: n番目の素数をp(n)とおくとき、n≧5に対して、
p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k).
74 ：１３２人目の素数さん：2019/03/28(木) 19:15:24.33 ID:dISuNBxT.net: Crux (2018年度)から。

4302, 4304, 4308, 4309, 4310
https://cms.math.ca/crux/v44/n1/Problems_44_1.pdf
4311, 4316, 4319, 4320
https://cms.math.ca/crux/v44/n2/Problems_44_2.pdf
4321, 4322, 4327, 4329
https://cms.math.ca/crux/v44/n3/Problems_44_3.pdf
4335, 4336, 4340
https://cms.math.ca/crux/v44/n4/Problems_44_4.pdf
4348, 4349, 4350
https://cms.math.ca/crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf
4353, 4359, 4360
https://cms.math.ca/crux/v44/n6/Problems_44_6.pdf
4367
https://cms.math.ca/crux/v44/n7/Problems_44_7.pdf
4376、4377, 4380 ←ﾊｧﾊｧ
https://cms.math.ca/crux/v44/n8/Problems_44_8.pdf
4388, 4389
https://cms.math.ca/crux/v44/n9/Problems_44_9.pdf
4398, 4399
https://cms.math.ca/crux/v44/n10/Problems_44_10.pdf

春ですな ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
75 ：１３２人目の素数さん：2019/03/31(日) 20:44:10.54 ID:cXTAnoiE.net: >>73
nについての帰納法で････

・n=5 のとき
　(左辺) = p(6)^3 = 13^3 = 2197,
　(右辺) = p(1)p(2)p(3)p(4)p(5) = 2･3･5･7･11 = 2310,
により成立。

・n>5 のとき
　ベルトラン予想（チェビシェフの定理）より　p(n+2)/p(n+1) < 2,
∴　{p(n+2)/p(n+1)}^3 < 8 < p(n+1),
n について成立すれば n+1 のついても成立する。(終)

さくら、さくら、今　咲き誇る
http://www.youtube.com/watch?v=PB-IdtDRY1I
76 ：１３２人目の素数さん：2019/04/01(月) 04:26:16.64 ID:Ga8zedWm.net: >>74
crux/v44/n1/Problems_44_1

4304
Evaluate
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) + {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3,

4306-改
Prove that
　　√(16n+24) > √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) > √(16n+20),

4308.
Let a,b & c be positive real numbers. Prove that
　 27abc(aab+bbc+cca) ≦ (a+b+c)^2･(ab+bc+ca)^2,

4309.
Let a,b & c be real numbers such that a+b+c=3. Prove that
　　2(a^4 + b^4 + c^4) ≧ ab(ab+1) + bc(bc+1) + ca(ca+1).
77 ：１３２人目の素数さん：2019/04/01(月) 04:35:08.54 ID:Ga8zedWm.net: >>76

4304.
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) = √7,
{cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3 = 18/√7,
∴ 25/√7.

4306-改
右)
　√n + √(n+3) = √{(2n+3) + 2√(n(n+3))} ≧ √{(2n+3) + 2(n+1)} = √(4n+5),

　{√(n+1) - √n} - {√(n+3) - √(n+2)} = 1/{√(n+1) + √n} - 1/{√(n+3) + √(n+2)} > 0,

　√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≧ 2√(4n+5),

左)　GM-AM より
　√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≦ 4√(n+3/2) = √(16n+24),

4308.
　A = aab+bbc+cca,　B = abb+bcc+caa,　C = 3abc　とおくと与式は
　9CA ≦ (A+B+C)^2,
(u+v+w)^2 ≧ 3(uv+vw+wu) より
　B^2 ≧ 3abc(aab+bbc+cca) = CA,
　A+B+C ≧ A + √(CA) + C ≧ 3√(CA),

4309.
(解1)
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/9)(aa+bb+cc)(a+b+c)^2 = aa+bb+cc ≧ ab+bc+ca,
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
　辺々たす。
(解2)
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/27)(a+b+c)^4 = (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca,
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
　辺々たす。

http://cms.math.ca/crux/v45/n1/Solutions_45_1.pdf
78 ：１３２人目の素数さん：2019/04/01(月) 04:41:05.15 ID:Ga8zedWm.net: >>74
crux/v44/n2/Problems_44_2

4316.
Let f:[0,11] be an integrable and convex function. Prove that
∫[3,5] f(x)dx + ∫[6,8] f(x)dx ≦ ∫[0,2] f(x)dx +　∫[9,11] f(x)dx,

(略解)
下に凸だから
　f(3+t) ≦ {f(t) + f(t) + f(9+t)}/3,
　f(6+t) ≦ {f(t) + f(9+t) + f(9+t)}/3,
辺々たす。
　f(3+t) + f(6+t) ≦ f(t) + f(9+t),
0≦t≦2 で積分する。

4317.
Solve the following system of equations over reals:
a+b+c+d = 4,
abc + bcd+ cda + dab = 2,
abcd = -1/4,

(略解)
　ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3,　
となるから a～d は↓の実根。
0 = t^4 -4t^3 +(3√3)t^2 -2t -1/4 = {t-(1+√3)/2}^3 {t-(5-3√3)/2},
∴ a～d = (1+√3)/2 =　1.36602540378444 (3重根)
　　　　　　(5-3√3)/2 = -0.0980762113533

4320.
For positive real numbers a,b,c,d, prove that
(a+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+d)(c+d) ≧ (a+b+c+d)(abcd)^(5/4),
79 ：１３２人目の素数さん：2019/04/01(月) 05:03:32.28 ID:Ga8zedWm.net: 矢島美容室「SAKURA - ハルヲウタワネバダ」
http://www.youtube.com/watch?v=Bq4wIVAYwoA
80 ：１３２人目の素数さん：2019/04/01(月) 21:13:27.29 ID:2IqqjnJM.net: 整理して頂き、有難う御座いまする。

最近の数オリに不等式が少ないのは、ネタ切れなのかな？
81 ：１３２人目の素数さん：2019/04/03(水) 07:14:05.62 ID:/TkvX91f.net: >>74
crux/v44/n3/Problems_44_3

4321.
Find the greatest positive real number k such that
　(aa + bb + cc + dd + ee)^2 ≧ k(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4)
for all real numbers a,b,c,d & e satisfying a+b+c+d+e=0.

　k = 20/13,　等号成立は {1,1,1,1,-4} のとき。　

4325.
Solve in real numbers the system of equations:
　x^4 -2y^3 -x^2 +2y = -1 +2√5,
　y^4 -2x^3 -y^2 +2x = -1 -2√5,

　x = (1+√5)/2 = φ = 1.61803399
　y = (1-√5)/2 = -1/φ = - 0.61803399
　(x, y) ≒ (1.8　1.5)　付近では接触しないようでござる。

4327.
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}.

4330.
Let a & b be integers such that aa -20b +24 = 0.
Find the complete set of solutions of the following equation over integers:
　5xx + axy + byy = 11.

a = 2(5n+7), b = 5nn+14n+11
　(x, y) = (n, -1)　(-n, 1)　(3n+4, -3)　(-3n-4, 3)

a = 2(5n-7), b = 5nn-14n+11
　(x, y) = (n, -1)　(-n, 1)　(3n-4, -3)　(-3n+4, 3)
82 ：１３２人目の素数さん：2019/04/05(金) 17:34:49.40 ID:Exv120OS.net: >>72
s,t,u と schur で何とかなりそうな伊予柑…
83 ：１３２人目の素数さん：2019/04/07(日) 06:46:37.06 ID:d5M1c3zz.net: >>81

4327-改
Prove the following inequality for all x>0:
　arctan(x) arctan(1/x) < πx/{2(xx+1)},
(略解)
x⇔1/x としても不変だから、0<x≦1 としてよい。
　arctan(x) < x,
　arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
辺々掛ける。

〔補題〕
0<x≦1 のとき
　arctan(x) > πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
(略証)
・0 < x < 2/π のとき
　arctan(x) = ∫[0,x] 1/(tt+1) dt > x/(xx+1) > πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) < π/{2(xx+1)},

・(4-π)/π < x ≦ 1 のとき
　arctan(x) = (π/4) - ∫[x,1] 1/(tt+1)dt
　≧ (π/4) - (1-x)/(xx+1)
　= πxx/{2(xx+1)} + (1-x){πx - (4-π)}/{4(xx+1)}
　≧ πxx/{2(xx+1)},
　arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) ≦ π/{2(xx+1)},
84 ：１３２人目の素数さん：2019/04/07(日) 08:12:11.85 ID:d5M1c3zz.net: >>74
crux/v44/n4/Problems_44_4

4335.
Let a & b be fixed positive real numbers and let n≧2 be an integer.
Prove that for any non-negative real numbers x_i, (i=1,2,････,n) such that x1 + x2 + ････ + xn = 1, we have
　(a･x_1 + b)^(1/3) + (a･x_2 + b)^(1/3) + ････ + (a･x_n + b)^(1/3) ≧ (a+b)^(1/3) + (n-1)b^(1/3).

f(x) = (ax+b)^(1/3) は上に凸だから、Jensenで
　f(x) ≧ x･f(0) + (1-x)･f(1),

4336.
For non-negative integers m & n, evaluate in closed form
　　Σ[k=0,n] Σ[j=0,m] (j+k+1)C[j+k,j]

　1 + (mn+m+n)(m+n+3)!/{(m+2)! (n+2)!},

4340.
Let a,b,c & d be positive real numbers such that
　　a + b + c + d = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d.
Show that
　　a + b + c + d ≧ max{ 4√(abcd), 4/√(abcd) }.
85 ：１３２人目の素数さん：2019/04/07(日) 09:02:34.31 ID:d5M1c3zz.net: >>74
crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf

4346.
Find all x,y,z ∈ (0,∞) such that
　64(x+y+z)^2 = 27(xx+1)(yy+1)(zz+1),
　x+y+z = xyz.

　(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i
より
　(xx+1)(yy+1)(zz+1) = (xyz-x-y-z)^2 + (xy+yz+zx-1)^2,
与式より
　x+y+z = xyz = ±(3√3)/8･(xy+yz+zx-1)
　ξ^3 -s･ξ^2 +{1±(8/3√3)s}･ξ -s = 0　の3根。
　x = y = z = √3,

4348.
Let p∈[0,1].　Then for each n>1, prove that
　(1-p)^n + p^n ≧ (2pp-2p+1)^n + (2p-2pp)^n.

4349.
Let x,y & z be positive real numbers such that x+y+z = 3.
Find the minimum value of
　　(x^3)/{y√(x^3 +8)} + (y^3)/{z√(y^3 +8)} + (z^3)/{x√(z^3 +8)}.

4350.
Let f:[0,1]→R　be a decreasing, differentiable and concave function.
Prove that
　f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≦ 3f(0) + f(d-c+b-a),
for any real numbers a,b,c,d such that 0≦a≦b≦c≦d≦1.

単調減少だから
　f(a) ≦ f(0),
　f(b) ≦ f(b-a),
　f(c) ≦ f(0),
　f(d) ≦ f(d-c),
下に凸だから
　f(b-a) + f(d-c) ≦ f(0) + f(d-c+b-a),
辺々たす。
86 ：１３２人目の素数さん：2019/04/07(日) 11:19:48.06 ID:d5M1c3zz.net: >>74
crux/v44/n6/Problems_44_6

4353.
Evaluate
　lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1,∞) Σ[j=1,n] 1/{k C[j+k-1,j]}.

・k=1
　Σ[j=1,n] 1/C[j,j] = n
・k=2
　Σ[j=1,n] 1/{2 C[j+1,j] = Σ[j=1,n] 1/{2(j+1)} ～ (1/2)log(n),
・k>2
　1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/C[j+k-1,j] - 1/C[j+k,j+1]},
　Σ[j=1,n] 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/k - 1/C[n+k,n+1]}.

4356.
Solve the following system over reals:
　a + b + c + d = 6,
　aa + bb + cc + dd = 12,
　abc + bcd + cda + dab = 8 + abcd.

これらより
　ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12,
　abc + bcd + cda + dab = 8,
　abcd = 0,
　0 = t^4 -6t^3 +12t^2 -8t = t(t-2)^3,
　{a,b,c,d} = {0,2,2,2}

4359.
Let a,b & c be positive real numbers.
Prove that
　　3 ln(a^b + b^c + c^a) + a/c + b/a + c/b ≧ a+b+c + ln(27).

4360.
Let a,b,c be non-negative real numbers such that a+b+c = 1.
Find the minimum and the maximum values of the expression
　　(a+b)/(1+ab) + (b+c)/(1+bc) + (c+a)/(1+ca).
When do these extreme values occur ?

　min. = 9/5,　　{a,b,c} = {1/2,1/2,0} {1/3,1/3,1/3}
　max. = 2,　　{a,b,c} = {1,0,0}
87 ：１３２人目の素数さん：2019/04/07(日) 12:06:02.16 ID:d5M1c3zz.net: >>74
crux/v44/n6/Problems_44_7

4367.
Let a, b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1 and |a+b+c| ≦ 1.
Prove that
　　|(a+b)/(a-b)||(b+c)/(b-c)| + |(b+c)/(b-c)||(c+a)/(c-a)| + |(c+a)/(c-a)||(a+b)/(a-b)| = 1,

4370.
Solve the following system of equations:
　a + b + c + d = 4,
　aa + bb + cc + dd = 7,
　abc + bcd + cda + dab - abcd = 5/16.

これらより
　ab + ac + ad + bc + bd + cd = 9/2,
　abc + bcd + cda + dab = 1,
　abcd = 1/16,
　0 = t^4 -4t^3 +(9/2)t^2 -t +(1/16) = (tt-2t+1/4)^2,
　t = 1 ±(√3)/2,　　(重根)
88 ：１３２人目の素数さん：2019/04/08(月) 05:42:05.41 ID:QMWP0bri.net: 4368.
Calculate
　Σ[n=2,∞)　(2^n)[ζ(n) -1 -1/(2^n)]

（与式) = Σ[n=2,∞) Σ[k=3,∞) (2/k)^n
　= Σ[k=3,∞) (2/k)^2 /(1 - 2/k)
　= Σ[k=3,∞) 4/{k(k-2)}
　= Σ[k=3,∞) {2/(k-2) - 2/k}
　= 2/1 + 2/2
　= 3,

-----------------------------------

　crux/v44/n8/Problems_44_8

4377.
Let x≧y≧z >0 such that x+y+z + xy+yz+zx = 1 + xyz.
Find min x.

与式より
　xy+yz+zx -1 = xyz-x-y-z = A,
　(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)ｉ = A(1+i),
　(x,y,z；A) = (7,3,3；50)　(8,5,2；65)　(13,4,2；85)

4378.
Find all k such that the following limit exists.
　　lim[n→∞)　{k・F_(n+1) - Σ[i=0,n] φ^i} = 0,
where F_n is the n-th Fibonacci number and φ is the golden ratio.

　F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/√5,　　(Binetの公式)
　k = (√5)φ,
89 ：１３２人目の素数さん：2019/04/08(月) 08:43:35.55 ID:QMWP0bri.net: >>74
　crux/v44/n9/Problems_44_9

4383.
Evaluate the inegral
　∫[0,1] (ln x)・√{x/(1-x)} dx.

4388.
　For positive real numbers a,b & c, prove
　　8abc(aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ (27/64){(a+b)(b+c)(c+a)}^3.

4389.
Considerthe real numbers a,b,c & d.
Prove that
　a(c+d) - b(c-d) ≦ √{2(aa+bb)(cc+dd)}.

　{a(c+d) - b(c-d)}^2 + {a(c-d) + b(c+d)}^2 = 2(aa+bb)(cc+dd),
あるいは
　(a+bi)(c-di)(1+i) = {a(c+d) - b(c-d)} + {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
　(a-bi)(c+di)(1-i) = {a(c+d) - b(c-d)} - {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
辺々掛ける。

4390.
Let x,y & z be positive real numbers with x+y+z = m.
Find the minimum value of the expression
　　1/(1+xx) + 1/(1+yy) + 1/(1+zz).
90 ：１３２人目の素数さん：2019/04/09(火) 00:51:03.91 ID:sDGeXCoR.net: >>89
4383.

(略解)
　x = (sinθ)^2　とおくと
　dx = 2 sinθ cosθ dθ
　(与式) = 4∫[0,π/2] log(sinθ) (sinθ)^2 dθ
　= 2∫[0,π/2] log(sinθ) {1 - cos(2θ)} dθ
　= 2I - ∫[0,π/2] log(sinθ) 2cos(2θ) dθ
　= 2I - [ log(sinθ) sin(2θ) ](0,π/2) + ∫[0,π/2] {cos(2θ)+1} dθ
　= 2I + [ {-log(sinθ) + 1/2} sin(2θ) + θ ](0,π/2)
　= 2I + π/2
　= -π{log(2) - 1/2}　　　　　　　(*)

-----------------------------------------------
*) 次を使った。

[例3]
　∫[0,π/2]　log(sinθ) dθ = - (π/2)log(2).　　　　(Euler)

被積分函数は θ→0 のとき -∞ になるが、θ^a log(sinθ) = (θ^a)logθ + (θ^a)log(sinθ/θ) → 0 (a>0) だから、
積分は収束する。(定理36)
この積分を I とすれば θ を π-θ に，また π/2-θ に変換して
　　I = ∫[π/2, π] log(sinθ) dθ,　　I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ.
故に
　　2I = ∫[0,π] log(sinθ) dθ.
ここで θ=2φ とすれば
　　I = ∫[0,π/2] log(2φ) dφ = ∫[0,π/2] log(2 sinφ cosφ) dφ
　　　= ∫[0,π/2] log(2) dφ + ∫[0,π/2] log(sinφ) dφ + ∫[0,π/2] log(cosφ) dφ,
　　　= (π/2)log(2) + I + I.
よって標記の結果を得る。

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)　p.113
　　第3章積分法、§34. 積分変数の変換、[例3]
91 ：１３２人目の素数さん：2019/04/10(水) 11:48:38.47 ID:x+zqr5Tw.net: >>89
4390.
　0 < m < √2　のとき
　　1 + 1 + 1/(1+mm) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
　√2 < m < √3　のとき
　　1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
　√3 < m < √6　のとき
　　1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
　√6 < m　のとき
　　3/(1+mm/9) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),

>>74
　crux/v44/n10/Problems_44_10

4398.
Prove that for n∈N, we have
　1/(2n-1) + ∫[0,1] {sin(x^n)}^2 dx ≧ (2/n){1-cos(1)}.

4399.
Let ABCDE be a pentagon.　Prove that
　|AB||EC||ED| + |BC|ED||EA| + |CD||EA||EB| ≧ |AD||EB||EC|.
When does equality hold ?
92 ：１３２人目の素数さん：2019/04/10(水) 12:33:36.53 ID:x+zqr5Tw.net: >>.76
　crux/v44/n2/Problems_44_2
4317.
他にもまだあった。
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3 のとき
　a～d = (1+√3)/2 =　1.36602540378444 (3重根)
　　　　　(5-3√3)/2 = -0.09807621135332
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = -3√3 のとき
　a～d = (1-√3)/2 =　-0.36602540378444 (3重根)
　　　　　(5+3√3)/2 = 5.09807621135332

4320.
　(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) = (ac-bd)^2 ≧ 0,
より
　(左辺)^2 ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^3,

　(左辺) ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^(3/2)
　　≧ 8(a+b+c+d)^(3/2)･(abcd)^(9/8)
　　≧ 16(a+b+c+d)･(abcd)^(5/4),
右辺の係数16が抜けてました。ｽﾏｿ

http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf
93 ：１３２人目の素数さん：2019/04/11(木) 01:59:40.35 ID:Ue9ZzVLN.net: >>92
〔補題〕
(1/16) (a+b+c+d)^4
　≧ (4/9) (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2
　≧ { (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) + (a+c)(c+d)(d+b)(b+a) + (a+d)(d+b)(b+c)(c+a) } /3
　≧ (a+b+c+d) (abc+bcd+cda+dab)
　≧ 16 abcd,

(略証)
　s = a+b+c+d,　t = ab+ac+ad+bc+bd+cd,　u = abc+bcd+cda+dab,　v = abcd　とおく。

　3ss - 8t = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,

　8tt - 6(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - 6(a+c)(c+d)(d+b)(b+a) - 6(a+d)(d+b)(b+c)(c+a)}
　= {(a-b)(c-d)}^2 + {(a-c)(b-d)}^2 + {(a-d)(b-c)}^2 ≧ 0,

　(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - su = (ac-bd)^2 ≧ 0,

　su - 16v = ab(c-d)^2 + ac(b-d)^2 + ad(b-c)^2 + bc(a-d)^2 + bd(a-c)^2 + cd(a-b)^2 ≧ 0,
94 ：１３２人目の素数さん：2019/04/19(金) 07:57:02.99 ID:mM9/LvYY.net: >>89
訂正

4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
　8abc (aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ {(a+b)(b+c)(c+a)}^3.
95 ：１３２人目の素数さん：2019/04/23(火) 01:29:57.35 ID:7u2F758f.net: >>81
crux/v44/n3/Problems_44_3

4325.
与式を辺々たす。
　0 = (x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1) + (y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1)
　= (xx-x-1)^2 + (yy-y-1)^2
よって
　xx -x -1 = 0　かつ　yy -y -1 = 0,

>>83
　やっぱり、そうだ。

http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf
96 ：１３２人目の素数さん：2019/04/23(火) 17:56:42.13 ID:7u2F758f.net: >>78　(追加)

4319.
Let x_1,x_2,････,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2,
such that (x_1)^α + (x_2)^α + ････ +(x_n)^α = n.
Prove the following inequality:
　　Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n.

(略証)
　x ≦ (α-1 +x^α)/α　より
　1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α
　= 1 + (1+X)(α-1 +X)/α
　= 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2
　≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2･(X-1)^2　　(← α≧3/2)
　= 3{1 +y +(3/8)yy}
　≦ 3 e^y,　　　　　　　　　　　(←補題)
ここに　X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1),
題意により
　y_1 +y_2 + ････ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+････+X_n -n) = 0,　
　(左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+････+y_n) = 3^n.

〔補題〕
　y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y.

　x>0, X>0, α≧3/2　のとき　y > -7/9 > -0.9323381774

さて、補題をどう示すか････
97 ：１３２人目の素数さん：2019/04/24(水) 00:49:44.98 ID:vK+1FJs+.net: >>87
4367.
O(0), A(a), B(b), C(c) とおく。
　題意より A,B,Cは単位円上にあり、⊿ABC は鋭角三角形。
　∠A = α,　∠B = β, ∠C = γ とおくと　tanα>0, tanβ>0, tanγ>0,
　(a+b)/(a-b) = -i/tan(∠AOB/2) = -i/tanγ,　etc.

　(左辺) = 1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ)
　= (tanβ + tanγ + tanα)/(tanα･tanβ･tanγ)
　= 1,　　　　　(α+β+γ=π より)
98 ：１３２人目の素数さん：2019/04/24(水) 13:53:15.76 ID:vK+1FJs+.net: >>95

4325.
　xx-x-1 = 0,　yy-y-1 = 0
を元の式に入れて
2√5 = x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1 = (xx+x+1)(xx-x-1) -2(y+1)(yy-y-1) +2(x-y) = 2(x-y),
-2√5 = y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1 = (yy+y+1)(yy-y-1) -2(x+1)(xx-x-1) +2(y-x) = 2(y-x),

これから x,y が出る。
99 ：１３２人目の素数さん：2019/04/25(木) 15:23:38.86 ID:4OvWo35u.net: >>96
　模範解答は････

4319.
X = x^α,
f(X) = log{1 + X^(1/α) + X^(1+1/α)}
とおくと
f "(X)･αα･X^(2-1/α)･exp{2f(X)} = -α(α+1)X^(2+1/α) -2αX^(1+1/α) -αX^(1/α) +(α+1)X -(α-1)
　< -2αX^(1+1/α) + (α+1)X - (α-1)
　< -α[2X^(α+1)]^(1/α) + (α+1)X - 1/2　　　(← α≧3/2)
　< 0,
より f(X) は X>0で上に凸。

∵　(α/(α+1))･2X^(1+1/α) + (α-1)/(α+1)
　> (α/(α+1))[2X^(α+1)]^(1/α) + (1/(α+1))･(1/2)　　(← α≧3/2)
　> X　　　　　　　　　　　　(← Jensen)

http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf
100 ：１３２人目の素数さん：2019/05/01(水) 06:57:59.14 ID:bWsqQfPq.net: >>81

4321.
|a| ≧ |b|,|c|,|d|,|e| としてもよい。このとき
　5aa - S_2 = 5aa - (aa+bb+cc+dd+ee) ≧ 0,
　aa = (-b-c-d-e)^2 ≦ 4(bb+cc+dd+ee) = 4(S_2-aa),
　∴ 4S_2 -5aa ≧ 0,　　(等号は b=c=d=e のとき)
　2aa -S_2 = (-b-c-d-e)^2 -bb -cc -dd -ee = 2(bc+bd+be+cd+ce+de),
よって
S_4 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4
　　= a^4 + (S_2 -aa)^2 -2(bbcc+bbdd+bbee+ccdd+ccee+ddee)
　 ≦ a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/3)(bc+bd+be+cd+ce+de)^2
　　= a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/12)(2aa -S_2)^2
　　= (13/20)(S_2)^2 - (1/15)(5aa -S_2)(4S_2 -5aa)
　 ≦ (13/20)(S_2)^2,

http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf
101 ：１３２人目の素数さん：2019/05/09(木) 01:31:57.01 ID:7Q6cd3gq.net: >>87
4367-改.
Let a,b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1.
Prove that
　((a+b)/(a-b))((b+c)/(b-c)) + ((b+c)/(b-c))((c+a)/(c-a)) + ((c+a)/(c-a))((a+b)/(a-b)) = -1.

>>97
(略証)
指数関数の加法公式より
　sin(α+β+γ) = Im{e^(i(α+β+γ))}
　= Im{e^(iα)･e^(iβ)･e^(iγ)}
　= Im{(cosα+i･sinα)(cosβ+i･sinβ)(cosγ+i･sinγ)}
　= cosα･sinβ･cosγ + cosα･cosβ･sinγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ
　= sinα･sinβ･sinγ{1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ) - 1},
102 ：１３２人目の素数さん：2019/05/18(土) 13:58:35.67 ID:SPl7kJbB.net: 〔補題〕
0<θ<π/2 のとき
　sinθ < H < θ < G < A < tanθ,

ここで　H = 3sinθ/(2+cosθ),　G = {(sinθ)^2･tanθ}^(1/3),　A = (2sinθ+tanθ)/3　である。
(略証)
　cos(x) < 3{1+2cos(x)}/{2+cos(x)}^2 < 1 < {2cos(x)^2 +1}/{3cos(x)^(4/3)} < {2cos(x) + 1/cos(x)^2}/3 < 1/cos(x)^2,
をxで積分する。(0→θ)
　H < θ を B.C.Carlson と呼び、θ < A を Snellius-Huygens と呼ぶ。

[第２章.196-199,679]
[第３章.565,591]
[第６章.610-613,634,641]
[第７章.156-157,929]
[第９章.762-763]
103 ：１３２人目の素数さん：2019/05/18(土) 14:27:46.32 ID:SPl7kJbB.net: θ = π/12 = π/3 - π/4 = π/4 - π/6　とおくと
加法公式により
sinθ = (√6 - √2)/4,
cosθ = (√6 + √2)/4,
tanθ = 2 - √3,
より
　12H = 36(√3 -1)/(1+4√2 +√3) = 3.14150999
　12G = 6(√3 -1)/(1+√3)^(1/3) = 3.141927918
　12A = 2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234913
一方、
　√2 + √3 = 3.1462643699
104 ：１３２人目の素数さん：2019/05/18(土) 15:56:23.58 ID:SPl7kJbB.net: >>103
√2 + √3 = 12A + (2-√3)^2･(√3 -√2)･(√2 -1)^2 > 12A > 12G > π,
105 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 12:44:34.35 ID:9g/K/0vL.net: 〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
　(不等式ぢゃねぇが、バーゼル問題に関連あり)
106 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 12:51:11.72 ID:9g/K/0vL.net: >>105
マクローリン展開
　Σ[k=1,∞] (1/k)x^(k-1) = -(1/x)log(1-x),
より
　Σ[k=1,∞] 1/(kk･2^k) = -∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx,
　Σ[k=1,∞] {1/kk - 1/(kk･2^k)} = -∫[1/2～1] (1/y)log(1-y) dy,
辺々引く。
　ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
　= -∫[1/2～1] log(1-y)/y dy + ∫[0～1/2] (1/x)log(x) dx,
　= -∫[0～1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
　= (log 1/2)^2
　= (log 2)^2
　= 0.4804530139182

http://club.informatix.co.jp/?p=3326

・数列総合スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/203-205

・オイラーの贈物スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1417406099/244-247

・円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/304-306
107 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 16:33:59.17 ID:FEiCVf4L.net: 実数 x,y が x^2 + y^2 = 1 をみたすとき、f(x,y) = 15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値を求めよ。
何通りのやり方があるかな？
108 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 19:02:51.22 ID:9g/K/0vL.net: 解Ｉ．
f(x,y) = 16(xx+yy) - (-x+5y)^2 ≦ 16(xx+yy) = 16,

なお、最小値は
f(x,y) = (5x+y)^2 - 10(xx+yy) ≧ -10(xx+yy) = -10,

解ＩＩ．
軸を回して
　(5x+y)/√26 = u,
　(-x+5y)/√26 = v,
とおく。
　f(x,y) = {16(5x+y)^2 - 10(-x+5y)^2}/26 = 16uu - 10vv,
109 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 00:59:07.00 ID:zfRpln9i.net: 解III．
ラグランジュの未定乗数法
　F(x,y;λ) = f(x,y) - λ(xx+yy-1)
とおく。
　∂F/∂x = ∂f/∂x -2λx = 30x +10y -2λx = 0,
　∂F/∂y = ∂f/∂y -2λy = 10x -18y -2λy = 0,
これらが自明でない解（x,y)≠(0,0) をもつことから
　(30-2λ)(-18-2λ) = 10^2,
　λ = -10, 16
110 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 01:02:30.53 ID:jCxCQMBM.net: 条件式から、三角関数に置き換えるのしか思いつかぬ…
111 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 16:03:36.60 ID:jCxCQMBM.net: ( ﾟ∀ﾟ)つ https://www.toshin.com/concours/

不等式がらみ
2018-9、2018-10、2019-3

あと気になる問題
2018-1、2018-6、2018-7
112 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 23:48:57.47 ID:zfRpln9i.net: 〔問題〕 2018-09
正の整数nに対し、|xx-yy| がn以下の奇数であるような整数x,yの組の個数をf(n), |xx-yy| がn以下の偶数であるような整数x,yの組の個数をg(n)で表わす。このとき
　| f(n) - g(n) - (4log2)n | < 12√n,
が成り立つことを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180820.jpg

〔問題〕 2018-10
[0,1] で定義された連続な実数値関数ｆが（0,1）で連続な導関数ｆ' をもち、f(0)=0, f(1)=1 を満たすとき、
　∫[0,1] {ｆ(x)}^2 dx + ∫[0,1] {ｆ'(x)}^2 dx
のとり得る最小値を求めよ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180920.jpg

〔問題〕 2019-03
nを正の整数、sを1より大きい実数とする。
0以上の実数 a1,a2,････,an が a1+a2+････+an = s を満たすとき、
Σ[k=1,n] (ak)^(k+1) を最大、および最小にする a1,a2,････,an の組（a1,a2,････,an）がそれぞれ一つずつ存在することを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20190220.jpg
113 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 01:04:52.11 ID:GJ4Ie8EK.net: 2018-10

f(x) を微小変化させる。
　f(x) → f(x) + ⊿(x)　　　ただし ⊿(0) = ⊿(1) = 0,
　f '(x) → f '(x) + ⊿ '(x)
与式の変化分は
　∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + ∫[0,1] 2f '(x) ⊿ '(x) dx
　= ∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + 2f '(1)⊿(1) - 2f '(0)⊿(0) - ∫[0,1] 2(d/dx)f '(x) ⊿(x) dx
　= ∫[0,1] 2{f(x) - (d/dx)f '(x)}⊿(x)dx,
任意の微小変化⊿に対して非減少だから
　f(x) - (d/dx)f '(x) = 0,　　　　　････　Euler-Lagrange 方程式
これを解くと
　f(x) = a･e^x - b･e^(-x),
f(0)=0, f(1)=1 より a,bを求める。
　f(x) = sinh(x)/sinh(1),
これを与式に入れて
　1/tanh(1) = (e+1/e)/(e-1/e) = 1.3130353
114 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 21:17:26.14 ID:GJ4Ie8EK.net: 例１
f(x) = tan(πx/4)　のとき
　f '(x) = π/{4･cos(πx/4)^2},
　積分値　π/3 - 1 + 4/π = 1.3204371

例２
f(x) = x^c (c>1/2)　のとき
　f '(x) = c x^(c-1)
　積分値 1/(2c+1) + cc/(2c-1) ≧ 1.32015717
　等号は c = 1.132557 (4c^4 -7cc +3c -1 = 0 の根) のとき

たしかに 1.3130353 より大きい。
115 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 21:23:37.75 ID:TfDD7bUD.net: a,b,c,d >0 に対して、
(a^3+b^3)(a^3+c^3)(a^3+d^3)(b^3+c^3)(b^3+d^3)(c^3+d^3)
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
116 ：１３２人目の素数さん：2019/05/22(水) 11:07:06.07 ID:7SUOfge7.net: >>113
例３
f(x) = mx + (1-m)x^3　(0<m<1) のとき
　f '(x) = m + 3(1-m)xx,
　積分値　4(51-39m+23mm)/105 ≧ 151/115 = 1.313043478
　等号は m = 39/46 = 0.8478261 のとき。

　m = 1/sinh(1) = 0.8509181 のときは　1.31305185
117 ：１３２人目の素数さん：2019/05/23(木) 00:14:12.95 ID:pMxXR6IF.net: 例４
f(x) = arcsin(sin(1)･x)　のとき　
　f '(x) = sin(1)/√{1 - sin(1)^2･xx},
　積分値　2/tan(1) -1 + sin(1)arctanh(sin(1)) = 1.31599

例５
f(x) = {e^(cx) - 1}/(e^c - 1),　(c>0)　のとき
　f '(x) = c･e^(cx)/(e^c - 1),
　積分値　{(c+2)cosh(c) + (cc-c-1)sinh(c) -2}/{2c[cosh(c)-1]} ≧ 1.31387
　等号は c = 0.46729 のとき。
118 ：１３２人目の素数さん：2019/05/23(木) 01:25:06.19 ID:pMxXR6IF.net: >>115
(a^3+b^3)(c^3+d^3) = (AA+BB)(CC+DD)
　= {(AA+BB)/2}CC + BB{(CC+DD)/2} + AA{(CC+DD)/2} + {(AA+BB)/2}DD
　　　　　　　　　　　　≧ ABCC + BBCD + AACD + ABDD,
同様にして
(a^3+c^3)(b^3+d^3) ≧ ACBB + CCBD + ACDD + AABD,
(a^3+d^3)(b^3+c^3) ≧ AABC + DDBC + ADCC + ADBB,
辺々掛けてコーシーで
　(左辺) ≧ {(ABC)^(4/3) + (BCD)^(4/3) + (CDA)^(4/3) + (DAB)^(4/3)}^3
　= {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
119 ：１３２人目の素数さん：2019/05/25(土) 12:43:50.50 ID:PUxT0Cfi.net: ( ﾟ∀ﾟ)つ Crux (2019年度)前期から。

4408, 4410, (4403)
https://cms.math.ca/crux/v45/n1/CRUXv45n1.pdf
OC418, 4411, 4417, 4418
https://cms.math.ca/crux/v45/n2/CRUXv45n2.pdf
4428, 4429
https://cms.math.ca/crux/v45/n3/CRUXv45n3.pdf
4431, 4432, 4433
https://cms.math.ca/crux/v45/n4/CRUXv45n4.pdf
120 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 08:56:15.60 ID:ijxfgc+2.net: crux/v45/n1/Problems_45_1

4403.
　Let m be an integer with m>1. Evaluate in closed form
　　Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) C[n+1,k+1] k/(m+k)　= {1 - m!(n+1)!/(m+n)!} /(m-1),

4408.
　Let α∈(0,1]∪[2,∞) be a positive real number and let a,b & c be non-negative real numbers.
　Prove that
　　a^α + b^α + c^α + (a+b+c)^α ≧ (a+b)^α + (b+c)^α + (c+a)^α.

4410.
　Prove that
　∫[0,π/4] √sin(2x) dx < √2 - π/4 = 0.6288154

(解答例)
sin(2x) ≦ min{2x, 1} より
　(与式) < ∫[0,1/2] √(2x) dx + ∫[1/2,π/4] dx = π/4 - 1/6 = 0.6187315
121 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 11:11:36.98 ID:ijxfgc+2.net: 　//cms.math.ca/crux/v45/n2/Problems_45_2.pdf

OC418.
Three sequences (a_0,a_1,････,a_n), (b_0,b_1,････,b_n), (c_0,c_1,････,c_2n) of non-negative real numbers are given such that for all 0≦i,j≦n we have a_i･b_j≦{c_(i+j)}^2.
Prove that
　Σ[i=0,n] a_i・Σ[j=0,n] b_j ≦ (Σ[k=0,2n] c_k)^2

4417.
Let a,b & c be positive real numbers.
Further, let x,y & z be real numbers such that xy+yz+zx > 0.
Prove that
　(yy+zz)a + (zz+xx)b + (xx+yy)c ≧ 2(xy+yz+zx)(abc)^(1/3).

(解答例)　AM-GM で
　(yy+zz)(zz+xx)(xx+yy) = (Y+Z)(Z+X)(X+Y)
　= (X+Y+Z)(XY+YZ+ZX) - XYZ
　≧ (8/9)(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)
　≧ {(2/3)(xy+yz+zx)}^3.

4418.
Consider a convex cyclic quadrilateral with sides a,b,c,d & area S.
Prove that
　(a+b)^5 /(c+d) + (b+c)^5 /(d+a) + (c+d)^5 /(a+b) + (d+a)^5 /(b+c) ≧ 64SS.

(解答例)
　(ab+cd)/2 ≧ S,
　(bc+da)/2 ≧ S,
　(左辺) ≧ (a+b)^4 + (b+c)^4 + (c+d)^4 + (d+a)^2
　≧ (4ab)^2 + (4bc)^2 + (4cd)^2 + (4da)^2
　≧ 8(ab+cd)^2 + 8(bc+da)^2
　≧ 8(2S)^2 + 8(2S)^2
　= 64SS.
122 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 15:48:57.31 ID:ijxfgc+2.net: 　//cms.math.ca/crux/v45/n3/Problems_45_3.pdf

4429.
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
　√{(aa+bb+cc)/2(ab+bc+ca)} ≧ (a+b+c)/{√(a(b+c)) + √(b(c+a)) + √(c(a+b))}.
123 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 16:13:40.74 ID:ijxfgc+2.net: 　//cms.math.ca/crux/v45/n4/Problems_45_4.pdf

4431.
Let x,y≧0 and x+y=2. Prove that
　√(xx+8) + √(yy+8) + √(xy+8) ≧ 9.

(解答例)
　{√(xx+8) + √(yy+8)}^2 = (xx) + (yy+8) + 2√(xx+8)√(yy+8)
　= 14 + (x+y)^2 + 2(1-xy) + 2√{49 + 8(x+y)^2 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
　= 18 + 2(1-xy) + 2√{81 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
　≧ 18 + 2(1-xy) + 2{9 + (7/9)(1-xy)}
　= 36 + (32/9)(1-xy),
∴　√(xx+8) + √(yy+8) ≧ 6 + (2/9)(1-xy)
　(xy+8) = 9 - (1-xy) ≧ {3 - (2/9)(1-xy)}^2,
よって
　(左辺) ≧ {6 + (2/9)(1-xy)} + {3 - (2/9)(1-xy)} = 9,
124 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 19:12:28.07 ID:ijxfgc+2.net: 〔類題〕
x, y≧0 かつ x+y = 2 のとき
　√(xx+8) + √(yy+8) + 2√(xy+8) ≦ 12,
125 ：１３２人目の素数さん：2019/05/27(月) 00:02:09.94 ID:EyPYWN4T.net: >>116
例６
f(x) = mx + nx^3 + (1-m-n)x^5　(0<m, 0<n, m+n<1)　のとき
　f '(x) = m + 3nxx + 5(1-m-n)x^4,
　積分値　(4/3465)(1660mm +1164mn +263nn -2990m -1065n +2485) ≧ 15331/11676 = 1.31303528606
　等号は m = 3785/4448 = 0.850944245　　n = 630/4448 = 0.14163669　　1-m-n = 33/4448 = 0.007419065 のとき。

これは 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1) = 1.31303528550 より大きい。

なお　m = 1/sinh(1) = 0.850918128　　n = 1/{6sinh(1)} = 0.14181969　　1-m-n = 0.0072621837 のとき　1.31303529111
126 ：１３２人目の素数さん：2019/05/27(月) 14:10:31.73 ID:EyPYWN4T.net: >>124
　√z は上に凸だから Jensen ですね。
127 ：１３２人目の素数さん：2019/05/28(火) 06:11:55.41 ID:xWwuUG0H.net: >>115
(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+d^3)(d^3+a^3) = (A+B)(B+C)(C+D)(D+A)
　= (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB) + (AC-BD)^2
　≧ (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB),　　　　　　　　　　　　>>92

(左辺) ≧ (A+B+C+D)^(3/2)･(ABC+BCD+CDA+DAB)^(3/2)
　≧ 4 (ABC + BCD + CDA + DAB)^2
　= 4 {(abc)^3 + (bcd)^3 + (cda)^3 + (dab)^3}^2
　≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3,
128 ：１３２人目の素数さん：2019/05/29(水) 14:50:44.53 ID:pVbDo3+L.net: >>120
4408.
α-1 ≦ 0 または α-1 ≧ 1 ゆえ
x^(α-1) は下に凸。
　a^(α-1) + (a+b+c)^(α-1) ≧ (a+b)^(α-1) + (c+a)^(α-1),
　a^α + a(a+b+c)^(α-1) ≧ a(a+b)^(α-1) + a(c+a)^(α-1),
循環的にたす。

α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,

α≦1 のとき
(左辺) - (右辺) = (-α)(1-α)(2-α)∫[a,∞] ∫[b,∞] ∫[c,∞] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,

α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
129 ：１３２人目の素数さん：2019/05/30(木) 00:23:28.75 ID:S7fbSkoD.net: >>94
4388.
u = abc,
p = aab +bbc +cca,
q = abb +bcc +caa,
とおくと
　p+q+2u = (a+b)(b+c)(c+a),
　q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
　4u ≦ p+u,　4u ≦ q+u,
また
　b(aa+2ca+bc) = p+2u -cca,
　c(bb+2ab+ca) = p+2u -aab,
　a(cc+2bc+ab) = p+2u -bbc,
より
　(左辺) = 8(p+2u -cca)(p+2u -aab)(p+2u -bbc)
　= 8{(p+2u)^3 -p(p+2u)^2 +(p+2u)qu -u^3}
　= 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + 3(p+u)u + (q+u)u}
　≦ 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + (p+u)(q+u)}
　≦ 16u(p+u)(p+q+2u)
　= 4(p+u)(q+u)(p+q+2u)
　= (p+q+2u)^3 - (p+q+2u)(p-q)^2
　= {(a+b)(b+c)(c+a)}^3 - (a+b)(b+c)(c+a)⊿⊿,
130 ：１３２人目の素数さん：2019/05/30(木) 11:42:57.13 ID:S7fbSkoD.net: >>85
4348.
　q = 2p(1-p) とおくと
1/2 - q = 2(1/2 - p)^2 ≦ |1/2 - p|,
∴　1-q, q は 1-pとpの間にある。Jensen より
　(1-p)^n + p^n ≧ (1-q)^n + q^n,

4349.
　t/√(t+8) は単調増加だからチェビシェフにより
　(与式) ≧ xx/√(x^3 +8) + yy/√(y^3 +8) + zz/√(z^3 +8),

Max{x,y,z} = X ≧2 のとき
　X^4 - (X^3 +8) = (X-2)(X^3 +XX+2X+4) ≧ 0,
　(与式) > 1,
x,y,z ≦ 2.7945 のとき
　xx/√(x^3 +8) ≧ (11x-5)/18,　etc.
　(与式) ≧ {11(x+y+z)-15}/18 = 1,
　等号は x=y=z=1 のとき。
131 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 02:44:07.56 ID:6xVHiY/M.net: 〔問題074〕
△ABCが鋭角三角形のとき
　{sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {cos(A)+cos(B)+cos(C)}
の取りうる値の範囲を求めよ。

　大学への数学 2012年/Dec. 宿題
　[第６章.872-873]
　Inequalitybot [074]
132 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 03:20:03.90 ID:6xVHiY/M.net: 古い問題だ････

(略解)
　x = cos((A-B)/2) ∈ [cos(C/2), 1]　とおく。

(与式) = {2cos(C/2)･x + sin(C)} / {2sin(C/2)･x + cos(C)}
　= tan(C) + 2cos(3C/2)･x / {[2sin(C/2)･x + cos(C)]cos(C)} = g(x),

g(cos(C/2)) = 1 + 1/{sin(C)+cos(C)} ∈ [1 + 1/√2, 2)

A+B+C=180ﾟゆえ　(0, 60ﾟ] の角と [60ﾟ, 90ﾟ] の角がある。

0<C≦60ﾟとすれば cos(3C/2) ≧ 0,　g(x)は単調増加,
　g(x) ≧ g(cos(C/2)) ≧ 1 + 1/√2,　(最小)
　等号は x = cos(C/2) = 1,　{A, B} = {45ﾟ, 90ﾟ},　C=45ﾟのとき

60ﾟ≦C≦90ﾟとすれば cos(3C/2) ≦ 0,　g(x)は単調減少,
　g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2,　(上限)
　等号は x = cos(C/2) = 1,　A=B→90ﾟ, C→0ﾟのとき
133 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 03:27:51.68 ID:6xVHiY/M.net: 最後は
　g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2,　(上限)
　等号は x = cos(C/2) = 1/√2,　{A, B}→{0ﾟ,90ﾟ}, C=90ﾟのとき
でした。
134 ：１３２人目の素数さん：2019/06/05(水) 03:41:46.20 ID:+pVPgegT.net: 〔補題555〕
X,Y,Z ≧ 0,　X+Y+Z = S のとき
　S/(1 + S/3) ≧ X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z) ≧ S/(1 + S),

分かスレ４７８-555
135 ：１３２人目の素数さん：2019/06/05(水) 05:08:45.40 ID:huLv9E9/.net: >>134
面白い不等式でつね、ｳﾋｯ
136 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 06:36:27.58 ID:0ZLkhJ7v.net: >>85

4346.
　x = tan(A), y = tan(B), z = tan(C) とおくと
sin(A+B+C) = cos(A)cos(B)cos(C){tan(A) + tan(B) + tan(C) - tan(A)tan(B)tan(C)}
　= cos(A)cos(B)cos(C)(x+y+z-xyz) = 0　　　(← 与式)
∴ A+B+C = π,
{A,B,C} は三角形の頂角をなす。
フランダースの不等式から
　sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(√3)/2}^3,

一方、与式から
　8tan(A)tan(B)tan(C) = 8xyz = 8(x+y+z) = (3√3)/{cos(A)cos(B)cos(C),
より
　sin(A)sin(B)sin(C) = {(√3)/2}^3,
等号成立条件から　A=B=C =π/3,　x=y=z = √3,

>>130

4349.
コーシーで
(左辺) ≧ {f(x)+f(y)+f(z)}^2 /(xy+yz+zx) ≧ (1/3){f(x)+f(y)+f(z)}^2,　　(←題意)
ここに
f(t) = tt/(t^3 +8)^(1/4)
f "(t) = (1/32){9t^6 + (t^3 -64)^2}/(t^3 +8)^(9/4) > 0,　　(t>-2)
f(t) は t>-2 で下に凸。
f(t) ≧ (23t-11)/(12√3),
f(x)+f(y)+f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1) = √3,
(左辺) ≧ 1,

http://cms.math.ca/crux/v45/n4/Solutions_45_4.pdf
137 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 06:42:18.15 ID:0ZLkhJ7v.net: >>120

4410.
　y = √x は上に凸だから
　1 + √sin(2x) ≦ (√2)√{1+sin(2x)} = (√2)[sin(x)+cos(x)],
よって
　(与式) ≦ ∫[0,π/4] {(√2)[sin(x)+cos(x)] - 1} dx = √2 - π/4,

なお、 (与式) = Γ(3/4)^2 / √(2π) = 0.5990701173678

>>136
フランダースぢゃなかった･･･
138 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 07:17:01.72 ID:0ZLkhJ7v.net: >>120 >>137

4410.
√sin(2x) < √(2x)　　　　　　　　　　　　　　(0<x<π/12)
√sin(2x) < (√2)[sin(x)+cos(x)] - 1　　　(π/12<x<π/4)
とすると
(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {(√2)[cos(x)+sin(x)] -1} dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + (1 - π/6)
= 0.602693468

(与式) = 0.599070117
139 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 17:22:10.92 ID:0ZLkhJ7v.net: >>120
4410.
ジョルダンの不等式
　(√2)|sin(x -π/4)| ≧ |1 - 4x/π| 　　　(0≦x≦π/2)
から
　yy = sin(2x) = cos(2x-π/2) = 1 - 2sin(x-π/4)^2 ≦ 1 - (1-4x/π)^2,
これは楕円の1/4
・中心 (π/4, 0)
・長半径１, 短半径π/4
・面積 (π/4)^2 = 0.616850275
140 ：１３２人目の素数さん：2019/06/11(火) 00:54:55.96 ID:a3rUuuK+.net: >>120 >>139
4410.
ジョルダンの不等式
　|sin(π/4 - x)| ≧ (3/π)|π/4 - x|　　(π/12 < x < 5π/12)
から
　yy = sin(2x) = cos(π/2 - 2x) = 1 - 2sin(π/4 - x)^2 ≧ 1 - (1/bb)(π/4 - x)^2,
これは楕円の一部
・中心 (π/4,0)
・長半径 a=1, 短半径 b=π/(3√2),
・面積 ab(π+2)/8,

(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] a√{1 - (1/bb)(π/4 - x)^2} dx
　= (1/3)(π/6)^(3/2) + ab･(π+2)/8
　= (1/3)(π/6)^(3/2) + π(π+2)/(24√2)
　= 0.12629224364 + 0.47590613074
　= 0.60219837438
141 ：１３２人目の素数さん：2019/06/11(火) 07:27:30.94 ID:a3rUuuK+.net: >>120 >>139 >>140
4410.
　√sin(2x) < √(2x),　　　　　(0<x<π/12)
　√sin(2x) < {1 + sin(2x)}/2,　(π/12<x<π/4)　　GM-AM
とすると
　(与式) < ∫［0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {1+sin(2x)}/2 dx
　= (1/3)(π/6)^(3/2) + [ x/2 - cos(2x)/4 ](x=π/12,π/4)
　= (1/3)(π/6)^(3/2) + π/12 + (1/8)√3
　= 0.1262922436 + 0.2617993878 + 0.2165063510
　= 0.6045979824
142 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:03:00.11 ID:SNdqfAoO.net: a,b,c >0 に対して、
Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2} ≦ 3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc).

既出でおぢゃるかな？
143 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:05:30.12 ID:SNdqfAoO.net: a,b,c∈R、a+b+c=1 のとき、
9abc + (1/a + 1/b + 1/c) ≧ 7(ab+bc+ca+1).
144 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:06:18.37 ID:SNdqfAoO.net: >>143
訂正 a,b,c>0
145 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:09:36.73 ID:SNdqfAoO.net: a,b,c>0 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) + √{(ab+bc+ca)/aa+bb+cc} ≧ 5/2
146 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:12:01.88 ID:SNdqfAoO.net: 三角形の辺長 a,b,c に対して、
a^3/(b+c-a) + b^3/(c+a-b) + c^3/(a+b-c) ≧ 4*(2R-r)^2
147 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:16:48.22 ID:SNdqfAoO.net: 0≦a,b,c≦1に対して、
aa + bb +cc ≦ aab + bbc + cca + 1.
148 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 01:54:41.88 ID:0c/9SYr+.net: Komal の C.1552 が面白すぎて困るなり。
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
149 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 08:30:02.99 ID:d+NNwnLK.net: >>147
　(aab+bbc+cca +1) - (aa+bb+cc) = 1 - aa(1-b) - bb(1-c) - cc(1-a)
　≧ 1 - a(1-b) - b(1-c) - c(1-a)
　= (1-a)(1-b)(1-c) + abc
　≧ 0,

>>148
そりゃ、KoMaL
C.1552
　Prove that if 0<a<1 and 0<b<1 then log_a{2ab/(a+b)}・log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1,

　A = log(a) < 0,　B = log(b) < 0,
　2ab/(a+b) ≦ √(ab),
　log_a{2ab/(a+b)} = log{2ab/(a+b)}/ log(a) ≧ log(ab)/{2log(a)} = (A+B)/(2A) > 0,
　log_b{2ab/(a+b)} ≧ (A+B)/(2B) > 0,
辺々掛けて
　(左辺) ≧ (A+B)^2 /(4AB) ≧ 1,
150 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 15:16:11.47 ID:0c/9SYr+.net: >>149
さすがでござるな。難しくてkomal.
151 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 07:07:43.58 ID:HwIhVDIU.net: >>112 (下)

〔問題〕 2019-03
・最大は a_1 = ････ = a_(n-1) = 0,　a_n = s のときで　　(s>1)
　最大値 s^(n+1).
・極小点では
　(k+1)(a_k)^k = 2t　　(未定乗数)
より
　a_1 = t,　a_k = {2t/(k+1)}^(1/k),
このとき
　f(t) = t + Σ[k=2,n] {2t/(k+1)}^(1/k)
は単調増加で f(0)=0, f(s) > s だから
f(t)=s は 0<t<s にただ一つの解をもつ。

n=2のとき　t = s - {√(1+6s) - 1}/3,
152 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 10:38:35.53 ID:HwIhVDIU.net: 〔補題554〕
0<k<1 のとき
(1)　√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(2)　E(k) = ∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
　　　　　E(k)は第二種の完全楕円積分

分かスレ４５３－554,555
153 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 20:46:24.95 ID:HwIhVDIU.net: 〔補題559〕
0<k<1 のとき
(1')　　2√(1-kk/2) ≧ √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 - (k･cosφ)^2} ≧ 1 + √(1-kk),
(2')　　(π/2)√(1-kk/2) ≧ Ｅ(k) ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
154 ：１３２人目の素数さん：2019/06/18(火) 06:37:15.80 ID:1unLBUnb.net: 〔問題541〕
長半径a, 短半径a√(1-kk) である楕円の周長を K,
半径 a の円周の長さを L,
半径 a√(1-kk) の円周の長さを M とする。すなわち
　K = 4a E(k),
　L = 2πa,
　M = 2πa√(1-kk),
とするとき
　√{(LL+MM)/2} ≧ K ≧ (L+M)/2,
　等号成立は K=L=M (k=0) のとき。
分かスレ４５３-541

〔問題537〕
zは複素数で |z|≦1 のとき
　|(1+z)exp(-z) - 1| ≦ |z|^2
　等号成立は z=-1 のとき。
分かスレ４５３-537
155 ：１３２人目の素数さん：2019/06/18(火) 07:17:42.66 ID:1unLBUnb.net: >>111

〔問題〕 2018-07改
任意の実数 x,y に対して
　F(2xx,2yy) = F((x+y)^2,(x-y)^2)
が成立するような、実数係数のxとyの多項式 F(x,y) は
ある実数係数のuとvの多項式G(u,v)により
　F(x,y) = G(x+y, xy(x-y)^2),
と表わされることを示せ。

http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180620.jpg
156 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 01:05:37.07 ID:WxweZeE5.net: >>154 (下)

(左辺) = |∫[0,z] (-z') exp(-z') dz'|
≦ ∫(0,|z|) |z'| exp(|z'|) |dz'|
= ∫(0,|z|) r exp(r) dr　　　　(r=|z'|)
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|)　　　　　(|z|≦1)
= |z|^2,
157 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 03:01:03.41 ID:WxweZeE5.net: >>143 >>144
(左辺) - (右辺) = 9abc + (1/a+1/b+1/c) -7 - 7(ab+bc+ca)
　≧ 9abc + 9/(a+b+c) -7 - 7(ab+bc+ca)　　　　(AM-HM)
　= 9abc + 2(a+b+c)^3 - 7(a+b+c)(ab+bc+ca)
　= (a+b+c){(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)} + {(a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc}
　= (a+b+c)F_0(a,b,c) + F_1(a,b,c)
　≧ 0,

〔Schurの不等式〕
a,b,c≧0 または n:偶数のとき
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,
(略証)
bはaとcの中間にあるとして
　(a-b)(b-c) ≧ 0,　　a^n - b^n + c^n ≧ 0,
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n - b^n + c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 ≧ 0,
158 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 04:06:49.82 ID:WxweZeE5.net: >>145

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}　　　(コーシー)
　= 1 + (1/2) (aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)
　= 1 + (1/2)XX
　≧ (1/2) + X,

∴　(左辺) ≧ (1/2) + X + 1/X ≧ 5/2,
159 ：１３２人目の素数さん：2019/06/25(火) 08:56:15.44 ID:4AX2BJg5.net: >>120
4408.　　a,b & c がベクトルのとき

α=2
　Sq．= |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2 = 0,　　　(← 内積)

α=1　　(Hlawka)
　 |a| + |b| + |c| + |a+b+c| - |a+b| - |b+c| - |c+a| ≧ 0,
(略証)
　(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|) (左辺)
　= Sq. + (|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|) + (|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|) + (|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)
　≧ 0.
　[初代スレ.354-360, 364]
　[第８章.388 (5), 450, 708, 795]
　文献[3]　大関、p.33-34 例題8.
160 ：１３２人目の素数さん：2019/06/26(水) 07:40:18.60 ID:jPrPUfqH.net: >>72 >>142
コーシーで
　(a+b)^2 / {(a+c)^2 + (b+c)^2} ≦ aa/(a+c)^2 + bb/(b+c)^2,
よって
(左辺) ≦ (aa+bb)/(a+b)^2 + cyclic
　= 3/2 + (1/2){(a-b)/(a+b)}^2 + cyclic
　≦ 3/2 + (a-b)^2 /(8ab) + cyclic
　= 3/2 + {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/(8abc)
　= 1/2 + (a+b)(b+c)(c+a)/(8abc),
161 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 10:49:31.64 ID:6zAehVNK.net: 〔問題3078〕
Let a,b,c be nonzero real numbers such that 1/a + 1/b + 1/c = -4.
Prove that:
　32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 24(aa + bb + cc + a + b + c) + 4 -(a+b+c)/abc ≧ 0,

When does equality hold ?　　　　(K.Chikaya / Apr.29, 2019)

http://suseum.jp/gq/question/3078
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 352
162 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 13:49:42.14 ID:p6o04ivF.net: Wirtinger型不等式に関する一考察
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf
163 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 15:50:01.53 ID:o768/cqk.net: >>162
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
164 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 17:05:59.72 ID:Nrnon5wS.net: >>162
これ論文？
165 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 22:49:17.62 ID:NQIpUmMW.net: ASU 128 All Soviet Union MO 1969 https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1862011p12597664

正の実数a_1,…,a_nに対して次の不等式が成立
a_1/(a_2+a_3)+a_2/(a_3+a_4)+…+a_n/(a_1+a_2)>n/4
166 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 23:03:38.04 ID:6zAehVNK.net: >>161

〔類題〕
　a,b,c は0でない実数で　1/a + 1/b + 1/c = -2 を満たす。次を示せ。
　32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 8(8k-1)･(aa + bb + cc) - 64k･(a+b+c) + 16k(4k-3) - 16kk･(a+b+c)/abc ≧ 0,

　k≧0 とする。等号が成立するのはいつか ?
167 ：１３２人目の素数さん：2019/07/05(金) 00:07:26.17 ID:g7vswyLm.net: >>165

左辺をSとおく。
　a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
　3 S > 2Σ[k=1,n] {a_k + a_(k+1)}/{a_(k+1) + a_(k+2)} - n > 2n - n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ S ≧ n/3.

[初代.497, 501-502] [第２章.284]
168 ：１３２人目の素数さん：2019/07/05(金) 02:15:12.85 ID:g7vswyLm.net: >>165

S > (√2 -1)n

(略証)
　(a+b+c)(b+c+d) > (b+c)(a+b+c+d),
より
　{a/(b+c) + 1}{b/(c+d) + 1} > (a+b+c+d)/(c+d) = (a+b)/(c+d) + 1 ≧ 2√{(a+b)/(c+d)},
AM-GM より
　{a/(b+c) + b/(c+d)}/2 > (√2){(a+b)/(c+d)}^(1/4) - 1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
　S > (√2 -1)n,
　　(mahanmath および abch42 による。2011/May/08)

http://artofproblemsolving.com/community/c6h271096p1468831
169 ：１３２人目の素数さん：2019/07/06(土) 12:04:07.65 ID:oiEnJ4mP.net: >>165

S_n > (γ/2)n = 0.494566817223496526 n
　　γ は Drinfel'd 定数。

(文献)
・V. G. Drinfel'd: Math. Zametki, ９ (2), p.113-119 (1971) "A cyclic inequality"
・安藤哲哉：「不等式」数学書房 (2012) §5.2.8
170 ：１３２人目の素数さん：2019/07/07(日) 04:01:49.63 ID:NQih2PzA.net: >>166

(略解)
　(与式) = 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2 - (1/2)(1/a+1/b+1/c +2)^2
　　= 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2
　　≧ 0,
　等号成立は k>0　かつ　{a,b,c} = { -1/2, -√k, √k}　のとき。
171 ：１３２人目の素数さん：2019/07/07(日) 18:48:35.43 ID:NQih2PzA.net: >>169

f(x) = e^(-x),
g(x) = 2/{exp(x) + exp(x/2)},
は下に凸である。
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共通接線は1本だけ存在する。それを
　y = m･x + γ
とおく。、
　m = -0.8562482144492661168
　γ = (-m){1 - log(-m)},
172 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 02:35:03.06 ID:96Oo9tpn.net: >>169
nを固定して考える。
　S_n < (λ_n)･n,

n≦13　または　n=15,17,19,21,23 のとき　λ_n = 1/2,

一方、n=14　｛0, 1+4δ, 2δ, 1+4δ, 4δ, 1+3δ, 5δ, 1+δ, 4δ, 1, 2δ, 1, 0, 1+2δ}
　　δ=1/60　のとき　0.4999880721 n

λ_14 < 0.4999880721

λ_24 < 0.499197
　　A.Zulauf: Math. Gazette, ４３, p.182-184 (1959) "On a conjecture of L.J.Mordell II!

λ_111 < 0.49656
　　D.E.Daykin: J. London Math. Soc.(2), ３, p.453-462 (1971) "Inequalities for functions of cyclic nature"

γ/2 = 0.4945668172235
　　V.G.Drinfel'd: Math Notes, ９, p.68-71 (1971) "A cyclic inequality" (>>169 の英訳)

λ_{n+2} ≦ λ_n　(?)
173 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 22:57:04.96 ID:96Oo9tpn.net: |ａ| = √{(a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2}　とおく。

〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0　のとき
　Σ[k=1,n] {√(n+1-k) - √(n-k)} a_k ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-357
174 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 23:39:12.04 ID:96Oo9tpn.net: ↑を修正....

〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0　のとき
　( a_1 + a_2 + ････ + a_n) / √n ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-358
175 ：１３２人目の素数さん：2019/07/14(日) 15:04:25.43 ID:Xfj84fYJ.net: >>86

4353.
　S(j) = (1/j)Σ[k=1,∞] 1/{k･C(j+k-1,j)}
　　= (j-1)!Σ[k=1,∞] (k-1)!/{(k+j-1)!･k},
とおくと階差は
　S(j) - S(j+1) = 1/jj,
また
　S(1) = Σ[k=1,∞] 1/kk = ζ(2),
より
　S(j) = ζ(2) - Σ[k=1,j-1] 1/kk ～ 1/(j - 1/2),
　lim[n→∞] (1/n)Σ[j=1,n] j･S(j) = lim[n→∞] n･S(n) = 1,

4359.
　log(x) は上に凸だから Jensen で
　3log((a^b+b^c+c^a)/3) ≧ b･log(a) + c･log(b) + a･log(c),

　log(x) は上に凸だから
　log(x) = - log(1/x) ≧ - (1/x - 1) = 1 - 1/x,
176 ：１３２人目の素数さん：2019/07/14(日) 15:09:52.59 ID:Xfj84fYJ.net: 〔問題〕
　f(x) = e^(-x)　とおくとき次を示せ。
　f(f(f(1))) > 1/2,

( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/　casphy!-高校数学-不等式２-359)
177 ：１３２人目の素数さん：2019/07/15(月) 12:26:35.29 ID:hmERs5gh.net: π ≒ 22/7　　　　(約率)

7π/2 = 11 - 0.0044257124

nが奇数のとき
　|sin(11n)| > 1 - (1/2)(0.0044257124 n)^2 = 1 - 0.0000098nn,

nが偶数のとき
　|sin(11n)| < 0.0044257124 n,

　(分かスレ４５４-178,188)
178 ：１３２人目の素数さん：2019/07/20(土) 11:09:50.76 ID:bSAoQnjE.net: 1000
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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179 ：１３２人目の素数さん：2019/07/20(土) 17:29:12.98 ID:E2uDcqfM.net: (1)
a,b,c≧0 に対して、
√(1+aa+bb+cc-ab-bc-ca) ≧ (a+b+c-abc)/2.

(2)
a,b,c>0 に対して、
{(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3) + (a+b+c)/9 ≧ 4/3.

(3)
a,b,c>0 に対して、
5(a/b + b/c + c/a)^2 ≧ 2(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) + 27.

(4)
a,b,c>0, a+b+c=3 に対して、
(a^3+b^3)/(1+a) + (b^3+c^3)/(1+b) + (c^3+a^3)/(1+c) ≧ a^(5/2) + b^(5/2) + c^(5/2).

