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不等式への招待 第10章
- 386 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:23:03 ID:pDfrzDrp.net
- (1) x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0,
(2) x^4 + x^3 - 2x + 6/7 > 0,
高校数学の質問スレPart404．051～068
- 387 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:39:19 ID:7I0d5fbg.net
- >>386
(1)は見た瞬間にグラフの概形が頭に描かれたわ。
訓練された不等式ヲタとは、そういうものだ。
- 388 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:46:58 ID:pDfrzDrp.net
- (1) の方は
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 +x -1)^2,
だが・・・・
- 389 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:57:16 ID:7I0d5fbg.net
- >>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
- 390 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 13:59:31 ID:7I0d5fbg.net
- x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
- 391 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:51:37 ID:pDfrzDrp.net
- >>390
f(x) = log{Γ(x)} - x･log(x),
f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x) ････ digamma関数。
∴ f(x) は下に凸。
- 392 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:57:56 ID:pDfrzDrp.net
- >>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺）=（xx +x/2 -c)^2 +（2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。
左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→ x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。
(左辺）=（xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
=｛(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
≧ 0.002010
- 393 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 03:26:14 ID:IAsBrfBV.net
- >>390
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion"，Hamburg （1931)
･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳･解説]
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
- 394 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 12:07:36.86 ID:HQzXTvXu.net
- 三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
- 395 ：１３２人目の素数さん：2020/04/11(土) 14:55:32 ID:jVXfLHUH.net
- BC = a, CA = b, AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
AD = BC = a
となる点Dをとると
CD = √(aa+bb-2ab･sinC) = √(aa+bb-4S),
BD = √(aa+cc-2ac･sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする？
- 396 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 20:45:04 ID:/wfIVimW.net
- ツイッターのとあるユーザーから出題
https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
- 397 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 22:43:06 ID:Mmg17QlQ.net
- >>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
- 398 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:23:49.74 ID:Cq2k8yf8.net
- >>396
Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1. x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,
2. x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,
3. x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),
4. x,y,z≧0 のとき
3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
- 399 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:49:57 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
１．
s = x+y+z
t = xy+yz+zx
u = xyz
とおく。
左)
u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
= (2s^3 -7st+9u)/9
≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
等号成立は x=y=z=1/3,
右)
(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
= (x+y)(x+z)(z+x)
≧ 0,
等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
- 400 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:02:04.63 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
２.
xyz = G^3 とすると AM-GMで
x+y+z ≧ 3G, 1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),
なお、対称式でなくても AM-GMで
(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.26 演習問題1.75
- 401 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:22:15.43 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
３.
1/(x(y+z)）= 1/(x(s-x)）=｛1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺）≧｛1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x）+ 1/(s-y）+ 1/(s-z)}/s
≧｛9/(x+y+z)｝+ 9/(3s-x-y-z)}/s (← AM-HM)
= 9/(ss）+ 9/(2ss)
= 27/(2ss),
x^4 +y^4 +z^4 + xyz
≧（x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
=（s^3 -3st +6u)/3 (s=1)
=（2/9)(s^3 -4st +9u）+（1/27)s(ss-3t）+（2/27)s^3
≧（2/27)s^3,
∴（右辺）≦ 27/(2s^3),
- 402 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 10:07:36.72 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
４.
(左辺）-（右辺）= 3s(ss-3t）+4t -4s +3
=｛(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
≧ 0,
3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
- 403 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 07:08:39 ID:VEDuEVHa.net
- 駿台の過去問らしい
https://i.imgur.com/FH292z6.jpg
- 404 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 08:05:27 ID:6SMLYdGW.net
- >>403
〔問題５〕
nを2以上の整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を正の整数とする。
このとき、次の3つの条件をみたす正の整数 b_1, b_2, ････, b_n が存在することを示せ。
(A) i = 1,2,････,n に対して a_i≦b_i である。
(B) b_1, b_2, ････, b_n をnで割った余りはすべて異なる。
(C) 不等式
b_1 + b_2 + ････+ b_n ≦ n（(n-1)/2 +［(a_1+a_2+････+a_n)/n]).
が成り立つ。
ただし、実数xに対してxを超えない最大の整数を［x］で表わす。
>>397
そうかなぁ？
- 405 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 06:57:59 ID:A7QrgcmB.net
- R^3上の(可測)集合A,Bに対して、
A+B:={x+y | x∈A,y∈B}とする.
このとき、
(A+Bの体積)^(1/3)≧(Aの体積)^(1/3)+(Bの体積)^(1/3)
を証明せよ.
- 406 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 07:02:02 ID:A7QrgcmB.net
- >>405
ちなみに、A,Bを2次元平面上の図形として、
(A+Bの面積)^(1/2)≧(Aの面積)^(1/2)+(Bの面積)^(1/2)
となることは比較的簡単に証明出来ます
- 407 ：１３２人目の素数さん：2020/05/03(日) 10:38:33 ID:u2nPgxPR.net
- a,b,c>0, λ≧0
(a/b + b/c + c/a){a/(a+λb) + b/(b+λc) + c/(c+λa)} ≧ 9/(λ+1).
RMMかどこかで昔拾ったものだったか?
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ﾉヽﾉ) =3 'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
- 408 ：１３２人目の素数さん：2020/05/04(月) 16:31:00 ID:jDRWX2Ph.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
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- 409 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 12:29:59 ID:b2IqdVzK.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
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- 410 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 17:26:38 ID:B6ZQqn9P.net
- >>406
平面のときのも全然証明わかりません
証明もしくは出典教えてほしいです
- 411 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 23:55:57 ID:2A4Z2g/l.net
- >>410
ヒントを言うとまずはA,B共に長方形の場合で示してください
ある有名不等式になります
どうしても答えが知りたければ
「Brunn–Minkowskiの不等式」でググってください
- 412 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:23:27 ID:1eDWV5m3.net
- >>411
ありがとう
調べたらかなり有名みたいだね
もちろん最初に同じ向きの長方形の場合を考えてみたけど、そこから一般の場合にどう持っていくのかが謎すぎた
和をとった後の図形がどれくらい小さくなるかは元の図形の大域的な様子が必要そうに思えてさ
wikiぱっと見た感じでは凸包をとってよくて、さらに凸図形の場合は表面積の情報で抑えられるという感じなのかな
- 413 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:35:55 ID:sAc0zF0B.net
- >>412
測度論で長方形から一般の可測集合に主張を拡張したい場合は「Dynkin's π-λ theorem」という便利な定理があります
- 414 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:45:25 ID:sAc0zF0B.net
- 適当にパラメータ付けした図形にBrunn–Minkowskiの不等式を適応すれば
大量に不等式を生成することが出来ます
- 415 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 01:13:17 ID:C8tI9fQ4.net
- ツイッターから拾ったのでどうぞ
https://i.imgur.com/aYWdlZa.png
https://i.imgur.com/kMzfG2o.png
https://i.imgur.com/K7zRV0s.png
https://i.imgur.com/v6d3y6p.png
https://i.imgur.com/RJqT4Pu.jpg
https://i.imgur.com/zocnJSH.png
- 416 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 11:46:01 ID:WmDpVhCu.net
- 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
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- 417 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:28:34 ID:gGrwQusG.net
- >>415
１
a,b,c>0 のとき、
30sst ≦ 7s^4 + 9tt + 54su,
を示せ。
ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおいた。
２
実数列｛a_i},{b_j},{c_k｝がある。以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca),
３
x1,x2,･･･,xn を実数とし、ｘ=（x1,x2,････,xn）と書く。
f(x）と g(x）は対称式である。
f(x）≦ g(x）が成り立ち、
等号成立が ｘ = ｘ_p =（y1,y2,････,yn）に限るとしても
f(ｘ）≦ g(ｘ_p)
が成り立たない例があることを示せ。
４
0 < x,y,z のとき、
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)^2 /(xy+yz+zx),
を示せ。
５(改)
1 < log([(e-2)x+2]/[(e-2)(x-1)+2]) + x･log(1+1/x）< f(x), (x>1)
ここに f(x）=｛x･log(x）+ log(x+1）- log(2Γ(x+1))}/(x-1),
lim[x→1］f(x）= γ + 1/2,
lim[x→∞］f(x）= 1,
６
∀x,y ∈［0,π/2)
sin(x+y）+ tan(x)tan(y）≦ √{1+tan(x)^2}･√{1+tan(y)^2},
- 418 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:45:55 ID:gGrwQusG.net
- １
(右辺）= 7s^4 + 9tt + 54su
= 30sst +（ss-3t)^2 + 6s(s^3 -4st+9u)
= 30sst +（F_0)^2 + 6s･F_1
≧ 30sst,
F_0 = ss -3t ≧ 0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0. (シューア)
３
f(ｘ）= Σ[i=1,n] (x_i)^2, g(ｘ）= 2Σ[i=1,n] (x_i)^2,
g(ｘ_p）= g(ｏ）= 0.
何か勘違いしてるかな？
４
コーシーで。
（分数形のものは Engel型のCauchy とか、Arthur Engelの最小原理と呼ぶらしい。)
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.44-45
６
(左辺)^2 ≦｛1 +｜tan(x)tan(y)|}^2
≦ √{[1 +｜tan(x)tan(y)|]^2 +［tan(x)±tan(y)]^2}/2
=｛1+tan(x)^2} {1+tan(y)^2},
或いは同じことだが
(左辺)^2 ≦（1 +｜tan(x)tan(y)|)^2
=｛cos(x)cos(y）± sin(x)sin(y)}^2 /{cos(x)cos(y)}^2
= cos(x干y)^2 /{cos(x)cos(y)}^2 (←複号は適当な方をとる)
≦ 1/{cos(x)cos(y)}^2,
- 419 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 23:59:46 ID:gGrwQusG.net
- ２
Σaa = AA, Σbb = BB, Σcc = CC,
Σab = AB cosγ, Σbc = BC cosα, Σca = CA cosβ,
とおく。(0≦α,β,γ≦π)
球面三角不等式
｜α-β｜≦ γ ≦ α+β,
より
cos(α-β）≧ cosγ ≧ cos(α+β),
｜cosγ - cosα･cosβ｜≦｜sinα･sinβ|,
２乗して整理すると
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
これに（ABC)^2 を掛ければ
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca).
- 420 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 06:14:35 ID:pHr5kdzK.net
- ５
x≒1 では
x･log(x）+ log(x+1）- log(2）=（3/2)(x-1）+（3/8)(x-1)^2 -（1/8)(x-1)^3 + ･･･
log{Γ(x+1)｝=（1-γ)(x-1）+（ππ-6)/12・(x-1)^2 - 0.0673523(x-1)^3 + ････
f(x）=（γ+1/2）+（7/8 - ππ/12)(x-1) - 0.0576477(x-1)^3 + ････
x >>1 では
x･log(x）+ log(x+1）=（x+1)log(x）+ 1/x - 1/(2xx）+ 1/(3x^3）- ････
log{2Γ(x+1)｝=（x+1/2)log(x）-x +（1/2)log(8π）+ 1/(12x) - 1/(360x^3) + ･･･
f(x) =｛x +（1/2)log(x）-（1/2)log(8π）+ 11/(12x）- 1/(2xx）+ 121/(360x^3)}/(x-1)
→ 1 (x→∞)
６（訂正)
(左辺)^2 ≦｛1 + |tan(x)tan(y)|}^2
≦｛1 + |tan(x)tan(y)| })^2 +｛ |tan(x)| - |tan(y)| }^2
=｛1 + tan(x)^2} {1 + tan(y)^2},
- 421 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 20:40:48 ID:pHr5kdzK.net
- 引き続く3つの奇数の和が54を超えないとき、
小さい数の最大値を求めよ。
The sum of three consecutive odd numbers is not greater than 54,
find the largest value of the smallest number.
數學999
http://www.youtube.com/watch?v=GTehFFxQCp8 02:42
- 422 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 01:49:21.16 ID:431XMp+q.net
- n, k は2以上の整数、Aはn×nエルミート行列のとき、
(det A)^(1/n) ≦ [{(tr A)^k - tr(A^k)}/(n^k - n)]^(1/k).
- 423 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 08:31:45 ID:w+h9h8DE.net
- >>419
２
| (a･a) (a･b) (a･c) |
RHS - LHS =｜(b･a) (b･b) (b･c) | (Grammian)
| (c･a) (c･b) (c･c) |
| a |
=｜b｜| a b c | ≧ 0,
| c |
桑野耕一「ラグランジュ恒等式とは何か」
数学セミナー、連載（2006年4月号～）
なお、上式は（|a||b||c|)^2 以下になる。(Hadamardの不等式)
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
第2章 §26.極大・極小 [例2] p.72～75
分かスレ４５９．588, 594, 759 など。
- 424 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 18:07:02 ID:gzO4I8NK.net
- ツイッターから拾った
https://i.imgur.com/A46WIGT.jpg
- 425 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:35:49 ID:0gqdjMjt.net
- 〔問題〕
x,y,zが非負実数全体を動くとき
(x+y+z)^3 /(xyy+yzz+zxx+xyz）≧ 27/4,
を示せ。
例の問題...
- 426 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:49:34 ID:0gqdjMjt.net
- >>425
(略証)
0 ≦ Min{x,y,z｝= x としてもよい。
4(x+y+z)^3 - 27(xyy+yzz+zxx+xyz)
= 9x(xx+yy+zz-xy-yz-zx) + (y+4z-5x)(x-2y+z)^2 ≧ 0,
等号成立は（x,y,z) = (1,1,1) (0,1,2) (1,2,0) (2,0,1)
［前スレ．014-020]
文献[8] 安藤：「不等式」数学書房 (2012）例題2.2.12(7）p.56
Inequalitybot [169]
(類題)
カナダMO-1995 A5
イギリスMO-2009 A4
Inequalitybot [61]
- 427 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 23:15:09.32 ID:0gqdjMjt.net
- >>407
(1+λ)(a/b + b/c + c/a）≧（a/b + b/c + c/a）+ 3λ (AM-GM)
=（a+λb)/b +（b+λc)/c +（c+λa)/a,
∴ コーシーで
(1+λ)･LHS ≧｛√(a/b）+ √(b/c）+ √(c/a)}^2
≧ 3^2 (AM-GM)
= 9,
- 428 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 01:32:34 ID:G3uxUJZ9.net
- >>426
巡回的なものを非巡回的な式に変形して示すの不思議
巡回的な変形でも示せるのか気になる
- 429 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 12:59:55 ID:C7hbQ2t7.net
- >>419
>>423
2次形式
f(x,y,z）=｜xａ + yｂ + zｃ｜^2
が半正値だから、
RHS - LHS =（判別式）≧ 0,
- 430 ：１３２人目の素数さん：2020/05/22(金) 07:21:06.00 ID:y+ggBWMl.net
- >>421
(略解)
Let x be the smallest odd number.
x + (x+2) + (x+4) ≦ 54,
3x + 6 ≦ 54,
x ≦ 16,
x ≦ 15, (x is odd number)
∴ The largest value of the smallest nember is 15.
- 431 ：１３２人目の素数さん：2020/05/25(月) 19:54:27 ID:FyhIbn1M.net
- a,b,c>0, a+b+c=1
36/(aab+bbc+cca) + 1/(abc) ≧ {24(aab+bbc+cca-6abc)^2}/abc + 343
- 432 ：１３２人目の素数さん：2020/05/26(火) 22:40:14 ID:jFtHfHtW.net
- a,b,c>0、G=(abc)^(1/3) に対して
a/(a+2b+3) + b/(b+2c+3) + c/(c+2a+3) ≧ G/(1+G).
JBMO2020って何だよ？
- 433 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 06:28:31.08 ID:2I72JytV.net
- >>432
｛a(a+2b+3）+ b(b+2c+3）+ c(c+2a+3)｝= (a+b+c)(a+b+c+3）= 9A(A+1),
を左辺に掛ける。 コーシーにより
9A(1+A)(左辺）≧（a+b+c)^2 = 9AA,
∴ (左辺）≧ A/(1+A）≧ G/(1+G), (← AM-GM)
JBMO = Junior Balkan Mathematical Olympiad
なお、日本のは JJMO
- 434 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 15:36:19 ID:2I72JytV.net
- >>432
1/(1+x）≧ 1-x より
a/(a+2b+3) = a/{(a+b+c+3) + (b-c)}
= a/{(a+b+c+3) (1+x)}
≧ a(1-x)/(a+b+c+3)
= a/(a+b+c+3) - (ab-ca)/(a+b+c+3)^2,
循環的にたす。
(左辺）≧（a+b+c)/(a+b+c+3）≧ G/(G+1)),
- 435 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 16:26:37.09 ID:2I72JytV.net
- >>270 のことでござるか････
JBMO2020 はバルカンMO (BMO) のジュニア版のこと >>433
じゃなく、ただのハンドル名かも････
- 436 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 18:38:24.11 ID:2I72JytV.net
- 〔問題３〕改
a,b,c は正の実数で 1/a + 1/b + 1/c ≧ 3 であるとする。
(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
を証明せよ。 等号が成立つのはいつか？
Problem 3. (modified)
Let a,b,c be positive real numbers such that 1/a+1/b+1/c ≧3.
Prove that
(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
When does equality hold ?
JBMO-2014 P.3
- 437 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 19:07:41.72 ID:2I72JytV.net
- 相加平均 A =（a+b+c)/3,
調和平均 H = 3/(1/a+1/b+1/c）とおく。
問題の条件は H≦1.
2乗平均≧相加平均 より
(左辺）≧ 3(A + 1/H)^2
= 3(A-1)^2 + 3(3A+1) + 3(A-H)(2-H)/H + 3(1/H^2 - H)
≧ 3(3A+1)
= 3(a+b+c+1),
http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
→ JBMO 2014 Solutions (マケドニア大会)
- 438 ：１３２人目の素数さん：2020/05/30(土) 19:23:31 ID:vR2Jo4eU.net
- [例9-3] 改
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
[第2章．274-276]
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注）鳩ノ巣原理では解けません。
- 439 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 08:48:01.74 ID:vwaCsVj1.net
- 二変数a,bの相加平均、相乗平均、調和平均の幾何学的な証明（直径a+bの円）がありますけど
三変数a,b,cの場合の幾何学的な証明はあるのでしょうか？相加平均は重心という自明な意味が
あるけど残りの二つの幾何的な意味がよくわからない。
- 440 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 11:46:33.00 ID:keH19MaE.net
- 自然に考えたら球に拡張しそうだけど
- 441 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 16:56:40.83 ID:YoOSwytJ.net
- 平面でやりたいのでは？
- 442 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 17:06:28.95 ID:vwaCsVj1.net
- 球だとできるんですか？立方体で無理やり解釈することもできるけど一目瞭然では全然ないようなのしかできない。。
３辺がa,b,cの直方体の体積V=abc ,表面積S=2(ab+bc+ca) とすると
３辺の長さの相加平均≧直方体と同体積の立方体の１辺≧V/表面積の平均値
- 443 ：１３２人目の素数さん：2020/06/01(月) 03:27:29.95 ID:LHxMDESI.net
- >>438
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.04497020×10^(-6) ････ (5)
* 3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
- 444 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:49:20.04 ID:TPydHgX/.net
- >>438
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
- 445 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:56:28 ID:TPydHgX/.net
- 〔問題404-627〕
0<x<y<1<x+y のとき
{(1-x)(1-y)(x+y-1)(y-x)^2}/(x+y)^2
の最大値を求めるにはどうすればいいでしょう？
[高校数学の質問スレPart404．627,632,635]
- 446 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 04:18:56.72 ID:TPydHgX/.net
- 〔問題404-634〕
q>1 を定数とする。
x^q + y^q + z^q = 1 を満たす正の実数x,y,zであって
(x+1)(y+1)(z+1) を最大にするものを求めよ。
[高校数学の質問スレPart404．634,639,648]
- 447 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 05:10:30.68 ID:Zifnd/u1.net
- log(1+t^(1/q))はこのスレでは流行らないんだよな。
- 448 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 06:27:38 ID:fgXdb1VU.net
- ツイッターで拾ったこの問題の最後の問題5
https://i.imgur.com/LgaZhH2.png
- 449 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 12:22:08 ID:TPydHgX/.net
- 問題１
三角形ABCとその内部の点Pは、AB=7、AC=8、PB=1、PC=4 を満たす。
∠BAC と ∠BPC の二等分線が平行であるときの、BCの長さを求めよ。
(解答例)
題意より、点Pは△ABCの垂心となる。
AP⊥BC、BP⊥CA、CP⊥AB
二等分線の方向をｘ軸とすれば傾きは
AP -1/5、 BC 5
BP -3、 CA 1/3
CP 3、 AB -1/3
よって
A(0,0) B(21/√10, -7/√10) C(24/√10, 8/√10) P(20/√10, -4/√10)
長さは
BC = 3√(13/5) = 4.83735
AP = 4√(13/5) = 6.4498
- 450 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:08:28.88 ID:TPydHgX/.net
- 問題２
nを4以上の整数とする。
ある正n角形の各頂点にはある頂点から反時計回りで１からnの整数が
書かれている。
この正n角形にn-3本の対角線(辺は含まない)を どの二つの対角線も
交わらないように取ると、正n角形はn-2個の三角形に分けられる。
(証明不要)
これらn-2個の三角形それぞれの得点をその三角形の3頂点に書かれた
整数の和とする。
n-2個の三角形の得点の総和として考えられる最大の値を求めよ。
(解答例)
Σ[k=1,n] (点 'k' を共有する三角形の数)
= Σ[k=1,n] (点 'k' を端点とする対角線の数+1)
∴ 点 'n' を端点とする対角線n-3本をとれば 2n(n-2) (最大)
逆に 点 '1' を端点とする対角線n-3本を取れば (n+3)(n-2) (最小)
- 451 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:27:03.25 ID:TPydHgX/.net
- 問題３
以下の等式を満たす正の整数の組 (a,b,c) を全て求めよ。
a^(bc) + b^(ca) = c^(ab)
(解答例)
a^(bc) < c^(ab) より a^c < c^a,
b^(ac) < c^(ab) より b^c < c^b,
∴ a^(1/a), b^(1/b) < c^(1/c),
一方
1 < n^(1/n) < ････ < 5^(1/5) < 4^(1/4) = 2^(1/2) < 3^(1/3),
と比べて
(a,b,c) = (1,1,2) (1,2,3) (2,1,3)
- 452 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 17:47:39.85 ID:TPydHgX/.net
- 問題４
内接円を持つ四角形ABCDの辺 AB, BC, CD, DA 上に
それぞれ P, Q, R, S をとり、線分PRとQSの交点をKとする。
四角形 APKS, BQKP, CRKQ に内接円が存在するとき、
四角形 DSKR にも内接円が存在することを示せ。
(解答例)
内接円をもつ ⇔ 2組の対辺の和が等しい。
だけでは解けぬ。どうするか？
- 453 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 18:21:12 ID:TPydHgX/.net
- 問題５
ある2以上の整数dは、ちょうどk個の正の約数 d_1 < d_2 < ･････ < d_k を持ち、
任意のk個の正の実数 x_1, x_2, ･････, x_k に対して以下の不等式を満たす。
このようなdを全て求めよ。
(√x_1 + √x_2 + ･････ + √x_k + 1)^(2d)
≦ (k+1)^(2d)･Π[i=1,k] {(x_i^d_i + k)/(k+1)}^d_(k+1-i)
≦ 2^(2d-k)･Π[i=1,k] (x_i^d + k^d_(k+1-i)),
ガラパゴス不等式と名付けたい････
- 454 ：１３２人目の素数さん：2020/06/03(水) 14:14:42 ID:Vj2o+qIA.net
- [第7章.946]
i-j=k をみたすn-k項と i-j=n-k をみたすk項 の計n項で Jensen する。
n項の引数の和はkとなる。
Σ[i-j=k] f(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] f(1 - x_i + x_j) ≧ n f(k/n),
k=1,2,････,n-1 でたす。
--------------------------------------------------------
蛇足だが････
f(a) ≦ n ∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x) dx,
より
Σ[k=1,n-1] f(k/n) ≦ n∫[1/2n, 1-1/2n] f(x) dx ≦ (n-1)∫[0,1] f(x) dx,
http://suseum.jp/gq/question/2724
- 455 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 03:52:52.71 ID:UZmO2K4a.net
- >>445
s = x+y, t=xy とおくと
0 < t < 1 < s < 2,
16(1-x)(1-y)(x-y)^2 = 16(1-s+t)(ss-4t) (← tの2次式)
= (2-s)^4 - {(2+s)^2 -8t -8}^2 (← 平方完成)
≦ (2-s)^4,
より
(与式）≦ (s-1)(2-s)^4 /(16ss)
= (2/√3 -1)^3 - g(s)(s-2/√3)^2 /(16ss)
≦ (2/√3 -1)^3
= 0.003702332976 = M,
等号は s = 2/√3 = 1.1547 のとき。
10+M = 10 + (2/√3 -1)^3
= (2/√3 +1)^3
= 1/{3(2/√3 -1)}^3
= 1/(27M),
M = 1/{27(10+M)} < 1/270 = 0.00370370････
g(s) = {(√3)(2-s)^3 + (3√3 -4)(2-s)^2 + 4(3√3 -5)(2-s) + 8(7-4√3)}/(√3)
> 8(7-4√3)/√3
= 0.331615 (s<2)
∵ 5/3 < √3 < 7/4,
- 456 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 04:14:53.02 ID:UZmO2K4a.net
- >>446
q乗平均Q ≧ 相加平均A
より
(x+1)(y+1) = (A+1)^2 - (1/4)(x-y)^2
≦ (A+1)^2
≦ (Q+1)^2,
∴ (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (Q+1)(Q+1)(z+1),
∴ もし最大値があるとすれば、それは x=y=z に限る。
- 457 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 17:35:49 ID:UZmO2K4a.net
- >449
△ABCの垂心をHとおく。
辺BCに関してHと対称な点をDとおくと、
∠D = ∠BHC = 180ﾟ - ∠A,
∴ Dは△ABCの外接円上にある。
OA = OD
∴ ∠OAH = ∠ODH ････ (1)
△ABCを中点三角形とするような大三角形△A'B'C'を考える。
その垂心は三角形ABCの外心Oである。
相似関係より、
∠BAO=∠CAH, ∠CAH=∠BAO,
∴ ∠A の二等分線は ∠OAHの二等分線。
∠BDO=∠CDH, ∠CDH=∠BDO,
∴ ∠D の二等分線は ∠ODHの二等分線。
(1) より
∠BHC の二等分線 // ∠Aの二等分線
- 458 ：１３２人目の素数さん：2020/06/06(土) 04:26:40 ID:klZxi4yn.net
- [AMM, Problem 12154]
Let r_a , r_b , and r_c be the exradii of a triangle with circumradius R and inradius r. Prove
r_a/(r_b + r_c) + r_b/(r_c + r_a) + r_c/(r_a + r_b) ≧ 2 - r/R.
