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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 358 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 17:25:15 ID:CmDsCyUw.net
- >>353
2xy ≦ (1/2)(x+y)^2 ≦ xx+yy, (GM-AM)
より
2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{2(n-xy)}
≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy), (←コーシー)
x=a_i, y=a_j とおき、1≦i<j≦n でたす。
- 359 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 18:07:30 ID:CmDsCyUw.net
- >>356
>>357
ついでに･･･
∫ 1/{1+(x-a)^2}*1/{1+(x-b)^2} dx
= {(1/(a-b))log((1+(x-b)^2)/(1+(x-a)^2)) + arctan(x-a) + arctan(x-b)}/{4+(a-b)^2},
ローレンツ形関数の畳み込み･･･
- 360 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 19:23:46 ID:CmDsCyUw.net
- >>349
>>350
・2n-1<x<2n のとき
f(x+2) - f(x) = 1/(x+2) + 1/(2018-x),
g(x+2) - g(x) = 1/(x+1) + 1/(2017-x),
∴ g(x+2) - f(x+2) > g(x) - f(x) > ････
∴ 1<x<2 について示せば十分。
g(x) - f(x)
= - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x) + Σ[i=2,1008] {1/(2i-x) - 1/(2i+1-x)} + 1/(2018-x)
> - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x)
= 1/{(2-x)(x-1)} - 3/{x(3-x)}
> 4 - 3/2
= 5/2.
∵ 1/4 - (2-x)(x-1) = (3/2 -x)^2 ≧ 0,
x(3-x) - 2 = (2-x)(x-1) > 0,
・2n<x<2n+1 のとき
f(x-1009), g(x-1009) は 奇関数。
f(x) = - f(2018-x),
g(x) = - g(2018-x),
ところで、2n<x<2n+1 ゆえ
2(1009-n) -1 < 2018-x < 2(1009-n),
∴上記により
f(x) - g(x) = - f(2018-x) + g(2018-x) > 5/2,
APMO-2018
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/ → 2018
- 361 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 20:11:27 ID:Rjx45xEY.net
- 良さげな不等式問題を拾ってきたので貼る
https://i.imgur.com/lpbo2qf.png
https://i.imgur.com/2Qhn5ql.png
- 362 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 05:54:49 ID:LbXnfiiv.net
- (上)
a,b,c は負でない実数とする。次を示せ。
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Let a,b,c be non-negative real numbers.
Prove that
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Wenyu Cao
USA.ELMO-2009 day1-Q3
Inequalitybot [111] ☆5
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012) の p.55, 例題2.2.12(3)
S_3 + 2S_{2,1} ≧ 3S_{1,2}
- 363 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:09:44 ID:LbXnfiiv.net
- (下)
a,b,c は正の実数で
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7)
を満たすとする。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1
を証明せよ。
Let a,b,c be positive reals satisfying
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7).
Prove that (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1.
(Evan Chen)
- 364 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:25:25 ID:LbXnfiiv.net
- >>362
min{a,b,c} = m,
{a,b,c} = {m,m+x,m+y} とする。(x≧0, y≧0)
(与式) = 2m(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ 0.
- 365 ：１３２人目の素数さん：2020/03/18(水) 06:36:15 ID:LbXnfiiv.net
- >>357
>>359
対角項 (a=bの場合) は
∫[-∞,∞] 1/(1+(x-a)^2)^2 dx = ∫[-∞,∞] 1/(1+xx)^2 dx = π/2,
∵∫ 1/(1+xx)^2 dx
= (1/2)∫ {(1-xx)/(1+xx)^2 + 1/(1+xx)} dx
= x/(2(1+xx)) + (1/2)arctan(x),
- 366 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 13:09:23 ID:mXsnD9nM.net
- >>348 (1)
(x-1)log(x) ≧ 0 より
x^x - x ≧ 0, y^y - y ≧ 0, ････ (A)
・x≧1 のとき
x^x -x^y -y^x +y^y
= {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) + {(x^x)(y^y) - (x^y)(y^x)}/(x^y)
≧ {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) (>>347 より)
≧ 0.
・(x-1)(y-1)≦0 のとき
x^y ≦ x, y^x ≦ y,
これと (A) から出る。
・0 < y ≦ x ≦1 のとき
d = (x-y)/2 ≧ 0, とおく。
x^x -x^y -y^x +y^y
= - x^((x+y)/2) {x^(-d) - x^d} + y^((x+y)/2) {y^(-d) - y^d},
(sinhθ)/θ は |θ| について単調増加ゆえ
{y^(-d) - y^d}/(-log(y)) ≧ {x^(-d) - x^d}/(-log(x)) ≧ 0,
また
y^((x+y)/2)(-log(y)) ≧ x^((x+y)/2)(-log(x)) ≧ 0,
辺々掛ける。
- 367 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 17:26:22 ID:mXsnD9nM.net
- >>355
区間[0,1] を
P = { x∈[0,1] | f(x)≧0 }
N = { x∈[0,1] | f(x)<0 }
に分ける。
I_P = ∫_P |f(x)| dx,
I_N = ∫_N |f(x)| dx,
p = ∫_P dx,
n = ∫_N dx,
とすると
p + n = 1,
で
(左辺) = ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫PN ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
+ ∫NP ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
= ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ |∫PN (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
+ |∫NP (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
= 2p･I_P + 2n･I_N + 2|n･I_P - p･I_N|
≧ 2p･I_P + 2n･I_N + (n-p)(I_P - I_N) (*)
= (p+n)(I_P + I_N)
= I_P + I_N
= ∫[0,1] |f(x)| dx,
(*)
(n-p)(I_P-I_N) ≦ 0 のときは明らか。
n≧p, I_P≧I_N のとき
n･I_P - p･I_N = (n-p)I_N + n(I_P-I_N) ≧ (n-p)(I_P-I_N),
p≧n, I_N≧I_P のとき
p･I_N - n･I_P = (p-n)I_P + p(I_N-I_P) ≧ (n-p)(I_P-I_N).
- 368 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 19:08:25 ID:TLP5gz64.net
- ルーマニア数学オリンピックから不等式の問題を色々拾ってきたので貼る
https://i.imgur.com/Ff1ilAe.png
https://i.imgur.com/g0L0rVU.png
https://i.imgur.com/tctI7rS.png
https://i.imgur.com/ZnoplcH.png
- 369 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 20:17:08 ID:TLP5gz64.net
- そしてこれはルーマニア数オリ代表選抜の問題から
https://i.imgur.com/a7w31xM.png
https://i.imgur.com/E7grEPf.png
https://i.imgur.com/INwFbml.png
- 370 ：１３２人目の素数さん：2020/03/19(木) 22:27:58 ID:J+ez4IFc.net
- (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ
- 371 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 00:31:37 ID:lC3HBZ24.net
- >>368
[1]
すべての自然数nについて
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n), ∀n∈N
[2]
自然数 n≧2 と n個の正の実数 a_1, a_2, ････, a_n が
次の不等式を満たすとする。
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,････,n-1}
このとき
Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
を証明せよ。
Let be a natural number n≧2 and n positive real numbers
a_1, a_2, ････, a_n that satisfy the inequalities
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,････,n-1}
Prove that
Σ[k=1,n-1] a_k／a_{k+1} ≦ n/2.
[3]
1/2 ≦ a,b,c ≦ 1 とする。
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
を証明せよ。
Let a,b,c ∈ [1/2,1].
Prove that
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
(selected by Mircea Lascu)
[4]
n∈Nﾟ とし、
ｖ1, ｖ2, ････, ｖn は平面内ヴェクトルで、長さは１以下とする。
このとき
|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
となるような ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} が存在することを示せ。
Let n∈Nﾟ and ｖ1, ｖ2, ････, ｖn be vectors in the plane
with lengths less than or equal to 1.
Prove that there exists ξ1, ξ2, ････, ξn ∈ {-1,1} such that
|ξ1･ｖ1 + ξ2･ｖ2 + ････ + ξn･ｖn | ≦ √2.
- 372 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 04:13:12 ID:lC3HBZ24.net
- [1]
〔ジョルダンの不等式〕
sinθは上に凸だから
sin(aθ) ≧ a･sinθ, (0≦a≦1、0≦θ≦1.43π)
文献[3] 大関(1987)、p.38 例題2
[3]
(左)
s = a+b+c とおくと
(与式) = (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b)
= (1+a+b+c){1/(1+c) + 1/(1+a) + 1/(1+b)} - 3
≧ (1+s)･9/(3+s) - 3 (AM-HM)
= 6 - 18/(3+s)
≧ 6 - 4 (s≧3/2)
= 2,
(右)
(与式) = {(a+b)(1+a)(1+b) + (b+c)(1+b)(1+c) + (c+a)(1+c)(1+a)}／{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {3(1+c)(1+a)(1+b) - (a+b)(1+a)(1+b) - (b+c)(1+b)(1+c) - (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {(1-a)[4a+(b-c)^2] +(1-b)[4b+(c-a)^2] +(1-c)[4c+(a-b)^2] +3(1-a)(1-b)(1-c)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
≦ 3 (0≦a,b,c≦1)
- 373 ：１３２人目の素数さん：2020/03/20(金) 16:48:31 ID:lC3HBZ24.net
- >>369
[5]
n≧2 は自然数, a_i,b_i (1≦i≦n) は実数で、
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
のとき
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
を証明せよ。
For n∈N, n≧2, a_i,b_i∈R, 1≦i≦n, such that
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
Prove that
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
[6]
a_1, a_2, a_3, a_4 を任意の4角形の辺とし、周長を 2s とする。
Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
を証明せよ。
等号が成立つのはいつか？
Let a_1, a_2, a_3, a_4 be the sides of an arbitrary quadrilateral
of perimeter 2s. Prove that
Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
When does the equality hold ?
[7]
n≧2 を整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を実数とする。
任意の空でない部分集合S ⊂ {1,2,････,n} について
(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
を証明せよ。
Let n≧2 be an integer and let a_1, a_2, ････, a_n be
real numbers.
Prove that for any non-empty subset S ⊂ {1,2,････,n}
we have
(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+････+a_j)^2.
(Gabriel Dospinescu)
- 374 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 01:09:55 ID:a/9U1hEf.net
- [5]
n次元空間で考える。
n個のヴェクトル {ａ,ｂ,ｃ, ････ } が規格化直交系をなす、とする。
ｔ = ａ(ａ･ｔ) + ｂ(ｂ･ｔ) + ｃ(ｃ･ｔ) + ････,
(ｔ･ｔ) = (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2 + (ｃ･ｔ)^2 + ････
≧ (ａ･ｔ)^2 + (ｂ･ｔ)^2.