　　　　 /////
　　　　/////＿＿＿＿＿＿＿＿_
　　　 ///// ￣￣￣￣￣￣|￣￣
　　　/////　　＿＿＿　　 (~)　ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
　　 /////　　／　　≧　＼　ﾉ,,
　　/////　　|::::: (●　(● |　　　　
　 /////　　　ヽ::::... .ワ.....ノ　お久しぶりです
　///// 　　　 (　つ且 ~　つ　　不等式の夏ですね
180 ：１３２人目の素数さん：2019/07/21(日) 05:49:41.51 ID:4k/Gtesi.net: >>177
π ≒ 355/113　　　(密率)
355 = 113π + 0.00003014435

|sin(355n)| < 0.00003014435･n

|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435･n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn
181 ：１３２人目の素数さん：2019/07/21(日) 06:49:52.30 ID:4k/Gtesi.net: >>179

(2)
　A = (a+b+c)/3,
　Q = √{(aa+bb+cc)/3},
　T = {(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3),
とおく。
　T + (1/3)A
　= (T+T+T+A)/3
　≧ (4/3)(TTTA)^(1/4)　　(AM-GM)
　≧ (4/3)Q,　　　　　(コーシー)

(3)
　(a/b+b/c+c/a)^2 = 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9 + (a/b-1)^2 + (b/c-1)^2 ＋ (c/a-1)^2
　　≧ 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9,
　両辺に 36 をたす。
　等号は a=b=c
182 ：１３２人目の素数さん：2019/07/22(月) 05:15:00.06 ID:vDQA99OD.net: >>179
(1)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc　とおく。
(右辺) = (s-u)/2 ≦ 1 のときは明らか。
よって s > 2+u とする。

(左辺)^2 = 1 + ss -3t
　= 1 + ss/4 + (3/4s)(F_1 - 9u)
　≧ 1 + ss/4 - 27u/(4s)
　≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + su/2 -uu/4 - 27u/(4s)　　(← sに関して単調増加)
　≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + (2+u)u/2 -uu/4 -27u/[4(2+u)]　　　(← s>2+u)
　= {(s-u)/2}^2 + (8+u)(1-u)^2 /[4(2+u)]
　≧ {(s-u)/2}^2,

F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　　　　　(Schur-1)
183 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 09:59:49.00 ID:CKganLkz.net: a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2

出典　1978年度ソ連数学オリンピック
https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1869922p12680406
184 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 13:54:11.69 ID:v2NzGOZT.net: >>183
ウホッ！いい不等式。
185 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 15:56:05.98 ID:oX3OQU5P.net: [Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),

(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,
186 ：１３２人目の素数さん：2019/08/11(日) 23:03:44.95 ID:GctloD3X.net: >>183

　d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
　LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
　RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
　d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b)　　>>185

(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
　d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。

n>2 のとき
　m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
　LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
　LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
　≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
　≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
　≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
　LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).
187 ：１３２人目の素数さん：2019/08/12(月) 16:47:05.09 ID:uLwjs1DH.net: [ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]

(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0　　(n：even)
δ = 1　　(n：odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,
188 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 11:27:05.56 ID:Tk2MgydX.net: 任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))

出典　ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編
189 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 14:08:52.58 ID:gccQR1zi.net: 〔リウヴィルの定理〕
　無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
　p/q ∈ Q　　⇒　　|α - p/q| > c(α)/q^n.

(例)
　|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
　c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505

http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5641.html
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/2007.html
190 ：１３２人目の素数さん：2019/08/15(木) 00:49:47.21 ID:RxBWT0Y0.net: 　y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
　-π ≦ y < π,
　1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,
191 ：１３２人目の素数さん：2019/08/16(金) 01:59:00.40 ID:oNtuWoss.net: 　1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy,　(|y|≦π/2)
　1 - cos(y) ≧ 1,　　　　　　(|y|≧π/2)

　1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy,　(|y|≦π/3)
　1 - cos(y) ≧ 1/2,　　　　　(|y|≧π/3)

　1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy,　(|y|≦π/6)
　1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746,　　(|y|≧π/6)

　1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy,　　(|y|≦π/12)
　1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742　　(|y|≧π/12)
192 ：１３２人目の素数さん：2019/08/21(水) 19:59:33.25 ID:a2bL2fVn.net: △ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).
193 ：１３２人目の素数さん：2019/08/26(月) 23:23:29.14 ID:ywejxerG.net: >>192
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
　　△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
　　∴ r[a] = 2S/(b+c-a).

示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.

傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ﾟ∀ﾟ) ｽﾘｽﾘｽﾘｯﾄｫ！
194 ：１３２人目の素数さん：2019/08/27(火) 21:03:14.32 ID:VdE/ZoR/.net: 右側は楽勝だが、左側が分からぬ…
195 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 03:47:25.31 ID:vPFzkVBn.net: C1552
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
C1532, B5017
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201903&t=mat&l=en
196 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:14:07.85 ID:641rcCLM.net: B.5017.
　Is there a function f：Ｒ→Ｒ with the following properties:
　(1)　if x1≠x2　then　f(x1)≠f(x2),
　(2)　there exist appropriate constants a,b > 0 such that
　　　　　f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
　for all x∈Ｒ ?

C.1532
　Show that if a,b,c are positive numbers and
　　　a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
　then one of them is at least 1.

C.1552.
　Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
　log_a{2ab/(a+b)}･log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.
197 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:31:15.35 ID:641rcCLM.net: B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
　f(x_i^2) = f(a･x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
　y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴　0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴　y_i = 1/2,
∴　f(a･x_1+b) = 1/2 = f(a･x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
　a･x_1 + b = a･x_2 + b,
a>0 から
　x1 = x2　　　(矛盾)

C.1532.
　a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
　a+b+c>0 で両辺を割ると
　1 ≧ 1/abc,
　abc ≧ 1.

C.1552.
　log(a) < 0,　log(b) < 0　より　log(a)･log(b) > 0,
HM-GM より
　2ab/(a+b) ≦ √(ab),
　log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
　(左辺)･log(a)･log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
　　≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
　　≧ log(a)･log(b),
これを log(a)･log(b) >0 で割る。
198 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 14:17:25.93 ID:641rcCLM.net: >>194
　同感でござる。
(右)は
　aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
　16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),　　… ヘロン
　1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
　r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
　= (a+b+c)/8S = 1/(4r),

∴　r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
　　≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},
199 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 12:56:45.26 ID:V/0HLVAJ.net: >>192 >>194

(左)は
　a+b+c = 2S/r,
　abc = ab･2R sin(C) = 4SR,
　1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
　1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
　= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),

∴　コーシーで
　r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
　≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
　= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
　≧ r/(2Rr)^2
　= 1/(4RRr),
200 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 19:49:05.56 ID:eU3p0wK7.net: うひょっ！自力では解ける気がしないなぁ…
201 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 20:28:20.84 ID:eU3p0wK7.net: 絶対値がらみの不等式

x,y,z ∈R に対して、

(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
　1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.

(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
　2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.

(1)(2)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1793790p11880112
202 ：１３２人目の素数さん：2019/08/30(金) 08:39:13.74 ID:3MesnOrF.net: お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの？😜
　(分かスレ４５５-200)
203 ：１３２人目の素数さん：2019/08/30(金) 08:53:58.84 ID:3MesnOrF.net: >>201
　|x+y| ≦ |x|+|y|　等号成立は xy≧0　(同符号)

(1)
証：依題、x,y,z 中必有２↑同号。
　不妨設 x,y 同号,　則 |x+y|/(|x|+|y|) = 1.
　又　0≦|y+z|/(|y|+|z|)≦1, 0≦|z+x|/(|z|+|x|)≦1, 故～～

(2)　Let x,y & z are arbitrary real numbers (not all zero)．
Prove that
　　2/3 ≦ (|x+y|+|y+z|+|z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2,

(証) 題意より、x,y,z の中に必ず同符号の２つがある。
　xy≧0 と置くことを妨げないから
　(分子) = |x+y| + |y+z| + |z+x|
　　= |x| + |y| + (2Max{|y|,|z|} -|y| -|z|) + (2Max{|x|,|z|} -|z| -|x|)
　　= 2 Max{|y|,|z|} + 2 Max{|x|,|z|} -2|z|
　　= 2 Max{M,|z|} + 2(Max{m,|z|} -|z|)
　　≧ 2 Max{|x|,|y|,|z|}
　　≧ (2/3)(|x|+|y|+|z|),
　ここに　M = Max{|x|,|y|}, m = min{|x|,|y|} とおいた。
204 ：１３２人目の素数さん：2019/08/31(土) 06:25:54.80 ID:45aPYUp8.net: 〔補題〕
|ｘ+z| + |ｘ-z| = 2 Max{|x|, |z|},
|y+z| + |y-z| = 2 Max{|y|, |z|},

…とやるより、場合分けした方が簡単かな。
205 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 05:19:16.22 ID:BBoFSmJW.net: ジュニア数檻から。

(1) x,y∈R に対して、(xy+x+y-1)^2 / {(x^2+1)(y^2+1)} の取りうる値の範囲。

(2) a,b,c,d∈R に対して、(aa+ac+cc)(bb+bd+dd) の取りうる値の範囲。

(3) a,b∈N に対して、min{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≦{√(4a+4b+5) - 1}/2
206 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 15:16:47.18 ID:NPxrtGxy.net: (1)
　(x+i)(y+i) = (xy-1) + (x+y)i,
∴　{(xy-1) + (x+y)}^2 + {(xy-1) - (x+y)}^2 = 2{(xy-1)^2 + (x+y)^2}
　= 2 |(xy-1) + (x+y)i|^2
　= 2 |(x+i)(y+i)|^2
　= 2 (xx+1)(yy+1),
　より [0,2]
　等号成立は (x-1)(y-1)=2　 (直角双曲線)
(2)
　aa+ac+cc = (3/4)(a+c)^2 + (1/4)(a-c)^2 ≧ 0,
　bb+bd+dd = (3/4)(b+d)^2 + (1/4)(b-d)^2 ≧ 0,
　より [0,∞)
　等号成立は a=b=c=d=0
(3)
左辺をLとおく。
　Max{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≧ L+1,　　(← 互いに素)
　L(L+1) ≦ gcd((a+1)(b+1), ab) = gcd(a+b+1, ab) ≦ a+b+1,
207 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 15:54:03.88 ID:NPxrtGxy.net: 訂正ｽﾏｿ
(2)
　等号成立は a=c=0 または b=d=0,

(3)
　gcd(a,b+1)･gcd(a+1,b) = gcd((a+1)(b+1), ab)　を使った。
208 ：１３２人目の素数さん：2019/09/10(火) 18:20:55.90 ID:qdVlLmKr.net: 2016 IMO Shortliset, A1, A8
https://artofproblemsolving.com/community/c482986_2016_imo_shortlist

個人的には関数方程式も好物なんですがね。
209 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 03:41:17.00 ID:1IJ7FHVd.net: A1.
Let a,b,c be positive real numbers such that min(ab,bc,ca)≧1.
Prove that
　{(aa+1)(bb+1)(cc+1)}^(1/3) ≦ {(a+b+c)/3}^2 ＋ 1.

A8.
Find the largest real constant a_n such that
for all positive real numbers x_1, x_2, ････, x_n　satisfying 0 < x_1 < x_2 < ････ < x_n,
we have
　Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ a_n･{Σ[k=0,n-1] k / x_(k+1) },
(x_0 = 0.)

答だけ書くと
a_1 = 1/2 = 0.5
a_2 = 12/25 = 0.48
a_3 = 0.4701514765959817784543884････
　　(190t^4 - 6561t^3 + 574t^2 + 329t + 391 = 0 の正根 )
a_4 = 0.4643963253583455727840309････
　　(489t^5 + 1965t^4 - 71t^3 + 602t^2 - 613t + 60 = 0 の正根 )
　　・・・・・・
a_n → 4/9 = 0.44444････　　(n→∞)
210 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 03:52:19.18 ID:1IJ7FHVd.net: A8.
(略解)
　3/{x_(j+1) - x_j}　…　3個
　j / x_j　　　　　　…　j個
の(j+3)個で AM-HM すると
　9/{x_(j+1) - x_j} + jj/x_j ≧ (j+3)^2 /x_(j+1)
　9/{x_(j+1) - x_j} ≧ (j+3)^2 /x_(j+1) - jj/x_j,
j=0…n-1 でたして 9で割る。
　Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ (4/9)Σ[k=0,n-1] (k+2) / x_(k+1),

A8. の右辺は (k＋２）/ x_(k+1)　と訂正....orz　>>209
211 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 04:55:06.64 ID:1IJ7FHVd.net: >>208-210
あちこちに在るからKoMaL

KoMaL N.189 (1998/Nov)
http://www.komal.hu/verseny/1998-11/mat.e.shtml

KoMaL A.709 (2017/Nov)
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&l=en&h=201711&t=201711

American Math. Monthly, Problem 11145 (2005)
212 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 23:38:19.31 ID:1IJ7FHVd.net: >>209
A1.
　0≦k≦1,
　a ' = (1-k)a + kb,
　b ' = ka + (1-k)b,
とする。
　(a 'a '+1)(b 'b '+1) - (aa+1)(bb+1)
　= (D+ab)^2 + (-2D+aa+bb) +1 - (aa+1)(bb+1)
　= D{D + 2(ab-1)}
　≧ 0　　　(← ab≧1)
ここに　D = k(1-k)(a-b)^2　とおいた。

∴ F(a,b,c) = (aa+1)(bb+1)(cc+1)
は (a,b,c) について上に凸。
　F(a,b,c) ≦ F(a',b',c')
　≦　･････
　≦ F((a+b+c)/3, (a+b+c)/3, (a+b+c)/3)
213 ：１３２人目の素数さん：2019/09/12(木) 00:38:37.35 ID:q8BKz8lq.net: >>208
A4.
Find all functions f：(0,∞) → (0,∞) such that
　for any x,y ∈ (0,∞),
　　x･f(xx)･f(f(y)) + f(y･f(x)) = f(xy)･{f(f(xx)) + f(f(yy))}.

A7.
Find all functions f：R→R such that f(0)≠0 and
　for all x,y∈R,
　　f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + max{f(xx+yy), f(xx)+f(yy)}.

例　　f(x) = -1, f(x) = x-1,
214 ：１３２人目の素数さん：2019/09/12(木) 01:07:17.91 ID:q8BKz8lq.net: >>212 (補足)
　0≦k≦1 より
　D = k(1-k)(a-b)^2 ≧ 0,
∴　a'b' = D + ab ≧ ab ≧ 1

〔別法〕
　d = (a+b+c)/3　とおく。
(aa+1)(bb+1) ≦ {[(a+b)/2]^2 + 1}^2,
(cc+1)(dd+1) ≦ {[(c+d)/2]^2 + 1}^2,
辺々掛けて
(aa+1)(bb+1)(cc+1)(dd+1) ≦ {[(a+b+c+d)/4]^2 + 1}^4
　= (dd+1)^4,
215 ：１３２人目の素数さん：2019/09/15(日) 09:13:16.60 ID:V+m2Snsf.net: 昔の入試問題
https://i.imgur.com/xKwu9QK.jpg
216 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 01:34:11.70 ID:FF+PWEgn.net: >>215
すべての実数xに対して定義された関数
　f(x) = cos(x) + cos((√2)x)
について、

(1)　f(x) = 2 を満たすxの値をすべて求めよ。
また、f(x) は周期関数ではないことを証明せよ。

(2)　t = 6726π のとき、すべてのxに対して不等式
　　| f(x+t) - f(x)| < 0.002
が成り立つことを証明せよ。
ただし、√2 = 1.41421356…… とする。
　（1986 山梨医科大)
217 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 01:44:55.63 ID:FF+PWEgn.net: >>216
(1)
f(x) = 2　⇔
　cos(x) = cos((√2)x) = 1,　⇔
　x = 2mπ,　(√2)x = 2nπ,　(m,n∈Z) ⇒
　m√2 = n　(m,n∈Z)　⇔
　m = n = 0,
よって x=0 のみ。
f(x)=2 となるxは0以外にないから、周期関数ではない。
218 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 02:00:54.51 ID:FF+PWEgn.net: >>216
(2)
t は 2π の整数倍だから
　cos(x+t) - cos(x) = 0,
また和積公式から
　|cos((√2)(x+t) - cos((√2)x)| = 2|sin((√2)(x+t/2) sin(t/√2)|
　　≦ 2|sin(t/√2)|
　　= 0.001321107
219 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 02:03:03.70 ID:FF+PWEgn.net: >>189
p,q が自然数のとき　 |√2 - (p/q)| ≧ (6-4√2)/qq,

(略証)
・q=1 のとき
　(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
　(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
　1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
　(左辺) > (6-4√2)/qq,

　ピーター・フランクルすれ-039
220 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 16:29:27.78 ID:FF+PWEgn.net: >>189
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
　f(α) = 0,
因数定理より
　f(x) = f(x) - f(α) = (x-α)g(x,α)
p,q を整数(q≠0) とすれば
　(q^n)f(p/q) は0でない整数。
　1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n･|f(p/q)|
　= |q|^n･|p/q - α| g(p/q,α)
　≦ |q|^n･|p/q - α| / c(α),
221 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 16:49:30.42 ID:FF+PWEgn.net: >>189
・n=2 の例
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575　　(3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919　(2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236　　(9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103　　　(5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820　(8/3)
c(√8) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288　(3/1)
c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423　　(19/6)
c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689　(10/3)
c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354　(7/2)
c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497　(649/180)
c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181　　　(15/4)
c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665　(4/1)
c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996　　(33/8)
c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2)
c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688　(170/39)
c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618　　　(9/2)
c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874　　(99/14)
c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1)
c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2　= 0.35354437　(99/7)

c(√n) ≦ 1/(2√n),
222 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 17:37:47.01 ID:FF+PWEgn.net: >>220
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。
（なお、　|(p/q) - α| >1 のときは明らか。)
223 ：１３２人目の素数さん：2019/09/20(金) 13:27:55.61 ID:KyAOfC1j.net: 2800
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
(deleted an unsolicited ad)
224 ：１３２人目の素数さん：2019/09/23(月) 12:07:10.78 ID:8OPrFZ2d.net: [NKSΣ@nkswtr][2019/9/23 10:58:45]
x_kが全て正のとき、不等式がなりたつ
https://pbs.twimg.com/media/EFHSqW1VUAAxAt3.jpg
[Tweet URL: https://twitter.com/nkswtr/status/1175952611234566146 ]
(deleted an unsolicited ad)
225 ：１３２人目の素数さん：2019/09/23(月) 18:13:40.99 ID:2PqEJji0.net: 　x_k >0, Σ[k=1,n] x_k = S のとき
　(S/n)^S ≦ Π[k=1,n] (x^k)^(x_k),
(略証)
　{x･log(x)}" = 1/x > 0,　(下に凸)
Jensenより
　S･log(S/n) ≦ Σ[k=1,n] (x_k)log(x_k),
　等号成立は x_1=x_2=…=x_n
226 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 06:33:10.11 ID:CUDTSBu2.net: 〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.

次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
　i≠j　⇒　｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,

IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
227 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 06:37:31.33 ID:CUDTSBu2.net: >>226
　x_j = k { j √m - 1/2 }，　k=1+2√m,
ここに　m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）
228 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 12:46:05.02 ID:X/bhMtKR.net: https://i.imgur.com/cdAdjkJ.jpg

昔どっかで拾ったやつ。パソコン内の画像ファイルを整理していて見つけた。詳細不明。
229 ：１３２人目の素数さん：2019/09/25(水) 16:48:12.69 ID:rBwhMx0MX: >>228 Muirhead
230 ：１３２人目の素数さん：2019/09/26(木) 08:01:36.36 ID:C1ckjksZ.net: 〔問題〕
Prove that, for a,b,c,････ > 0,
Σ[cycl] (ab)^3 /c^5 ≧ Σ[cycl] ab/c,

コーシーで
　(c+d+････+a+b)^2 (左辺) ≧ (右辺)^3,
は出るけど、
　(右辺) ≧ (a+b+c+ ････)
は成り立つのかな？？
231 ：１３２人目の素数さん：2019/09/26(木) 23:50:54.84 ID:C1ckjksZ.net: 3文字のときはコーシーで簡単だが････
(右辺)^2 = (ab/c+bc/a+ca/b) (ca/b+ab/c+bc/a) ≧ (a+b+c)^2,

文献[8]　安藤(2012) p.124 例題3.1.3(1) および p.144 例題3.2.2(1)

・3文字の別解
　ab/c + bc/a + ca/b ≧ √{3(aa+bb+cc)}　を使う。
(右辺)^2 ≧ 3{(ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b)} = 3(aa+bb+cc),

アイルランドMO (2007)
文献[8]　安藤(2012) p.162 例題3.3.5(2)
文献[9]　佐藤(2013) p.56　演習問題 1.113
232 ：１３２人目の素数さん：2019/09/27(金) 00:00:31.56 ID:ncViLEfF.net: >>224
　東京工大 (1990) かな。
233 ：１３２人目の素数さん：2019/09/27(金) 17:30:14.59 ID:ncViLEfF.net: >>230
4文字以上では不成立かな。

a,b,c,d >0
　ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≧ a+b+c+d,
の凡例
a,b,cを固定する。
(左辺) - (右辺) = (ab/c -a-b-c) + (bc/d) + (c/a + a/b -1)d,
c/a + a/b <1 ならば d→∞ で負になる。
a=m, b=(m+1)m, c=1, d≧(m+1)m^3 のとき負。
234 ：１３２人目の素数さん：2019/10/10(木) 09:05:52.04 ID:4MNDsrsX.net: >>227
i≠j とする。
　|i-j| ≧ 1,
　| {i√m} - {j√m} | < 1,
さて、
　(i-j)√m - {i√m} + {j√m} = [ i√m ] - [ j√m ] = n,
の両辺を２乗して移行すれば
　(i-j)^2･m - nn = ({i√m}-{j√m})(2|i-j|√m -{i√m} +{j√m})
m≠平方数ゆえ、左辺は0でない整数。
　1 ≦ |(i-j)^2･m - nn| ≦ |{i√m}-{j√m}|(1+2√m)|i-j| = |x_i-x_j||i-j|
235 ：１３２人目の素数さん：2019/10/14(Mon) 21:12:53 ID:OfKxP42X.net: ここの住人は積分不等式とかは興味ないかな？

f,gを[0,1]上滑らか、かつ(f(0),g(0))=(f(1),g(1))となる関数としたとき

2π∫_0^1 {f(x)g’(x)-f’(x)g(x)}dx≦[∫_0^1 √{(f’(x))^2+(g’(x))^2} dx]^2
236 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 00:45:39.69 ID:eja156vF.net: (u, v) = (f(x), g(x)) とおく。
x∈[0,1] で (u, v) は閉曲線Cを描く。
∫[0,1] {f(x)g’(x)- f’(x)g(x)}dx = ∫_C (udv-vdu) = {Cの内部の有向面積(反時計周り→正)},
∫[0,1] √{(f’(x))^2 + (g’(x))^2}dx = ∫_C √{(du)^2 + (dv)^2} = (Cの長さ),
2π(面積) ≦ (長さ)^2
等号はCが円周　f(x)^2 + g(x)^2 = c^2 のとき。
237 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 01:20:58.22 ID:eja156vF.net: 訂正
4π(面積) ≦ (長さ)^2

・参考書
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
　「等周問題」 p.176-177
　香具師が変分法を作り、シャボン玉がコンパクト概念
を生んだ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（森毅）
238 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 02:06:55.09 ID:O93uxOk1.net: >>236
>>237
正解です
いわゆる等周不等式

想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした
239 ：：2019/10/17(木) 05:36:05 ID:eT2GFlgw.net: >>237
参考書の方法の概要

長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を２つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90ﾟのとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを直径とする円周である。(S=π)　　　　　(終)
240 ：１３２人目の素数さん：2019/10/17(木) 07:08:12.82 ID:eT2GFlgw.net: >>239
　シュタイナー (J. Steiner) の対称化
241 ：１３２人目の素数さん：2019/10/17(木) 21:33:31 ID:MQ0StxZa.net: >>240
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります

曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば

4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2

さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります
242 ：：2019/10/18(Fri) 08:22:53 ID:nO1XpZx3.net: 4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
　= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
　≧ {∫[0,2π] r dθ}^2　　　(←シュワルツ)

う～む。
243 ：１３２人目の素数さん：2019/10/18(金) 14:30:07.06 ID:nO1XpZx3.net: (例) 辺の長さ L/4 の正方形

∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
　= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
　= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
　= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
　= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
　= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s：0→1/√2)
　= L log(1+√2)
　= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
　= (π/4)L^2
　= 0.785398163 L^2
　> 0.77681940 L^2
　= (0.881373587 L)^2
　= (∫[0,2π] r dθ)^2
244 ：１３２人目の素数さん：2019/10/18(金) 15:04:58.66 ID:48cliLMb.net: ∫rdθが周長より長いならいいんだけど。
245 ：１３２人目の素数さん：2019/10/19(土) 01:59:47.67 ID:j0qSwPAR.net: >>242 や >>243 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>244 だと、ますます無理っぽい････
246 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 07:51:32.79 ID:S8xxgIdK.net: 〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。

[分かスレ４５６脇-921]
247 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 09:07:33 ID:S8xxgIdK.net: I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
　　= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt　とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,

(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
　　> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
　　= 2π/(2+(2k+1)π)^2,

I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
　　> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
　　= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,

(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
　　< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
　　= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
　　= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},

∴　Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
　　< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
　　= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
　　= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
　　= 0.04578836 + 0.087529053
　　= 0.133317413
　　< 2/15,

0<x<π　では　sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
　　= (2/π)^4 ･ 1.8581544248371
　　= 0.30521248563
　　< 1/3,
∴　I < 7/15

なお、実際の値は
　I_0 = 0.28136039736534
　I_1 = 0.0496240021299
　I = 0.3990209885942
248 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 09:18:45.67 ID:S8xxgIdK.net: >>247
I_0 ＞ 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 ＞ 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732

∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),
249 ：１３２人目の素数さん：2019/10/28(月) 13:09:51.57 ID:M55VqgNP.net: >>247

|y| ≦ π/2　のとき
　((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, 　････ Jordanの不等式
　1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,

π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき　　sin(x) ≦ (4/π^2)･x(π-x),
250 ：１３２人目の素数さん：2019/11/11(月) 01:05:02.45 ID:RnIwgTT0.net: a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).

IMO 1967 らしい
251 ：１３２人目の素数さん：2019/11/11(月) 23:31:55.51 ID:uIUz6082.net: 　a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
　(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2･b^3･c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。
252 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 02:21:11 ID:dGHte+xL.net: 問題
x＞-2,y＞0として
ye^x＞log(yx+2y)
253 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 03:42:47.71 ID:ksIBXQAO.net: >>250
何年度かね？
http://web.archive.org/web/20080213055134/http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html
254 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 06:15:32.35 ID:XcoIZ5AW.net: >>252
e^t >= 1+t, 1+t >= log(t+2)より
ye^x = e^{(log y) + x} >= log y + (x+1)
>= log y + log(x+2) = log(yx+2y)
二つの等号を同時に成立させるx, yはない。
255 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 21:42:38.58 ID:WvFYjXT5F: >>250 ただのMuirhead
256 ：１３２人目の素数さん：2019/11/13(水) 01:43:38.75 ID:HL1mwdTs.net: >>252
題意より　y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。
257 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 10:38:04.46 ID:co/VrloJ.net: Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)

飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。
258 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 13:32:49.92 ID:+e/x8O7I.net: というか、上の級数は1.93あたりに収束するっぽいんだけど、
明示的に極限を書けないかしら。
259 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 04:10:15.50 ID:iMDULalJ.net: >>257
たとえば
　(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ･････ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
　2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
　(n+1)^n /n! < e^n,
　n! > {(n+1)/e}^n,
　1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。

Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
　= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,

(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,
260 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 05:33:37 ID:cdgu8qg6.net: >>259
おお…ありがとう
ちなみに飛び道具とはcarlemanの不等式でした。
その証明にも(n+1)^n /n! < e^nが使われるという
261 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 07:07:44.03 ID:eGTgxrCn.net: むむむ…、震えてきた…
262 ：１３２人目の素数さん：2019/11/18(月) 15:47:33 ID:W9Q6monY.net: 〔補題〕
　(1)　(1 +1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
　(2)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
　(3)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

(1)は一般化二項公式を使うらしい。
263 ：１３２人目の素数さん：2019/11/23(土) 20:40:03.04 ID:md82QkH1.net: a,b,c>0
a^2 + b^2 + c^2 ≧ Σ[cyc] a*{ (b^4 + c^4)/2 }^(1/4)
264 ：１３２人目の素数さん：2019/11/25(月) 17:59:50 ID:earBUlUp.net: 　A = a^4/(a^4+b^4+c^4),
　B = b^4/(a^4+b^4+c^4),
　C = c^4/(a^4+b^4+c^4),
とおくと
　A+B+C = 1.
また
　f(x) = √x - [x(1-x)/2]^(1/4),
とおくと
　f '(x) = 1/(2√x) - ((1-2x)/8)[x(1-x)/2]^(-3/4),
　f "(x) = -1/(4x√x) - (1/8)[x(1-x)/2]^(-3/4) + (3/64)[x(1-x)/2]^(-7/4) > 0,
∴　y=f(x) は下に凸。
∴　Jensen より
　(LHS - RHS) ～ f(A) + f(B) + f(C)
　　≧ 3f((A+B+C)/3)
　　= 3f(1/3)
　　= 0,

微分のことは微分でせよ？
265 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 05:01:43.80 ID:/rJkC9KX.net: >>239-240
・参考文献
　J. Steiner: J. reine Angew. Math., ２４, p.93-152 (1842)
　浦川　肇：「等周不等式」　数理科学(サイエンス社) No.386, p.20-24 (1995/Aug)
266 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:19:29.69 ID:/rJkC9KX.net: >>257-258

Σ[k=1→n] 1/{(n+1)(n!)^2}^(1/n) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),

ぐらいかな。
267 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:21:11.33 ID:/rJkC9KX.net: >>257-258 訂正

Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
268 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 12:13:55.79 ID:GwDHuLDD.net: 問題

1≦pとする
ある定数C=C(p)>0が存在し、
(0,1)上の任意のC^1級関数fに対して
∫_0^1 |f(x)-∫_0^1 f(y) dy|^p dx≦C∫_0^1 |f’(x)|^p dx

またこの不等式が成立する最小のC(p)を求めよ
269 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 14:04:10.49 ID:DW5yGutX.net: 11月号の数蝉NOTEに、AM-GMの証明が載ってたみたいだけど、新証明？
270 ：１３２人目の素数さん：2019/11/27(水) 20:12:50.80 ID:th7CPxH7.net: このスレで話題にならないということは、既出の証明だったんじゃね？（鼻ホジ）

JBMO2020らしい
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1899502p12980771
271 ：１３２人目の素数さん：2019/11/28(木) 22:48:14.44 ID:ghZZAPQ9.net: >>267 を改良

S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
　　≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}

S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613
272 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 10:08:04.96 ID:33TTA80m.net: このサイトにある不等式の証明が興味深い
https://www.jstor.org/stable/2975630?seq=3#metadata_info_tab_contents
https://www.researchgate.net/publication/236834618_On_a_mixed_arithmetic-geometric_mean_inequality
273 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 11:04:39.65 ID:gQn2pek9.net: めんどいから全然読んでないけど、重み付きAM-GM差分不等式っぽい（正式な名前は知らん）
https://i.imgur.com/omE2lcy.jpg
274 ：１３２人目の素数さん：2019/11/30(土) 06:31:05.40 ID:EU1tlCDO.net: >>272
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ･･････, x_n >0 のとき
　(1/n)Σ[k=1,n] (x_1･x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
　等号成立は x_1 = x_2 = ････ = x_n.

[前スレ.037(1)～044, 051-053, 097] の辺り
K．Kedlaya： Amer．Math．Monthly, Vol．101, No．4, p．355-357 (1994/Apr)
　"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"
275 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 04:00:04 ID:oC7hjXGF.net: 右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが････

　G1 = a,　G2 = √(ab),　G3 =（abc)^(1/3), ････とおく。
n=2
　(a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2,
n=3
　(a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3,
n=4
　(a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4,
　　B_1 = (aab)^(1/3)
　　B_2 = (abb)^(1/3),
　　B_k = {a^(n-1-k)･b^k}^(1/(n-1))　
　　C = (bbc)^(1/3),
n=5
　(a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
　 B_1 = (aaab)^(1/4),
　　B_2 = √(ab) = G2,
　　B_3 = (abbb)^(1/4),
　　C ' = (ab^4･c)^(1/6),
　　C " = √(bc),
　　D ' = (cccd)^(1/4),
276 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 16:15:48 ID:oC7hjXGF.net: まづ AM-GM で右辺を
　(x1 + x2 + ････ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
　　　　　(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
　　　　= 0　　(otherwise)
チト面倒でござるが････
277 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 20:39:28.33 ID:oC7hjXGF.net: 　(x_1+x_2+････+x_k)/k ≧ (1/ｎ)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。

対称性
　e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
　Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k　　(1≦i≦k)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (k<i≦n)
　Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j　　(1≦i≦j)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (j<i≦n)
から出るか。
278 ：１３２人目の素数さん：2019/12/02(月) 19:46:04 ID:a5zqFxLP.net: >>274
(略証)
AM-GM より
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
　≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
　= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) 　　　　(←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
　(x_1+x_2+････ +x_k)/k
　≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)　(←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)
279 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 08:05:57.48 ID:tkRoCzDX.net: 最後は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(１/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)
280 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 09:41:52 ID:tkRoCzDX.net: e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},

のように組合せを使って表わすのが貞三流でござるか？　(山梨大)
281 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 01:06:46.33 ID:+ttUgWiw.net: >>273

〔例題４'〕
　x_1≧1, x_2≧1,　････, x_n ≧1　のとき
　A - G ≧ G/H - 1,
ここに
　A = (x_1+x_2+････+x_n)/n,
　G = (x1･x2････x_n)^(1/n),
　H = n/(1/x_1+1/x_2+ ･･･ +1/x_n),

(略証)
G = (x_1･x_2････x_n)^(1/n)　を固定して考える。
F(ｘ) = (左辺) - (右辺)
　　　= (x_1+x_2+････+x_n)/n - G － (1/n)(1/x_1+1/x_2+････+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ････, x_n) = (G, G, ････, G) ならば F(ｘ) = 0.
そうでないとき
　x_i > G > x_j ≧ 1,
となるｉ≠j がある。 (x_i･x_j > G･1)
それらを
　ｘ_i’= G,　x_j’=x_i･x_j/G,
に変更すると
　x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = －(x_i -G)(G -x_j)/(n･G),
　1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n･x_i･x_j),
よって
　F(ｘ’) － F(ｘ) = －{(x_i -G)(G -x_j)/(n･G)} {1 - G/(x_i･x_j)} < 0,
すなわち F(ｘ) は減少する。

上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,････,G) となり、F=0 に至る。　(終)
282 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 02:40:54.44 ID:+ttUgWiw.net: 〔系〕
　x_1≦1, x_2≦1,　････, x_n≦1　のとき
　A - G ≦ G/H - 1,

(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
　A = 1/H’　G = 1/G’　H = 1/A’
283 ：１３２人目の素数さん：2019/12/09(月) 04:36:54.15 ID:3RsZZfph.net: >>274
　nについての帰納法による。
　A_k = (x_1+x_2+････+x_k)/k,
　G_k = (x_1･x_2････x_k)^(1/k),
とおく。

n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
　(A_1･A_2････A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+････+G_n)/n
　　= (g_1+g_2+･････+g_{n+1})/(n+1),
ここに
g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n
　　≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n)　　(AM-GM)
　　= {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n),
とおいた。また
　A_{n+1} = (x_1+x_2+････+x_{n+1})/(n+1),

ここでコーシーを使う。
　(g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1),
より
　(A_1･A_2･････A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+････+G_{n+1})/(n+1)
n+1 についても成り立つ。
284 ：１３２人目の素数さん：2019/12/15(日) 01:02:39.88 ID:Nfo6ujPm.net: 0<x<2n で f "(x) > 0 のとき、
　f(x) は下に凸で
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)

[分かスレ４５６．720-722]
285 ：１３２人目の素数さん：2019/12/15(日) 20:33:15.25 ID:9/kB6Zt6r: >>284
反例になるfをいくらでも作れる
例えば
f(0)=f(2)=-1
0<x<2のとき f(x)=x^2
286 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:19:03.72 ID:/04vhOiY.net: 凸不等式より
　{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1)　　　････ (1)
また　0<k<n に対して
　{(n-k)f(0) + k･f(2n)} /n > f(2k),
　{k・f(0) + (n-k)f(2n)} /n > f(2n-2k),
辺々たすと
　f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k)　　　････ (2)
これらにより
　(左辺) - (右辺)
　> nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1){f(0)+f(2n)}/2 - (n+1)Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (n-1){f(0) + f(2n)}/2 - Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
　> 0,
287 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:43:09.39 ID:/04vhOiY.net: 〔問題132〕
　A = (x_1+x_2+･････+x_n)/n,
　G = (x_1･x_2･････x_n)^(1/n),
　L = (A_1･A_2･････A_n)^(1/n)　　ただし A_k = (x_1+x_2+･････+x_k)/k,
とおく。
　(n+1)(G/A)^{1/(n+1)} ≦ n(L/A)^(1/n) + G/L ≦ n+1,

　IMO-2004 short list A.7
　Inequalitybot [132]　　☆12
288 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:58:04.88 ID:/04vhOiY.net: (左)　GM-AM で
(右)も GM-AM で
　(L/A)^(1/n)
　= {1^((n+1)/2n)} Π[k=2,n] {A_(k-1)/A_k}^((k-1)/nn)
　≦ (n+1)/2n + (1/nn)Σ[k=1,n] (k-1)･A_(k-1)/A_k,
また
　G/L = (Π[k=1,n]　x_k/A_k)^(1/n) ≦ (1/n)Σ[k=1,n] x_k/A_k,
したがって
　(中辺) ≦ (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] {(k-1)A_(k-1) + x_k}/A_k
　　= (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] k
　　= (n+1)/2 + (n+1)/2
　　= n+1,
289 ：１３２人目の素数さん：2019/12/18(水) 01:08:41.74 ID:jR0GFFw7.net: a,b,c>0, ab+bc+ca≧1,
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≧ (√3)/(abc).
290 ：１３２人目の素数さん：2019/12/19(木) 13:28:01.97 ID:8YaA1ba7.net: ab+bc+ca = t　とする。

1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
　= (a+b+c)/(abc)
　≧ √(3t) /(abc),

∵　xx+yy+zz ≧ (1/3)(x+y+z)^2 ≧ xy+yz+zx,
291 ：１３２人目の素数さん：2019/12/19(木) 19:04:36.47 ID:SuNljxVK.net: >>289-290
出典を貼るのを忘れていた。

香港科技大学 Mathematical Excalibur Vol.22-4
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/47722/1/math-02a-a114.pdf
292 ：１３２人目の素数さん：2019/12/20(金) 02:20:08 ID:yiLw1Jz8.net: 2015
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)
293 ：１３２人目の素数さん：2019/12/27(金) 20:33:34.64 ID:E3VxHfur.net: ウホッ、懐かしい不等式
https://www.toshin.com/concours/
294 ：１３２人目の素数さん：2019/12/27(金) 21:05:30.72 ID:SKZ2Atg2.net: >>293
https://www.toshin.com/concours/
締切：2020年1月6日※締切日必着
https://i.imgur.com/YiUSwUh.jpg
295 ：１３２人目の素数さん：2019/12/29(日) 03:42:26.63 ID:ktrDgrgt.net: 問題
　任意の相異なる正の数 a,b に対し、不等式
　　√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2　･･･… (*)
が成立することが知られている。
　この不等式を相異なる3つの正の数 a,b,c に関する不等式に拡張したものを一つ見つけて、それを証明せよ。ただし、ここでの拡張した不等式とは
　(abc)^(1/3) < F(a,b,c) < (a+b+c)/3
　　( F(a,b,c) は log(a), log(b), log(c) を含む a,b,c の対称式 )
であるとする。
　なお、F(a,b,c)について上記以外の仮定は定めないが、できる限り(*)から自明に得られるものでない方が望ましいものとする。
(ただし、(*)からの変形が不可というわけではない。今回はかなり自由に考えてほしい。)

　東進数学コンクール
296 ：１３２人目の素数さん：2019/12/30(月) 09:31:01.33 ID:BSp8AaON.net: (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(a+b+c+k-2)^2
k ≧ (1+sqrt(5))/2.
297 ：１３２人目の素数さん：2019/12/30(月) 23:36:43.27 ID:q0w0AswJ.net: https://i.imgur.com/COCl2ly.jpg
298 ：１３２人目の素数さん：2019/12/31(火) 02:29:47.93 ID:CIMjjWYH.net: >>297
f(x) を [0,1] 上で非負の単調減少関数とするとき、
∫[0,1] x f(x)^2 dx /∫[0,1] x f(x) dx ≦ ∫[0,1] f(x)^2 dx /∫[0,1] f(x) dx,
を示せ。

(略証)
題意より
　0 ≦ f(x),
　0 ≦ f(y),
　0 ≧ (x-y) {f(x)-f(y)},
よって
　0 ≧ ∬(x-y){f(x)-f(y)}f(x)f(y) dxdy
　　= ∬{xf(x)^2 f(y) + yf(y)^2 f(x) - xf(x)f(y)^2 - yf(y)f(x)^2} dxdy
　　= 2∫xf(x)^2 dx･∫f(y) dy - 2∫f(x)^2 dx･∫yf(y) dy

∴　∫xf(x)^2 dx /∫yf(y)dy ≦ ∫f(x)^2 dx /∫f(y)dy,
299 ：１３２人目の素数さん：2020/01/01(水) 03:51:45.32 ID:F81QwpXb.net: 　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　新年あけまして
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
>>23
>>27
300 ：１３２人目の素数さん：2020/01/01(水) 13:16:53.96 ID:vZvCSbvi.net: exradii って傍接円の半径であってるかな？
共立の赤い辞書にも載ってないし、web検索でもhitしないけど…
301 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 02:47:36.83 ID:6pYHqa71.net: >>299 が解けたら教えよう。

正の数a,b,c･･･は今年は不要だった...orz
302 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 15:24:16.70 ID:Xx1MBzdP.net: 去年の問題(>>23)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情！
303 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 15:46:35.83 ID:Xx1MBzdP.net: 今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式
304 ：１３２人目の素数さん：2020/01/04(土) 21:55:59.92 ID:2AvOoxci.net: >>185
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな
305 ：１３２人目の素数さん：2020/01/04(土) 22:10:26.67 ID:1HNb63rL.net: >>304
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する

何を連想するん？
306 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 16:43:59.29 ID:M9rUjvu0.net: 正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.

M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)

M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>28M^3
=(RHS)
307 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 17:02:53.16 ID:M9rUjvu0.net: >>183
Kantorovich
>>230 >>250
Muirhead
>>284
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>305
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
ttps://proofwiki.org/wiki/Reverse_Triangle_Inequality
308 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 18:28:42.28 ID:PT3ra9AO.net: >>303
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… （錯乱）
309 ：１３２人目の素数さん：2020/01/06(月) 03:47:32.05 ID:iay27LR5.net: >>306
正解です!!

　(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
　= (y^1009 -1)(y-1)
　≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
　y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
　(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,

なお、最良係数は
　y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
　等号は y = 0.994531163783 のとき

>>300
　傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。
310 ：１３２人目の素数さん：2020/01/06(月) 19:06:36.22 ID:iay27LR5.net: >>306
(a+b+c)/3 = M　とおく。

(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
　> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
　≧ 27(M^1009 + 1)
　> 27max{M^1009, 1}
　≧ 27(max{M, 1})^3
　= max{3M, 3}^3
　= max{a+b+c, 3}^3.
311 ：１３２人目の素数さん：2020/01/07(火) 04:35:19.28 ID:dGX/W9Ay.net: Rheinboldt's inequality (*´Д｀) ﾊｧﾊｧ…
312 ：１３２人目の素数さん：2020/01/14(火) 21:02:29 ID:QnAOHIy5.net: 三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).
313 ：１３２人目の素数さん：2020/01/17(金) 00:16:00 ID:1crWIv5/.net: >>312
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.

a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.
314 ：１３２人目の素数さん：2020/01/17(金) 16:03:09 ID:8XEo1F0J.net: >>296
　k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034･･･より
　kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
　(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
　+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
　+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う～む、場合分けでござるか････

k=2 の場合は
　a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.

　APMO-2004　A.5,
　文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
　Inequalitybot [20]
　[前スレ. 070[2]、084]　　[第８章.456、469]
315 ：１３２人目の素数さん：2020/01/20(月) 13:00:34 ID:RONGOZUM.net: >>314
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.

>>296 のステートメントが適当すぎる.
316 ：１３２人目の素数さん：2020/01/21(火) 00:47:02 ID:NlSt5Qji.net: 〔問題〕
実数a,b,cが
　a < b < c,　a+b+c = 6,　ab+bc+ca = 9
を満たしている。
　0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
を証明せよ。
　高校数学問題bot (@7k_x)

- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
らしい。
317 ：１３２人目の素数さん：2020/01/31(金) 12:39:42.63 ID:fETwRHBA.net: 2016年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/vkhfrlu.png
318 ：１３２人目の素数さん：2020/01/31(金) 15:05:57 ID:fETwRHBA.net: もう一つ
2017年度春合宿の問題

https://i.imgur.com/NQhkkhd.png
https://i.imgur.com/8eDQygH.png
319 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 04:59:30.88 ID:7zqqjjoe.net: >>317
第７問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,････,a_n に対して
　1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ････ + 1/(a_0+a_1+････+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ････ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。

>>318
第８問
正の整数からなる数列a1,a2,････があり、任意の正の整数nについて
　a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ････ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。

第１０問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1　(k=1,2,････,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,････,a_n, b_1,b_2,････,b_n に対して、
実数 x_1,x2,････,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
　|x_k| = 1　(k=1,2,････,n),
　|Σ[k=1,n] x_k･a_k | + |Σ[k=1,n] x_k･b_k | ≦ 1.
320 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 07:31:35.29 ID:7zqqjjoe.net: 第7問
　k = 1/3
　(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)

第10問
　ｖ_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
　Σ[k=1,n] (±ｖ_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)
321 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 13:53:11 ID:0aCfjAcc.net: 第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる
322 ：１３２人目の素数さん：2020/02/05(水) 07:10:07 ID:AQM1KB8L.net: >>317 >>320
第７問
　S_j = a_0 + a_1 + ････ + a_j,
とおくと HM-AM で
　4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
　4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1～n の和をとる。
　3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
　Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,
323 ：１３２人目の素数さん：2020/02/09(日) 20:15:04 ID:drHYoHKW.net: 私的メモ、Hadamardの不等式
324 ：１３２人目の素数さん：2020/02/11(火) 23:26:49 ID:Q2MCulxJ.net: 関数不等式が出ました

https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
325 ：１３２人目の素数さん：2020/02/11(火) 23:32:00 ID:l6EiwKBu.net: >>324
ウホッ！いい関数不等式
326 ：１３２人目の素数さん：2020/02/12(水) 07:39:21.58 ID:uWBQqkSN.net: 　2020年日本数学オリンピック本選
　　　　　　(C)(公財) 数学オリンピック財団

　　　　　　問　　　題^1

2020年2月11日　試験時間4時間 5題

1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。

　(m,n) = (1,3)　(61,11)　？

2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
　直線BEと直線CDの交点をPとする。
　三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
　ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。

3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数ｆであって、任意の正の整数m,nに対して
　　　m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
　を満たすものをすべて求めよ。
327 ：１３２人目の素数さん：2020/02/12(水) 08:06:10 ID:uWBQqkSN.net: 4.　nを2以上の整数とする。
　円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
　A君とB君が以下の操作をn回行なう。

　　まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
　　次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。

　A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。

5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ････をすべて求めよ。

　　任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。

　ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上
328 ：１３２人目の素数さん：2020/02/13(木) 08:18:39 ID:8bKSb4oB.net: 〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k　(c_k ≧0)　のとき、次は成り立つか？
(1)　{u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2)　log{f(e^x)} は下に凸
(3)　f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.

分かスレ４５８.054-063
329 ：１３２人目の素数さん：2020/02/16(日) 01:35:24.83 ID:N9QZtxQk.net: >>316
　f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
　(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
　f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc，x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
　-abc < 0 < 4-abc
∴　0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)

http://suseum.jp/gq/question/3132
330 ：１３２人目の素数さん：2020/02/19(水) 13:19:05 ID:WOZU/4dA.net: n>1 に対して
　ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ････
とおく。このとき
　ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か？
331 ：１３２人目の素数さん：2020/02/20(木) 08:57:27 ID:ZWVgPXIY.net: ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
　> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
　= Σ[j=0,∞] 1/N^j
　= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!･N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,
332 ：１３２人目の素数さん：2020/02/25(火) 17:15:37 ID:Bxdn7zCJ.net: 2020年度東大理系第一問

https://i.imgur.com/WoxEvwb.jpg
333 ：１３２人目の素数さん：2020/02/27(木) 03:16:30 ID:6SmBw6gg.net: >>332
　　　第　１　問

a,b,c,p を実数とする。不等式
　　ax^2 + bx + c > 0
　　bx^2 + cx + a > 0
　　cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。

(1)　a,b,c はすべて0以上であることを示せ。

(2)　a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3)　p=0 であることを示せ。
334 ：１３２人目の素数さん：2020/02/27(木) 04:06:30.88 ID:6SmBw6gg.net: >>333
(1) 背理法による。
　a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
　f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
　これは題意の「x>p　⇒　3式すべてを満たす」に反する。
　b,cについても同様。

(2) 背理法による。
　a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
　|x| > 2|b/a| + √|2c/a|　⇒　f(x) >0 を満たす。
　-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
　a,b,c>0 と仮定すると、
　-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
　これは題意の「3式すべてを満たす　⇒　x>p」に反する。
　∴ abc=0.
335 ：１３２人目の素数さん：2020/02/28(金) 16:07:45 ID:b8YXVJTs.net: >>333
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
　(ax+b)x >0　････　x>0 または ax+b<0
　bxx+a > 0　････　すべての実数
　ax+b > 0　････　(x>0を含む)
　このすべてを満たす実数xは x>0.

a=b=c=0 のとき
　3式を満たす実数xはない。(不適)

以上により p=0.
336 ：１３２人目の素数さん：2020/02/28(金) 16:57:20 ID:b8YXVJTs.net: ・分野・テーマ
　２次関数、集合と命題、極限

・設問内容
係数に対称性のある３つの２次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。

・解答のポイント
結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。
(1)　グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。
　　十分大きなxについて考えると良い。
(2)　(1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。
(3)　前問が示せていなくても、取り組みたい。
　　係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で３つの不等式を解くことで解決する。

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/
337 ：１３２人目の素数さん：2020/03/09(月) 12:24:18.22 ID:3u+TSzyD.net: 難易度10(満点)らしい

https://i.imgur.com/BoWlWmP.jpg
338 ：１３２人目の素数さん：2020/03/09(月) 23:24:26 ID:V6IMEB5h.net: 〔問題332〕
0以上1以下の実数p,q,r,sにおいて、
　√(p^2 + r^2) + √{p^2 + (r-1)^2} + √{(1-q)^2 + s^2} + √{(1-q)^2+(1-s)^2} + √{(p-q)^2 + (r-s)^2}
の最小値を求めよ。

-------------------------------------------------------------

O(0,0)　A(0,1)　B(1,1)　C(1,0)　P(p,r)　Q(q,s)
とおくと与式は
　OP + AP + CQ + BQ + PQ

P は △OCQ のフェルマー点
Q は △ABP のフェルマー点
339 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 09:32:03.67 ID:Ct1vj+NA.net: ∠AQB = 120ﾟより点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

∴ P,Q は y=1/2 上に有る。r=s=1/2,
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.
340 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 09:37:26.87 ID:Ct1vj+NA.net: 修正･･･
∠OPC = 120ﾟより　点Pは円周
　{x + 1/(2√3)}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠OPC の二等分線は (-1/√3, 1/2) を通る。

∠AQB = 120ﾟより点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

上記のことから、点P, Q は直線 y=1/2 上に有る。
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.
341 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 10:03:31.24 ID:Ct1vj+NA.net: また間違えた････

∴ ∠OPC の二等分線は (-(√3)/2, 1/2) を通る。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+(√3)/2, 1/2) を通る。

イナに改名しようかな････
342 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 15:08:40 ID:bNXGbbJ+.net: 今年の入試問題

https://i.imgur.com/gwo1n7C.jpg
343 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 16:13:22 ID:HFBlyies.net: >>342
問１を判別式を使って答えようとすると、問２を先に解答しなくちゃならなく
あれっ？ってなって、それが問３のヒントになるのか
うまく作ってあるね
344 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 19:09:48 ID:l20VjRfO.net: 2020年　大阪市立大
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　a,b,c, x,y,z を実数とする。次の問いに答えよ。
問1　a^2 - b^2 > 0 のとき、tについての2次方程式
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0
　は実数解をもつことを示せ。
問2　a^2 - b^2 > 0 のとき、
　(ax-by)^2 ≧ (a^2 -b^2)(x^2 -y^2)
　が成り立つことを示せ。
問3　a^2 - b^2 - c^2 > 0 のとき、
　(ax-by-cz)^2 ≧ (a^2 -b^2 -c^2)(x^2 -y^2 -z^2)
　が成り立つことを示せ。
345 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 23:26:59 ID:l20VjRfO.net: 問１
　f(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2
　　= (aa-bb)tt + 2(ax-by)t + (xx-yy)
とおく。
aa-bb>0 だから下に凸な放物線。　　
|t| がじゅうぶん大きいとき f(t)>0,
一方、|a|>|b|≧0,　a≠0
　f(-x/a) = - {b(-x/a)+y}^2 ≦ 0,
中間値の定理より f(t)=0 は実数解をもつ。
　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b)

問２
aa-bb > 0 のとき、
　(判別式) = (ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) ≧ 0,
(別解)　ラグランジュの恒等式から
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0

問３
　g(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2 - (ct+z)^2
　　= (aa-bb-cc)tt -2(ax-by-cz)t + (xx-yy-zz)
とおく。
aa-bb-cc > 0 だから下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき g(t) >0,
|a|> |b|,|c| ≧0　より　a≠0,
　g(-x/a) = - {(-b/a)t +y}^2 - {(-c/a)t +z}^2 ≦ 0,
中間値の定理より g(t)=0 は実数解をもつ。
　(判別式) = (ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz) ≧ 0.
346 ：１３２人目の素数さん：2020/03/14(土) 10:34:57 ID:iH59lf4s.net: このスレの解答は････

問１
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = {(a+b)t + (x+y)}{(a-b)t + (x-y)} = 0,
ところで (a+b)(a-b) = aa-bb ≠ 0,
∴　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b),

問２
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0　　　(*)
　この場合は aa-bb>0 は不要

問３
　xで平方完成する。
　(ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz)
　= {(bb+cc)xx -2ax(by+cz) + aa(yy+zz)} - (bz-cy)^2　　(*)
　= {[(bb+cc)x -a(by+cz)]^2 + (aa-bb-cc)(bz-cy)^2}/(bb+cc)
　≧ 0,
　等号成立は x/a = y/b = z/c のとき。
　b=c=0 のときは明らか。

*) ラグランジュの恒等式
　(yy+zz) = {(by+cz)^2 + (bz-by)^2}/(bb+cc)　を使った。
347 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 13:55:03 ID:bNeBdUF1.net: 〔問題669〕
x>0, y>0 のとき
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,

(略証)
log は単調増加だから
　(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
　(x/y)^(x-y) ≧ 1,
　(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
　= (x^x - y^y)^2
　≧ 0,

[分かスレ４５８．669]
348 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 16:52:52.52 ID:bNeBdUF1.net: 〔補題〕
x>0, y>0 とする。
(1)　x^x - x^y - y^x + y^y ≧ 0,
(2)　x^(2x) - x^(2y) - y^(2x) + y^(2y) ≧ 0,
(3)　0<a≦e のとき、
　x^(ax) - x^(ay) - y^(ax) + y^(ay) ≧ 0,
等号成立は x=y のとき。
349 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:37:14 ID:n1EjKc3E.net: 次のように関数f,gを定義する
f(x)=1/x+1/(x-2)+…+1/(x-2018)
g(x)=1/(x-1)+1/(x-3)+…+1/(x-2017)
このとき0<x<2018の範囲に存在する任意の実数xに対して、|f(x)-g(x)|>2が成立することを示せ

2018年度APMO第2問
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1662907p10561170
350 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:42:11 ID:n1EjKc3E.net: >>349
xが整数でない実数という条件が抜けていた
351 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:46:00 ID:n1EjKc3E.net: もうひとつ2012年度APMOから

https://i.imgur.com/ZR1GXZ3.png
352 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 05:32:50.08 ID:CmDsCyUw.net: >>351

〔問題５〕
nを2以上の整数とする。
実数 a_1, a_2, ････, a_n が (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n を満たすなら
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
が成り立つことを示せ。

Problem 5.
Let n be an integer greater than or equal to 2.
Prove that if the real numbers a_1, a_2, ････, a_n satisfy (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n, then
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
must hold.

APMO-2012
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/　→　2012
Inequalitybot [87]　☆10
353 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 06:34:23.26 ID:CmDsCyUw.net: >>352
HM-AM より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
　Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
　= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
　= Σ[i=1,n] 1
　= n,
両辺に n(n-1) をたすと
　Σ[1≦i≠j≦n] n/(n－a_i･a_j) ≦ nn,
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n－a_i･a_j) ≦ n/2,
354 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 12:40:52 ID:Rjx45xEY.net: putnumから不等式問題を拾ってきた

https://i.imgur.com/12qyB8u.png

https://i.imgur.com/apEwMZf.png
355 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 15:21:04.67 ID:CmDsCyUw.net: (上)
f(x)は、区間[0,1]で定義された連続な実数値関数とする。次を示せ。
　∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.

Let f(x) be a continuous real-valued function defined on the interval [0,1].
Show that
　∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.
356 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 15:43:05.43 ID:CmDsCyUw.net: (下)
a_1, a_2, ････は実数とする。
すべてのnについて
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
となる定数Aがあるとする。
すべてのnについて
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
となる定数B >0 があることを示せ。

Let a_1, a_2, ････, be real numbers.
Suppose there is a constant A such that for all n,
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
Prove there is a constant B > 0 such that for all n,
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
357 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 17:14:44 ID:CmDsCyUw.net: >>356
　∫[-∞,∞] 1/{1+(x-a)^2}･1/{1+(x-b)^2} dx = 2π/{4+(a-b)^2},
358 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 17:25:15 ID:CmDsCyUw.net: >>353
　2xy ≦ (1/2)(x+y)^2 ≦ xx+yy,　　(GM-AM)
より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{2(n-xy)}
　≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),　　(←コーシー)
x=a_i, y=a_j とおき、1≦i<j≦n でたす。
359 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 18:07:30 ID:CmDsCyUw.net: >>356
>>357
ついでに･･･
∫ 1/{1+(x-a)^2}*1/{1+(x-b)^2} dx
　= {(1/(a-b))log((1+(x-b)^2)/(1+(x-a)^2)) + arctan(x-a) + arctan(x-b)}/{4+(a-b)^2},

ローレンツ形関数の畳み込み･･･
360 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 19:23:46 ID:CmDsCyUw.net: >>349
>>350
・2n-1<x<2n のとき
　f(x+2) - f(x) = 1/(x+2) + 1/(2018-x),
　g(x+2) - g(x) = 1/(x+1) + 1/(2017-x),
∴ g(x+2) - f(x+2) > g(x) - f(x) > ････
∴ 1<x<2 について示せば十分。
　g(x) - f(x)
　= - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x) + Σ[i=2,1008] {1/(2i-x) - 1/(2i+1-x)} + 1/(2018-x)
　> - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x)
　= 1/{(2-x)(x-1)} - 3/{x(3-x)}
　> 4 - 3/2
　= 5/2.
∵　1/4 - (2-x)(x-1) = (3/2 -x)^2 ≧ 0,
　　x(3-x) - 2 = (2-x)(x-1) > 0,

・2n<x<2n+1 のとき
　f(x-1009), g(x-1009) は奇関数。
　f(x) = - f(2018-x),
　g(x) = - g(2018-x),
ところで、2n<x<2n+1 ゆえ
　2(1009-n) -1 < 2018-x < 2(1009-n),
∴上記により
　f(x) - g(x) = - f(2018-x) + g(2018-x) > 5/2,

APMO-2018
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/　→　2018
361 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 20:11:27 ID:Rjx45xEY.net: 良さげな不等式問題を拾ってきたので貼る

https://i.imgur.com/lpbo2qf.png

https://i.imgur.com/2Qhn5ql.png
362 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 05:54:49 ID:LbXnfiiv.net: (上)
a,b,c は負でない実数とする。次を示せ。
　a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.

Let a,b,c be non-negative real numbers.
Prove that
　a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.

Wenyu Cao
USA.ELMO-2009 day1-Q3
Inequalitybot [111]　☆5
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012) の p.55, 例題2.2.12(3)
　S_3 + 2S_{2,1} ≧ 3S_{1,2}
363 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:09:44 ID:LbXnfiiv.net: (下)
a,b,c は正の実数で
　a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7)
を満たすとする。
　 (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1
を証明せよ。

Let a,b,c be positive reals satisfying
　a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7).
Prove that (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1.
　(Evan Chen)
364 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:25:25 ID:LbXnfiiv.net: >>362
　min{a,b,c} = m,
　{a,b,c} = {m,m+x,m+y} とする。(x≧0, y≧0)
　(与式) = 2m(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ 0.
365 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:36:15 ID:LbXnfiiv.net: >>357
>>359
対角項 (a=bの場合) は
∫[-∞,∞] 1/(1+(x-a)^2)^2 dx = ∫[-∞,∞] 1/(1+xx)^2 dx = π/2,

∵∫ 1/(1+xx)^2 dx
　= (1/2)∫ {(1-xx)/(1+xx)^2 + 1/(1+xx)} dx
　= x/(2(1+xx)) + (1/2)arctan(x),
366 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 13:09:23 ID:mXsnD9nM.net: >>348 (1)

(x-1)log(x) ≧ 0　より
　x^x - x ≧ 0,　　y^y - y ≧ 0,　　････ (A)

・x≧1 のとき
　x^x -x^y -y^x +y^y
　= {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) + {(x^x)(y^y) - (x^y)(y^x)}/(x^y)
　≧ {x^(x-y) -1}(x^y - y^y)　　　(>>347 より)
　≧ 0.

・(x-1)(y-1)≦0 のとき
　x^y ≦ x,　　y^x ≦ y,
これと (A) から出る。

・0 < y ≦ x ≦1 のとき
　d = (x-y)/2 ≧ 0, とおく。
　x^x -x^y -y^x +y^y
　= - x^((x+y)/2) {x^(-d) - x^d} + y^((x+y)/2) {y^(-d) - y^d},
(sinhθ)/θ は |θ| について単調増加ゆえ
　{y^(-d) - y^d}/(-log(y)) ≧ {x^(-d) - x^d}/(-log(x)) ≧ 0,
また
　y^((x+y)/2)(-log(y)) ≧ x^((x+y)/2)(-log(x)) ≧ 0,
辺々掛ける。
367 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 17:26:22 ID:mXsnD9nM.net: >>355
区間[0,1] を
　P = { x∈[0,1] | f(x)≧0 }
　N = { x∈[0,1] | f(x)<0 }
に分ける。
　I_P = ∫_P |f(x)| dx,
　I_N = ∫_N |f(x)| dx,
　p = ∫_P dx,
　n = ∫_N dx,
とすると
　p + n = 1,
で
(左辺) = ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫PN ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
　+ ∫NP ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
　= ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
　+ |∫PN (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
　+ |∫NP (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
　= 2p･I_P + 2n･I_N + 2|n･I_P - p･I_N|
　≧ 2p･I_P + 2n･I_N + (n-p)(I_P - I_N)　　(*)
　= (p+n)(I_P + I_N)
　= I_P + I_N
　= ∫[0,1] |f(x)| dx,

(*)
(n-p)(I_P-I_N) ≦ 0 のときは明らか。
n≧p, I_P≧I_N のとき
　n･I_P - p･I_N = (n-p)I_N + n(I_P-I_N) ≧ (n-p)(I_P-I_N),
p≧n, I_N≧I_P のとき
　p･I_N - n･I_P = (p-n)I_P + p(I_N-I_P) ≧ (n-p)(I_P-I_N).
368 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 19:08:25 ID:TLP5gz64.net: ルーマニア数学オリンピックから不等式の問題を色々拾ってきたので貼る

https://i.imgur.com/Ff1ilAe.png

https://i.imgur.com/g0L0rVU.png

https://i.imgur.com/tctI7rS.png

https://i.imgur.com/ZnoplcH.png
369 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 20:17:08 ID:TLP5gz64.net: そしてこれはルーマニア数オリ代表選抜の問題から

https://i.imgur.com/a7w31xM.png

https://i.imgur.com/E7grEPf.png

https://i.imgur.com/INwFbml.png
370 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 22:27:58 ID:J+ez4IFc.net: (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ
371 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 00:31:37 ID:lC3HBZ24.net: >>368

[1]
すべての自然数nについて
　sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),

　sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),　∀n∈N

[2]
自然数 n≧2 と n個の正の実数 a_1, a_2, ････, a_n が
次の不等式を満たすとする。
　Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1},　　∀i∈{1,2,････,n-1}
このとき
　Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
を証明せよ。

Let be a natural number n≧2 and n positive real numbers
a_1, a_2, ････, a_n that satisfy the inequalities
　Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1},　　∀i∈{1,2,････,n-1}
Prove that
　Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.

[3]
1/2 ≦ a,b,c ≦ 1 とする。
　2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
を証明せよ。

Let a,b,c ∈ [1/2,1].
Prove that
　2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
　(selected by Mircea Lascu)

[4]
n∈Nﾟとし、
ｖ1, ｖ2, ････, ｖn は平面内ヴェクトルで、長さは１以下とする。
このとき
　|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
となるような ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} が存在することを示せ。

Let n∈Nﾟ and ｖ1, ｖ2, ････, ｖn be vectors in the plane
　with lengths less than or equal to 1.
Prove that there exists ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} such that
　|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
372 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 04:13:12 ID:lC3HBZ24.net: [1]
〔ジョルダンの不等式〕
sinθは上に凸だから
　sin(aθ) ≧ a･sinθ,　　(0≦a≦1、0≦θ≦1.43π)
　文献[3] 大関(1987)、p.38 例題2

[3]
(左)
s = a+b+c　とおくと
(与式) = (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b)
　= (1+a+b+c){1/(1+c) + 1/(1+a) + 1/(1+b)} - 3
　≧ (1+s)･9/(3+s) - 3　　(AM-HM)
　= 6 - 18/(3+s)
　≧ 6 - 4　　　　(s≧3/2)
　= 2,
(右)
(与式) = {(a+b)(1+a)(1+b) + (b+c)(1+b)(1+c) + (c+a)(1+c)(1+a)}／{(1+c)(1+a)(1+b)}
　= 3 - {3(1+c)(1+a)(1+b) - (a+b)(1+a)(1+b) - (b+c)(1+b)(1+c) - (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
　= 3 - {(1-a)[4a+(b-c)^2] +(1-b)[4b+(c-a)^2] +(1-c)[4c+(a-b)^2] +3(1-a)(1-b)(1-c)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
　≦ 3　　(0≦a,b,c≦1)
373 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 16:48:31 ID:lC3HBZ24.net: >>369

[5]
n≧2 は自然数, a_i,b_i (1≦i≦n) は実数で、
　Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
　Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
のとき
　(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
を証明せよ。

For n∈N, n≧2, a_i,b_i∈R, 1≦i≦n, such that
　Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
　Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
Prove that
　(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.

[6]
a_1, a_2, a_3, a_4 を任意の4角形の辺とし、周長を 2s とする。
　Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
を証明せよ。
等号が成立つのはいつか？

Let a_1, a_2, a_3, a_4 be the sides of an arbitrary quadrilateral
of perimeter 2s.　Prove that
　Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
When does the equality hold ?

