不等式への招待 第10章

259 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 04:10:15.50 ID:iMDULalJ.net

>>257
たとえば
　(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ･････ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
　2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
　(n+1)^n /n! < e^n,
　n! > {(n+1)/e}^n,
　1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。

Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
　= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,

(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,