ここで ｔ = (1,1,････,1) とおく。
- 375 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 04:24:54 ID:a/9U1hEf.net
- >>364 を改良
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ (K-5/2)|?|,
ここに
? = (a-b)(b-c)(c-a) = xy(x-y),
K = √(13/4 + 4√2) = 2.984435331765856875
(略証)
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 - (K-5/2)xy(x-y)
= x^3 - (K+1/2)x^2･y + (K-1/2)xy^2 + y^3
= (x+0.2819716800612y)(x-1.8832････y)^2,
≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 +√(2√2 -1)}/2
= 1.8832035059135
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 + (K+5/2)xy(x-y)
= x^3 + (K-1/2)x^2･y - (K+1/2)xy^2 + y^3
= (x+3.546455444685y)(x-0.53101････y)^2
≧ 0,
(x/y)｡ = {1 +√2 -√(2√2 -1)}/2
= 0.531010056459569
- 376 ：１３２人目の素数さん：2020/03/21(土) 21:07:57 ID:lmCUfcwV.net
- ネットで拾った数オリ代表が作った不等式問題
おそらく海陽中等教育学校の神田秀峰と思われる
https://i.imgur.com/RUbbbS4.png
- 377 ：１３２人目の素数さん：2020/03/22(日) 07:12:46.54 ID:fYa2zo9P.net
- ９．神田
nを1以上の整数とする。
2n個の正の実数 x1,x2,････,xn, y1,y2,････,yn は
x1 + x2 + ････ + xn = 1,
をみたす。 1以上n以下の任意の整数の組(i,j)に対し
x1 + ････ + x_{i-1} ≧ y_j または 2 - x1 - ････ - x_j ≧ y_i
となるとき
x1･y1 + x2･y2 + ････ + xn･yn ≦ 1
を示せ。
- 378 ：１３２人目の素数さん：2020/03/26(木) 01:44:21 ID:zUlAmjt2.net
- >>306
x = max{a,b,c} で場合分けする方法もある････
(i) 0≦x≦1 のとき
a^2020 - a^2 +4 ≧ a^2018 + 3 > 3, etc.
∴ (左辺) > 27 ≧ (3xx)^3 ≧ (aa+bb+cc)^3.
(ii) x>1 のとき
x^2020 - x^2 +4 > x^26 - x^2 +4 > x^24 +1 +1 +1 > 4 x^6,
∴ (左辺) ≧ 36 x^6 = (4/3)(3xx)^3 ≧ (4/3)(aa+bb+cc)^3.
http://suseum.jp/gq/question/3129 (クロニャンコさん-改)
- 379 ：１３２人目の素数さん：2020/03/26(木) 07:13:41.66 ID:IoPO15gu.net
- うむ
- 380 ：１３２人目の素数さん：2020/03/27(金) 05:53:57.81 ID:GzR1OrPK.net
- >>329
問2
c - a > 3 を示せ。
-----------------------------------------------------------------
f(x) > 4x - abc (0<x<1) ⇒ a < abc/4,
f(x) < 4x -12 -abc (3<x<4) ⇒ c > 3 + abc/4,
もあるが････
- 381 ：１３２人目の素数さん：2020/04/01(水) 10:30:00 ID:3A39oS9Q.net
- >>75
ベルトラン予想（チェビシェフの定理）によらないでも
初等的な論法によって証明できる。 (神戸市・公文氏)
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●107
- 382 ：１３２人目の素数さん：2020/04/01(水) 10:41:11 ID:QzKcUG7e.net
- >>381
その本には、初等的な論法による証明は紹介されているのでせうか？
- 383 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:14:12 ID:mgebV0rK.net
- ●107
(3) 自然数nは、n^(1/3) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(4) 自然数nは、n^(1/4) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(5) 自然数nは、n^(1/5) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
- 384 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:33:15 ID:mgebV0rK.net
- (3) n = 420 = GCD{1,･･･,7} [n^(1/3)] = 7.4888724
(4) n = 27720 = GCD{1,･･･,12} [n^(1/4)] = 12.903226
(5) n = 720720 = GCD{1,･･･,16} [n^(1/5)] = 14.844081
- 385 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 00:36:13 ID:mgebV0rK.net
- まちがえた...orz
(3) n = 420 = LCM{1,･･･,7} n^(1/3) = 7.4888724
(4) n = 27720 = LCM{1,･･･,12} n^(1/4) = 12.903226
(5) n = 720720 = LCM{1,･･･,16} n^(1/5) = 14.844081
- 386 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:23:03 ID:pDfrzDrp.net
- (1) x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0,
(2) x^4 + x^3 - 2x + 6/7 > 0,
高校数学の質問スレPart404．051〜068
- 387 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:39:19 ID:7I0d5fbg.net
- >>386
(1)は見た瞬間にグラフの概形が頭に描かれたわ。
訓練された不等式ヲタとは、そういうものだ。
- 388 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:46:58 ID:pDfrzDrp.net
- (1) の方は
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 +x -1)^2,
だが・・・・
- 389 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:57:16 ID:7I0d5fbg.net
- >>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
- 390 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 13:59:31 ID:7I0d5fbg.net
- x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
- 391 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:51:37 ID:pDfrzDrp.net
- >>390
f(x) = log{Γ(x)} - x･log(x),
f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x) ････ digamma関数。
∴ f(x) は下に凸。
- 392 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:57:56 ID:pDfrzDrp.net
- >>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺）=（xx +x/2 -c)^2 +（2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。
左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→ x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。
(左辺）=（xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
=｛(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
≧ 0.002010
- 393 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 03:26:14 ID:IAsBrfBV.net
- >>390
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion"，Hamburg （1931)
･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳･解説]
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
- 394 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 12:07:36.86 ID:HQzXTvXu.net
- 三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
- 395 ：１３２人目の素数さん：2020/04/11(土) 14:55:32 ID:jVXfLHUH.net
- BC = a, CA = b, AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
AD = BC = a
となる点Dをとると
CD = √(aa+bb-2ab･sinC) = √(aa+bb-4S),
BD = √(aa+cc-2ac･sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする？
- 396 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 20:45:04 ID:/wfIVimW.net
- ツイッターのとあるユーザーから出題
https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
- 397 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 22:43:06 ID:Mmg17QlQ.net
- >>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
- 398 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:23:49.74 ID:Cq2k8yf8.net
- >>396
Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1. x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,
2. x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,
3. x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),
4. x,y,z≧0 のとき
3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
- 399 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:49:57 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
１．
s = x+y+z
t = xy+yz+zx
u = xyz
とおく。
左)
u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
= (2s^3 -7st+9u)/9
≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
等号成立は x=y=z=1/3,
右)
(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
= (x+y)(x+z)(z+x)
≧ 0,
等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
- 400 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:02:04.63 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
２.
xyz = G^3 とすると AM-GMで
x+y+z ≧ 3G, 1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),
なお、対称式でなくても AM-GMで
(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.26 演習問題1.75
- 401 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:22:15.43 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
３.
1/(x(y+z)）= 1/(x(s-x)）=｛1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺）≧｛1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x）+ 1/(s-y）+ 1/(s-z)}/s
≧｛9/(x+y+z)｝+ 9/(3s-x-y-z)}/s (← AM-HM)
= 9/(ss）+ 9/(2ss)
= 27/(2ss),
x^4 +y^4 +z^4 + xyz
≧（x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
=（s^3 -3st +6u)/3 (s=1)
=（2/9)(s^3 -4st +9u）+（1/27)s(ss-3t）+（2/27)s^3
≧（2/27)s^3,
∴（右辺）≦ 27/(2s^3),
- 402 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 10:07:36.72 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
４.
(左辺）-（右辺）= 3s(ss-3t）+4t -4s +3
=｛(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
≧ 0,
3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
- 403 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 07:08:39 ID:VEDuEVHa.net
- 駿台の過去問らしい
https://i.imgur.com/FH292z6.jpg
- 404 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 08:05:27 ID:6SMLYdGW.net
- >>403
〔問題５〕
nを2以上の整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を正の整数とする。
このとき、次の3つの条件をみたす正の整数 b_1, b_2, ････, b_n が存在することを示せ。
(A) i = 1,2,････,n に対して a_i≦b_i である。
(B) b_1, b_2, ････, b_n をnで割った余りはすべて異なる。
(C) 不等式
b_1 + b_2 + ････+ b_n ≦ n（(n-1)/2 +［(a_1+a_2+････+a_n)/n]).
が成り立つ。
ただし、実数xに対してxを超えない最大の整数を［x］で表わす。
>>397
そうかなぁ？
- 405 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 06:57:59 ID:A7QrgcmB.net
- R^3上の(可測)集合A,Bに対して、
A+B:={x+y | x∈A,y∈B}とする.
このとき、
(A+Bの体積)^(1/3)≧(Aの体積)^(1/3)+(Bの体積)^(1/3)
を証明せよ.
- 406 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 07:02:02 ID:A7QrgcmB.net
- >>405
ちなみに、A,Bを2次元平面上の図形として、
(A+Bの面積)^(1/2)≧(Aの面積)^(1/2)+(Bの面積)^(1/2)
となることは比較的簡単に証明出来ます
- 407 ：１３２人目の素数さん：2020/05/03(日) 10:38:33 ID:u2nPgxPR.net
- a,b,c>0, λ≧0
(a/b + b/c + c/a){a/(a+λb) + b/(b+λc) + c/(c+λa)} ≧ 9/(λ+1).
RMMかどこかで昔拾ったものだったか?
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ﾉヽﾉ) =3 'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
- 408 ：１３２人目の素数さん：2020/05/04(月) 16:31:00 ID:jDRWX2Ph.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
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- 409 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 12:29:59 ID:b2IqdVzK.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
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- 410 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 17:26:38 ID:B6ZQqn9P.net
- >>406
平面のときのも全然証明わかりません
証明もしくは出典教えてほしいです
- 411 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 23:55:57 ID:2A4Z2g/l.net
- >>410
ヒントを言うとまずはA,B共に長方形の場合で示してください
ある有名不等式になります
どうしても答えが知りたければ
「Brunn–Minkowskiの不等式」でググってください
- 412 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:23:27 ID:1eDWV5m3.net
- >>411
ありがとう
調べたらかなり有名みたいだね
もちろん最初に同じ向きの長方形の場合を考えてみたけど、そこから一般の場合にどう持っていくのかが謎すぎた
和をとった後の図形がどれくらい小さくなるかは元の図形の大域的な様子が必要そうに思えてさ
wikiぱっと見た感じでは凸包をとってよくて、さらに凸図形の場合は表面積の情報で抑えられるという感じなのかな
- 413 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:35:55 ID:sAc0zF0B.net
- >>412
測度論で長方形から一般の可測集合に主張を拡張したい場合は「Dynkin's π-λ theorem」という便利な定理があります
- 414 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:45:25 ID:sAc0zF0B.net
- 適当にパラメータ付けした図形にBrunn–Minkowskiの不等式を適応すれば
大量に不等式を生成することが出来ます
- 415 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 01:13:17 ID:C8tI9fQ4.net
- ツイッターから拾ったのでどうぞ
https://i.imgur.com/aYWdlZa.png
https://i.imgur.com/kMzfG2o.png
https://i.imgur.com/K7zRV0s.png
https://i.imgur.com/v6d3y6p.png
https://i.imgur.com/RJqT4Pu.jpg
https://i.imgur.com/zocnJSH.png
- 416 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 11:46:01 ID:WmDpVhCu.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
(deleted an unsolicited ad)
- 417 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:28:34 ID:gGrwQusG.net
- >>415
１
a,b,c>0 のとき、
30sst ≦ 7s^4 + 9tt + 54su,
を示せ。
ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおいた。
２
実数列｛a_i},{b_j},{c_k｝がある。以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca),
３
x1,x2,･･･,xn を実数とし、ｘ=（x1,x2,････,xn）と書く。
f(x）と g(x）は対称式である。
f(x）≦ g(x）が成り立ち、
等号成立が ｘ = ｘ_p =（y1,y2,････,yn）に限るとしても
f(ｘ）≦ g(ｘ_p)
が成り立たない例があることを示せ。
４
0 < x,y,z のとき、
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)^2 /(xy+yz+zx),
を示せ。
５(改)
1 < log([(e-2)x+2]/[(e-2)(x-1)+2]) + x･log(1+1/x）< f(x), (x>1)
ここに f(x）=｛x･log(x）+ log(x+1）- log(2Γ(x+1))}/(x-1),
lim[x→1］f(x）= γ + 1/2,
lim[x→∞］f(x）= 1,
６
∀x,y ∈［0,π/2)
sin(x+y）+ tan(x)tan(y）≦ √{1+tan(x)^2}･√{1+tan(y)^2},
- 418 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:45:55 ID:gGrwQusG.net
- １
(右辺）= 7s^4 + 9tt + 54su
= 30sst +（ss-3t)^2 + 6s(s^3 -4st+9u)
= 30sst +（F_0)^2 + 6s･F_1
≧ 30sst,
F_0 = ss -3t ≧ 0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0. (シューア)
３
f(ｘ）= Σ[i=1,n] (x_i)^2, g(ｘ）= 2Σ[i=1,n] (x_i)^2,
g(ｘ_p）= g(ｏ）= 0.
何か勘違いしてるかな？
４
コーシーで。
（分数形のものは Engel型のCauchy とか、Arthur Engelの最小原理と呼ぶらしい。)
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.44-45
６
(左辺)^2 ≦｛1 +｜tan(x)tan(y)|}^2
≦ √{[1 +｜tan(x)tan(y)|]^2 +［tan(x)±tan(y)]^2}/2
=｛1+tan(x)^2} {1+tan(y)^2},
或いは同じことだが
(左辺)^2 ≦（1 +｜tan(x)tan(y)|)^2
=｛cos(x)cos(y）± sin(x)sin(y)}^2 /{cos(x)cos(y)}^2
= cos(x干y)^2 /{cos(x)cos(y)}^2 (←複号は適当な方をとる)
≦ 1/{cos(x)cos(y)}^2,
- 419 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 23:59:46 ID:gGrwQusG.net
- ２
Σaa = AA, Σbb = BB, Σcc = CC,
Σab = AB cosγ, Σbc = BC cosα, Σca = CA cosβ,
とおく。(0≦α,β,γ≦π)
球面三角不等式
｜α-β｜≦ γ ≦ α+β,
より
cos(α-β）≧ cosγ ≧ cos(α+β),
｜cosγ - cosα･cosβ｜≦｜sinα･sinβ|,
２乗して整理すると
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
これに（ABC)^2 を掛ければ
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca).
- 420 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 06:14:35 ID:pHr5kdzK.net
- ５
x≒1 では
x･log(x）+ log(x+1）- log(2）=（3/2)(x-1）+（3/8)(x-1)^2 -（1/8)(x-1)^3 + ･･･
log{Γ(x+1)｝=（1-γ)(x-1）+（ππ-6)/12・(x-1)^2 - 0.0673523(x-1)^3 + ････
f(x）=（γ+1/2）+（7/8 - ππ/12)(x-1) - 0.0576477(x-1)^3 + ････
x >>1 では
x･log(x）+ log(x+1）=（x+1)log(x）+ 1/x - 1/(2xx）+ 1/(3x^3）- ････
log{2Γ(x+1)｝=（x+1/2)log(x）-x +（1/2)log(8π）+ 1/(12x) - 1/(360x^3) + ･･･
f(x) =｛x +（1/2)log(x）-（1/2)log(8π）+ 11/(12x）- 1/(2xx）+ 121/(360x^3)}/(x-1)
→ 1 (x→∞)
６（訂正)
(左辺)^2 ≦｛1 + |tan(x)tan(y)|}^2
≦｛1 + |tan(x)tan(y)| })^2 +｛ |tan(x)| - |tan(y)| }^2
=｛1 + tan(x)^2} {1 + tan(y)^2},
- 421 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 20:40:48 ID:pHr5kdzK.net
- 引き続く3つの奇数の和が54を超えないとき、
小さい数の最大値を求めよ。
The sum of three consecutive odd numbers is not greater than 54,
find the largest value of the smallest number.
數學999
http://www.youtube.com/watch?v=GTehFFxQCp8 02:42
- 422 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 01:49:21.16 ID:431XMp+q.net
- n, k は2以上の整数、Aはn×nエルミート行列のとき、
(det A)^(1/n) ≦ [{(tr A)^k - tr(A^k)}/(n^k - n)]^(1/k).
- 423 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 08:31:45 ID:w+h9h8DE.net
- >>419
２
| (a･a) (a･b) (a･c) |
RHS - LHS =｜(b･a) (b･b) (b･c) | (Grammian)
| (c･a) (c･b) (c･c) |
| a |
=｜b｜| a b c | ≧ 0,
| c |
桑野耕一「ラグランジュ恒等式とは何か」
数学セミナー、連載（2006年4月号〜）
なお、上式は（|a||b||c|)^2 以下になる。(Hadamardの不等式)
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
第2章 §26.極大・極小 [例2] p.72〜75
分かスレ４５９．588, 594, 759 など。
- 424 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 18:07:02 ID:gzO4I8NK.net
- ツイッターから拾った
https://i.imgur.com/A46WIGT.jpg
- 425 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:35:49 ID:0gqdjMjt.net
- 〔問題〕
x,y,zが非負実数全体を動くとき
(x+y+z)^3 /(xyy+yzz+zxx+xyz）≧ 27/4,
を示せ。
例の問題...
- 426 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:49:34 ID:0gqdjMjt.net
- >>425
(略証)
0 ≦ Min{x,y,z｝= x としてもよい。
4(x+y+z)^3 - 27(xyy+yzz+zxx+xyz)
= 9x(xx+yy+zz-xy-yz-zx) + (y+4z-5x)(x-2y+z)^2 ≧ 0,
等号成立は（x,y,z) = (1,1,1) (0,1,2) (1,2,0) (2,0,1)
［前スレ．014-020]
文献[8] 安藤：「不等式」数学書房 (2012）例題2.2.12(7）p.56
Inequalitybot [169]
(類題)
カナダMO-1995 A5
イギリスMO-2009 A4
Inequalitybot [61]
- 427 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 23:15:09.32 ID:0gqdjMjt.net
- >>407
(1+λ)(a/b + b/c + c/a）≧（a/b + b/c + c/a）+ 3λ (AM-GM)
=（a+λb)/b +（b+λc)/c +（c+λa)/a,
∴ コーシーで
(1+λ)･LHS ≧｛√(a/b）+ √(b/c）+ √(c/a)}^2
≧ 3^2 (AM-GM)
= 9,
- 428 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 01:32:34 ID:G3uxUJZ9.net
- >>426
巡回的なものを非巡回的な式に変形して示すの不思議
巡回的な変形でも示せるのか気になる
- 429 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 12:59:55 ID:C7hbQ2t7.net
- >>419
>>423
2次形式
f(x,y,z）=｜xａ + yｂ + zｃ｜^2
が半正値だから、
RHS - LHS =（判別式）≧ 0,
- 430 ：１３２人目の素数さん：2020/05/22(金) 07:21:06.00 ID:y+ggBWMl.net
- >>421
(略解)
Let x be the smallest odd number.
x + (x+2) + (x+4) ≦ 54,
3x + 6 ≦ 54,
x ≦ 16,
x ≦ 15, (x is odd number)
∴ The largest value of the smallest nember is 15.
- 431 ：１３２人目の素数さん：2020/05/25(月) 19:54:27 ID:FyhIbn1M.net
- a,b,c>0, a+b+c=1
36/(aab+bbc+cca) + 1/(abc) ≧ {24(aab+bbc+cca-6abc)^2}/abc + 343
- 432 ：１３２人目の素数さん：2020/05/26(火) 22:40:14 ID:jFtHfHtW.net
- a,b,c>0、G=(abc)^(1/3) に対して
a/(a+2b+3) + b/(b+2c+3) + c/(c+2a+3) ≧ G/(1+G).
