不等式への招待 第10章

419 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 23:59:46 ID:gGrwQusG.net

２
　Σaa = AA,　Σbb = BB,　Σcc = CC,
　Σab = AB cosγ,　Σbc = BC cosα,　Σca = CA cosβ,
とおく。(0≦α,β,γ≦π)
球面三角不等式
　｜α-β｜≦ γ ≦ α+β,
より
　cos(α-β）≧ cosγ ≧ cos(α+β),
｜cosγ - cosα･cosβ｜≦｜sinα･sinβ|,
２乗して整理すると
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
これに（ABC)^2 を掛ければ
　(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca).