不等式への招待 第10章

675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net

f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k　とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1　(最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2　(最大)

(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
　　　= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
　　　= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k})　　(←同符号)
　　　≧ 0,