- 459 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 02:55:50.02 ID:4nsS10XA.net
- >>443
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
- 460 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 04:37:40.73 ID:4nsS10XA.net
- >>443
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3)
- 461 ：１３２人目の素数さん：2020/06/09(火) 10:39:14.84 ID:oCR5MqlE.net
- 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9)
- 462 ：１３２人目の素数さん：2020/06/15(月) 09:49:34.02 ID:m4MzqaBi.net
- >>377
(1,n) から 1 ≧ y1
(i,i) から 2-S_i ≧ yi,
(n,n) から 1 ≧ yn,
(i,j) i<j から
S_(i-1) ≧ yj または 2-S_j ≧ yi ････ これが難解
なお (1,2) ～ (1,n-1) と (i,j) i>j は不要
S_k = x0 + x1 + x2 + ･････ + xk,
- 463 ：１３２人目の素数さん：2020/06/28(日) 15:44:40 ID:OH7XqlAJ.net
- (1) 円周率πに対して、3.1<π<3.2を示せ
(2)ネイピア数eに対して、2.7<e<2.8を示せ
- 464 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 17:05:05 ID:4ejNywyM.net
- (1)
>>102 で θ=π/6 とおくと
18/(2 + 2 + √3) < π < 2(1/2 + 1/2 + 1/√3),
3.140237343 < π < 3.15470054
(2)
特に x=1 のとき、剰余項を入れて書けば
e = 1 + 1/1! + 1/2! + ････ + 1/n! + R_(n+1) (11)
R_(n+1) = e^θ/(n+1)! < 3/(n+1)!
今(11)を用いて1/n!を計算して行けば、n=4 までは右図のようになる。
それらを加えてeの近似値を得るが、剰余項 R_5 < 1/40 だから
2 + 17/24 < e < 2 + 11/15
2.7083333 < e < 2.7333333
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第2章 微分法、§25．Taylorの公式、p.66
- 465 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 19:07:55.63 ID:4ejNywyM.net
- (1)
Simpson の方法 は（3）の応用である。
h=(b-a)/2n と置いて y_(2i-1) に隣る二つの区間に関する積分∫f(x)dx の
近似値として（3）のように
(h/3){y_(2i-2) + 4y_(2i-1) + y_(2i)}
を取って i=1,2,････,n に亘って総計すれば
∫[a,b] f(x)dx
≒ (h/3){y_0 +4y_1 +2y_2 +4y_3 + ････ + 2y_(2n-2) + 4y_(2n-1) + y_(2n)},
これが Simpson の公式である。 ････ (5)
もしも（4）によって剰余項をも取るならば、総計して
R = -{n(h^5)/90}f^(4)(ξ) = -{(b-a)(h^4)/180}f^(4)(ξ),
これは Simpsonの公式の誤差の限界を与える。
一例として π/4 = ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx からπの近似値を計算してみよう。
n=5 とすれば h=0.1
π/4 = (0.1/3)(1/1.00 + 4/1.01 + 2/1.04 + 4/1.09 + 2/1.16 + 4/1.25
+ 2/1.36 + 4/1.49 + 2/1.64 + 4/1.81 + 1/2.00) + R
= (0.1/3)・23.5619446 + R
= 0.7853981535 + R
∴ π = 3.141592614 + 4R
-1.333×10^(-5) < R < 1.667×10^(-6)
{実際は R = 9.91264×10^(-9)}
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第3章 積分法、§38．定積分の近似計算 p.127-128
（貞治先生も筆の誤り？）
- 466 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 07:33:44 ID:VISrmZkI.net
- u,v,w∈R^n
(||v||^2 ||w||^2 - (v,w)^2) ||u||^2 ≧ ||(w,u)v - (v,u)w||^2.
これは有名な不等式なん？
- 467 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 17:35:21.65 ID:ceNKIuAv.net
- A_(i,j) = v_i w_j - v_j w_i (交代テンソル）とおくと
成分は 1≦i<j≦n をわたります。
与式は
||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2 = (スカラー三重積)^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、右辺は（u,v,wが作る平行六面体の体積)^2 です。
・幾何学的解釈
∠(v,w) = a, ∠(w,u) = b, ∠(u,v) = c
とおくと与式は
1 + 2cos(a)cos(b)cos(c) - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 ≧ 0,
すなわち
4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2) ≧ 0,
なので、角｛a,b,c｝の三角不等式です。
・参考
{u,v,w｝がなす球面三角形の面積をSとすると
{4 cos(a/2) cos(b/2) cos(c/2) sin(S/2)}^2
= 4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2)
= 1 - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 + 2cos(a)cos(b)cos(c)
= ｜1，cos(c)，cos(b)｜
｜cos(c)，1，cos(a)｜
｜cos(b)，cos(a)，1｜
これはヘロンの公式の球面版と考えられます。（カニョリの式）
- 468 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 18:26:18.89 ID:ceNKIuAv.net
- （訂正）
与式は
||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、 ||A|| はv,wが作る平行4辺形の面積です。
･････
>>467 の行列式の各行に |u|, |v|, |w|, 各列に |u|, |v|, |w| を掛けて元に戻せば
｜(u, u) (u, v) (u, w)｜
｜(v, u) (v, v) (v, w)｜
｜(w, u) (w, v) (w, w)｜
の形（Grammian）になり、
｜ u'｜
｜v'｜｜u, v, w｜
｜w'｜
= （スカラー三重積)^2
= (u,v,wが作る平行六面体の体積)^2
でした。
- 469 ：１３２人目の素数さん：2020/07/03(金) 01:01:30.39 ID:nLp+q6d/.net
- ありがとう。難しすぎて今は分からんけど。
- 470 ：１３２人目の素数さん：2020/07/16(木) 22:03:57 ID:/5szD4rG.net
- 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5b + b^5c + c^5a) ≧ (1/27)*(a+b+c)^6
- 471 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 02:28:47 ID:xiJ191gm.net
- >>470
この手の同次数の不等式の係数というのは分母を払えば
(N個の係数1の単項式)≧(N個の係数1の単項式)
と書けるようになっていますよね？
このタイプ(特に巡回や対称の場合)の不等式に関して
どのようなとき不等式が成立するかの一般論ってあるんでしょうか
昔、考えたのは対称の場合で
指数のタイプ
(n,0,…,0)、(n-1,1,0,…,0)、…、(1,1,…,1)
に関してヤング図形的な半順序付けをしたとき
上の条件を満たすような係数になっていて、左辺の各単項に右辺の単項式への順序を下げる1対1対応があるとき不等式は成立するというものでした(これは確か証明できた)
これを使うと相加相乗などはすぐに示せます
逆に同次対称で上の係数条件を満たすような不等式はこの左右の順序を下げる1対1対応が存在するか？も考えたのですが確かこれには反例がありました
- 472 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 06:33:37.69 ID:/5BiIC+G.net
- よくってよ
- 473 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 12:04:37.03 ID:dk77+tdw.net
- 2006年度東工大の問題
https://i.imgur.com/0aBFX3v.jpg
- 474 ：１３２人目の素数さん：2020/07/19(日) 19:28:26 ID:WIR0lTu1.net
- >>470
aa=A, bb=B, cc=C とおく。
(左辺) - (aa+bb+cc)^3
≧ 4(A^3 + B^3 + C^3) + 15ABC - (A+B+C)^3
= 3{A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B)}
= 3F_1(A,B,C)
≧ 0, (Schur-1)
∴ (左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ (1/27)(a+b+c)^6.
(1+1+1)(aa+bb+cc) ≧ (a+b+c)^2 (コーシー) から。
- 475 ：１３２人目の素数さん：2020/07/21(火) 17:57:10 ID:Q73vct+1.net
- >>470
a^3 =A', b^3 =B', c^3 =C' とおく。
(左辺) = 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5･b + b^5･c + c^5･a)
≧ (A'+B'+C'){(4/3)(A'+B'+C') +5abc} （← 補題)
= (A'+B'+C'){(1/3)(a+b+c)^3 + F_1(a,b,c)}
≧ (1/3)(A'+B'+C')(a+b+c)^3
≧ (1/3){(aa+bb+cc)(a+b+c)}^2, (← コーシー)
〔補題〕
a^5･b + b^5･c + c^5･a ≧ abc(a^3+b^3+c^3),
(略証)
a^5･b + b^5･c + c^5･a
≧ (a^3+b^3+c^3)^2 /(a/b+b/c+c/a) (← コーシー)
= abc(a^3+b^3+c^3)^2 /(aac+bba+ccb)
≧ abc(a^3+b^3+c^3), (← チェビシェフ)
あるいは
(16a^5･b + b^5･c + 4c^5･a)/21 ≧ a^4･bc, (← AM-GM)
巡回的にたす。 (終)
- 476 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:47:23.22 ID:U4xy9LSi.net
- 〔演習問題1.90〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、次を証明せよ。
aa+bb+cc + 2abc + 1 ≧ aa+bb+cc + 3(abc)^(2/3)
≧ aa+bb+cc + 9abc/(a+b+c)
≧ 2(ab+bc+ca),
[9] 佐藤(訳), 朝倉書店 (2013) p.41
- 477 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:49:09.73 ID:U4xy9LSi.net
- (略証)
左・中は AM-GM で出る。
右は通分して
(a+b+c)(aa+bb+cc-2ab-2bc+2ca) + 9abc
= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= F_1(a,b,c) ≧ 0, (Schur-1)
- 478 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 14:59:40.78 ID:cBVWOvpo.net
- a,b,c,d>0
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ (143/100)*(a+b+c+d)
Slovenia 2012 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 479 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 14:32:02 ID:cdENLWJx.net
- 右辺の係数を λ_n とおくと
λ_1 = 1.0
λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655 (a = (1+√2)^2･b)
λ_3 = 4/3 = 1.333333333 (a = 4b = 16c)
λ_4 = 1.42084438540961 (a = bp = cq = dr)
････
[第８章．972-990]
[前スレ．041] あたりの【Kiran Kedlaya】はこれの改良版（？）
- 480 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 15:03:09.65 ID:cdENLWJx.net
- >>475
〔補題〕
a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + c^{n+1}･a ≧ abc (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}),
(略証)
n=0 のとき等号成立
n=1 のとき AM-GM
n≧2 のとき
a^{n-3} /b + b^{n-3} /c + c^{n-3} /a
= (a^{n-2}･c + b^{n-2}･a + c^{n-2}･b) /(abc)
≦ (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}) /(abc),
よって
(左辺) ≧ (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})^2 /(a^{n-3}/b + b^{n-3}/c + c^{n-3}/a)
(← コーシー)
≧ abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}).
(別法)
AM-GMで
[nn･a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + n c^{n+1}･a] /(nn+n+1) ≧ a^n･bc,
巡回的にたす。
- 481 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 20:57:22.44 ID:sHXJwhgv.net
- 異なる4つの実数が任意に与えられたとき
そこから |ab+1|>|a-b| を満たす異なる実数a,bが選べることを示せ。
- 482 ：１３２人目の素数さん：2020/07/24(金) 22:44:47.85 ID:+6BjH0O/.net
- >>481
tanで置き換えれば瞬殺
- 483 ：１３２人目の素数さん：2020/07/25(土) 10:36:55.68 ID:g3fpMEvS.net
- >>481
[高校数学の質問スレPart405] から。
4つの実数をx_iとする。(i=1～4)
θ_i = arctan(x_i) (-π/2 < θ_i < π/2) とおく。
4つから上手く2つを選ぶと
|θi - θj| ≦π/4 または |θi-θj±π| ≦π/4,
となる。
tanの加法公式
tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα･tanβ),
より
1 ≧ |tan(θi - θj)| = |(x_i-x_j)/(1+x_i･x_j)|,
よって x_i, x_j は条件を満たす。
等号成立は {x_i} がπ/4ずつ異なるとき。 [895,948-949]
例：tan(±22.5ﾟ) = ±(√2 -1), tan(±67.5ﾟ) = ±(√2 +1),
- 484 ：１３２人目の素数さん：2020/08/05(水) 03:24:43 ID:ud0wEpwG.net
- 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rに対して、
2/R ≦ (1/a)*sec(A/2) + (1/b)*sec(B/2) + (1/c)*sec(C/2) ≦ 1/r.
[AMM, Prob12168] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 485 ：１３２人目の素数さん：2020/08/10(月) 14:07:49 ID:WaC83EyQ.net
- 不等式botより
https://i.imgur.com/7iHjp4R.png
- 486 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 16:49:54.71 ID:sLooAqcf.net
- 〔Inequalitybot 98〕
aa ≦ 1, aa+bb ≦ 5, aa+bb+cc ≦ 14, aa+bb+cc+dd ≦ 30 のとき
a+b+c+d ≦ 10
を示せ。 Hungary-Israel binational 2007, 1日目, 問2
- 487 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 17:00:55.87 ID:sLooAqcf.net
- コーシーにより、
(a+b+c+d)^2 /(1+2+3+4) ≦ aa + bb/2 + cc/3 + dd/4
= (1-1/2)aa + (1/2-1/3)(aa+bb) + (1/3-1/4)(aa+bb+cc) + (1/4)(aa+bb+cc+dd)
≦ (1-1/2) + (1/2-1/3)･5 + (1/3-1/4)･14 + (1/4)･30
= 10,
等号成立は (a,b,c,d) = (1,2,3,4)
- 488 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 22:11:26.18 ID:sSrJdUio.net
- a,b,c∈R,
a^2 + b^2 + c^2 > 0,
-1/2 ≦ Σ[cyc] ab/(a^2 + b^2 + 3c^2) ≦ 3/5.
[不明] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 489 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 08:44:28.46 ID:63pIFzc2.net
- 1824 アンケよろしく @gas1824s (2020/08/13 22:08:21)
回りくどいのでほかにいい解法ありませんかね #数学教えて
https://pbs.twimg.com/media/EfTYnxTUYAAefqC.jpg
http://twitter.com/gas1824s/status/1293897176909660161
(deleted an unsolicited ad)
- 490 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:01:51.38 ID:kEvbrh9S.net
- (a^3+a^3+b^3)/3≧(a^3a^3b^3)^(1/3)=a^2b
- 491 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:49:28 ID:6FR6kR83.net
- >>490
おい右辺w
- 492 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 14:32:03.90 ID:Vqud894y.net
- >>489
a,b,c≧0 に対し
a^3 + b^3 + c^3 ≧ abb + bcc + caa,
を示せ。
--------------------------------------
差積 (a-b)(b-c)(c-a) の符号は正にも負にもなるから、
このままではマズイ。
(ついでに言えば、符号も変)
0 ≦ {(a+2b)(a-b)^2 + (b+2c)(b-c)^2 + (c+2a)(c-a)^2}/3
= a^3 + b^3 + c^3 -abb -bcc -caa,
とやるか又は AM-GM で
(a^3 + 2b^3)/3 - abb = (1/3)(a+2b)(a-b)^2 ≧ 0 >>490
を循環的にたす。
- 493 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 18:55:07 ID:Nf0TF7ck.net
- そんなに難しくない問題
https://i.imgur.com/knbMWIu.jpg
- 494 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 21:30:28 ID:ymr8iYI5.net
- 「入試数学の純粋な難問」
0 ≦ x,y,z ≦ 1 のとき
(x+y+z)/3 + √{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} ≦ 3/2
を示せ。
--------------------------------------------------------
(x+y+z)/3 = A とおく。
x(1-x) = (3/2)(3/8 - x/3) - (x - 3/4)^2 ≦ (3/2)(3/8 - x/3),
より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (3/2)(9/8 - A)
= (3/2 - A)^2 - (3/4 - A)^2 ≦ (3/2 - A)^2,
よって
√{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} ≦ 3/2 - A,
- 495 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 22:13:30.32 ID:Nf0TF7ck.net
- (x+y+z)/3=tとおいたら相加相乗平均でいけない？
- 496 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 23:14:15 ID:YNr/CS7O.net
- 続けて。
- 497 ：１３２人目の素数さん：2020/08/26(水) 23:23:01 ID:oXbdk8QE.net
- a,b,c>0
$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
2020 China Norther MO ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 498 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 21:06:34.76 ID:2xmHjvQW.net
- Twitterから色々拾ってきた
https://i.imgur.com/wm73ysp.png
https://i.imgur.com/WZ2vouq.jpg
https://i.imgur.com/mRGlGoa.jpg
- 499 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 22:58:10.89 ID:g1e3GOfL.net
- うむ、よく訓練された不等式ヲタだな。
- 500 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 00:03:43.87 ID:3yJQ3R53.net
- (aa+1)(bb+1)(cc+1) = (a+b+c-abc)^2 + (ab+bc+ca-1)^2.
- 501 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 00:51:04.79 ID:PGJ1gE8Y.net
- (a+i)(b+i)(c+i) = (abc -a-b-c) + (ab+bc+ca-1)i,
(a-i)(b-i)(c-i) = (abc -a-b-c) - (ab+bc+ca-1)i,
辺々掛ける。
- 502 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 01:07:54.34 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>497
a,b,c>0 のとき
(a^3+b^3)/√(aa-ab+bb) + (b^3+c^3)/√(bb-bc+cc) + (c^3+a^3)/√(cc-ca+aa) ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2),
(略証)
コーシーで
(x^3+y^3)/√(xx-xy+yy) = √{(x^3+y^3)(x+y)} ≧ x^2 + y^2,
巡回的にたす。
- 503 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 02:47:25.14 ID:yitbZe7d.net
- >>501
からくりを見ると、当たり前の等式だったんだなあ ( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…
- 504 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 13:48:56.02 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>500
実数でやるなら
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおく。
(左辺) = (abc)^2 + ((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + 1
= uu + (tt-2su) + (ss-2t) + 1
= (uu -2su +ss) + (tt -2t +1)
= (u-s)^2 + (t-1)^2,
- 505 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:48:46.83 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>498
(上)
〔問題214〕
自然数n∈Nを固定する。
i=1,2,･････,2n に対して |x_i| ≦ 1 の値をとるとき
Σ[1≦r<s≦2n] (s-r-n) x_r x_s
の取り得る最大の値を求めよ。
IMO Shortlist 2015 A-3
Inequalitybot [214]
(中）
△ABCにおいて、
F = {(sinA)^2 + 2(sinB)^2 + 3(sinC)^2} / {(sinA)(sinB)(sinC)}
とおく。
(1) △ABCの3辺の長さを BC=a, CA=b, AB=c とおき、
さらに△ABCの面積をSとする。
F を a,b,c,S で表わせ。
(2) Fの最小値を求めよ。
(下)
Problem 26
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=3 をみたすとき、
a(bb+cc)/(aa+bc) + b(cc+aa)/(bb+ca) + c(aa+bb)/(cc+ab) ≧ 3
が成立することを示せ。
- 506 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 16:26:15 ID:PGJ1gE8Y.net
- (中)
(1) 正弦定理
sin(A) = a/2R, sin(B) = b/2R, sin(C) = c/2R,
と
S = abc/4R,
より
F = 2R(aa+2bb+3cc)/abc = (aa+2bb+3cc)/2S,
(2)
ところで 面積S は a,b,c の関数である。(ヘロンの公式)
(aa+2bb+3cc)^2 - 11･16SS
= (aa+2bb+3cc)^2 - 11{2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 -a^4 -b^4 -c^4}
= (3･4･5){(bb/4-cc/3)^2 + 2(cc/3-aa/5)^2 + 3(aa/5-bb/4)^2}
≧ 0,
aa+2bb+3cc ≧ (4√11)S,
∴ F ≧ 2√11 = 6.63325
等号成立は a：b：c = √5：√4：√3 のとき。
- 507 ：１３２人目の素数さん：2020/09/04(金) 01:17:36.55 ID:USkdw4WV/
- 【誰でもOK】手堅く月50万を稼ぐ手順
https://www.youtube.com/watch?v=QRRcJ3D-6uI
動画編集者をレベル分けしてみた
https://www.youtube.com/watch?v=Gq9-CmrpVHo
動画編集のディレクター需要が高まる3つの理由
https://www.youtube.com/watch?v=9qyECT9f_ZE
動画編集者のディレクターになるメリットとデメリット
https://www.youtube.com/watch?v=PxK-wqLGrWw
【体験談】動画編集のディレクターという職業
https://www.youtube.com/watch?v=PLshf0PJyNo
動画編集者がYouTubeをやる3つのメリット
https://www.youtube.com/watch?v=V_b_lfaEtwQ
動画編集初心者が勉強始めてから案件獲得するまでの3ステップ
https://www.youtube.com/watch?v=pEt7NGOqm4U
【動画編集】案件を得るための4つの営業先【超初心者向け】
https://www.youtube.com/watch?v=S_iyjOUq2ZI
- 508 ：１３２人目の素数さん：2020/09/13(日) 23:58:13.39 ID:JpJgDqA9.net
- a,b,c,d > 0
\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{cd} ≦ \sqrt[3]{(a+c+d)(a+c+d)}
あばばばばばば
∩＿＿＿∩
|ノ ヽ/⌒) あびゃば
/⌒)(ﾟ) (ﾟ) / あびゃあばばば
/ / (_●)ミ / ∩――、
（ ヽ |∪| ／ ／(ﾟ)ヽ _ ヽ
＼ ヽノ / / (● (ﾟ) |つ
/ / ｜ (入_ノ ミ
｜ / ｜ (＿／ ノ
｜ ／＼ ＼ ＼＿＿＿ノﾞー-、
｜ / ) ) ／＼ ＿ ＼
(_ﾉ ( ＼ （⌒O ／＼ (＿ﾉ
＼＿) ＼ノ / ､ )０
- 509 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 02:22:15.74 ID:8KYEGgmf.net
- 何かが変だ
- 510 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 04:14:30.54 ID:MMq0bu8b.net
- 何かおかしい、何となくそんな気がした。
ＴＶに映る試合は俺とは全く縁もゆかりもない県同士の戦いだが、負けてる方をなんとな～く応援している気分でいると、これまたなんとなくそろそろハルヒが騒ぎ出すような気がした。
- 511 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 07:33:01.17 ID:bL5lP9LW.net
- >>488
等号成立条件だけ。
最小値： {a,b,c} = {-1,0,1}
最大値： {a,b,c} = {1,1,1} {1,1,2/3}
- 512 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 21:41:55.44 ID:oug42vb/.net
- うむ
- 513 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 22:27:51.50 ID:5JiWovoE.net
- うむ、エレガントな証明を見せてもらおうか。
- 514 ：１３２人目の素数さん：2020/09/21(月) 22:00:12.84 ID:uwUcrYFn.net
- >>488、>>511
等号成立条件は、たぶんこうぢゃなゐかな？ ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
(a,b,c,d) = (t, kt, (1+ 1/k)t, k(k+1)t), ただし k, t > 0 とする。
- 515 ：１３２人目の素数さん：2020/09/22(火) 13:24:21.97 ID:7+NxYT1p.net
- >>514
間違った。 >>513 は >>508 の等号成立条件。
- 516 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 14:21:02.58 ID:qMQmLmqf.net
- ｘが0以上のとき 5x^3-3x+1>0
微分法で簡単に示せるですが
不等式エキスパートの人なら巧みな多項式変形とかで示せるですか？
- 517 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:07:53.46 ID:63e1O9oo.net
- x√5 = X とおけば
5x^3 - 3x + 1 > 5x^3 - 3x + (2/√5)
= (X^3 - 3X + 2) /√5
= (X+2)(X-1)^2 /√5
≧ 0,
ただし、x=1/√5 で極小になることを
微分などの方法で知る必要がある…
- 518 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:14:37.25 ID:yFt7+l2/.net
- 相加相乗平均だけで示せないかな
- 519 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:26:05.40 ID:UPCkCEIn.net
- a≧b≧c≧d＞0 かつ a+b+c+d=1 のとき、
(a+2b+3c+4d)(a^a)(b^b)(c^c)(d^d) ≦ 1.