JBMO2020って何だよ？
- 433 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 06:28:31.08 ID:2I72JytV.net
- >>432
｛a(a+2b+3）+ b(b+2c+3）+ c(c+2a+3)｝= (a+b+c)(a+b+c+3）= 9A(A+1),
を左辺に掛ける。 コーシーにより
9A(1+A)(左辺）≧（a+b+c)^2 = 9AA,
∴ (左辺）≧ A/(1+A）≧ G/(1+G), (← AM-GM)
JBMO = Junior Balkan Mathematical Olympiad
なお、日本のは JJMO
- 434 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 15:36:19 ID:2I72JytV.net
- >>432
1/(1+x）≧ 1-x より
a/(a+2b+3) = a/{(a+b+c+3) + (b-c)}
= a/{(a+b+c+3) (1+x)}
≧ a(1-x)/(a+b+c+3)
= a/(a+b+c+3) - (ab-ca)/(a+b+c+3)^2,
循環的にたす。
(左辺）≧（a+b+c)/(a+b+c+3）≧ G/(G+1)),
- 435 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 16:26:37.09 ID:2I72JytV.net
- >>270 のことでござるか････
JBMO2020 はバルカンMO (BMO) のジュニア版のこと >>433
じゃなく、ただのハンドル名かも････
- 436 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 18:38:24.11 ID:2I72JytV.net
- 〔問題３〕改
a,b,c は正の実数で 1/a + 1/b + 1/c ≧ 3 であるとする。
(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
を証明せよ。 等号が成立つのはいつか？
Problem 3. (modified)
Let a,b,c be positive real numbers such that 1/a+1/b+1/c ≧3.
Prove that
(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
When does equality hold ?
JBMO-2014 P.3
- 437 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 19:07:41.72 ID:2I72JytV.net
- 相加平均 A =（a+b+c)/3,
調和平均 H = 3/(1/a+1/b+1/c）とおく。
問題の条件は H≦1.
2乗平均≧相加平均 より
(左辺）≧ 3(A + 1/H)^2
= 3(A-1)^2 + 3(3A+1) + 3(A-H)(2-H)/H + 3(1/H^2 - H)
≧ 3(3A+1)
= 3(a+b+c+1),
http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
→ JBMO 2014 Solutions (マケドニア大会)
- 438 ：１３２人目の素数さん：2020/05/30(土) 19:23:31 ID:vR2Jo4eU.net
- [例9-3] 改
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
[第2章．274-276]
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注）鳩ノ巣原理では解けません。
- 439 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 08:48:01.74 ID:vwaCsVj1.net
- 二変数a,bの相加平均、相乗平均、調和平均の幾何学的な証明（直径a+bの円）がありますけど
三変数a,b,cの場合の幾何学的な証明はあるのでしょうか？相加平均は重心という自明な意味が
あるけど残りの二つの幾何的な意味がよくわからない。
- 440 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 11:46:33.00 ID:keH19MaE.net
- 自然に考えたら球に拡張しそうだけど
- 441 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 16:56:40.83 ID:YoOSwytJ.net
- 平面でやりたいのでは？
- 442 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 17:06:28.95 ID:vwaCsVj1.net
- 球だとできるんですか？立方体で無理やり解釈することもできるけど一目瞭然では全然ないようなのしかできない。。
３辺がa,b,cの直方体の体積V=abc ,表面積S=2(ab+bc+ca) とすると
３辺の長さの相加平均≧直方体と同体積の立方体の１辺≧V/表面積の平均値
- 443 ：１３２人目の素数さん：2020/06/01(月) 03:27:29.95 ID:LHxMDESI.net
- >>438
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.04497020×10^(-6) ････ (5)
* 3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
- 444 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:49:20.04 ID:TPydHgX/.net
- >>438
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
- 445 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:56:28 ID:TPydHgX/.net
- 〔問題404-627〕
0<x<y<1<x+y のとき
{(1-x)(1-y)(x+y-1)(y-x)^2}/(x+y)^2
の最大値を求めるにはどうすればいいでしょう？
[高校数学の質問スレPart404．627,632,635]
- 446 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 04:18:56.72 ID:TPydHgX/.net
- 〔問題404-634〕
q>1 を定数とする。
x^q + y^q + z^q = 1 を満たす正の実数x,y,zであって
(x+1)(y+1)(z+1) を最大にするものを求めよ。
[高校数学の質問スレPart404．634,639,648]
- 447 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 05:10:30.68 ID:Zifnd/u1.net
- log(1+t^(1/q))はこのスレでは流行らないんだよな。
- 448 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 06:27:38 ID:fgXdb1VU.net
- ツイッターで拾ったこの問題の最後の問題5
https://i.imgur.com/LgaZhH2.png
- 449 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 12:22:08 ID:TPydHgX/.net
- 問題１
三角形ABCとその内部の点Pは、AB=7、AC=8、PB=1、PC=4 を満たす。