[7]
n≧2 を整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を実数とする。
任意の空でない部分集合S ⊂ {1,2,････,n} について
　(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
を証明せよ。

Let n≧2 be an integer and let a_1, a_2, ････, a_n be
real numbers.
Prove that for any non-empty subset S ⊂ {1,2,････,n}
we have
　(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
　(Gabriel Dospinescu)
374 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 01:09:55 ID:a/9U1hEf.net: [5]
n次元空間で考える。
n個のヴェクトル {ａ,ｂ,ｃ, ････ } が規格化直交系をなす、とする。
　ｔ = ａ(ａ･ｔ) + ｂ(ｂ･ｔ) + ｃ(ｃ･ｔ) + ････,
　 (ｔ･ｔ) = (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2 + (ｃ･ｔ)^2 + ････
　　　≧ (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2.
ここでｔ = (1,1,････,1)　とおく。
375 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 04:24:54 ID:a/9U1hEf.net: >>364　を改良

　x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ (K-5/2)|?|,
ここに
　? = (a-b)(b-c)(c-a) = xy(x-y),
　K = √(13/4 + 4√2) = 2.984435331765856875

(略証)
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 - (K-5/2)xy(x-y)
　= x^3 - (K+1/2)x^2･y + (K-1/2)xy^2 + y^3
　= (x+0.2819716800612y)(x-1.8832････y)^2,
　≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 +√(2√2 -1)}/2
　　= 1.8832035059135

x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 + (K+5/2)xy(x-y)
　= x^3 + (K-1/2)x^2･y - (K+1/2)xy^2 + y^3
　= (x+3.546455444685y)(x-0.53101････y)^2
　≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 -√(2√2 -1)}/2
　　= 0.531010056459569
376 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 21:07:57 ID:lmCUfcwV.net: ネットで拾った数オリ代表が作った不等式問題
おそらく海陽中等教育学校の神田秀峰と思われる

https://i.imgur.com/RUbbbS4.png
377 ：１３２人目の素数さん：2020/03/22(日) 07:12:46.54 ID:fYa2zo9P.net: ９．神田
nを1以上の整数とする。
2n個の正の実数 x1,x2,････,xn, y1,y2,････,yn は
　x1 + x2 + ････ + xn = 1,
をみたす。　1以上n以下の任意の整数の組(i,j)に対し
　x1 + ････ + x_{i-1} ≧ y_j　または　2 - x1 - ････ - x_j ≧ y_i
となるとき
　x1･y1 + x2･y2 + ････ + xn･yn ≦ 1
を示せ。
378 ：１３２人目の素数さん：2020/03/26(木) 01:44:21 ID:zUlAmjt2.net: >>306
　x = max{a,b,c}　で場合分けする方法もある････

(i)　0≦x≦1 のとき
　a^2020 - a^2 +4 ≧ a^2018 + 3 > 3,　etc.
∴　(左辺) > 27 ≧ (3xx)^3 ≧ (aa+bb+cc)^3.

(ii)　x>1 のとき
　x^2020 - x^2 +4 > x^26 - x^2 +4 > x^24 +1 +1 +1 > 4 x^6,
∴　(左辺) ≧ 36 x^6 = (4/3)(3xx)^3 ≧ (4/3)(aa+bb+cc)^3.

http://suseum.jp/gq/question/3129　　(クロニャンコさん-改)
379 ：１３２人目の素数さん：2020/03/26(木) 07:13:41.66 ID:IoPO15gu.net: うむ
380 ：１３２人目の素数さん：2020/03/27(金) 05:53:57.81 ID:GzR1OrPK.net: >>329
問2
　c - a > 3　を示せ。
-----------------------------------------------------------------

　f(x) > 4x - abc　(0<x<1)　　⇒　　a < abc/4,
　f(x) < 4x -12 -abc　(3<x<4)　⇒　　c > 3 + abc/4,
もあるが････
381 ：１３２人目の素数さん：2020/04/01(水) 10:30:00 ID:3A39oS9Q.net: >>75
ベルトラン予想（チェビシェフの定理）によらないでも
初等的な論法によって証明できる。　　　(神戸市・公文氏)

数セミ増刊「数学の問題第(3)集」日本評論社 (1988)
●107
382 ：１３２人目の素数さん：2020/04/01(水) 10:41:11 ID:QzKcUG7e.net: >>381
その本には、初等的な論法による証明は紹介されているのでせうか？
383 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:14:12 ID:mgebV0rK.net: ●107
(3)　自然数nは、n^(1/3) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。

(4)　自然数nは、n^(1/4) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。

(5)　自然数nは、n^(1/5) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
384 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:33:15 ID:mgebV0rK.net: (3)　n =　420 =　GCD{1,･･･,7}　　[n^(1/3)] = 7.4888724

(4)　n = 27720 = GCD{1,･･･,12}　　[n^(1/4)] = 12.903226

(5)　n = 720720 = GCD{1,･･･,16} 　　[n^(1/5)] = 14.844081
385 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:36:13 ID:mgebV0rK.net: まちがえた...orz

(3)　n =　420 =　LCM{1,･･･,7}　　n^(1/3) = 7.4888724

(4)　n = 27720 = LCM{1,･･･,12}　　n^(1/4) = 12.903226

(5)　n = 720720 = LCM{1,･･･,16} 　　n^(1/5) = 14.844081
386 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:23:03 ID:pDfrzDrp.net: (1)　x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0,
(2)　x^4 + x^3 - 2x + 6/7 > 0,

高校数学の質問スレPart404．051～068
387 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:39:19 ID:7I0d5fbg.net: >>386
(1)は見た瞬間にグラフの概形が頭に描かれたわ。
訓練された不等式ヲタとは、そういうものだ。
388 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:46:58 ID:pDfrzDrp.net: (1) の方は
　(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 +x -1)^2,
だが・・・・
389 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:57:16 ID:7I0d5fbg.net: >>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
390 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 13:59:31 ID:7I0d5fbg.net: x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
391 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:51:37 ID:pDfrzDrp.net: >>390
　f(x) = log{Γ(x)} - x･log(x),
　f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
　f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに　ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x)　････ digamma関数。

∴　f(x) は下に凸。
392 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:57:56 ID:pDfrzDrp.net: >>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺）=（xx +x/2 -c)^2 +（2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。

左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→　x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。

(左辺）=（xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
　　=｛(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
　　≧ 0.002010
393 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 03:26:14 ID:IAsBrfBV.net: >>390

・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion"，Hamburg （1931)

･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　　第5章　§68. ガンマ函数

・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
　　　p.126　2200円　上野健爾 [訳･解説]
　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
394 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 12:07:36.86 ID:HQzXTvXu.net: 三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
395 ：１３２人目の素数さん：2020/04/11(土) 14:55:32 ID:jVXfLHUH.net: 　BC = a,　CA = b,　AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
　AD = BC = a
となる点Dをとると
　CD = √(aa+bb-2ab･sinC) = √(aa+bb-4S),
　BD = √(aa+cc-2ac･sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする？
396 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 20:45:04 ID:/wfIVimW.net: ツイッターのとあるユーザーから出題

https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
397 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 22:43:06 ID:Mmg17QlQ.net: >>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
398 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:23:49.74 ID:Cq2k8yf8.net: >>396
　Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1.　x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
　　7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,

2.　x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
　(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,

3.　x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
　1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),

4.　x,y,z≧0 のとき
　3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
399 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:49:57 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
１．
　s = x+y+z
　t = xy+yz+zx
　u = xyz
とおく。
左)
　u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
　= (2s^3 -7st+9u)/9
　≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
　等号成立は x=y=z=1/3,
右)
　(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
　= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
　= (x+y)(x+z)(z+x)
　≧ 0,
　等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
400 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:02:04.63 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
２.
xyz = G^3 とすると　AM-GMで
　x+y+z ≧ 3G,　1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
　≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
　≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),

なお、対称式でなくても AM-GMで
　(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G,　etc.
巡回的にたすと
　x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
　(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z,　etc.
巡回的にたすと
　x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。

文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013)　p.26 演習問題1.75
401 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:22:15.43 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
３.
　1/(x(y+z)）= 1/(x(s-x)）=｛1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺）≧｛1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x）+ 1/(s-y）+ 1/(s-z)}/s
　≧｛9/(x+y+z)｝+ 9/(3s-x-y-z)}/s　　　(← AM-HM)
　= 9/(ss）+ 9/(2ss)
　= 27/(2ss),

x^4 +y^4 +z^4 + xyz
　≧（x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
　= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
　=（s^3 -3st +6u)/3　　　(s=1)
　=（2/9)(s^3 -4st +9u）+（1/27)s(ss-3t）+（2/27)s^3
　≧（2/27)s^3,
∴（右辺）≦ 27/(2s^3),
402 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 10:07:36.72 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
４.
(左辺）-（右辺）= 3s(ss-3t）+4t -4s +3
　=｛(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
　≧ 0,

3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
403 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 07:08:39 ID:VEDuEVHa.net: 駿台の過去問らしい

https://i.imgur.com/FH292z6.jpg
404 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 08:05:27 ID:6SMLYdGW.net: >>403
〔問題５〕
nを2以上の整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を正の整数とする。
このとき、次の3つの条件をみたす正の整数 b_1, b_2, ････, b_n が存在することを示せ。
(A)　i = 1,2,････,n に対して a_i≦b_i である。
(B)　b_1, b_2, ････, b_n をnで割った余りはすべて異なる。
(C)　不等式
　　b_1 + b_2 + ････+ b_n ≦ n（(n-1)/2 +［(a_1+a_2+････+a_n)/n]).
　が成り立つ。
　ただし、実数xに対してxを超えない最大の整数を［x］で表わす。

>>397
　そうかなぁ？
405 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 06:57:59 ID:A7QrgcmB.net: R^3上の(可測)集合A,Bに対して、
A+B:={x+y | x∈A,y∈B}とする.
このとき、
(A+Bの体積)^(1/3)≧(Aの体積)^(1/3)+(Bの体積)^(1/3)
を証明せよ.
406 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 07:02:02 ID:A7QrgcmB.net: >>405
ちなみに、A,Bを2次元平面上の図形として、
(A+Bの面積)^(1/2)≧(Aの面積)^(1/2)+(Bの面積)^(1/2)
となることは比較的簡単に証明出来ます
407 ：１３２人目の素数さん：2020/05/03(日) 10:38:33 ID:u2nPgxPR.net: a,b,c>0, λ≧0
(a/b + b/c + c/a){a/(a+λb) + b/(b+λc) + c/(c+λa)} ≧ 9/(λ+1).

RMMかどこかで昔拾ったものだったか?

　( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ
　ﾉヽﾉ) =3　'A`)ﾉﾋｬｰ
　　くく　　へﾍﾉ
408 ：１３２人目の素数さん：2020/05/04(月) 16:31:00 ID:jDRWX2Ph.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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409 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 12:29:59 ID:b2IqdVzK.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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410 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 17:26:38 ID:B6ZQqn9P.net: >>406
平面のときのも全然証明わかりません
証明もしくは出典教えてほしいです
411 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 23:55:57 ID:2A4Z2g/l.net: >>410
ヒントを言うとまずはA,B共に長方形の場合で示してください
ある有名不等式になります

どうしても答えが知りたければ
「Brunn–Minkowskiの不等式」でググってください
412 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:23:27 ID:1eDWV5m3.net: >>411
ありがとう
調べたらかなり有名みたいだね

もちろん最初に同じ向きの長方形の場合を考えてみたけど、そこから一般の場合にどう持っていくのかが謎すぎた
和をとった後の図形がどれくらい小さくなるかは元の図形の大域的な様子が必要そうに思えてさ
wikiぱっと見た感じでは凸包をとってよくて、さらに凸図形の場合は表面積の情報で抑えられるという感じなのかな
413 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:35:55 ID:sAc0zF0B.net: >>412
測度論で長方形から一般の可測集合に主張を拡張したい場合は「Dynkin's π-λ theorem」という便利な定理があります
414 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:45:25 ID:sAc0zF0B.net: 適当にパラメータ付けした図形にBrunn–Minkowskiの不等式を適応すれば
大量に不等式を生成することが出来ます
415 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 01:13:17 ID:C8tI9fQ4.net: ツイッターから拾ったのでどうぞ

https://i.imgur.com/aYWdlZa.png

https://i.imgur.com/kMzfG2o.png

https://i.imgur.com/K7zRV0s.png

https://i.imgur.com/v6d3y6p.png

https://i.imgur.com/RJqT4Pu.jpg

https://i.imgur.com/zocnJSH.png
416 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 11:46:01 ID:WmDpVhCu.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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417 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:28:34 ID:gGrwQusG.net: >>415
１
a,b,c>0 のとき、
　30sst ≦ 7s^4 + 9tt + 54su,
を示せ。
ここに s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc とおいた。

２
実数列｛a_i},{b_j},{c_k｝がある。以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca),

３
x1,x2,･･･,xn を実数とし、ｘ=（x1,x2,････,xn）と書く。
f(x）と g(x）は対称式である。
f(x）≦ g(x）が成り立ち、
等号成立がｘ = ｘ_p =（y1,y2,････,yn）に限るとしても
　f(ｘ）≦ g(ｘ_p)
が成り立たない例があることを示せ。

４
0 < x,y,z のとき、
　x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)^2 /(xy+yz+zx),
を示せ。

５(改)
　1 < log([(e-2)x+2]/[(e-2)(x-1)+2]) + x･log(1+1/x）< f(x),　(x>1)
ここに　f(x）=｛x･log(x）+ log(x+1）- log(2Γ(x+1))}/(x-1),
　lim[x→1］f(x）= γ + 1/2,
　lim[x→∞］f(x）= 1,

６
∀x,y ∈［0,π/2)
　sin(x+y）+ tan(x)tan(y）≦ √{1+tan(x)^2}･√{1+tan(y)^2},
418 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:45:55 ID:gGrwQusG.net: １
　(右辺）= 7s^4 + 9tt + 54su
　= 30sst +（ss-3t)^2 + 6s(s^3 -4st+9u)
　= 30sst +（F_0)^2 + 6s･F_1
　≧ 30sst,
　F_0 = ss -3t ≧ 0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0.　(シューア)

３
　f(ｘ）= Σ[i=1,n] (x_i)^2,　g(ｘ）= 2Σ[i=1,n] (x_i)^2,
　g(ｘ_p）= g(ｏ）= 0.
何か勘違いしてるかな？

４
コーシーで。
（分数形のものは Engel型のCauchy とか、Arthur Engelの最小原理と呼ぶらしい。)
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.44-45

６
　(左辺)^2 ≦｛1 +｜tan(x)tan(y)|}^2
　≦ √{[1 +｜tan(x)tan(y)|]^2 +［tan(x)±tan(y)]^2}/2
　=｛1+tan(x)^2} {1+tan(y)^2},
或いは同じことだが
　(左辺)^2 ≦（1 +｜tan(x)tan(y)|)^2
　=｛cos(x)cos(y）± sin(x)sin(y)}^2 /{cos(x)cos(y)}^2
　= cos(x干y)^2 /{cos(x)cos(y)}^2　　(←複号は適当な方をとる)
　≦ 1/{cos(x)cos(y)}^2,
419 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 23:59:46 ID:gGrwQusG.net: ２
　Σaa = AA,　Σbb = BB,　Σcc = CC,
　Σab = AB cosγ,　Σbc = BC cosα,　Σca = CA cosβ,
とおく。(0≦α,β,γ≦π)
球面三角不等式
　｜α-β｜≦ γ ≦ α+β,
より
　cos(α-β）≧ cosγ ≧ cos(α+β),
｜cosγ - cosα･cosβ｜≦｜sinα･sinβ|,
２乗して整理すると
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
これに（ABC)^2 を掛ければ
　(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca).
420 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 06:14:35 ID:pHr5kdzK.net: ５
x≒1 では
x･log(x）+ log(x+1）- log(2）=（3/2)(x-1）+（3/8)(x-1)^2 -（1/8)(x-1)^3 + ･･･
log{Γ(x+1)｝=（1-γ)(x-1）+（ππ-6)/12・(x-1)^2 - 0.0673523(x-1)^3 + ････
f(x）=（γ+1/2）+（7/8 - ππ/12)(x-1) - 0.0576477(x-1)^3 + ････

x >>1 では
x･log(x）+ log(x+1）=（x+1)log(x）+ 1/x - 1/(2xx）+ 1/(3x^3）- ････
log{2Γ(x+1)｝=（x+1/2)log(x）-x +（1/2)log(8π）+ 1/(12x) - 1/(360x^3) + ･･･
f(x) =｛x +（1/2)log(x）-（1/2)log(8π）+ 11/(12x）- 1/(2xx）+ 121/(360x^3)}/(x-1)
　→ 1　(x→∞)

６（訂正)
　(左辺)^2 ≦｛1 + |tan(x)tan(y)|}^2
　≦｛1 + |tan(x)tan(y)| })^2 +｛ |tan(x)| - |tan(y)| }^2
　=｛1 + tan(x)^2} {1 + tan(y)^2},
421 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 20:40:48 ID:pHr5kdzK.net: 引き続く3つの奇数の和が54を超えないとき、
小さい数の最大値を求めよ。

The sum of three consecutive odd numbers is not greater than 54,
find the largest value of the smallest number.

數學999
http://www.youtube.com/watch?v=GTehFFxQCp8 02:42
422 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 01:49:21.16 ID:431XMp+q.net: n, k は2以上の整数、Aはn×nエルミート行列のとき、
(det A)^(1/n) ≦ [{(tr A)^k - tr(A^k)}/(n^k - n)]^(1/k).
423 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 08:31:45 ID:w+h9h8DE.net: >>419
２
　　　　　　| (a･a)　(a･b)　(a･c) |
RHS - LHS =｜(b･a)　(b･b)　(b･c) |　　(Grammian)
　　　　　　| (c･a)　(c･b)　(c･c) |

　　| a |
　=｜b｜| a　b　c |　≧ 0,
　　| c |

桑野耕一「ラグランジュ恒等式とは何か」
　　数学セミナー、連載（2006年4月号～）

なお、上式は（|a||b||c|)^2 以下になる。(Hadamardの不等式)

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
　第2章　§26.極大・極小　[例2]　p.72～75
分かスレ４５９．588, 594, 759 など。
424 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 18:07:02 ID:gzO4I8NK.net: ツイッターから拾った
https://i.imgur.com/A46WIGT.jpg
425 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:35:49 ID:0gqdjMjt.net: 〔問題〕
x,y,zが非負実数全体を動くとき
　(x+y+z)^3 /(xyy+yzz+zxx+xyz）≧ 27/4,
を示せ。

例の問題...
426 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:49:34 ID:0gqdjMjt.net: >>425
(略証)
0 ≦ Min{x,y,z｝= x としてもよい。
4(x+y+z)^3 - 27(xyy+yzz+zxx+xyz)
　= 9x(xx+yy+zz-xy-yz-zx) + (y+4z-5x)(x-2y+z)^2 ≧ 0,
等号成立は（x,y,z) = (1,1,1) (0,1,2) (1,2,0) (2,0,1)
［前スレ．014-020]
文献[8]　安藤：「不等式」数学書房 (2012）例題2.2.12(7）p.56
Inequalitybot [169]

(類題)
カナダMO-1995 A5
イギリスMO-2009 A4
Inequalitybot [61]
427 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 23:15:09.32 ID:0gqdjMjt.net: >>407

(1+λ)(a/b + b/c + c/a）≧（a/b + b/c + c/a）+ 3λ　　(AM-GM)
　=（a+λb)/b +（b+λc)/c +（c+λa)/a,
∴ コーシーで
(1+λ)･LHS ≧｛√(a/b）+ √(b/c）+ √(c/a)}^2
　≧ 3^2　　　　　　　(AM-GM)
　= 9,
428 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 01:32:34 ID:G3uxUJZ9.net: >>426
巡回的なものを非巡回的な式に変形して示すの不思議
巡回的な変形でも示せるのか気になる
429 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 12:59:55 ID:C7hbQ2t7.net: >>419
>>423
2次形式
　f(x,y,z）=｜xａ + yｂ + zｃ｜^2
が半正値だから、
RHS - LHS =（判別式）≧ 0,
430 ：１３２人目の素数さん：2020/05/22(金) 07:21:06.00 ID:y+ggBWMl.net: >>421
(略解)
Let x be the smallest odd number.
x + (x+2) + (x+4) ≦ 54,
　　　　　3x + 6 ≦ 54,
　　　　　　　x ≦ 16,
　　　　　　　x ≦ 15,　(x is odd number)
∴ The largest value of the smallest nember is 15.
431 ：１３２人目の素数さん：2020/05/25(月) 19:54:27 ID:FyhIbn1M.net: a,b,c>0, a+b+c=1
36/(aab+bbc+cca) + 1/(abc) ≧ {24(aab+bbc+cca-6abc)^2}/abc + 343
432 ：１３２人目の素数さん：2020/05/26(火) 22:40:14 ID:jFtHfHtW.net: a,b,c>0、G=(abc)^(1/3) に対して
a/(a+2b+3) + b/(b+2c+3) + c/(c+2a+3) ≧ G/(1+G).

JBMO2020って何だよ？
433 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 06:28:31.08 ID:2I72JytV.net: >>432
｛a(a+2b+3）+ b(b+2c+3）+ c(c+2a+3)｝= (a+b+c)(a+b+c+3）= 9A(A+1),
を左辺に掛ける。　コーシーにより
9A(1+A)(左辺）≧（a+b+c)^2 = 9AA,
∴ (左辺）≧ A/(1+A）≧ G/(1+G),　　　(← AM-GM)

JBMO = Junior Balkan Mathematical Olympiad

なお、日本のは JJMO
434 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 15:36:19 ID:2I72JytV.net: >>432
1/(1+x）≧ 1-x　より
a/(a+2b+3) = a/{(a+b+c+3) + (b-c)}
　= a/{(a+b+c+3) (1+x)}
　≧ a(1-x)/(a+b+c+3)
　= a/(a+b+c+3) - (ab-ca)/(a+b+c+3)^2,
循環的にたす。
　(左辺）≧（a+b+c)/(a+b+c+3）≧ G/(G+1)),
435 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 16:26:37.09 ID:2I72JytV.net: >>270 のことでござるか････
　JBMO2020 はバルカンMO (BMO) のジュニア版のこと　>>433
じゃなく、ただのハンドル名かも････
436 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 18:38:24.11 ID:2I72JytV.net: 〔問題３〕改
a,b,c は正の実数で 1/a + 1/b + 1/c ≧ 3 であるとする。
　(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
を証明せよ。　等号が成立つのはいつか？

Problem 3. (modified)
　Let a,b,c be positive real numbers such that 1/a+1/b+1/c ≧3.
Prove that
　(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
When does equality hold ?
　JBMO-2014　P.3
437 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 19:07:41.72 ID:2I72JytV.net: 相加平均 A =（a+b+c)/3,　
調和平均 H = 3/(1/a+1/b+1/c）とおく。
問題の条件は H≦1.
2乗平均≧相加平均より
　(左辺）≧ 3(A + 1/H)^2
　= 3(A-1)^2 + 3(3A+1) + 3(A-H)(2-H)/H + 3(1/H^2 - H)
　≧ 3(3A+1)
　= 3(a+b+c+1),

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
　　→　JBMO 2014 Solutions　(マケドニア大会)
438 ：１３２人目の素数さん：2020/05/30(土) 19:23:31 ID:vR2Jo4eU.net: [例9-3] 改
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

[第2章．274-276]
秋山仁 + ピーター・フランクル共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）鳩ノ巣原理では解けません。
439 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 08:48:01.74 ID:vwaCsVj1.net: 二変数a,bの相加平均、相乗平均、調和平均の幾何学的な証明（直径a+bの円）がありますけど
三変数a,b,cの場合の幾何学的な証明はあるのでしょうか？相加平均は重心という自明な意味が
あるけど残りの二つの幾何的な意味がよくわからない。
440 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 11:46:33.00 ID:keH19MaE.net: 自然に考えたら球に拡張しそうだけど
441 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 16:56:40.83 ID:YoOSwytJ.net: 平面でやりたいのでは？
442 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 17:06:28.95 ID:vwaCsVj1.net: 球だとできるんですか？立方体で無理やり解釈することもできるけど一目瞭然では全然ないようなのしかできない。。

３辺がa,b,cの直方体の体積V=abc ,表面積S=2(ab+bc+ca)　とすると
３辺の長さの相加平均≧直方体と同体積の立方体の１辺≧V/表面積の平均値
443 ：１３２人目の素数さん：2020/06/01(月) 03:27:29.95 ID:LHxMDESI.net: >>438
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.04497020×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
444 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:49:20.04 ID:TPydHgX/.net: >>438
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
445 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:56:28 ID:TPydHgX/.net: 〔問題404-627〕
0<x<y<1<x+y のとき
　{(1-x)(1-y)(x+y-1)(y-x)^2}/(x+y)^2
の最大値を求めるにはどうすればいいでしょう？

[高校数学の質問スレPart404．627,632,635]
446 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 04:18:56.72 ID:TPydHgX/.net: 〔問題404-634〕
q>1 を定数とする。
x^q + y^q + z^q = 1 を満たす正の実数x,y,zであって
(x+1)(y+1)(z+1) を最大にするものを求めよ。

[高校数学の質問スレPart404．634,639,648]
447 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 05:10:30.68 ID:Zifnd/u1.net: log(1+t^(1/q))はこのスレでは流行らないんだよな。
448 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 06:27:38 ID:fgXdb1VU.net: ツイッターで拾ったこの問題の最後の問題5

https://i.imgur.com/LgaZhH2.png
449 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 12:22:08 ID:TPydHgX/.net: 問題１
　三角形ABCとその内部の点Pは、AB=7、AC=8、PB=1、PC=4 を満たす。
∠BAC と ∠BPC の二等分線が平行であるときの、BCの長さを求めよ。

(解答例)
題意より、点Pは△ABCの垂心となる。
　AP⊥BC、BP⊥CA、CP⊥AB
二等分線の方向をｘ軸とすれば傾きは
　AP　-1/5、　BC　5
　BP　-3、　CA　1/3
　CP　3、　AB　-1/3
よって
　A(0,0)　B(21/√10, -7/√10)　C(24/√10, 8/√10)　P(20/√10, -4/√10)
長さは
　BC = 3√(13/5) = 4.83735
　AP = 4√(13/5) = 6.4498
450 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:08:28.88 ID:TPydHgX/.net: 問題２
　nを4以上の整数とする。
ある正n角形の各頂点にはある頂点から反時計回りで１からnの整数が
書かれている。
この正n角形にn-3本の対角線(辺は含まない)をどの二つの対角線も
交わらないように取ると、正n角形はn-2個の三角形に分けられる。
(証明不要)
これらn-2個の三角形それぞれの得点をその三角形の3頂点に書かれた
整数の和とする。
n-2個の三角形の得点の総和として考えられる最大の値を求めよ。

(解答例)
Σ[k=1,n] (点 'k' を共有する三角形の数)
= Σ[k=1,n] (点 'k' を端点とする対角線の数+1)
∴ 点 'n' を端点とする対角線n-3本をとれば 2n(n-2)　　(最大)

逆に点 '1' を端点とする対角線n-3本を取れば (n+3)(n-2)　(最小)
451 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:27:03.25 ID:TPydHgX/.net: 問題３
　以下の等式を満たす正の整数の組 (a,b,c) を全て求めよ。
　　　a^(bc) + b^(ca) = c^(ab)

(解答例)
　a^(bc) < c^(ab)　より　a^c < c^a,
　b^(ac) < c^(ab)　より　b^c < c^b,　
∴　a^(1/a),　b^(1/b) < c^(1/c),
一方
　1 < n^(1/n) < ････ < 5^(1/5) < 4^(1/4) = 2^(1/2) < 3^(1/3),
と比べて
(a,b,c) = (1,1,2)　(1,2,3)　(2,1,3)
452 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 17:47:39.85 ID:TPydHgX/.net: 問題４
　内接円を持つ四角形ABCDの辺 AB, BC, CD, DA 上に
それぞれ P, Q, R, S をとり、線分PRとQSの交点をKとする。
四角形 APKS, BQKP, CRKQ に内接円が存在するとき、
四角形 DSKR にも内接円が存在することを示せ。

(解答例)
　内接円をもつ　⇔　2組の対辺の和が等しい。
だけでは解けぬ。どうするか？
453 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 18:21:12 ID:TPydHgX/.net: 問題５
　ある2以上の整数dは、ちょうどk個の正の約数 d_1 < d_2 < ･････ < d_k を持ち、
任意のk個の正の実数 x_1, x_2, ･････, x_k に対して以下の不等式を満たす。
このようなdを全て求めよ。

(√x_1 + √x_2 + ･････ + √x_k + 1)^(2d)
　　≦ (k+1)^(2d)･Π[i=1,k] {(x_i^d_i + k)/(k+1)}^d_(k+1-i)
　　≦ 2^(2d-k)･Π[i=1,k] (x_i^d + k^d_(k+1-i)),

ガラパゴス不等式と名付けたい････
454 ：１３２人目の素数さん：2020/06/03(水) 14:14:42 ID:Vj2o+qIA.net: [第7章.946]
　i-j=k をみたすn-k項と i-j=n-k をみたすk項の計n項で Jensen する。
　n項の引数の和はkとなる。
Σ[i-j=k] f(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] f(1 - x_i + x_j) ≧ n f(k/n),
k=1,2,････,n-1 でたす。

--------------------------------------------------------
蛇足だが････
　f(a) ≦ n ∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x) dx,
より
　Σ[k=1,n-1] f(k/n) ≦ n∫[1/2n, 1-1/2n] f(x) dx ≦ (n-1)∫[0,1] f(x) dx,

http://suseum.jp/gq/question/2724
455 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 03:52:52.71 ID:UZmO2K4a.net: >>445
s = x+y,　t=xy とおくと
　0 < t < 1 < s < 2,
16(1-x)(1-y)(x-y)^2 = 16(1-s+t)(ss-4t)　　(← tの2次式)
　= (2-s)^4 - {(2+s)^2 -8t -8}^2　　　(← 平方完成)
　≦ (2-s)^4,
より
(与式）≦ (s-1)(2-s)^4 /(16ss)
　= (2/√3 -1)^3 - g(s)(s-2/√3)^2 /(16ss)
　≦ (2/√3 -1)^3
　= 0.003702332976 = M,

等号は s = 2/√3 = 1.1547 のとき。

10+M = 10 + (2/√3 -1)^3
　= (2/√3 +1)^3
　= 1/{3(2/√3 -1)}^3
　= 1/(27M),

M = 1/{27(10+M)} < 1/270 = 0.00370370････

g(s) = {(√3)(2-s)^3 + (3√3 -4)(2-s)^2 + 4(3√3 -5)(2-s) + 8(7-4√3)}/(√3)
　> 8(7-4√3)/√3
　= 0.331615　　(s<2)
∵　5/3 < √3 < 7/4,
456 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 04:14:53.02 ID:UZmO2K4a.net: >>446
　q乗平均Q ≧ 相加平均A
より
　(x+1)(y+1) = (A+1)^2 - (1/4)(x-y)^2
　　≦ (A+1)^2
　　≦ (Q+1)^2,
∴　(x+1)(y+1)(z+1) ≦ (Q+1)(Q+1)(z+1),
∴　もし最大値があるとすれば、それは x=y=z に限る。
457 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 17:35:49 ID:UZmO2K4a.net: >449
△ABCの垂心をHとおく。
辺BCに関してHと対称な点をDとおくと、
∠D = ∠BHC = 180ﾟ - ∠A,
∴ Dは△ABCの外接円上にある。
　OA = OD
∴ ∠OAH = ∠ODH　　････ (1)

△ABCを中点三角形とするような大三角形△A'B'C'を考える。
その垂心は三角形ABCの外心Oである。
相似関係より、
　∠BAO=∠CAH,　∠CAH=∠BAO,
∴ ∠A の二等分線は ∠OAHの二等分線。
　∠BDO=∠CDH,　∠CDH=∠BDO,
∴ ∠D の二等分線は ∠ODHの二等分線。
(1) より
　∠BHC の二等分線 // ∠Aの二等分線
458 ：１３２人目の素数さん：2020/06/06(土) 04:26:40 ID:klZxi4yn.net: [AMM, Problem 12154]
Let r_a , r_b , and r_c be the exradii of a triangle with circumradius R and inradius r. Prove
　r_a/(r_b + r_c) + r_b/(r_c + r_a) + r_c/(r_a + r_b) ≧ 2 - r/R.
459 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 02:55:50.02 ID:4nsS10XA.net: >>443
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
460 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 04:37:40.73 ID:4nsS10XA.net: >>443
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)
461 ：１３２人目の素数さん：2020/06/09(火) 10:39:14.84 ID:oCR5MqlE.net: 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)
462 ：１３２人目の素数さん：2020/06/15(月) 09:49:34.02 ID:m4MzqaBi.net: >>377
　(1,n) から 1 ≧ y1
　(i,i) から 2-S_i ≧ yi,
　(n,n) から 1 ≧ yn,
　(i,j)　i<j　から
　　S_(i-1) ≧ yj　または　2-S_j ≧ yi　　････これが難解

なお　(1,2) ～ (1,n-1) と　(i,j)　i>j は不要

　S_k = x0 + x1 + x2 + ･････ + xk,
463 ：１３２人目の素数さん：2020/06/28(日) 15:44:40 ID:OH7XqlAJ.net: (1) 円周率πに対して、3.1<π<3.2を示せ
(2)ネイピア数eに対して、2.7<e<2.8を示せ
464 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 17:05:05 ID:4ejNywyM.net: (1)
>>102 で θ=π/6　とおくと
　18/(2 + 2 + √3) < π < 2(1/2 + 1/2 + 1/√3),
　3.140237343 < π < 3.15470054

(2)
特に x=1 のとき、剰余項を入れて書けば
　　e = 1 + 1/1! + 1/2! + ････ + 1/n! + R_(n+1)　　　(11)
　　　R_(n+1) = e^θ/(n+1)! < 3/(n+1)!
今(11)を用いて1/n!を計算して行けば、n=4 までは右図のようになる。
それらを加えてeの近似値を得るが、剰余項 R_5 < 1/40 だから
　2 + 17/24 < e < 2 + 11/15
　2.7083333 < e < 2.7333333

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第2章　微分法、§25．Taylorの公式、p.66
465 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 19:07:55.63 ID:4ejNywyM.net: (1)
Simpson の方法は（3）の応用である。
h=(b-a)/2n と置いて　y_(2i-1) に隣る二つの区間に関する積分∫f(x)dx の
近似値として（3）のように
　　　(h/3){y_(2i-2) + 4y_(2i-1) + y_(2i)}
を取って i=1,2,････,n に亘って総計すれば
　∫[a,b] f(x)dx
　　≒ (h/3){y_0 +4y_1 +2y_2 +4y_3 + ････ + 2y_(2n-2) + 4y_(2n-1) + y_(2n)},
これが Simpson の公式である。　　　　　　　　　　　　　　････ (5)
　もしも（4）によって剰余項をも取るならば、総計して
　R = -{n(h^5)/90}f^(4)(ξ) = -{(b-a)(h^4)/180}f^(4)(ξ),
これは Simpsonの公式の誤差の限界を与える。
　一例として π/4 = ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx からπの近似値を計算してみよう。
n=5 とすれば h=0.1
　π/4 = (0.1/3)(1/1.00 + 4/1.01 + 2/1.04 + 4/1.09 + 2/1.16 + 4/1.25
　　　　　　　　 + 2/1.36 + 4/1.49 + 2/1.64 + 4/1.81 + 1/2.00) + R
　　　= (0.1/3)・23.5619446 + R
　　　= 0.7853981535 + R
∴　π = 3.141592614 + 4R

　-1.333×10^(-5) < R < 1.667×10^(-6)
　{実際は R = 9.91264×10^(-9)}

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第3章　積分法、§38．定積分の近似計算　p.127-128
　（貞治先生も筆の誤り？）
466 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 07:33:44 ID:VISrmZkI.net: u,v,w∈R^n
(||v||^2 ||w||^2 - (v,w)^2) ||u||^2 ≧ ||(w,u)v - (v,u)w||^2.