- 520 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:35:07.36 ID:qMQmLmqf.net
- x=0のときは明らかなのでx>0として 5x^2 + 1/x > 3 を言えばよいが
相加相乗で左辺≧3*(5/4)^(1/3) >3 。
式変形だけで、例えば
x^16 - x + 1 = (x^8-1/2)^2+(x^4-1/2)^2+(x^2-1/2)^2+(x-1/2)^2
みたいな感じの巧みな変形でいけないものでしょうか。
- 521 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:06:27.00 ID:qc+lGULo.net
- >>518
X^3 + 1 + 1 ≧ 3X,
は 相加相乗平均(AM-GM) と思ってもいいし、
コーシー
(X^3 + 1 + 1)(1 + X^3 + 1)(1 + 1 + X^3)
≧ (X + X + X)^3
= (3X)^3,
の3乗根と思ってもいい。
- 522 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:21:36.43 ID:3a+g1aMq.net
- >>520-521
abc3数の相加相乗平均は、
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ba)
= (a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
と変形できるので、a=X・b=1・c=1を代入して……って>>517と同じ式変形やないかーい笑
y=f(x) とした関数は非負だと x=1/√5 で極小値かつ最小値をとる。
極小値だけ移動した g(x)=f(x)-極小値 を考える→
x軸に接する
→(x-1/√5)^2 または (X-1)^2を因数にもつ
という考えと同じ。
- 523 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 22:14:11.72 ID:shPxNCvG.net
- >>522
少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
- 524 ：：2020/09/25(金) 01:49:19.72 ID:a6NySAb6.net
- >>523
> 少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
なんと出来るらしい。
https://mathoverflow.net/questions/279969/wanted-positivity-certificate-for-the-am-gm-inequality-in-low-dimension
AMとGMの差は非負多項式で表すことが可能 https://gyazo.com/0e13cfb59b28c529dd5adbfed354bd16
具体的な恒等式（5次） https://gyazo.com/58b89593fc30a48f70ab35cee68d31e5
具体的な恒等式（2次・3次・4次）https://gyazo.com/4726111c57e1863fca1b9fcd64678b23
アドルフ・フルヴィッツによる1891年の論文
Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-4160-3_35
nが奇数の場合を示したらしい: 藤原和将・小澤徹（応用物理）による2014年の論文 Fujiwara, Kazumasa, and Tohru Ozawa. Identities for the Difference between the Arithmetic and Geometric Means, (2014).
http://m-hikari.com/ijma/ijma-2014/ijma-29-32-2014/ozawaIJMA29-32-2014.pdf
nが偶数の場合を示しているらしい: ハーディ・リトルウッド・ポリア『不等式』第2章
なおこの問題は、ヒルベルトの第17問題（いつも正の有理式は平方和で表せる)の特殊な場合でもある。
最初に見付けたのページは医師でアマチュア数学者の佐藤郁郎によるコラムだったが、いかんせん読みにくく参考までに。（NGなのでURL貼らない）
因数分解の算法（その１１）
因数分解の算法（その１４）
因数分解の算法（その１８）
- 525 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 02:15:38.40 ID:Bm3x9keW.net
- >>524
めっちゃ詳しくありがとうございます！
まさか本当に出来るとは驚きです
第17問題のwikiを読んだ感じでは非負な斉次多項式に対して一般にこういうことは出来ないようですね
この不可能性はモデル理論的な話があるようでこれも面白そうです
- 526 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 06:52:57.18 ID:kUKUaPs5.net
- >>524
ｳﾎｯ！興奮してきた…
- 527 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 13:45:47.22 ID:C/C9yJEj.net
- (x_1)^n, ･････, (x_n)^n の相加平均をA, 相乗平均をG,
⊿_n = n(A^n - G^n) = Σ x^n - nΠ x,
とおく。
⊿_2(a,b) = aa +bb -2ab = (a-b)^2,
⊿_3(a,b,c) = a^3 +b^3 +c^3 - 3abc
= (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,
⊿_4(a,b,c,d) = a^4 +b^4 +c^4 +d^4 - 4abcd
= (aa-bb)^2 + (cc-dd)^2 + 2(ab-cd)^2
= (aa-cc)^2 + (bb-dd)^2 + 2(ac-bd)^2
= (aa-dd)^2 + (bb-cc)^2 + 2(ad-bc)^2,
⊿_5(a,b,c,d,e)
= a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 -5abcde
= (a-b)(a^4 -b^4)/4 + (a-c)(a^4 -c^4)/4 +
･････ + (d-e)(d^4 -e^4)/4
+ a⊿_4(b,c,d,e)/4
+ b⊿_4(c,d,e,a)/4
+ c⊿_4(d,e,a,b)/4
+ d⊿_4(e,a,b,c)/4
+ e⊿_4(a,b,c,d)/4,
* (x-y)(x^4-y^4) = (x+y)(xx+yy)(x-y)^2 ≧ 0,
- 528 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:14:27.50 ID:lnmePYpg.net
- >>527
なるほど、5次の場合は
1/4(x+y)(x^2+y^2)(x-y)^2
=1/6(x^3+y^3)(x-y)^2+1/12(x+y)(x^2-y^2)^2
を利用すると>>524の藤原小澤の表示と一致するのか
藤原小澤の論文は流し読みしたけどテクすぎて全然わからん
表示の仕方の自由度高そうだし何か行列式的な表示とか対称式の空間上の作用素みたいなのを見つけて綺麗に示せないもんかね
>>525
訂正
てっきり不可能性がモデル理論的に分かると思っていたけど今日モデル理論の本借りて見てみたら肯定的な証明が書かれていた
17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
- 529 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:49:49.44 ID:yIQAC3t7.net
- 元の十七問題はΣ多項式^2でかけるか？でそれは誰かの反例が出た
後に実閉体まで話広げるとΣ実閉包の元^2でかける事が証明された(Artin)
永田先生の可換体論の5章に証明がある
- 530 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:07:14.49 ID:lnmePYpg.net
- 自分の読んでる「幾何学的モデル理論入門」(最近、改訂版が出たばかりらしい)に実閉体の第17問題が肯定的に解けることを利用して有理数体の場合も証明できるかのように書いてるように見えるんです…
- 531 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:15:05.52 ID:yIQAC3t7.net
- >>624
どんなステートメントが書いてあるんですか？
- 532 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:32:33.79 ID:lnmePYpg.net
- こんな感じです
微妙な言い回しなんでもしかしたら肯定的に言ってるわけではないかも…
https://dotup.org/uploda/dotup.org2265448.jpg
- 533 ：：2020/09/26(土) 23:44:50.71 ID:lzfEoiqI.net
- >>528
> 17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
一部が肯定的に解決された（部分的に可能）
https://i.imgur.com/Jit5Abl.jpg
- 534 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:49:36.06 ID:yIQAC3t7.net
- >>532
thx
確か上がってる反例はΣ整式^2では表せない例でΣ有理式^2では表せるんだったかな？
Artinの定理の正確なステートメント覚えてない(かつ永田先生の本が現在部屋のどこにあるかわからん)のでわかんないけどΣ有理式^2で表すのは有理係数でもいけるのかもしれない
任意の実閉包の中で0以上 →Σ有理式^2で表示できる
だったかも
確か右が言えてない場合に標数0の加法的付値体て0未満になる構造が存在する事示してそれを上手いこと微調整して通常のRの中で0以下に出来る事を示すんだったような
- 535 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:56:47.06 ID:lnmePYpg.net
- あー、有理式なら肯定的という可能性があるんですね
ありがとうございます
- 536 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:37:31.86 ID:KH9c7ePZ.net
- 3次のAM-GM差の有理式の平方和表現はどうなるんだろう
- 537 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:49:47.04 ID:KH9c7ePZ.net
- あ、全ての有理数に対して非負な多項式で考えるから奇数次の場合は全ての変数を平方にしておかないといけなくて藤原小澤の結果の変数を平方にするだけか
- 538 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:09:34.88 ID:KH9c7ePZ.net
- いや、そうなってくると藤原小澤も必要なくて古典的なフルヴィッツの形で示せてるのか
無知すぎてスマン