∠BAC と ∠BPC の二等分線が平行であるときの、BCの長さを求めよ。
(解答例)
題意より、点Pは△ABCの垂心となる。
AP⊥BC、BP⊥CA、CP⊥AB
二等分線の方向をｘ軸とすれば傾きは
AP -1/5、 BC 5
BP -3、 CA 1/3
CP 3、 AB -1/3
よって
A(0,0) B(21/√10, -7/√10) C(24/√10, 8/√10) P(20/√10, -4/√10)
長さは
BC = 3√(13/5) = 4.83735
AP = 4√(13/5) = 6.4498
- 450 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:08:28.88 ID:TPydHgX/.net
- 問題２
nを4以上の整数とする。
ある正n角形の各頂点にはある頂点から反時計回りで１からnの整数が
書かれている。
この正n角形にn-3本の対角線(辺は含まない)を どの二つの対角線も
交わらないように取ると、正n角形はn-2個の三角形に分けられる。
(証明不要)
これらn-2個の三角形それぞれの得点をその三角形の3頂点に書かれた
整数の和とする。
n-2個の三角形の得点の総和として考えられる最大の値を求めよ。
(解答例)
Σ[k=1,n] (点 'k' を共有する三角形の数)
= Σ[k=1,n] (点 'k' を端点とする対角線の数+1)
∴ 点 'n' を端点とする対角線n-3本をとれば 2n(n-2) (最大)
逆に 点 '1' を端点とする対角線n-3本を取れば (n+3)(n-2) (最小)
- 451 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:27:03.25 ID:TPydHgX/.net
- 問題３
以下の等式を満たす正の整数の組 (a,b,c) を全て求めよ。
a^(bc) + b^(ca) = c^(ab)
(解答例)
a^(bc) < c^(ab) より a^c < c^a,
b^(ac) < c^(ab) より b^c < c^b,
∴ a^(1/a), b^(1/b) < c^(1/c),
一方
1 < n^(1/n) < ････ < 5^(1/5) < 4^(1/4) = 2^(1/2) < 3^(1/3),
と比べて
(a,b,c) = (1,1,2) (1,2,3) (2,1,3)
- 452 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 17:47:39.85 ID:TPydHgX/.net
- 問題４
内接円を持つ四角形ABCDの辺 AB, BC, CD, DA 上に
それぞれ P, Q, R, S をとり、線分PRとQSの交点をKとする。
四角形 APKS, BQKP, CRKQ に内接円が存在するとき、
四角形 DSKR にも内接円が存在することを示せ。
(解答例)
内接円をもつ ⇔ 2組の対辺の和が等しい。
だけでは解けぬ。どうするか？
- 453 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 18:21:12 ID:TPydHgX/.net
- 問題５
ある2以上の整数dは、ちょうどk個の正の約数 d_1 < d_2 < ･････ < d_k を持ち、
任意のk個の正の実数 x_1, x_2, ･････, x_k に対して以下の不等式を満たす。
このようなdを全て求めよ。
(√x_1 + √x_2 + ･････ + √x_k + 1)^(2d)
≦ (k+1)^(2d)･Π[i=1,k] {(x_i^d_i + k)/(k+1)}^d_(k+1-i)
≦ 2^(2d-k)･Π[i=1,k] (x_i^d + k^d_(k+1-i)),
ガラパゴス不等式と名付けたい････
- 454 ：１３２人目の素数さん：2020/06/03(水) 14:14:42 ID:Vj2o+qIA.net
- [第7章.946]
i-j=k をみたすn-k項と i-j=n-k をみたすk項 の計n項で Jensen する。
n項の引数の和はkとなる。
Σ[i-j=k] f(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] f(1 - x_i + x_j) ≧ n f(k/n),
k=1,2,････,n-1 でたす。
--------------------------------------------------------
蛇足だが････
f(a) ≦ n ∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x) dx,
より
Σ[k=1,n-1] f(k/n) ≦ n∫[1/2n, 1-1/2n] f(x) dx ≦ (n-1)∫[0,1] f(x) dx,
http://suseum.jp/gq/question/2724
- 455 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 03:52:52.71 ID:UZmO2K4a.net
- >>445
s = x+y, t=xy とおくと
0 < t < 1 < s < 2,
16(1-x)(1-y)(x-y)^2 = 16(1-s+t)(ss-4t) (← tの2次式)
= (2-s)^4 - {(2+s)^2 -8t -8}^2 (← 平方完成)
≦ (2-s)^4,
より
(与式）≦ (s-1)(2-s)^4 /(16ss)
= (2/√3 -1)^3 - g(s)(s-2/√3)^2 /(16ss)
≦ (2/√3 -1)^3
= 0.003702332976 = M,
等号は s = 2/√3 = 1.1547 のとき。
10+M = 10 + (2/√3 -1)^3
= (2/√3 +1)^3
= 1/{3(2/√3 -1)}^3
= 1/(27M),
M = 1/{27(10+M)} < 1/270 = 0.00370370････
g(s) = {(√3)(2-s)^3 + (3√3 -4)(2-s)^2 + 4(3√3 -5)(2-s) + 8(7-4√3)}/(√3)
> 8(7-4√3)/√3
= 0.331615 (s<2)
∵ 5/3 < √3 < 7/4,
- 456 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 04:14:53.02 ID:UZmO2K4a.net
- >>446
q乗平均Q ≧ 相加平均A
より
(x+1)(y+1) = (A+1)^2 - (1/4)(x-y)^2
≦ (A+1)^2
≦ (Q+1)^2,
∴ (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (Q+1)(Q+1)(z+1),
∴ もし最大値があるとすれば、それは x=y=z に限る。
- 457 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 17:35:49 ID:UZmO2K4a.net
- >449
△ABCの垂心をHとおく。
辺BCに関してHと対称な点をDとおくと、
∠D = ∠BHC = 180ﾟ - ∠A,
∴ Dは△ABCの外接円上にある。
OA = OD
∴ ∠OAH = ∠ODH ････ (1)
△ABCを中点三角形とするような大三角形△A'B'C'を考える。
その垂心は三角形ABCの外心Oである。
相似関係より、
∠BAO=∠CAH, ∠CAH=∠BAO,
∴ ∠A の二等分線は ∠OAHの二等分線。
∠BDO=∠CDH, ∠CDH=∠BDO,
∴ ∠D の二等分線は ∠ODHの二等分線。
(1) より
∠BHC の二等分線 // ∠Aの二等分線
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