これは有名な不等式なん？
467 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 17:35:21.65 ID:ceNKIuAv.net: A_(i,j) = v_i w_j - v_j w_i　(交代テンソル）とおくと
　成分は 1≦i<j≦n をわたります。
与式は
　||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2 = (スカラー三重積)^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、右辺は（u,v,wが作る平行六面体の体積)^2 です。

・幾何学的解釈
　∠(v,w) = a,　∠(w,u) = b,　∠(u,v) = c
とおくと与式は
　1 + 2cos(a)cos(b)cos(c) - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 ≧ 0,
すなわち
　4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2) ≧ 0,
なので、角｛a,b,c｝の三角不等式です。

・参考
{u,v,w｝がなす球面三角形の面積をSとすると
　{4 cos(a/2) cos(b/2) cos(c/2) sin(S/2)}^2
　= 4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2)
　= 1 - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 + 2cos(a)cos(b)cos(c)
　= ｜1，cos(c)，cos(b)｜
　　｜cos(c)，1，cos(a)｜
　　｜cos(b)，cos(a)，1｜
これはヘロンの公式の球面版と考えられます。（カニョリの式）
468 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 18:26:18.89 ID:ceNKIuAv.net: （訂正）
与式は
　||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、 ||A|| はv,wが作る平行4辺形の面積です。

･････

>>467 の行列式の各行に |u|, |v|, |w|,　各列に |u|, |v|, |w| を掛けて元に戻せば
｜(u, u)　(u, v)　(u, w)｜
｜(v, u)　(v, v)　(v, w)｜
｜(w, u)　(w, v)　(w, w)｜
の形（Grammian）になり、
｜ u'｜
｜v'｜｜u, v, w｜
｜w'｜
= （スカラー三重積)^2
= (u,v,wが作る平行六面体の体積)^2
でした。
469 ：１３２人目の素数さん：2020/07/03(金) 01:01:30.39 ID:nLp+q6d/.net: ありがとう。難しすぎて今は分からんけど。
470 ：１３２人目の素数さん：2020/07/16(木) 22:03:57 ID:/5szD4rG.net: 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5b + b^5c + c^5a) ≧ (1/27)*(a+b+c)^6
471 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 02:28:47 ID:xiJ191gm.net: >>470
この手の同次数の不等式の係数というのは分母を払えば
(N個の係数1の単項式)≧(N個の係数1の単項式)
と書けるようになっていますよね？
このタイプ(特に巡回や対称の場合)の不等式に関して
どのようなとき不等式が成立するかの一般論ってあるんでしょうか

昔、考えたのは対称の場合で
指数のタイプ
(n,0,…,0)、(n-1,1,0,…,0)、…、(1,1,…,1)
に関してヤング図形的な半順序付けをしたとき
上の条件を満たすような係数になっていて、左辺の各単項に右辺の単項式への順序を下げる1対1対応があるとき不等式は成立するというものでした(これは確か証明できた)
これを使うと相加相乗などはすぐに示せます

逆に同次対称で上の係数条件を満たすような不等式はこの左右の順序を下げる1対1対応が存在するか？も考えたのですが確かこれには反例がありました
472 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 06:33:37.69 ID:/5BiIC+G.net: よくってよ
473 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 12:04:37.03 ID:dk77+tdw.net: 2006年度東工大の問題

https://i.imgur.com/0aBFX3v.jpg
474 ：１３２人目の素数さん：2020/07/19(日) 19:28:26 ID:WIR0lTu1.net: >>470
aa=A, bb=B, cc=C とおく。
(左辺) - (aa+bb+cc)^3
　≧ 4(A^3 + B^3 + C^3) + 15ABC - (A+B+C)^3
　= 3{A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B)}
　= 3F_1(A,B,C)
　≧ 0,　　　　　　　　　　　(Schur-1)

∴　(左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ (1/27)(a+b+c)^6.

　(1+1+1)(aa+bb+cc) ≧ (a+b+c)^2　　(コーシー)　から。
475 ：１３２人目の素数さん：2020/07/21(火) 17:57:10 ID:Q73vct+1.net: >>470
a^3 =A', b^3 =B', c^3 =C' とおく。
(左辺) = 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5･b + b^5･c + c^5･a)
　≧ (A'+B'+C'){(4/3)(A'+B'+C') +5abc}　　（← 補題)
　= (A'+B'+C'){(1/3)(a+b+c)^3 + F_1(a,b,c)}
　≧ (1/3)(A'+B'+C')(a+b+c)^3
　≧ (1/3){(aa+bb+cc)(a+b+c)}^2,　　　(← コーシー)

〔補題〕
　a^5･b + b^5･c + c^5･a ≧ abc(a^3+b^3+c^3),
(略証)
　a^5･b + b^5･c + c^5･a
　　≧ (a^3+b^3+c^3)^2 /(a/b+b/c+c/a)　　(← コーシー)
　　= abc(a^3+b^3+c^3)^2 /(aac+bba+ccb)
　　≧ abc(a^3+b^3+c^3),　　　　　　(← チェビシェフ)

あるいは
　(16a^5･b + b^5･c + 4c^5･a)/21 ≧ a^4･bc,　　(← AM-GM)
巡回的にたす。　　　　　　　　　　　　　　　　　(終)
476 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:47:23.22 ID:U4xy9LSi.net: 〔演習問題1.90〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、次を証明せよ。
　aa+bb+cc + 2abc + 1 ≧ aa+bb+cc + 3(abc)^(2/3)
　　≧ aa+bb+cc + 9abc/(a+b+c)
　　≧ 2(ab+bc+ca),

[9] 佐藤(訳), 朝倉書店 (2013) p.41
477 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:49:09.73 ID:U4xy9LSi.net: (略証)
左・中は AM-GM で出る。
右は通分して
　(a+b+c)(aa+bb+cc-2ab-2bc+2ca) + 9abc
　= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= F_1(a,b,c) ≧ 0,　　　　　　(Schur-1)
478 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 14:59:40.78 ID:cBVWOvpo.net: a,b,c,d>0
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ (143/100)*(a+b+c+d)

Slovenia 2012 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
479 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 14:32:02 ID:cdENLWJx.net: 右辺の係数を λ_n とおくと
　λ_1 = 1.0
　λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655　(a = (1+√2)^2･b)
　λ_3 = 4/3 = 1.333333333　　(a = 4b = 16c)
　λ_4 = 1.42084438540961　　(a = bp = cq = dr)
　････
[第８章．972-990]

[前スレ．041] あたりの【Kiran Kedlaya】はこれの改良版（？）
480 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 15:03:09.65 ID:cdENLWJx.net: >>475
〔補題〕
　a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + c^{n+1}･a ≧ abc (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}),

(略証)
　n=0 のとき等号成立
　n=1 のとき AM-GM
　n≧2 のとき
　a^{n-3} /b + b^{n-3} /c + c^{n-3} /a
　= (a^{n-2}･c + b^{n-2}･a + c^{n-2}･b) /(abc)
　≦ (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}) /(abc),
よって
　(左辺) ≧ (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})^2 /(a^{n-3}/b + b^{n-3}/c + c^{n-3}/a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(← コーシー)
　≧ abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}).

(別法)
　AM-GMで
　[nn･a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + n c^{n+1}･a] /(nn+n+1) ≧ a^n･bc,
巡回的にたす。
481 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 20:57:22.44 ID:sHXJwhgv.net: 異なる4つの実数が任意に与えられたとき
そこから |ab+1|>|a-b| を満たす異なる実数a,bが選べることを示せ。
482 ：１３２人目の素数さん：2020/07/24(金) 22:44:47.85 ID:+6BjH0O/.net: >>481
tanで置き換えれば瞬殺
483 ：１３２人目の素数さん：2020/07/25(土) 10:36:55.68 ID:g3fpMEvS.net: >>481

[高校数学の質問スレPart405] から。

4つの実数をx_iとする。(i=1～4)
θ_i = arctan(x_i)　(-π/2 < θ_i < π/2) とおく。
4つから上手く2つを選ぶと
　|θi - θj| ≦π/4　または |θi-θj±π| ≦π/4,
となる。
tanの加法公式
　tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα･tanβ),
より
　1 ≧ |tan(θi - θj)| = |(x_i-x_j)/(1+x_i･x_j)|,
よって x_i, x_j は条件を満たす。
等号成立は {x_i} がπ/4ずつ異なるとき。　[895,948-949]

例：tan(±22.5ﾟ) = ±(√2 -1),　tan(±67.5ﾟ) = ±(√2 +1),
484 ：１３２人目の素数さん：2020/08/05(水) 03:24:43 ID:ud0wEpwG.net: 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rに対して、
2/R ≦ (1/a)*sec(A/2) + (1/b)*sec(B/2) + (1/c)*sec(C/2) ≦ 1/r.

[AMM, Prob12168] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
485 ：１３２人目の素数さん：2020/08/10(月) 14:07:49 ID:WaC83EyQ.net: 不等式botより

https://i.imgur.com/7iHjp4R.png
486 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 16:49:54.71 ID:sLooAqcf.net: 〔Inequalitybot 98〕
aa ≦ 1,　aa+bb ≦ 5,　aa+bb+cc ≦ 14,　aa+bb+cc+dd ≦ 30 のとき
　　　a+b+c+d ≦ 10
を示せ。　　　Hungary-Israel binational 2007, 1日目, 問2
487 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 17:00:55.87 ID:sLooAqcf.net: コーシーにより、
　(a+b+c+d)^2 /(1+2+3+4) ≦ aa + bb/2 + cc/3 + dd/4
　= (1-1/2)aa + (1/2-1/3)(aa+bb) + (1/3-1/4)(aa+bb+cc) + (1/4)(aa+bb+cc+dd)
　≦ (1-1/2) + (1/2-1/3)･5 + (1/3-1/4)･14 + (1/4)･30
　= 10,
等号成立は (a,b,c,d) = (1,2,3,4)
488 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 22:11:26.18 ID:sSrJdUio.net: a,b,c∈R,
a^2 + b^2 + c^2 > 0,
-1/2 ≦ Σ[cyc] ab/(a^2 + b^2 + 3c^2) ≦ 3/5.

[不明] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
489 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 08:44:28.46 ID:63pIFzc2.net: 1824 アンケよろしく @gas1824s (2020/08/13 22:08:21)
回りくどいのでほかにいい解法ありませんかね #数学教えて
https://pbs.twimg.com/media/EfTYnxTUYAAefqC.jpg
http://twitter.com/gas1824s/status/1293897176909660161
(deleted an unsolicited ad)
490 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:01:51.38 ID:kEvbrh9S.net: (a^3+a^3+b^3)/3≧(a^3a^3b^3)^(1/3)=a^2b
491 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:49:28 ID:6FR6kR83.net: >>490
おい右辺w
492 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 14:32:03.90 ID:Vqud894y.net: >>489
a,b,c≧0 に対し
　a^3 + b^3 + c^3 ≧ abb + bcc + caa,
を示せ。
--------------------------------------
　差積 (a-b)(b-c)(c-a) の符号は正にも負にもなるから、
このままではマズイ。
(ついでに言えば、符号も変)

0 ≦ {(a+2b)(a-b)^2 + (b+2c)(b-c)^2 + (c+2a)(c-a)^2}/3
= a^3 + b^3 + c^3 -abb -bcc -caa,

とやるか又は AM-GM で

(a^3 + 2b^3)/3 - abb = (1/3)(a+2b)(a-b)^2 ≧ 0　　>>490
を循環的にたす。
493 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 18:55:07 ID:Nf0TF7ck.net: そんなに難しくない問題

https://i.imgur.com/knbMWIu.jpg
494 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 21:30:28 ID:ymr8iYI5.net: 「入試数学の純粋な難問」
0 ≦ x,y,z ≦ 1　のとき
　(x+y+z)/3 + √{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} ≦ 3/2
を示せ。
--------------------------------------------------------
(x+y+z)/3 = A　とおく。
x(1-x) = (3/2)(3/8 - x/3) - (x - 3/4)^2 ≦ (3/2)(3/8 - x/3),
より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (3/2)(9/8 - A)
　= (3/2 - A)^2 - (3/4 - A)^2 ≦ (3/2 - A)^2,
よって
√{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} ≦ 3/2 - A,
495 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 22:13:30.32 ID:Nf0TF7ck.net: (x+y+z)/3=tとおいたら相加相乗平均でいけない？
496 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 23:14:15 ID:YNr/CS7O.net: 続けて。
497 ：１３２人目の素数さん：2020/08/26(水) 23:23:01 ID:oXbdk8QE.net: a,b,c>0
$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

2020 China Norther MO ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
498 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 21:06:34.76 ID:2xmHjvQW.net: Twitterから色々拾ってきた
https://i.imgur.com/wm73ysp.png
https://i.imgur.com/WZ2vouq.jpg
https://i.imgur.com/mRGlGoa.jpg
499 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 22:58:10.89 ID:g1e3GOfL.net: うむ、よく訓練された不等式ヲタだな。
500 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 00:03:43.87 ID:3yJQ3R53.net: (aa+1)(bb+1)(cc+1) = (a+b+c-abc)^2 + (ab+bc+ca-1)^2.
501 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 00:51:04.79 ID:PGJ1gE8Y.net: (a+i)(b+i)(c+i) = (abc -a-b-c) + (ab+bc+ca-1)i,
(a-i)(b-i)(c-i) = (abc -a-b-c) - (ab+bc+ca-1)i,
辺々掛ける。
502 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 01:07:54.34 ID:PGJ1gE8Y.net: >>497
a,b,c>0 のとき
　(a^3+b^3)/√(aa-ab+bb) + (b^3+c^3)/√(bb-bc+cc) + (c^3+a^3)/√(cc-ca+aa) ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2),

(略証)
コーシーで
　(x^3+y^3)/√(xx-xy+yy) = √{(x^3+y^3)(x+y)} ≧ x^2 + y^2,
巡回的にたす。
503 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 02:47:25.14 ID:yitbZe7d.net: >>501
からくりを見ると、当たり前の等式だったんだなあ ( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…
504 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 13:48:56.02 ID:PGJ1gE8Y.net: >>500
実数でやるなら
　a+b+c = s,　ab+bc+ca = t,　abc = u,
とおく。
　(左辺) = (abc)^2 + ((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + 1
　= uu + (tt-2su) + (ss-2t) + 1
　= (uu -2su +ss) + (tt -2t +1)
　= (u-s)^2 + (t-1)^2,
505 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:48:46.83 ID:PGJ1gE8Y.net: >>498
(上)
〔問題214〕
自然数n∈Nを固定する。
i=1,2,･････,2n に対して |x_i| ≦ 1 の値をとるとき
　Σ[1≦r<s≦2n] (s-r-n) x_r x_s
の取り得る最大の値を求めよ。
　IMO Shortlist 2015 A-3
　Inequalitybot [214]

(中）
△ABCにおいて、
　F = {(sinA)^2 + 2(sinB)^2 + 3(sinC)^2} / {(sinA)(sinB)(sinC)}
とおく。
(1) △ABCの3辺の長さを BC=a, CA=b, AB=c とおき、
さらに△ABCの面積をSとする。
F を a,b,c,S で表わせ。
(2) Fの最小値を求めよ。

(下)
Problem 26
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=3 をみたすとき、
　a(bb+cc)/(aa+bc) + b(cc+aa)/(bb+ca) + c(aa+bb)/(cc+ab) ≧ 3
が成立することを示せ。
506 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 16:26:15 ID:PGJ1gE8Y.net: (中)
(1) 正弦定理
　sin(A) = a/2R,　sin(B) = b/2R,　sin(C) = c/2R,
と
　S = abc/4R,
より
　F = 2R(aa+2bb+3cc)/abc = (aa+2bb+3cc)/2S,

(2)
ところで面積S は a,b,c の関数である。(ヘロンの公式)
　(aa+2bb+3cc)^2 - 11･16SS
　= (aa+2bb+3cc)^2 - 11{2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 -a^4 -b^4 -c^4}
　= (3･4･5){(bb/4-cc/3)^2 + 2(cc/3-aa/5)^2 + 3(aa/5-bb/4)^2}
　≧ 0,
　aa+2bb+3cc ≧ (4√11)S,
∴　F ≧ 2√11 = 6.63325
等号成立は a：b：c = √5：√4：√3 のとき。
507 ：１３２人目の素数さん：2020/09/04(金) 01:17:36.55 ID:USkdw4WV/: 【誰でもOK】手堅く月50万を稼ぐ手順
https://www.youtube.com/watch?v=QRRcJ3D-6uI
動画編集者をレベル分けしてみた
https://www.youtube.com/watch?v=Gq9-CmrpVHo
動画編集のディレクター需要が高まる3つの理由
https://www.youtube.com/watch?v=9qyECT9f_ZE
動画編集者のディレクターになるメリットとデメリット
https://www.youtube.com/watch?v=PxK-wqLGrWw
【体験談】動画編集のディレクターという職業
https://www.youtube.com/watch?v=PLshf0PJyNo
動画編集者がYouTubeをやる3つのメリット
https://www.youtube.com/watch?v=V_b_lfaEtwQ
動画編集初心者が勉強始めてから案件獲得するまでの3ステップ
https://www.youtube.com/watch?v=pEt7NGOqm4U
【動画編集】案件を得るための4つの営業先【超初心者向け】
https://www.youtube.com/watch?v=S_iyjOUq2ZI
508 ：１３２人目の素数さん：2020/09/13(日) 23:58:13.39 ID:JpJgDqA9.net: a,b,c,d > 0
\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{cd} ≦ \sqrt[3]{(a+c+d)(a+c+d)}

あばばばばばば
　　∩＿＿＿∩　　　　　　　　　
　　|ノ　　　ヽ/⌒)　　　　あびゃば
　 /⌒)(ﾟ)　(ﾟ)　/　　　　　　　あびゃあばばば
　/　/　(_●)ミ /　　　　　　　　 ∩――、
（　ヽ　|∪|　／　　　　　　　　／(ﾟ)ヽ　_ ヽ
　＼　　ヽノ /　　　　　　　　 /　(●　(ﾟ) |つ
　 /　　　　/　　　　　　　　　｜　(入_ノ　ミ
　｜　　　 /　　　　　　　　　｜ (＿／　ノ
　｜　／＼＼　　　　　　　　＼＿＿＿ノﾞー-、
　｜ /　　)　)　　　　　　　　　　／＼　　　＿＼
　(_ﾉ　　(　＼　　　　　　　　（⌒O ／＼　　　(＿ﾉ
　　　　　＼＿)　　　　　　　　＼ノ　　/　､　 )０
509 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 02:22:15.74 ID:8KYEGgmf.net: 何かが変だ
510 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 04:14:30.54 ID:MMq0bu8b.net: 何かおかしい、何となくそんな気がした。
ＴＶに映る試合は俺とは全く縁もゆかりもない県同士の戦いだが、負けてる方をなんとな～く応援している気分でいると、これまたなんとなくそろそろハルヒが騒ぎ出すような気がした。
511 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 07:33:01.17 ID:bL5lP9LW.net: >>488
等号成立条件だけ。
　最小値：　{a,b,c} = {-1,0,1}
　最大値：　{a,b,c} = {1,1,1}　{1,1,2/3}
512 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 21:41:55.44 ID:oug42vb/.net: うむ
513 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 22:27:51.50 ID:5JiWovoE.net: うむ、エレガントな証明を見せてもらおうか。
514 ：１３２人目の素数さん：2020/09/21(月) 22:00:12.84 ID:uwUcrYFn.net: >>488、>>511
等号成立条件は、たぶんこうぢゃなゐかな？ ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！

(a,b,c,d) = (t, kt, (1+ 1/k)t, k(k+1)t), ただし k, t > 0 とする。
515 ：１３２人目の素数さん：2020/09/22(火) 13:24:21.97 ID:7+NxYT1p.net: >>514
間違った。 >>513 は >>508 の等号成立条件。
516 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 14:21:02.58 ID:qMQmLmqf.net: ｘが0以上のとき　5x^3-3x+1>0

微分法で簡単に示せるですが
不等式エキスパートの人なら巧みな多項式変形とかで示せるですか？
517 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:07:53.46 ID:63e1O9oo.net: x√5 = X　とおけば
　5x^3 - 3x + 1 > 5x^3 - 3x + (2/√5)
　= (X^3 - 3X + 2) /√5
　= (X+2)(X-1)^2 /√5
　≧ 0,

ただし、x=1/√5 で極小になることを
微分などの方法で知る必要がある…
518 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:14:37.25 ID:yFt7+l2/.net: 相加相乗平均だけで示せないかな
519 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:26:05.40 ID:UPCkCEIn.net: a≧b≧c≧d＞0 かつ a+b+c+d=1 のとき、
(a+2b+3c+4d)(a^a)(b^b)(c^c)(d^d) ≦ 1.
520 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:35:07.36 ID:qMQmLmqf.net: x=0のときは明らかなのでx>0として 5x^2 + 1/x > 3 を言えばよいが
相加相乗で左辺≧3*(5/4)^(1/3) >3 。

式変形だけで、例えば
x^16 - x + 1 = (x^8-1/2)^2+(x^4-1/2)^2+(x^2-1/2)^2+(x-1/2)^2
みたいな感じの巧みな変形でいけないものでしょうか。
521 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:06:27.00 ID:qc+lGULo.net: >>518
　X^3 + 1 + 1 ≧ 3X,
は相加相乗平均(AM-GM) と思ってもいいし、
コーシー
　(X^3 + 1 + 1)(1 + X^3 + 1)(1 + 1 + X^3)
　≧ (X + X + X)^3
　= (3X)^3,
の3乗根と思ってもいい。
522 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:21:36.43 ID:3a+g1aMq.net: >>520-521
abc3数の相加相乗平均は、
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ba)
= (a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
と変形できるので、a=X・b=1・c=1を代入して……って>>517と同じ式変形やないかーい笑

y=f(x) とした関数は非負だと x=1/√5 で極小値かつ最小値をとる。
極小値だけ移動した g(x)=f(x)-極小値を考える→
x軸に接する
→(x-1/√5)^2 または (X-1)^2を因数にもつ
という考えと同じ。
523 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 22:14:11.72 ID:shPxNCvG.net: >>522
少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
524 ：：2020/09/25(金) 01:49:19.72 ID:a6NySAb6.net: >>523
> 少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
なんと出来るらしい。
https://mathoverflow.net/questions/279969/wanted-positivity-certificate-for-the-am-gm-inequality-in-low-dimension

AMとGMの差は非負多項式で表すことが可能 https://gyazo.com/0e13cfb59b28c529dd5adbfed354bd16
具体的な恒等式（5次） https://gyazo.com/58b89593fc30a48f70ab35cee68d31e5
具体的な恒等式（2次・3次・4次）https://gyazo.com/4726111c57e1863fca1b9fcd64678b23

アドルフ・フルヴィッツによる1891年の論文
Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-4160-3_35
nが奇数の場合を示したらしい: 藤原和将・小澤徹（応用物理）による2014年の論文 Fujiwara, Kazumasa, and Tohru Ozawa. Identities for the Difference between the Arithmetic and Geometric Means, (2014).
http://m-hikari.com/ijma/ijma-2014/ijma-29-32-2014/ozawaIJMA29-32-2014.pdf
nが偶数の場合を示しているらしい: ハーディ・リトルウッド・ポリア『不等式』第2章

なおこの問題は、ヒルベルトの第17問題（いつも正の有理式は平方和で表せる)の特殊な場合でもある。

最初に見付けたのページは医師でアマチュア数学者の佐藤郁郎によるコラムだったが、いかんせん読みにくく参考までに。（NGなのでURL貼らない）
因数分解の算法（その１１）
因数分解の算法（その１４）
因数分解の算法（その１８）
525 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 02:15:38.40 ID:Bm3x9keW.net: >>524
めっちゃ詳しくありがとうございます！
まさか本当に出来るとは驚きです
第17問題のwikiを読んだ感じでは非負な斉次多項式に対して一般にこういうことは出来ないようですね
この不可能性はモデル理論的な話があるようでこれも面白そうです
526 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 06:52:57.18 ID:kUKUaPs5.net: >>524
ｳﾎｯ！興奮してきた…
527 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 13:45:47.22 ID:C/C9yJEj.net: (x_1)^n, ･････, (x_n)^n の相加平均をA, 相乗平均をG,
⊿_n = n(A^n - G^n) = Σ x^n - nΠ x,
とおく。
⊿_2(a,b) = aa +bb -2ab = (a-b)^2,

⊿_3(a,b,c) = a^3 +b^3 +c^3 - 3abc
　= (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,

⊿_4(a,b,c,d) = a^4 +b^4 +c^4 +d^4 - 4abcd
　= (aa-bb)^2 + (cc-dd)^2 + 2(ab-cd)^2
　= (aa-cc)^2 + (bb-dd)^2 + 2(ac-bd)^2
　= (aa-dd)^2 + (bb-cc)^2 + 2(ad-bc)^2,

⊿_5(a,b,c,d,e)
　= a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 -5abcde
　= (a-b)(a^4 -b^4)/4 + (a-c)(a^4 -c^4)/4 +
　･････ + (d-e)(d^4 -e^4)/4
　+ a⊿_4(b,c,d,e)/4
　+ b⊿_4(c,d,e,a)/4
　+ c⊿_4(d,e,a,b)/4
　+ d⊿_4(e,a,b,c)/4
　+ e⊿_4(a,b,c,d)/4,

*　(x-y)(x^4-y^4) = (x+y)(xx+yy)(x-y)^2 ≧ 0,
528 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:14:27.50 ID:lnmePYpg.net: >>527
なるほど、5次の場合は
1/4(x+y)(x^2+y^2)(x-y)^2
=1/6(x^3+y^3)(x-y)^2+1/12(x+y)(x^2-y^2)^2
を利用すると>>524の藤原小澤の表示と一致するのか
藤原小澤の論文は流し読みしたけどテクすぎて全然わからん
表示の仕方の自由度高そうだし何か行列式的な表示とか対称式の空間上の作用素みたいなのを見つけて綺麗に示せないもんかね

>>525
訂正
てっきり不可能性がモデル理論的に分かると思っていたけど今日モデル理論の本借りて見てみたら肯定的な証明が書かれていた
17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
529 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:49:49.44 ID:yIQAC3t7.net: 元の十七問題はΣ多項式^2でかけるか？でそれは誰かの反例が出た
後に実閉体まで話広げるとΣ実閉包の元^2でかける事が証明された(Artin)
永田先生の可換体論の5章に証明がある
530 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:07:14.49 ID:lnmePYpg.net: 自分の読んでる「幾何学的モデル理論入門」(最近、改訂版が出たばかりらしい)に実閉体の第17問題が肯定的に解けることを利用して有理数体の場合も証明できるかのように書いてるように見えるんです…
531 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:15:05.52 ID:yIQAC3t7.net: >>624
どんなステートメントが書いてあるんですか？
532 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:32:33.79 ID:lnmePYpg.net: こんな感じです
微妙な言い回しなんでもしかしたら肯定的に言ってるわけではないかも…
https://dotup.org/uploda/dotup.org2265448.jpg
533 ：：2020/09/26(土) 23:44:50.71 ID:lzfEoiqI.net: >>528
> 17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
一部が肯定的に解決された（部分的に可能）
https://i.imgur.com/Jit5Abl.jpg
534 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:49:36.06 ID:yIQAC3t7.net: >>532
thx
確か上がってる反例はΣ整式^2では表せない例でΣ有理式^2では表せるんだったかな？
Artinの定理の正確なステートメント覚えてない(かつ永田先生の本が現在部屋のどこにあるかわからん)のでわかんないけどΣ有理式^2で表すのは有理係数でもいけるのかもしれない

　任意の実閉包の中で0以上 →Σ有理式^2で表示できる

だったかも
確か右が言えてない場合に標数0の加法的付値体て0未満になる構造が存在する事示してそれを上手いこと微調整して通常のRの中で0以下に出来る事を示すんだったような
535 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:56:47.06 ID:lnmePYpg.net: あー、有理式なら肯定的という可能性があるんですね
ありがとうございます
536 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:37:31.86 ID:KH9c7ePZ.net: 3次のAM-GM差の有理式の平方和表現はどうなるんだろう
537 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:49:47.04 ID:KH9c7ePZ.net: あ、全ての有理数に対して非負な多項式で考えるから奇数次の場合は全ての変数を平方にしておかないといけなくて藤原小澤の結果の変数を平方にするだけか
538 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:09:34.88 ID:KH9c7ePZ.net: いや、そうなってくると藤原小澤も必要なくて古典的なフルヴィッツの形で示せてるのか
無知すぎてスマン
539 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:15:18.97 ID:T1BBTchP.net: 有理式使っていいならAM-GMは簡単でしょ？
いわゆる2冪でやっといて減らす作戦でいける
540 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:36:59.49 ID:N42SrDUa.net: >>527
⊿_n(a_1, a_2, ････, a_n)
　= (a_1)^2 + (a_2)^n + ････ + (a_n)^n - n(a_1)(a_2)････(a_n)
　= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
　+ Σ[i=1,n] a_i (Σ[j≠i] (a_j)^{n-1} - (n-1)Π[j≠i] a_j) /(n-1)
　= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
　+ Σ[i=1,n] a_i ⊿_{n-1}(i以外) /(n-1),
541 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:42:24.65 ID:hueUvkJf.net: ある人の作った問題

https://i.imgur.com/HLrsj0N.jpg
542 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 15:07:23.11 ID:Upg5ciqK.net: ある人って誰かね？
543 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 22:25:26.77 ID:KH9c7ePZ.net: >>541
n=2のときが本質で、他は帰納法でしょうか
544 ：１３２人目の素数さん：2020/09/28(月) 01:14:12.03 ID:VdFe70Zi.net: >>541
数列 {a_n}n∈N と {b_n}n∈N が |a_n|≦1, |b_n|≦1 (∀n∈N) を満たす時、
次を示せ。
| Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k | ≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j| (∀n∈N)

(略証)
Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k
　= Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] a_i) (a_j - b_j) (Π[k=j+1,n] b_k),
三角不等式により
(左辺) ≦ Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] |a_i|) |a_j - b_j| (Π[k=j+1,n] |b_k|)
　≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j|
　= (右辺),
545 ：１３２人目の素数さん：2020/10/06(火) 20:34:14.40 ID:CqXEEU8P.net: 〔問題944〕
a,b,c は相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1 を満たす。
　f(x,y) = log(y/x) / (1/x - 1/y),
に対して、
　f(a,b) + f(b,c) + f(c,a) ≦ 1/3
を示せ。

高校数学の質問スレPart407 - 944
546 ：１３２人目の素数さん：2020/10/12(月) 12:43:43.49 ID:xle55bMk.net: IMO2020ロシア大会第2問に不等式問題

https://i.imgur.com/5THoJvk.png
547 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 14:51:16.00 ID:Aceyovpj.net: >>545
0<x,y,　x≠y のとき
f(x,y) = log(y/x)/(1/x - 1/y)
　= log(y/x)/(√(y/x) - √(x/y))
　= 2t/(e^t - e^{-t})・√(xy)
　= t/sinh(t)・√(xy)
　≦ √(xy),
　等号成立は x=y のとき。

(左辺) = f(a,b) + f(b,c) + f(c,a)
　≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　≦ (1/3)(a+b+c + 2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ca))
　= (1/3)(√a + √b + √c)^2,
　等号成立は a=b=c のとき。
548 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:32:20.28 ID:nOU2oznJ.net: RMM、SP346のような抽象的なのは、どこから手を付けていいか分からんちんぽ。
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/10/24-RMM-SPRING-EDITION-2022-1.pdf
549 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:54:02.78 ID:w92dB+J+.net: >>548
うほっ大量の不等式！
550 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 04:12:15.55 ID:PHtzabu1.net: JP346.
　両辺に ab(a+b) >0 を掛けて通分すると
ab(a+b)(左辺 - 右辺) = (a-b)^2 {(a-b)^2 + (4 - k/4)ab},
　(4 - k/4) ≧ 0,
　k ≦ 16,
551 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 19:11:56.93 ID:wXRh3JRG.net: >>550
いや知りたいのは、SP346でござるよ
552 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 20:10:00.68 ID:PHtzabu1.net: JP347.
基本対称式を
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,
とおく。
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u を掛けて通分すると
2(a+b)^2･(a+c)^2 + 2(b+c)^2･(b+a)^2 + 2(c+a)^2･(c+b)^2
　= 2(ss-t)^2 + 8su
　= s^4 + (5/3)tt + s(s^3 -4st+9u) + (tt-3su)/3
　≧ s^4 + (5/3)tt,
∴　(左辺) ≧ {s^4 + (5/3)tt}/st = (s^3)/t + 5t/(3s),

