不等式への招待 第10章

353 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 06:34:23.26 ID:CmDsCyUw.net

>>352
HM-AM より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
　Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
　= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
　= Σ[i=1,n] 1
　= n,
両辺に n(n-1) をたすと
　Σ[1≦i≠j≦n] n/(n−a_i･a_j) ≦ nn,
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i･a_j) ≦ n/2,