JP348.
　a/b=x, b/c=y, c/a=z　とおくと
　x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz = 3,　　　(← AM-GM)
　(x^4+y^4+z^4)(1+1+1) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2,　(←コーシー)
辺々掛ける。
553 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 22:07:28.25 ID:OfAfCbWz.net: >>551
346はkについての一次式だから
与式⇔k≦4次式÷4次式
になる(割る時、除数の符号わそこまで難しくない)
分子も分母も(a-b)^2で割り切れる
554 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 17:59:01.64 ID:2j40wcqC.net: JP350.
　(a+b+c)^2 ≦ 3(aa+bb+cc),
x ≧ 1/√3　のとき
{1 + 3x(1-x)}^2 - (4-3xx) = 3(3xx-1)(x-1)^2 ≧ 0,
√(4-3xx) + 3x(x-1) ≦ 1,
x=a,b,c でたす。

JP351.
ABCが鈍角⊿のときは
　Πcos(･) ≦ 0,
　(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺),
で成立するから以下では、ABCは鋭角Δとする。
　sin(A) = x,　sin(B) = y,　sin(C) = z
とおくと
　xyz > 0,
一方、題意より
　xx+yy+zz = 1 - 2xyz,
　xyz ≦ 1/8,
左辺に加法公式
　sin(A)sin(B) = cos(A)cos(B) - cos(A+B) = xy + z,
を入れれば
　(左辺) - (右辺) = (xy+z)(yz+x)(zx+y) - 4xyz + 5(xyz)^2
　= ････,
　がんばれ

JP352.
△不等式で
　|a+b+c| + |a-b| + |a-c| ≧ |(a+b+c) + (a-b) + (a-c)| = 3|a|,
巡回的にたすと
　3|a+b+c| + 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≧ 3(|a|+|b|+|c|),
555 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 19:59:49.04 ID:2j40wcqC.net: UP346
　(左辺) = 1 + (x-1)exp(arctan(x))√(1+xx),　　←可積分
∴　x=1

UP347.
上の式は
0 = |x|^2 /m + |y|^2 /n - |x+y|^2 /(m+n)
　= xx' /m + yy' /n - (x+y)(x+y)' /(m+n),
mn(m+n) を掛けて通分する。
0 = nnxx' + mmyy' - mn(xy'+x'y)
　= (nx - my) (nx - my)'
　= |nx - my|^2
∴　x = (m/n)y,
これを下の式に入れて
　y = 1+2i,

UP534.
　(1/n)Σ[k=1,n-1] (k/n)sin(kπ/n)
　→ ∫[0,1] x･sin(πx) dx　　　(n→∞)
　= [ sin(πx)/π^2 - x･cos(πx)/π ](x=0,1)
　= 1/π,

(与式) ≒ (1 + π/n)^n
　= {(1+π/n)^(n/π)}^π
　→　e^π,　　(n→∞)

UP359.
Ω = ∫[0,π/2] θ･cosθ/[(sinθ)^3 + (cosθ)^3] dθ
　= (π/36){π√3 + log(97/8 + 7√3)}
　　- (1/144){ψ'(5/12) - ψ'(11/12)}
　= 0.71907287245537291248414214
ここに
ψ'(x) = {log(Γ(x))}" = {Γ'(x)/Γ(x)}'
　= Σ[k=0,∞] 1/(x+k)^2　　… トリガンマ函数
556 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 05:20:43.69 ID:QJC/WS82.net: JP351.
　cos(A) = x,　cos(B) = y,　cos(C) = z
とおくと、
に修正…

SP349.
　s = -log(sin(a)) >0,　　c = -log(cos(a)) >0,
とおく。
(左辺) = (e^{-s})^{√(c/s)} + (e^{-c})^{√(s/c)}
　= 2e^{-√(cs)}
　≦ 2e^{-log(2)/2}　　　　(*)
　= 2e^{log(1/√2)}
　= √2,
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき cs は急に大きくなる。

SP351.
　(1+t)^{1/3} + (1-t)^{1/3}
　= 2/[(1+t)^{2/3} - ((1+t)(1-t))^{1/3} + (1-t)^{2/3})
　≦ 2,

UP358.
|∫[a,b] e^{ix}/x dx | ≦ ∫[a,b] 1/x dx = log(b/a),
両辺を2乗する。

UP360.
　x = y = 1/3,
557 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 10:43:02.64 ID:QJC/WS82.net: http://www.551horai.co.jp/

(*) a が端(0,π/2) に近づくとき -√cs は大きくなる。(→0)
558 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 19:37:27.70 ID:QJC/WS82.net: SP353.
与式を辺々引くと
　λ(x-y) = √(λλyy-1) - √(λλxx-1)
　　= λλ(yy-xx)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)},
もし x-y≠0 ならば
　1 = - λ(x+y)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)}
　< 0,　(矛盾)
∴　x = y = z = 2/(λ√3),
559 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 20:49:16.21 ID:QJC/WS82.net: SP353.　(別法)
t≧1 で　f(t) = t + √(tt-1)　は単調増加
与式より
　f(λx) = f(λy) = f(λz),
　λx = λy = λz,
λ>0 より
　x = y = z,
560 ：１３２人目の素数さん：2020/10/17(土) 13:08:39.01 ID:Ml1qOBSK.net: UP346.
　f(x) e^{arctan(x)} = ∫ (2xx) e^{arctan(x)} / √(1+xx) dx
とおく。
　f '(x) + f(x)/(1+xx) ＝ 2xx/√(1+xx),
　f '(x)√(1+xx) + f(x)/√(1+xx) = 2xx,
ここで
　f(x) = g(x)√(1+xx),
とおくと
　(1+xx)g '(x) + (1+x)g(x) = 2xx,
g(x) が n次多項式とすると
　g(x) = ax^n + ･･･
（左辺）= (n+1)ax^{n+1} + …
∴ n=1,
　(左辺) = 2ax^2 + g(1)(1+x),
　a=1,　g(1)=0,
　g(x) = x-1,
　f(x) = (x-1)√(1+xx),
561 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 13:13:01.21 ID:ZEBeZlNg.net: SP354.
　log(x^{xy}・y^{yz}・z^{zx})
　= log(x^{xy}) + log(y^{yz}) + log(z^{zx})
　= y･log(x^x) + z･log(y^y) + x･log(z^z)
　≦ y･(x^x - 1) + z･(y^y - 1) + x･(z^z - 1)
　= (y・x^x + ｚ・y^y + x・z^z) - (x+y+z),

*)　e^t ≧ 1+t　より　log(u) ≦ u-1,
562 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 19:36:39.48 ID:ZEBeZlNg.net: SP358.
コーシーで
　{(y+1)+(z+1)+(x+1)} {(z+1)(x+1)+(y+1)}{x^3/[(y+1)(z+1)] + cyclic}
　≧ (x+y+z)^3
　= s^3
よって
　(左辺) ≧ 4s^3 /(s+3)^2 + 3
　= s{(2s/(s+3))^2 + (s+3)/2s + (s+3)/2s - 1}
　= s(3-1)　　　　　　　(← AM-GM)
　= 2s
　≧ (右辺),
等号は s=3, x=y=z=1 のとき。
563 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 21:26:39.70 ID:ZEBeZlNg.net: SP358.
コーシーで
　{ …… } {(z+1)＋(x+1) + (y+1)}{ …… }
　≧ (x+y+z)^3

　≧ s(3-1)　　　　　　　(← AM-GM)

JP360.
　tan(x)^2/{tan(x)^3+cot(x)} + cot(x)^2/{cot(x)^3+tan(x)}
　　- 2/{tan(x)^2 +cot(x)^2}
　= Σ {tan(x) + cot(x) -2}/{tan(x)^2 + cot(x)^2}
　= X / (XX+4X+2)
　≦ 1/(4+2√2),　　　　　　　　　　　(*)
ここに　X = tan(x) + cot(x) -2 ≧ 0,
∴　0 ≦ (左辺) - (右辺) ≦ 3/(4+2√2),

*)　(XX+4X+2) - (4+2√2)X = (X-√2)^2 ≧ 0,
等号成立は X = √2,　sin(2x) = 2 - √2,
564 ：１３２人目の素数さん：2020/10/19(月) 19:49:07.20 ID:wNxsDbEN.net: Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/nrEQJtL.jpg
565 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 20:12:27.86 ID:J8I4fsGY.net: 〔問題558〕
正の実数 x,y,z が xyz=1 を満たすとき、以下を示せ。
x/(1+y+z)^3 + y/(1+z+x)^3 + z/(1+x+y)^3 ≧ 1/9 ≧ 1/(√xy + √yz + √zx)^2,
566 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:53:39.82 ID:F90OyzGB.net: >>565
問題番号がついてるけど、どこかのスレ番号で紹介されていたのかな？
567 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:54:13.75 ID:F90OyzGB.net: ああスマン。このスレの558の画像からか。
568 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:23:28.55 ID:qlrP4DQI.net: a,b,c > 1/2 のときに、aa+bb+cc+ab+bc+ca-a-b-c ≧0 を証明したい。
左辺を平方完成して、残り物 ab+bc+ca-3/4 にAM-GMする以外にﾊｧﾊｧできそうな方法はないかな？
569 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:24:46.82 ID:qlrP4DQI.net: >>564
左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に変えて同次にするんだろうと思うけど、そこで手が止まっている…
570 ：１３２人目の素数さん：2020/12/06(日) 02:09:47.83 ID:KT/cOuDT.net: >>568
　(左辺) = {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/2 - (a+b+c)
　　 = {(a+b)(a+b-1) + (b+c)(b+c-1) + (c+a)(c+a-1)}/2
　　> 0,
とか
　(左辺) = {4(a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/6 - (a+b+c)
　≧ (2/3)ss - s　　　　　　　(s=a+b+c)
　= (2/3)s(s - 3/2)
　> 0,
とか色々あるけど、単に
　a' = a - 1/2 > 0,　b' = b - 1/2 > 0,　c' = c - 1/2 > 0,
でいい希ガス…
571 ：１３２人目の素数さん：2020/12/07(月) 03:29:15.95 ID:8o9fiWHc.net: >>570
おぉ～ありがとう！
572 ：１３２人目の素数さん：2020/12/14(月) 01:35:46.45 ID:gLda82Cm.net: a,b>0は定数とする. 0<s,t<1のとき
st/(as+bt)+(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)}の最大値を求めよ.
573 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 06:19:31.83 ID:DAoaiwdi.net: 1/(a+b) - (与式) = ab(s-t)^2 /[(a+b)(as+bt){a(1-s)+b(1-t}] ≧ 0,
等号成立は s=t のとき。
574 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 13:22:00.83 ID:DAoaiwdi.net: コーシーで
　st/(as+bt) ≦ (at+bs)/(a+b)^2,
　(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)} ≦ {a(1-t)+b(1-s)}/(a+b)^2,
辺々たす。
575 ：１３２人目の素数さん：2020/12/19(土) 21:22:13.58 ID:iw6DTiTj.net: 単位円に内接する正n角形のn個の頂点からの距離の和が最小になる点とその最小値を求めよ。
576 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 20:55:16.29 ID:QYPKWpxY.net: 頂点A_k の極座標を (1, 2kπ/n)　点Pの極座標を (r, θ) とおく。
第二余弦定理より
PA_k = √{1 - 2r･cos(2kπ/n - θ) + rr} ≧ 1 - r･cos(2kπ/n - θ)
　等号成立は r=0 のとき
また
　Σ[k=1,n] cos(2kπ/n - θ) = Σ[k=1,n] {sin((2k+1)π/n - θ) - sin((2k-1)π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
　= {sin((2n+1)π/n - θ) - sin(π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
　= 0,
∴　Σ[k=1,n] PA_k ≧ n,
　等号成立は P=O のとき。

・nが偶数のとき　(n=2m)
三角不等式より
　PA_k + PA_{m+k} ≧ A_k A_{m+k} = 2,
　等号成立は P が線分 A_k A_{m+k} 上にあるとき。(← 円の直径)
∴　 Σ[k=1,n] PA_k = Σ[k=1,m] (PA_k + PA_{m+k}) ≧ Σ[k=1,m] 2 = 2m = n,
　等号成立は P=O のとき。
577 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 23:01:24.01 ID:QYPKWpxY.net: ヴェクトルの内積を使えば
OA_k = 1　より

PA_k ≧ ↑PA_k・↑OA_k = (↑OA_k - ↑OP)・↑OA_k
　　= 1 - ↑OP・↑OA_k,

∴　Σ[k=1,n] PA_k ≧ n - ↑OP・{Σ[k=1,n] ↑OA_k} = n,
等号成立は ↑OP = o.
578 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 08:32:42.45 ID:NURKUP5N.net: 　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　新年あけまして
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (a+b+c)e,
e = 2.71828… は自然対数の底
>>299
579 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 13:31:16.81 ID:2x2Frbzp.net: >>578
eが出てくるのか…
580 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 06:38:55.14 ID:N51mYuOL.net: eが出てきても eじゃない…

(左辺) ≧ 2.7199579587(a+b+c)
等号は a=b=c = 0.9968783547581 のとき。
581 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 16:12:00.62 ID:+lbXmv47.net: すべての自然数nについて
Σ_{k=1}^n (k^(1/2)-1)≧(n/2)*((n/2)^(1/2)-1)
が成り立つことをしめせ
582 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 20:22:26.62 ID:N51mYuOL.net: k≧2 について
　(k-1)^3 - k(k-3/2)^2 = (3/4)k - 1 > 0,　　(AM-GM)
　(k-1)^{3/2} > (k - 3/2)√k = k^{3/2} - (3/2)√k,
　√k > (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
(左辺) = Σ_{k=2}^{n} (√k - 1)
　　> (2/3)(n^{3/2} - 1) - (n-1)
　　= (1/3)(2√n +1)(√n - 1)^2
　　> (n/2)(√(n/2) - 1),
583 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 22:48:34.64 ID:N51mYuOL.net: 積分を使えば簡単だが…
√k > ∫_{k-1}^{k} (√x)dx = (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
584 ：１３２人目の素数さん：2021/01/04(月) 20:59:39.27 ID:OQ8TTvGy.net: 最後は
　(左辺) > n((2/3)√n - 1)
　　> (n/2)(√(n/2) + √(n/3) - 2)　　(← 補題)
　　≧ (n/2)(√(n/2) - 1)　　　　　(n≧3)
　n=1, n=2 は明らか。

〔補題〕
　1/√2 + 1/√3 < 4/3.
(略証)
コーシーで
　(1/√2 + 1/√3)^2 ≦ (1+1)(1/2+1/3) = 5/3 < 16/9 = (4/3)^2,
585 ：１３２人目の素数さん：2021/01/05(火) 10:53:44.67 ID:7+Me0drG.net: GM-AM で
　1/√2 + 1/√n < 3/4 + (1/4 + 1/n) = 1 + 1/n,
586 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 18:50:24.31 ID:ZXZ11nuc.net: n が被ってしまった。。。。m 等にすべきか。
>>583 から
　Σ_{k=2}^{n} √k > √2 + ∫_[2}^{n} (√x) dx
　　= √2 + (2/3)(n√n - 2√2)
　　> (2/3)n√n - 1/2,　　　　　　　　(n≧2)
587 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 19:13:16.60 ID:YFXd0DZ2.net: JMO2020本選5
588 ：１３２人目の素数さん：2021/01/07(木) 14:00:54.18 ID:PX1JcXUq.net: >>579

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (3/ln3)(a^3 +b^3 +c^3),
589 ：１３２人目の素数さん：2021/01/09(土) 17:51:38.85 ID:Gni2ACgE.net: ついでに…

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,

http://suseum.jp/gq/question/3221
590 ：１３２人目の素数さん：2021/01/10(日) 02:37:24.49 ID:k4Y9uhcW.net: 〔問題〕
A, B, and C are non-negative real numbers. Prove that
3(A^4 + B^4 + C^4) ≧ (A^2 + B^2 + C^2)(AB + BC + CA) + (A^2 - B^2)^2 + (B^2 - C^2)^2 + (C^2 - A^2)^2
≧ (A^2 + B^2 + C^2)^2,

BMO-2016 Azerbaijan (改)
[数学オリンピック３１．018]
591 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 05:19:03.42 ID:n9I3J2ea.net: >>589
　x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x｡},
　K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
　等号成立は　x。= 0.99703312297　のとき。
あとはコーシーで。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221
592 ：１３２人目の素数さん：2021/01/27(水) 16:42:45.22 ID:knjIwEAx.net: 〔問題〕
⊿の各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
　(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
　　≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},

佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　(左)　Leibnizの不等式　(定理2.4.5)　p.88-89
　(右)　演習問題 2.57(改)　p.94
593 ：１３２人目の素数さん：2021/02/13(土) 23:28:41.35 ID:DMjAiYgV.net: a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
594 ：１３２人目の素数さん：2021/02/14(日) 19:07:32.95 ID:EPktPcJq.net: >>593
a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 1 + 9/{(a+b+c)^2} ≧ 6/(a+b+c)

('A`) ｳｰﾑ…
595 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 19:11:23.08 ID:+p1DAQAM.net: 底面を凸四角形ABCDとする四角錐V-ABCDについて、
すべての辺に接し、かつ中心が底面上にあるような球が存在するとする。
このとき、
　VA+VB+VC+VD ≦ AB+BC+CD+DA

[大数2021－2月宿題]
596 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 20:08:40.42 ID:ItHwm5kd.net: 球の半径を1とし、球の中心をO、∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODAをa,b,c,dとすれば
AB+BC+CD+DA=2(cot a+cot b +cot c + cot d)、
VA+VB+VC+VD=cot a + tan a +cot b + tan b +cot c + tan c +cot d + tan d
∴ AB+BC+CD+DA-(VA+VB+VC+VD)
=cot a - tan a +cot b - tan b +cot c - tan c +cot d -tan d
以下a+b+c+d=π/2とcot x-tan xの凸性
597 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 21:52:59.29 ID:1xlHv4Kk.net: 大数ネタはご遠慮願いたいわ
598 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:07:29.10 ID:pOGUunX7.net: >>593-594
　文献[9]　佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)
　演習問題1.86　p.40
599 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:14:31.35 ID:mKsTbiN1.net: Π[p:素数]cos(2π/p) > 0
600 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:22:20.07 ID:FhoAKrRQ.net: >>596
三行目では, VA=cot a + tan a になるってことですか？
tan a の出所がわからないです。
601 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 01:31:32.48 ID:3OYBmM8w.net: あ、しまった>>596は撤回です
602 ：１３２人目の素数さん：2021/02/18(木) 15:24:16.44 ID:gfQsTfgF.net: 内接円をもつ四角形ABCDで、内接円の中心を I とするとき

(IA+ID)^2+(IB+IC)^2 ≦ (AB+CD)^2
603 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 15:53:16.27 ID:mfVhACbJ.net: >>599
cos(π) = - 1,
cos(2π/3) = - 1/2,
cos(2π/5) = (√5 -1)/4 = 1/(2φ) = 0.309017
cos(2π/7) = 0.6234898
Π[p≧11] cos(2π/p) > Σ[p≧11] (1 - 2ππ/p^2)
　　> 1 - Σ[p≧11] 2ππ/p^2
　　> 1 - (2ππ)Σ[k≧5] 1/(2k+1)^2
　　= 1 - (2ππ)(ππ/8 - 1 - 1/9 - 1/25 - 1/49 - 1/81)
　　= 1 - (2ππ)・0.0498356
　　= 0.01628475
∴　(与式) > 0

なお
　Π[p≧7] cos(2π/p) = 0.3338
　Π[p≧11] cos(2π/p) = 0.5354
(与式) ≒ 0.05158
604 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 16:29:58.81 ID:mfVhACbJ.net: Π[p≧11] cos(2π/p) > Π[p≧11] cos(2π/(p-1))
　> Π[n=5,∞] cos(π/n)
　= (2√2)Π[n=3,∞] cos(π/n)
　= (2√2)・0.114942　　　　　　　　(*)
　= 0.3251052

*) 数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
　●117　によれば
　Π[n=3,∞] cos(π/n) = 0.114942044853296…
605 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:15:42.03 ID:SY070HAY.net: (2)
　|cosθ| ≦ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≦ -1/2,
　|cosθ| ≧ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≧ -1/2,

(4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≦ cos(72),

[分かスレ４６６-119]
606 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:37:41.92 ID:SY070HAY.net: (2)
　cos(2θ) + 1/2 = 2 [(cosθ)^2 - 1/4],

(4)
　cos(4θ) - cos(72) = 8 [cos(18)^2 - (cosθ)^2] [cos(72)^2 - (cosθ)^2]

∴　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),

[分かスレ４６６-129]
607 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:39:49.08 ID:dHW5XVEt.net: (4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　←　　cos(4θ) ≦ cos(72),
608 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:43:07.41 ID:dHW5XVEt.net: 〔問題157〕
x>0, y>0, z>0 ならば
　(x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y >2,

[分かスレ４６６-157, 178]
609 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:53:41.41 ID:VMjWPceO.net: >>180
そのわかすれの178のレスでx+y,y+z,z+xのうち1以上のものが少なくとも一つあるとしてるけど、それらのケースに帰着できるわけじゃないよね？
最小値はx=y=z=0.184付近だし
単にすぐに除外していいケース述べてるだけだよね？
610 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 06:25:23.53 ID:gfZuqlK8.net: 全部1未満のとき
　0 < x, y, z < 1.
　f(z) = a^(1-z)　(a>0) は下に凸だから
　f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z,　　(0<z<1)
　a^(1-z) < a(1-z) + z < a+z,
　a^z > a/(a+z),　　　…　ベルヌーイの不等式
∴　(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z),
　巡回的にたす。
611 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 07:55:47.98 ID:hMmQPJhz.net: >>609
なんで上から抑えるん？
最小値>2を示せでしょ？
612 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 06:18:44.76 ID:dMP4wwTf.net: 〔問題596〕
正の実数 a,b,c が a+b+c = 1 を満たすとき
　(1/a - a)(1/b - b)(1/c - c) ≧ (3 - 1/3)^3,
　等号成立は a=b=c = 1/3.
を示せ。

[高校数学の質問スレ４１０-596,599,610]
613 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 22:08:55.30 ID:NWVdDcAf.net: 「任意の自然数nに対して、n<2^nが成立」
これを色々な方法で証明せよ

よくある証明方法は帰納法、二項定理の利用、微分によるなどあるが、それ以外もあるんかな
614 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 06:14:13.22 ID:JY2ui+vd.net: 帰納法
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1} > (n-1) + 1 = n,
あるいは
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-2} + ････ + 2 + 1 + 1 ≧ n + 1,
　　　　　　　　　　　(n+1)項

a_1, a_2, ････, a_n ≧ 0 のとき
(1+a_1)(1+a_2)････(1+a_n) = 1 + s_1 + ････ + s_n ≧ 1 + s_1,
　　s_k は k次の基本対称式
　　s_1 = a_1 + a_2 + ････ + a_n,
より
　2^n ≧ 1 + n
615 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 12:04:01.19 ID:qBeEcW7U.net: 俺が考えていた証明

n(1/n-1/2^n)=1-n/2^n
=(Σ1/2^i)-n/2^n
>(Σ1/2^i)-(1/2+…+1/2^n)>0
よりn>0だから
1/n-1/2^n>0⇔n<2^n
616 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 02:13:29.47 ID:M36DVxm1.net: 不等式ってこういう気まぐれ？なときもあるんだね。。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
617 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 22:30:10.49 ID:on5dd3Wr.net: >>616
n=3のときの、ネビットの不等式に (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧした若い頃が懐かしい…
618 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:27:58.15 ID:Rkkg81B/.net: >>612
a+b+c = 1 より
　G = (abc)^{1/3} ≦ 1/3,　　　　　(AM-GM)

　1/y - y = (1+y)･(1/y - 1),
より
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-a -b -c)/(abc) + (1/a + 1/b + 1/c) - 1
　= 1/a + 1/b + 1/c - 1
　≧ 3/G - 1
　≧ 2(1/G + 1)　　　(G≦1/3)
　= 2(1/3G + 1/3G + 1/3G + 1)
　≧ (2/(3G)^{1/4})^3,

(1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1+G)^3　　（コーシー)
　= (1/27)(3G+1+1+1)(1+3G+1+1)(1+1+3G+1)
　≧ ((4/3)(3G)^{1/4})^3,

辺々掛けて　(左辺) ≧ (8/3)^3.
619 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:34:06.62 ID:Rkkg81B/.net: 〔問題3204〕
a≧b≧c≧d≧0 のとき
　(a+2b) (aa+bb) ≦ (a+b)^3
　(a+2b+3c) (aa+bb+cc) ≦ (a+b+c)^3,
　(a+2b+3c+4d) (aa+bb+cc+dd) ≦ (a+b+c+d)^3,

注)　5文字の場合は aa(b-d-2e) が出て来ます…orz

すうじあむ
　http://suseum.jp/gq/question/3204
620 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 01:32:04.79 ID:iElyCuOB.net: >>616
こういうのもなんか理由があるっぽい
621 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 19:31:57.99 ID:jAHOCp/v.net: 〔例2.4.6〕
三角形の辺の長さを a,b,c, 面積を⊿とすると
　⊿ ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳), 文献９, 朝倉書店 (2013)　　p.89
622 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 20:11:29.99 ID:jAHOCp/v.net: (略証)
　⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
623 ：１３２人目の素数さん：2021/04/24(土) 23:51:27.16 ID:nN6RssoR.net: Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/UT7t9WF.jpg
624 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 04:42:31.91 ID:We8cr6tt.net: 〔問題〕
正の実数 a,b,c について、次が成り立つことを示せ。
　{aa(b+c)+4}/(a+2)^3 + {bb(c+a)+4}/(b+2)^3 + {cc(a+b)+4}/(c+2)^3 ≧ 2/3.
等号成立は (a,b,c) = (1,1,1) のとき
625 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 05:46:51.43 ID:We8cr6tt.net: (略証)
{aa(b+c) + 2 + 2} / (a+1+1)^3
　≧ １/ {(1+1+1)[a/(b+c) + 1/2 + 1/2)]}　　(← コーシー)
　= (b+c) / {3(a+b+c)},
巡回的にたす。
626 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 10:47:03.87 ID:2luW0iZY.net: Twitterから拾った問題

https://i.imgur.com/MTQJIvZ.jpg
627 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 11:03:19.13 ID:YeL676w3.net: >>625
作問者の天真(Twitter:@bon_miss_tenma)です
こんなにあっさり解かれるとは思ってませんでしたw
ついでに620さんの問題も僕のだったりします、是非挑戦してください！
628 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 19:29:46.14 ID:We8cr6tt.net: 〔問題620〕
正の実数 a,b,c が aa+bb+cc=3 を満たすとき、次を示せ。
　(2a+1)/(b+c+1)^3 + (2b+1)/(c+a+1)^3 + (2c+1)/(a+b+1)^3 ≧ 1/3,
等号成立は (a,b,c)=(1,1,1) のとき。

(略解)
　(左辺) ≧ (b+c+1)/(b+c+1)^3 + (c+a+1)/(c+a+1)^3 + (a+b+1)/(a+b+1)^3
　　= 1/(b+c+1)^2 + 1/(c+a+1)^2 + 1/(a+b+1)^2　　(← チェビシェフ)
　　≧ 9/{(b+c+1)^2 + (c+a+1)^2 + (a+b+1)^2}　　(← AM-HM / コーシー)
　　≧ 3/{(bb+cc+1) + (cc+aa+1) + (aa+b+1)}
　　= 3/{2(aa+bb+cc)+3}
　　= 1/3,　　　　　　(← 題意)
629 ：１３２人目の素数さん：2021/04/26(月) 02:25:57.94 ID:y9M7sTQu.net: (補足)
チェビシェフで
(a+1/2)/(b+c+1)^3 + (b+1/2)/(c+a+1)^3 - (a+1/2)/(c+a+1)^3 - (b+1/2)/(b+c+1)^3
　= (a-b) {1/(b+c+1)^3 - 1/(c+a+1)^3}
　≧ 0,
循環的にたすと
　(左辺) - 1/(b+c+1)^2 - 1/(c+a+1)^2 - 1/(a+b+1)^2 ≧ 0,
630 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 04:23:14.87 ID:B9p/ERZg.net: >>624
>>626

〔問題34〕
a,b,c > 0 のとき
　(a(b+c)+1)/(b+c+1)^2 + (b(c+a)+1)/(c+a+1)^2 + (c(a+b)+1)/(a+b+1)^2 ≧ 1,
　Inequalitybot [34]　☆5
　JMO-2010　問4

Inequalitybot も問題番号で検索できるようになってます。
631 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 07:27:45.63 ID:B9p/ERZg.net: >>589
〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
　(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　USAMO-2004, Q5
　Inequalitybot [48]　☆6
632 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 16:58:32.60 ID:B9p/ERZg.net: >>619
　(a+b)^3 - (a+2b)(aa+bb) = aab + (2a-b)bb ≧ 0,
　(a+b+c)^3 - (a+2b+3c)(aa+bb+cc) = aab + (2a-b)bb + (2a+b-2c)cc + 6abc ≧ 0,
　(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)(aa+bb+cc+dd)
= aa(b-d) + (2a-b-d)bb + (2a+b-2c-d)cc + (2a+b-3d)dd + 6(abc+abd+acd+bcd) ≧ 0,
633 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 17:05:44.79 ID:B9p/ERZg.net: これと以下を組み合わせた問題があった。
〔補題〕
a+b+c+… = 1 のとき
　　(a^a)(b^b)… ≦ (aa+bb+…),
(略証)
a+b+c+… = s　とおく。
y=log(x) は上に凸だから Jensen で
　a･log(a) + b･log(b) + ････ ≦ s･log((aa+bb+････)/s)
　(a^a)(b^b)… ≦ {(aa+bb+…)/s}^s,
s=1 とおく。
634 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 19:31:51.11 ID:B9p/ERZg.net: 〔問題〕
　tan(1/2) > cos(1).
これの証明はどうすれば出来ますか？

　高校数学の質問スレ４１１- 028, 936
635 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 23:28:33.43 ID:Tu1Xrn91.net: t = tan(1/2)とおいて
tan(1/2)-cos(t)=(t^3+t^2+t-1)/(t^2+1)
なのでコレが＋を言えば良い
tan(1/2)=0.546302.....
t^3+t^2+t-1は単調増大で0になるのはt=0.543689....
とりあえず5次までマクローリン展開して
tan(1/2)
>1/2+(1/3)(1/2)^3+(2/15)/(1/2)^5=131/240=0.54583333......
636 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:03:41.02 ID:mxa1BnUU.net: >>634
θ = 1/2　とおいて
tanθ - cos(2θ) = tanθ - 1 + 2(sinθ)^2
　= tanθ - 3/2 + {1/2 + 2(sinθ)^2}
　≧ tanθ - 3/2 + 2sinθ　　(AM-GM)
　= tanθ + 2sinθ - 3θ
　≧ 0,　　　(Snellius-Huygensの式)
637 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:45:36.56 ID:NbeeKPJA.net: このスネル・ホイヘンスの不等式、以前からどうやって見つけたのか気になってるヤツだ
638 ：１３２人目の素数さん：2021/04/30(金) 23:51:02.05 ID:nccWEVYf.net: >>636
上手だなあ
639 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 14:45:07.43 ID:kM6Q2nUa.net: 数学コンテストの問題から二つの不等式問題を拾ってみた

数オリ中国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/fDeESFB.jpg

数オリ米国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/t1tus8h.jpg
640 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 15:17:41.91 ID:34KV0J3x.net: >>639
さいきん、関数不等式に(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧでござる
641 ：１３２人目の素数さん：2021/05/04(火) 23:49:09.08 ID:+H9X9UVo.net: a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(25/27)
642 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:39:50.22 ID:16g2LNeV.net: 〔簡易版〕
a,b,c>0 に対して
　(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3).

(略証)
(a+b+c)^6 = {(aa+bb+cc) + (ab+bc+ca) + (ab+bc+ca)}^3
　　≧ 27(aa+bb+cc)(ab+bc+ca)^2,　　　　(AM-GM)
2/3 乗して
(a+b+c)^4 ≧ 9(ab+bc+ca)^2 {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3)
　　≧ 27(a+b+c)abc {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3),

元の問題は解けぬwww
643 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:41:42.08 ID:16g2LNeV.net: 〔問題3.85〕
実数a,b,cに対して
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2,

　APMO-2004 A5.改
　文献[9] 佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)　問題3.85　p.140
　Inequalitybot [20]　☆8
　[高校数学の質問スレ４１２－029,036,040]
644 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:49:27.56 ID:16g2LNeV.net: (解1)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= (1/3){(aa+5)(bc-1)^2 + (bb+5)(ca-1)^2 + (cc+5)(ab-1)^2
　　+ (ab+bc+ca-3)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
　≧0

(解2)
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2(ab+bc+ca)
　+ (abc-1)^2
　+ 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2,

　文献[9] の演習問題1.90 (ii)　p.41-42 に帰着する。
〔問題1.90〕(ii)
a,b,c を非負実数とする。このとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),
645 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 13:18:52.39 ID:+30DA6pc.net: >>641-642
ネットで拾ったんだけど、答えがないな
https://mathifc.wordpress.com/2012/09/20/inequality-106/
646 ：１３２人目の素数さん：2021/05/06(木) 05:59:11.34 ID:Vi6k/Ft1.net: >>644
〔例題2.1.11〕
(7)　a,b,c が非負実数のとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),

文献[8] 安藤, 数学書房 (2012)　p.36
647 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 05:50:26.45 ID:EIfW8DuI.net: >608
{x+y, y+z, z+x} のうち1以上のものが

・2個以上のときは　明らか。
・1個以下のときは　1 > y+z, z+x　より　0 < x, y, z < 1　　>>610
648 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 06:56:34.75 ID:EIfW8DuI.net: >>637
マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - (1/7!)θ^7 + (1/9!)θ^9 - …
　tanθ = θ + (1/3)θ^3 + (2/15)θ^5 + (17/315)θ^7 + (62/2835)θ^9 + …
から思い付いたのかも。

>>102 にもあるよ。
　H = θ - (1/180)θ^5 - (1/1512)θ^7 - (1/25920)θ^9 - …
　G = θ + (1/45)θ^5 + (4/567)θ^7 + (1/405)θ^9 + …
　A = θ + (1/20)θ^5 + (1/56)θ^7 + (7/960)θ^9 + …
　A + H - 2G = (1/324)θ^7 + (1/432)θ^9 - …
　AH/GG = (2cosθ+1)/{(2+cosθ)(cosθ)^(1/3)}
　　　　= 1 + (1/324)θ^6 + (1/648)θ^8 + …
649 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 08:38:14.15 ID:EIfW8DuI.net: ついでに…
s>0, t>0 とし
　A = (s+s+t)/3,
　G = (sst)^(1/3)
　H = 3st/(s+t+t),
とおくと
　H < G < A,
　AH > GG,　　　(0<s<t)
　A+H > 2G,　　　(0<s<t)
(略証)
　AH = (s+s+t)st/(s+t+t),
　G^3 = sst,
より
　(AH)^3 - G^6 = tt {t(s+s+t)^3 - s(s+t+t)^3}{s/(s+t+t)}^3
　　= tt(s+t){(t-s)s/(s+t+t)}^3 > 0,
∴　AH > GG,

　(A+H)/2 = (ss+7st+tt)/[3(s+t+t)],
　G^3 = sst,
より
　{(A+H)/2}^3 - G^3 = {(t-s)^3 + 27stt}{(t-s)/[3(s+t+t)]}^3 > 0,
∴　A+H > 2G,
650 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 18:54:47.33 ID:SMLQU2Ye.net: >>648
テイラー展開は、あまり時代に合わんような気もする。まあ古くから、特殊な場合だけや結果だけ知られているということがよくあるのと、詳しくないので結論付けられない。

ホイヘンスによる証明があったわ。
円の大きさの発見 : 1654年ホイヘンスによる円周率の計算
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_tanuma.pdf
（近似）式自体は、15世紀のニコラウス・クザーヌスまで遡れるらしい。

グレゴリーやニュートンが17世紀後半にべき級数展開したらしいから、ホイヘンスは知らないような気もする。代数計算得意じゃないとキツイし。
651 ：１３２人目の素数さん：2021/06/06(日) 02:15:52.79 ID:Q09kUO/y.net: 1992年IMO5番
https://i.imgur.com/NvlwAw4.png
652 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:51:17.44 ID:Hilnv+E/.net: ５．Sは3次元座標空間の有限個の点の集合である。
S_x, S_y, S_z はそれぞれ、Sの点の yz-平面, zx-平面, xy-平面への正射影からなる点の集合である。
次を証明せよ。
　　| S |^2 ≦ |S_x|･|S_y|･|S_z|
ここに | A | は有限集合Aの要素の個数である。
653 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:57:08.83 ID:Hilnv+E/.net: >>284

f(x)は下に凸な関数とする。自然数nに対して不等式
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
を示せ。

[面白スレ３６．256-260]
654 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 20:03:58.37 ID:Hilnv+E/.net: >>651 >>652
z値の集合を {z1, …, zi, …, zn} とする。
S, Sy, Sx の点を z値で分類する。
S, Sy, Sx の点のうち　z=zi をみたすものの個数を |Li|, ai, bi とする。

(1)　|Li| ≦ ai･bi,

(2)　|S| = |L1| + … + |Li| + … + |Ln|,

(3)　|Sy| = a1 + … + ai + … + an,
　　|Sx| = b1 + … + bi + … + bn,

(4)　|Li| ≦ |Sz|,

(1) と (4) を掛けて
　|Li|^2 ≦ (ai･bi) |Sz|,
　|Li| ≦ √(ai･bi) √|Sz|,　　　　････ (5)

(2), (5) より
|S|^2 ≦ {√(a1･b1) + … + √(ai･bi) + … + √(an･bn)}^2･|Sz|
　　≦ (a1 + … + ai + … + an)(b1 + … + bi + … + bn)|Sz|　　　コーシー
　　= |Sy| |Sx| |Sz|,

http://www.youtube.com/watch?v=IzitrvYnNkc 11:08,
655 ：１３２人目の素数さん：2021/06/12(土) 15:46:26.57 ID:rM3zqrZ1.net: 1993年日本数学オリンピック本選5番

https://i.imgur.com/kwA3sGg.png
656 ：１３２人目の素数さん：2021/06/14(月) 16:23:08.26 ID:lFKMSNRU.net: 0<k≦3, a,b,c>0のとき
3-k+k(abc)^(2/k)+a^2+b^2+c^2≧2(ab+bc+ca)
を示せ
657 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 01:00:18.66 ID:78D2HNY3.net: >>646
>>656
似た問題くれ
658 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 20:42:53.54 ID:iDQ7MEu/.net: >>656
0<k≦3 ゆえ x^(3/k) は下に凸。　x=1 で接線を曳いて、
　(3-k) + k･x^(3/k) ≧ 3x,
(左辺) - (右辺) ≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 3(abc)^(2/3)
　≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 9abc/(a+b+c)　　　　(AM-GM)
　= F1(a,b,c)/(a+b+c)
　≧ 0,

*)　Schurの不等式
F1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0.
659 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 14:58:41.31 ID:NM0vuEzL.net: >>658
3/kではなくて2/kだぞ
660 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 20:08:44.51 ID:lnjH0V31.net: x = (abc)^(2/3)
661 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net: IMO2021の2番に不等式問題出たな

https://i.imgur.com/3822PyY.png
662 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net: >>661
ｳﾎｯ、いい不等式！
663 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net: a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい
664 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
　t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
　u = abc < 1,　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ t < 4,
∴　s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,

(s-t)(ss+st+tt - 4t)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
　≧ 0,　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0,
　[面白スレ３７．704] にもあった。
665 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net: 訂正ｽﾏｿ
　s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3,　　　(AM-GM)
666 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net: 〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき　a+b+c≧ab+bc+ca,

大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ７.114-115,160]
Inequalitybot [184]　☆7
667 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
　u = abc < 1　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ s < 4.

4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
　　= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
　　≧0,　　　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0.
668 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net: >>661
〔問題2.〕
　任意の実数 x1, x2, ････, xn に対して、不等式
　　　　　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。
669 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net: 実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな
670 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net: >>664
　s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな
671 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net: >>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは

これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする？
672 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net: 複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
　　　|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
673 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net: >>672
条件に |z|>1 を追加。
674 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net: a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.
675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net: f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k　とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1　(最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2　(最大)

(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
　　　= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
　　　= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k})　　(←同符号)
　　　≧ 0,
676 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net: >>672
?不等式より
　|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|･arg(z),
677 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net: >>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
　　　　　 + (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
　　　　　≧ 0,
の方がいいか…
678 ：１３２人目の素数さん：2021/07/31(土) 10:02:06 ID:aE5MLnpD.net: 有名不等式が大量に載ってるpdfを発見したので載せてみる
http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf

あと2020年度imoショートリストから

https://i.imgur.com/ju1Dyee.png
679 ：１３２人目の素数さん：2021/08/17(火) 13:07:12 ID:3+UNf6gr.net: >>678
グッジョブ
分割して日替わり壁紙にしよう
680 ：１３２人目の素数さん：2021/08/26(木) 20:07:00 ID:hGc0TLQT.net: eと(1+1/n)^nが登場する不等式をたくさんください
681 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 18:23:48 ID:KMsJe/e+.net: a, b, c が０以上かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 を満たすとき,
(a+bーc)^n + (b+c-a)^n + (c+a-b)^n (n は3以上の整数)　
の最大値と最小値を求めよ.
682 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 21:02:15 ID:HGuBdRDo.net: 最大値 2^{n/2}
　　a = 0,　b = c = 1/√2 など。　(x=√2, y=z=0, etc.)
最小値 (1/3)^{n/2 - 1}
　　a = b = c = 1/√3,　　(x=y=z=1/√3)

x = b+c-a,　y = c+a-b,　z = a+b-c とおくと
1 = aa + bb + cc
　= {(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}/4
　= {(x+y+z)/√3}^2 + (1/4){(x-y)/√2}^2 + (1/4){(x+y-2z)/√6}^2,
回転楕円体 (どら焼き形)
　短軸：１　　(1,1,1)方向　　
　長軸：２　　それと垂直方向
683 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 23:49:24 ID:KMsJe/e+.net: >> 676

もう少し具体的に
684 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 02:00:08 ID:HFxHmzMl.net: a=u^2,b=v^2,c=w^2
束縛
C = u^4+v^4+w^4-1
評価関数
S = (v^2+w^2-u^2)^n+(w^2+u^2-v^2)^n+(u^2+v^2-w^2)^n

s = 2n((v^2+w^2-u^2)^(n-1)+(w^2+u^2-v^2)^(n-1)+(u^2+v^2-w^2)^(n-1))とおいて
dC=4(u^3,v^3,w^3)
dS=s(u,v,w)
s≠0により
dSがdCで張られる
⇔vw(v^2-w^2)=wu(w^2u^2)=uv(u^2-v^2)=0
⇔u^2=v^2=w^2 or u^2=v^2 & w=0 or u=v=0 or...
685 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 06:18:37 ID:Zhg5gGCb.net: 専門的過ぎてついていけない
数オリの高校生の理解できる解法でお願いします
686 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 10:01:38 ID:HFxHmzMl.net: 数学の問題は進んだテクニック使っても全然簡単にならず、実は中学生でも理解できるような話の方が楽に解ける時がある
数オリとかの問題とかそういう問題のオンパレードだし、ピーターフランクルとかそんな問題大好きの人もいっぱいいる
しかしそれは進んだ数学を勉強しないでいい理由になどにはならないし、ましてや逆に言えば、進んだテクニック使えば楽に解ける問題をいつまでもいつまでもそういう”初頭数学縛り”をかけて解くのは単なる“自己満”でしか無い
不等式の話を本当に極めるなら未定乗数法は絶対避けては通れない
687 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 12:53:40 ID:LDbpAA38.net: grad(f(u,v,w)) = ∇f = (∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w)
s1 = 2n{-(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s2 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) - (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s3 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) - (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
とおくと
　grad(C) = ∇C = 4(u^3, v^3, w^3)
　grad(S) = ∇S = (s1･u, s2･v, s3･w)
　　　　　　　= s(u, v, w)
ここからついていけない…
688 ：１３２人目の素数さん：2021/09/06(月) 18:13:36 ID:eC9BaMcK.net: 問題[2]
　a_n = (1 + 1/n)^n,　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)　　(nは正の整数)
とおくとき、nが増加するとa_nは増加し、b_nは減少することを証明せよ。
　(数学検定 2011年秋, 1級 2次問題[2] の一部)
* 作問者は AM-GM を活用する解答を期待していたが…

〔補題258〕　　　　　　　　　　　　　　　>>262
　(1)　(1 + 1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
　(2)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
　(3)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

>>267
Σ[k=1,n] (1/((k+1)(k!)^2))^(1/k) ≒ 1.99877613 - ee/n + 64.5/nn - …
689 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 06:12:14 ID:UyKWpegQ.net: >>680
〔モローの不等式〕
　{2n/(2n+1)}e < (1+1/n)^n < {(2n+1)/(2n+2)}e,

左側は補題(1) より
　{2n/(2n+1)}e < 1/√(1+1/n)・e < (1+1/n)^n

http://www.youtube.com/watch?v=FDTaIYjWR2E 20:24,
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.82
690 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 15:24:37 ID:+P/8oXVv.net: x_1,x_2,...,x_n>0, Πx_k=1のとき次を示せ
Σ1/(n-1+x_k)≦1
691 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 17:00:11 ID:cOPYG12B.net: f(t)=1/(n+e^t)、F(t1,‥) = Σf(ti)とおく
f(t)はt≧lognで下に凸かつt≦lognで上に凸
全てtiがlognより小さい領域ではti=0のときFは最大値1
そうでない領域でΣti=0かつF(ti)>1が存在すれば
t1 =(n-1)c, ti=-c (i≧2,t1>logn)
であるtiで存在する
e^t=uとおいて
F(ti)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) + (n-1)/(n-1+1/u)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) - 1/((n-1)u+1)
しかしu≧1において
n-1+u^(n-1)≧(n-1)u+1
であるから矛盾
692 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:07:13 ID:Sn49tAbo.net: 背理法で…
不等式が成り立たないとする。すなわち、
　Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) >1,
であると仮定する。このとき
1/(n-1+x_i) > 1 - Σ[k≠i] 1/(n-1+x_k)
　= (1/(n-1))Σ[k≠i] x_k /(n-1+x_k)
　≧ ( Π[k≠i] x_k /(n-1+x_k) )^{1/(n-1)},　(AM-GM)
となる。i=1,…,n で掛けて
　Π[i=1,n] 1/(n-1+x_i) > Π[k=1,n] x_k /(n-1+x_k),
となるが、これは 1 > Π[k=1,n] x_k を意味するので矛盾である。

ルーマニアMO-1999,
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題3.35　p.131
Inequalitybot [109]
693 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:13:59 ID:Sn49tAbo.net: 〔類題〕
　x_1, x_2, …, x_n >0 が Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) = 1 を満たすとする。
このとき
　　　Π[k=1,n] x_k ≧ 1,
を証明せよ。

文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題1.46改　p.14
694 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 10:34:26 ID:YMP5Sl+4.net: (1)
z,w∈C、|z|=|w|=1 のとき、
|z+1| + |w+1| + |zw+1| ≧ 2

(2)
a,b,c∈C に対して、
|a| + |b| + |c| ≦ |a+b-c| + |b+c-a| + |c+a-b|

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
695 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 22:52:38 ID:lYkiWXwV.net: (1)は簡単やな
x^をxの複素共役として
|z+1|+|w+1|+|zw+1|
=|z+1|+|w^+1|+|z+w^|
なので|a|+|b|+|c|=1のとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|≧2
を示せば良い
b = c exp(2iA), c = exp(2iB), a = exp(2iC), A+B+C=π
となる非負実数A,B,Cがとれるとしてよくこのとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|
=2(cosA+cosB+cosC)
であるからcos(x)の凸性により(A,B,C)=(-π,π,π),(π,-π,π),(π,π,-π)のとき最小値2
696 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 23:02:12 ID:lYkiWXwV.net: (2)は力技で
sを複素定数としC^3の領域
R={ .. | a + b + c = 2s }
におけるS=2( |s-a| + |s-b| + |s-c| ) - ( |a| + |b| + | c| )の最小値が0以上であることを示せば良い
それには全微分できない領域で非負、全微分可能な極値で非負を言えば十分
s=0であればS=|a|+|b|+|c|となり自明だからs≠0とする

i) a=0のとき
S=2(|b+c|/2 + |b-c|/2 × 2) - (|b|+|c|)
=|b+c|/2-|b|+|b+c|/2-|c|+|b-c|
≧-|b-c|/2 × 2 + |b-c| = 0

(ii) a=s のとき
このときs=a=b+cより
S=2(|b|+|c|)-(|b+c|+|b|+|c|)
=|b|+|c|-|b+c|≧0

(iii) a=bのとき
このときs=a+c/2より
S=2(|c/2|+|c/2|+|a-c/2|)-(|a|×2+|c/2|)
=|c|+|2a-c|-|2a|≧0

(iv)a,b,cが同一直線上のとき
a,b,cは実数としてよくSをaの関数として見たときlim[a→±∞]S=∞だから極値だけ考えればよく、極値をとるのはa=s,0の場合のみであるから既出の場合に還元される

(v)その他の場合
Sは全微分可能でありz^を複素共役としてe(z)=z/|z|とおけば
dS = -2(e(s-a)^da + e(s-a)da^+ e(s-b)^db +e(s-b)db^+ e(s-c)^dc + e(s-c)dc^)-(e(a)^da+e(a)da^+e(b)^db+e(b)db^+e(c)^dc+e(c)dc^)
でありコレがda+db+dcの複素定数倍であるから
2e(s-a)+e(a)=2e(s-b)+e(b)=2e(s-c)+e(c)=0
である
よってa,b,cが同一直線上となるので既出のケースに還元される
697 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:09:47 ID:AENcTZtD.net: >>695
(1)
|a| = |b| = |c| = 1 のとき
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2,
ですか。

>>696
(2) は簡単やな。Ravi変換で
　b+c-a = p,
　c+a-b = q,
　a+b-c = r,
とおけば
(左辺) = |a| + |b| + |c|
　= |q+r|/2 + |r+p|/2 + |p+q|/2
　≦ |p| + |q| + |r|.
698 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:22:40 ID:IIHpCqtI.net: あれ？
その方法最初に考えてダメと思ったんやけど勘違いしたかな？
まぁ複素係数の微分形式の復習になったからいいけど
699 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 20:58:30 ID:AENcTZtD.net: >>695
　C ≧ π/2 の場合 (鈍角?) は
　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　= 2(|cosA| + |cosB| + |cosC|)
　≧ 2(cosA + cosB)
　≧ 2(1 + cos(A+B))　　　(凸性)
　≧ 2,　　　　　　　　(A+B≦π/2)
ですね。あるいは
　cosA + cosB + cosC
　= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)　　　(A+B+C=π)
　≧ 1,
700 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 19:57:40 ID:K2h4cEAP.net: >>694
(1)は簡単やな
　|z+1| + |w^+1| + |z+w^|
　≧ |(z+1) + (w^+1) - (z+w^)|
　= 2,

　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　≧ |-(b+c) + (c+a) + (a+b)|
　= 2|a|,
同様にして
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2 Max{|a|,|b|,|c|}

(2)は簡単やな　　>>697
701 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 20:21:10 ID:miCnVfcc.net: >>700
なんでそういう書き方するん？
それ読んだ相手がどういう気持ちになるか考えられへんの？
702 ：１３２人目の素数さん：2021/09/24(金) 22:25:33 ID:lJNbXbJw.net: 〔問題〕
　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < (1+√5)/16 = 0.2022542486

　(阪大-改)

http://www.youtube.com/watch?v=_zGQfWy9j28 22:05
鈴木貫太郎
703 ：１３２人目の素数さん：2021/09/25(土) 11:52:48 ID:S56dxsDJ.net: 1/n^3 = n/n^4
　< n/(nn-1/4)^2
　= {(n+1/2)^2 - (n-1/2)^2}/{2(nn-1/4)^2}
　= (1/2){1/(n-1/2)^2 - 1/(n+1/2)^2}
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 2/9 = 0.222222
ぢゃ出ない････orz
704 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 04:04:41 ID:xRhStcay.net: c>0 かつ z,w∈C のとき、
|z+w|^2 ≦ (1+c)|z|^2 + (1 + 1/c)|w|^2.

昔やったかも？ ( ﾟ∀ﾟ)
705 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net: |z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 　　　　(三角不等式)
　　= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
　　= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
　　≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2　　　(GM-AM)
　　= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。
706 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net: >>702
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034…　とおく。　(黄金比)
1/n^3 = n/n^4
　≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2･(nn-4)}　　　　(n≧2)
　= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
　= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
　= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,
707 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net: >>704
　|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
708 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net: >>702
1/n^3 = n/n^4
　< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)}　　　　(n≧3)
　= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
　= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
　= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
709 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net: >>707
( ﾟ∀ﾟ) ｷﾀｺﾚ！
710 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net: >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか？
711 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net: arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。

∵　arg(p) = arg(q) = arg(r).
712 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net: Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)

↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
713 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net: とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
714 ：１３２人目の素数さん：2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net: 初項は　2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,

なお、二項公式から
　Σ(k=1～2n) Ｃ(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
715 ：１３２人目の素数さん：2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net: 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b)　とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A　
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか？
証明はただ計算すればいいんですけど、、
716 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net: 分かりませんね。

　I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
　I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
　f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
　f(∞) = H,
　f(b) = I(a,b),
　f(H) = (A+H)/2,
　f(G) = √(AH) = G,
　f(A) = 2AH/(A+H),
　f(a) = I(b,a),
　f(0) = A,
717 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net: >>715

AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると

H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A　も成立
718 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net: >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
719 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net: f(-a)=b
f(-b)=a
720 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net: 　f(x) = (A+x)/(1+x/H)　⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
　g(x) = (b+x)/(1+x/a)　⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)

　f(-A) = 0　　　　　　　g(-b) = 0
　f(-b) = a　　　　　　　g(∞) = a
　f(∞) = H　　　　　　　g(b) =　H
　f(b) = I(a,b)　　　　　g(A) = I(a,b)
　f(A) = 2AH/(A+H)　 g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
　f(G) = √(AH) = G　 g(G) = √(AH) = G
　f(H) = (A+H)/2　　　 g(I(a,b)) =(A+H)/2
　f(a) = I(b,a)　　　　　g(H) = I(b,a)
　f(0) = A　　　　　　　　g(a) = A
　f(-a) = b　　　　　　　g(0) = b
　f(-H) = ∞　　　　　　　g(-a) =∞
721 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net: 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな？
722 ：１３２人目の素数さん：2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net: AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
723 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net: z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
724 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net: 閉円盤
725 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net: 解1.
A(1/3,0)　B(3,0)　P(x,y) とおくと
　(与式) = 3(AP/BP)

(与式) = k　(<3) は
　AP：BP = k：3
なるアポロニウスの円である。
直径の両端は内分点と外分点
　(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
　3-8/(3-k) ≧ -1　または　3-8/(3+k) ≦ 1,
∴　k ≦ 1,

解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
　= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
　= 8(1-zz~)
　= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r･e^(iθ)-3|^2 - |3r･e^(iθ)-1|^2
　= (rr -6r･cosθ +9) - (9rr - 6r･cosθ +1)
　= 8(1-rr),
よって
　|z|≦1　　⇔　　|(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
726 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net: 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
　D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2},　　　h≧4/3
も距離。

[面白スレ３９．399,402,404]
727 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net: は怪しいので
　D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
728 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net: >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
729 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net: z=-1で最大
730 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net: 　|z| ≦ 1,
　|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
　|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
　……
辺々掛けて
　|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
731 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net: なんか凄いな
732 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net: z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
733 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net: 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
734 ：１３２人目の素数さん：2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net: 〔問題471〕
任意の自然数ｎに対して、次を示せ。
　1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……

[高校数学の質問スレPart414．471]
735 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net: 右辺は　∫[0,1] x^n e^{1-x} dx　になるらしい…

[同．492]
736 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net: むむむ…
737 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net: 右辺は {n!e} になるらしい。

高校生なら等比級数
　1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
738 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net: >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ（積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある）
739 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net: >>735
　被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x　と下から接すれば
　e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n　を得る。
740 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net: 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
　a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。

[分かスレ４７１．279,292]
741 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net: >>740

a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
＝ 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
742 ：１３２人目の素数さん：2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net: 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
743 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net: 〔掛谷の定理〕
　a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0　(a_k>0)
の根は　m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
　　　M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}

高橋正明著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)

すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
　 a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
　m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,

∴　a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
744 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net: >>741
ナイスエレガンス
745 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net: >>743
(訂正ｽﾏｿ)
　　M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}

元の形は
　0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n　のとき　|z| <1,
　a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0　のとき　|z| >1,
746 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net: 2018年度奈良県立医科大学後期四番

https://i.imgur.com/3OlENLH.png
747 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net: >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
748 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net: 相変わらず手抜きだよ
749 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net: 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
750 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net: 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。

東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。（想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので）
751 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net: 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ
752 ：１３２人目の素数さん：2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net: a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ
753 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net: 任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)
754 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net: >>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10
755 ：１３２人目の素数さん：2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net: 1997東大理系数学第2問
756 ：１３２人目の素数さん：2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net: z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.
757 ：１３２人目の素数さん：2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net: 複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式
758 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net: z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか？
759 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net: ときたいとは？
面積求めるとか？
図示するとか？
760 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net: 図示ですぞ
761 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net: >>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ
762 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net: ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。
763 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net: 大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja
764 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net: 大先生はよく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…
765 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net: >>764
最後の方にある

y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)

と

y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)

の間やろ
766 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net: >>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。
767 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net: >>766大先生の答え整理したら円になる？
768 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net: zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
769 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net: ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。

>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。
770 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net: イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja
771 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net: >>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。
772 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net: もともとは、冪級数
　S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が２つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。

　y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
　y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.

これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。

(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。
773 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net: >>770
x・yの二次式って意味だった。

>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。
774 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net: youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子？で女性？
775 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net: Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
776 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net: x,y,zが非負実数のとき　Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
777 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net: a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
778 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net: USAMO第六問

nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
779 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net: >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
780 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net: >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
781 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net: ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
782 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net: これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
783 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net: 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
784 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net: ウクライナMO2021

a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
785 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net: >>782
どうやって導き出したんですか？
786 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net: 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
787 ：１３２人目の素数さん：2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net: >>784　abcの大小は関係ない
788 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net: コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
789 ：１３２人目の素数さん：2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net: >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた

任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根

n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
790 ：１３２人目の素数さん：2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net: x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
791 ：１３２人目の素数さん：2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net: はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
792 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net: w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.

w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか？
793 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net: f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して

|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
794 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net: >>793
なるほど、ありがとうございます。
795 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net: >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか？

|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ？
796 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net: |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
797 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net: >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
798 ：１３２人目の素数さん：2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net: 単位円上の５点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する５つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
799 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net: >>756
これはどうやって証明するのでしょうか？
800 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net: 大先生いわく成立してないぽい

https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
801 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net: >>800
全く違う式では？
802 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net: 何故？
803 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net: >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
804 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net: 右辺は e+1 でしょうね。
805 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net: >>756
改造してみた。どう？

z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
806 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net: 5/3? 4/3でなく？
807 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net: やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる

https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja

e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
808 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net: >>807
|z|=1なのに？
809 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net: すまん。
810 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net: >>806
計算しなおしたら、4/3でした。すまそ。

z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
811 ：１３２人目の素数さん：2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net: 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
812 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net: >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
813 ：１３２人目の素数さん：2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net: ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
814 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net: 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか？
815 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net: マクローリン展開じゃないの？
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
816 ：１３２人目の素数さん：2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net: う～ん
817 ：１３２人目の素数さん：2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net: 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1　(|z|→0)
818 ：１３２人目の素数さん：2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net: >>814
改造してみた。うひょっ！

|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
819 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net: a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
820 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net: z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
821 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net: >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
822 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net: | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
823 ：１３２人目の素数さん：2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net: https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
824 ：１３２人目の素数さん：2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net: https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
825 ：１３２人目の素数さん：2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net: ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
826 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net: π: R→R/I
827 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net: π: a→a'
828 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net: 自然な準同型写像
829 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net: Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
830 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net: 準同型写像fの核Ker
831 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net: Kerf=(0)⇔fは単射
832 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net: R/Kerf≅f(R)
833 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net: f'は単準同型写像
剰余環→環
834 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net: f: R→R'
835 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net: π: R→R/I、I=Kerf
836 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net: f': R/I→R'
837 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net: R上の不定元、変数
838 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net: R上のXの多項式
839 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net: exp(x)>x
840 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net: 次数n=degf(x)
-∞
841 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net: R[x]
842 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net: f+g=∑(a+b)x
843 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net: fg=∑∑(ab)x

aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0～n
844 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net: R上の1変数多項式環
845 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net: a₀=0、0元
a₀=1、単位元
846 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net: degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
847 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net: Rが整域⇒R[X]は整域
848 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net: R[X][Y]=R[X, Y]
849 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net: 最大公約元
850 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net: 原始多項式
851 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net: 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
852 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net: Gaussの補題
853 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net: f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
854 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net: f=uF
855 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net: 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
856 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net: UFD、Rの商体をKとする
857 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net: Fを原始多項式
858 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net: しなわち(a₁)=1とする
859 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net: ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
860 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net: Eisensteinの既約性判定条件
861 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net: fがKの素元⇒FはRの素元
862 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net: 特にF自身をとると
863 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net: 特にFがKで素元であれば
864 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net: FはKで素元であればRで素元である
865 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net: RがUFD⇒R[はUFD]
866 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net: 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
867 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net: RをUFD、
868 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net: Kをその商体とする。
869 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net: p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
870 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net: モニックp∤aₙ
p|その他0～n-1
p²∤a₀、定数項
871 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net: Eisensteinの既約性判定法
872 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net: 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
873 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net: 有限体
874 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net: Kを有限体とする
875 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net: Kの単位元を1とする
876 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net: (n)=n･1
877 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net: 準同型写像τ: ℤ→K
878 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net: 環準同型定理より
879 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net: π: ℤ→ℤ/Kerτ
880 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net: τ': ℤ/Kerτ→K
881 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net: 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
882 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net: τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
883 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net: Kerτはℤの素Idealとなる
884 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net: Kerτ=(p)
885 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net: 体Kの標数p
886 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net: これはKの素体
887 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net: Kに含まれる最小の体
888 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net: 標数pの体の素体ℤₚ
889 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net: ℤₚ=𝔽ₚとする
890 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net: 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
891 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net: 有限体K、乗法群K*
892 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net: 乗法群K*は巡回群である
893 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net: 生成元を原始根
という
894 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net: 部分体と
895 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net: 拡大体
896 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net: KはF上のVector空間
897 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net: dim_F K=[K: F]
898 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net: [L: F]=[L: K][K: F]
899 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net: αはK上代数的である
900 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net: αはK上超越的である
901 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net: αを根とする
902 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net: 次数最小の
903 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net: モニックな
904 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net: 既約多項式
905 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net: αのK上の最小多項式f(x)
906 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net: αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
907 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net: LはK上代数的
908 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net: Kにαを添加した体
909 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net: K(α)
910 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net: Kに添加した体
911 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net: 単純拡大
912 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net: 単拡大
913 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net: K[]X→K[α]⊂L
914 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net: X→α代入
915 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net: これは環同型写像
916 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net: K[α]の商体K(α)
917 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net: K上の有理関数体と同型
918 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net: K(x)
919 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net: 写像: K[ X]/(f)→K(α)
920 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net: この場合、写像X'→α
921 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net: 同型写像でありK[α]は体になる
922 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net: すなわちK[α]=K(α)
923 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net: K⊂L、α∈Lとする
924 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net: αを体K上代数的とする
925 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net: [K(α): K]=n
926 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net: f(x)のLにおける根
927 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net: 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
928 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net: 制限σ|F
929 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net: 自己同型写像
930 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net: 恒等写像
931 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net: q=p^r、r≧1
932 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net: -(-a)=a
933 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net: 0a=a0=0
934 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net: (-a)b=a(-b)=-ab
935 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net: a(b-c)=ab-ac
936 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net: (b-c)a=ba-ca
937 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net: 三則が可能
938 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net: 可換、簡約が可能とは限らない
939 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net: 単位的環
940 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net: 正則R*
941 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net: (ma)b=a(mb)=mab
942 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net: 零環{0}
943 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net: 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
944 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net: 零環は0しかない
945 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net: 零元0
946 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net: 環R≠{0}
零環を除くとする
947 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net: a≠0を元に持つ
948 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net: 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
949 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net: よってe≠0
950 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net: 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
951 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net: a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
952 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net: よって0a=a0=0となる
953 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net: -(-a)=a
954 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net: (a⁻¹)⁻¹=a
955 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net: 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
956 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net: Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
957 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net: 加法群において
a+(-a)=0
958 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net: これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
959 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net: Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
960 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net: -(-a)=aとなる
961 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net: R*
962 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net: a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
963 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net: a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
964 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net: a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
965 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net: するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
966 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net: (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
967 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net: ab∈R*より積に関してR*は閉じている
968 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net: Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
969 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net: 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
970 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net: Rに関して0を除外した場合
971 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net: R*は群をなすかどうか
972 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net: 結果的に群をなす
973 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net: ことがわかった
974 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net: 積に関して閉じている
975 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net: 単位元の存在
976 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net: 逆元の存在
977 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net: 結合律の成立
978 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net: 逆元を持つ元のみの集合
979 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net: 結局0が除外サれるだけ
980 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net: 0には逆元は存在しない
981 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net: 加法群としてならば存在する
982 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net: R*=R-{0}
983 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net: R\{0}
984 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net: R=R*と仮定すると
985 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net: 0∈Rより0∈R*となる
986 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net: ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
987 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net: a=0として
988 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net: 0×0⁻¹=e
989 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net: ∀a、0a=0より
990 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net: 0=eとかり不合理
991 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:48.61 ID:wmZr8viD.net: よってR≠R*である
992 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:09.66 ID:wmZr8viD.net: あり得ない物を持ち込んで
993 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:31.62 ID:wmZr8viD.net: 矛盾を導く
994 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:22:57.43 ID:wmZr8viD.net: 分配律を利用する
995 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:24:14.71 ID:wmZr8viD.net: (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
∴(-a)b=-ab
996 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:25:31.12 ID:wmZr8viD.net: a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
∴a(-b)=-ab
997 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:28:00.31 ID:wmZr8viD.net: よってA(-b)=-Ab
A=-aとして
-(-a)(-b)=-(-a)b=ab
998 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:29:55.29 ID:wmZr8viD.net: 分配律より
999 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:32.40 ID:wmZr8viD.net: a(b-c)=
1000 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:51.82 ID:wmZr8viD.net: 分配律により
1001 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:32:12.80 ID:wmZr8viD.net: a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
1002 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:06.82 ID:wmZr8viD.net: -a=+(-a)
1003 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:37.42 ID:wmZr8viD.net: (b-c)a=
1004 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:03.92 ID:wmZr8viD.net: (b+(-c))a=
1005 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:30.31 ID:wmZr8viD.net: bc+(-c)a=
1006 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:36:03.53 ID:wmZr8viD.net: ba-ca
1007 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread: 2ch.netからのレス数が1000に到達しました。

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