- 539 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:15:18.97 ID:T1BBTchP.net
- 有理式使っていいならAM-GMは簡単でしょ？
いわゆる2冪でやっといて減らす作戦でいける
- 540 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:36:59.49 ID:N42SrDUa.net
- >>527
⊿_n(a_1, a_2, ････, a_n)
= (a_1)^2 + (a_2)^n + ････ + (a_n)^n - n(a_1)(a_2)････(a_n)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i (Σ[j≠i] (a_j)^{n-1} - (n-1)Π[j≠i] a_j) /(n-1)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i ⊿_{n-1}(i以外) /(n-1),
- 541 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:42:24.65 ID:hueUvkJf.net
- ある人の作った問題
https://i.imgur.com/HLrsj0N.jpg
- 542 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 15:07:23.11 ID:Upg5ciqK.net
- ある人って誰かね？
- 543 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 22:25:26.77 ID:KH9c7ePZ.net
- >>541
n=2のときが本質で、他は帰納法でしょうか
- 544 ：１３２人目の素数さん：2020/09/28(月) 01:14:12.03 ID:VdFe70Zi.net
- >>541
数列 {a_n}n∈N と {b_n}n∈N が |a_n|≦1, |b_n|≦1 (∀n∈N) を満たす時、
次を示せ。
| Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k | ≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j| (∀n∈N)
(略証)
Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k
= Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] a_i) (a_j - b_j) (Π[k=j+1,n] b_k),
三角不等式により
(左辺) ≦ Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] |a_i|) |a_j - b_j| (Π[k=j+1,n] |b_k|)
≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j|
= (右辺),
- 545 ：１３２人目の素数さん：2020/10/06(火) 20:34:14.40 ID:CqXEEU8P.net
- 〔問題944〕
a,b,c は相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1 を満たす。
f(x,y) = log(y/x) / (1/x - 1/y),
に対して、
f(a,b) + f(b,c) + f(c,a) ≦ 1/3
を示せ。
高校数学の質問スレPart407 - 944
- 546 ：１３２人目の素数さん：2020/10/12(月) 12:43:43.49 ID:xle55bMk.net
- IMO2020ロシア大会第2問に不等式問題
https://i.imgur.com/5THoJvk.png
- 547 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 14:51:16.00 ID:Aceyovpj.net
- >>545
0<x,y, x≠y のとき
f(x,y) = log(y/x)/(1/x - 1/y)
= log(y/x)/(√(y/x) - √(x/y))
= 2t/(e^t - e^{-t})・√(xy)
= t/sinh(t)・√(xy)
≦ √(xy),
等号成立は x=y のとき。
(左辺) = f(a,b) + f(b,c) + f(c,a)
≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
≦ (1/3)(a+b+c + 2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ca))
= (1/3)(√a + √b + √c)^2,
等号成立は a=b=c のとき。
- 548 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:32:20.28 ID:nOU2oznJ.net
- RMM、SP346のような抽象的なのは、どこから手を付けていいか分からんちんぽ。
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/10/24-RMM-SPRING-EDITION-2022-1.pdf
- 549 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:54:02.78 ID:w92dB+J+.net
- >>548
うほっ大量の不等式！
- 550 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 04:12:15.55 ID:PHtzabu1.net
- JP346.
両辺に ab(a+b) >0 を掛けて通分すると
ab(a+b)(左辺 - 右辺) = (a-b)^2 {(a-b)^2 + (4 - k/4)ab},
(4 - k/4) ≧ 0,
k ≦ 16,
- 551 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 19:11:56.93 ID:wXRh3JRG.net
- >>550
いや知りたいのは、SP346でござるよ
- 552 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 20:10:00.68 ID:PHtzabu1.net
- JP347.
基本対称式を
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u を掛けて通分すると
2(a+b)^2･(a+c)^2 + 2(b+c)^2･(b+a)^2 + 2(c+a)^2･(c+b)^2
= 2(ss-t)^2 + 8su
= s^4 + (5/3)tt + s(s^3 -4st+9u) + (tt-3su)/3
≧ s^4 + (5/3)tt,
∴ (左辺) ≧ {s^4 + (5/3)tt}/st = (s^3)/t + 5t/(3s),
JP348.
a/b=x, b/c=y, c/a=z とおくと
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz = 3, (← AM-GM)
(x^4+y^4+z^4)(1+1+1) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2, (←コーシー)
辺々掛ける。
- 553 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 22:07:28.25 ID:OfAfCbWz.net
- >>551
346はkについての一次式だから
与式⇔k≦4次式÷4次式
になる(割る時、除数の符号わそこまで難しくない)
分子も分母も(a-b)^2で割り切れる
- 554 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 17:59:01.64 ID:2j40wcqC.net
- JP350.
(a+b+c)^2 ≦ 3(aa+bb+cc),
x ≧ 1/√3 のとき
{1 + 3x(1-x)}^2 - (4-3xx) = 3(3xx-1)(x-1)^2 ≧ 0,
√(4-3xx) + 3x(x-1) ≦ 1,
x=a,b,c でたす。
JP351.
ABCが鈍角⊿のときは
Πcos(･) ≦ 0,
(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺),
で成立するから以下では、ABCは鋭角Δとする。
sin(A) = x, sin(B) = y, sin(C) = z
とおくと
xyz > 0,
一方、題意より
xx+yy+zz = 1 - 2xyz,
xyz ≦ 1/8,
左辺に加法公式
sin(A)sin(B) = cos(A)cos(B) - cos(A+B) = xy + z,
を入れれば
(左辺) - (右辺) = (xy+z)(yz+x)(zx+y) - 4xyz + 5(xyz)^2
= ････,
がんばれ
JP352.
△不等式で
|a+b+c| + |a-b| + |a-c| ≧ |(a+b+c) + (a-b) + (a-c)| = 3|a|,
巡回的にたすと
3|a+b+c| + 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≧ 3(|a|+|b|+|c|),
- 555 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 19:59:49.04 ID:2j40wcqC.net
- UP346
(左辺) = 1 + (x-1)exp(arctan(x))√(1+xx), ←可積分
∴ x=1
UP347.
上の式は
0 = |x|^2 /m + |y|^2 /n - |x+y|^2 /(m+n)
= xx' /m + yy' /n - (x+y)(x+y)' /(m+n),
mn(m+n) を掛けて通分する。
0 = nnxx' + mmyy' - mn(xy'+x'y)
= (nx - my) (nx - my)'
= |nx - my|^2
∴ x = (m/n)y,
これを下の式に入れて
y = 1+2i,
UP534.
(1/n)Σ[k=1,n-1] (k/n)sin(kπ/n)
→ ∫[0,1] x･sin(πx) dx (n→∞)
= [ sin(πx)/π^2 - x･cos(πx)/π ](x=0,1)
= 1/π,
(与式) ≒ (1 + π/n)^n
= {(1+π/n)^(n/π)}^π
→ e^π, (n→∞)
UP359.
Ω = ∫[0,π/2] θ･cosθ/[(sinθ)^3 + (cosθ)^3] dθ
= (π/36){π√3 + log(97/8 + 7√3)}
- (1/144){ψ'(5/12) - ψ'(11/12)}
= 0.71907287245537291248414214
ここに
ψ'(x) = {log(Γ(x))}" = {Γ'(x)/Γ(x)}'
= Σ[k=0,∞] 1/(x+k)^2 … トリガンマ函数
- 556 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 05:20:43.69 ID:QJC/WS82.net
- JP351.
cos(A) = x, cos(B) = y, cos(C) = z
とおくと、
に修正…
SP349.
s = -log(sin(a)) >0, c = -log(cos(a)) >0,
とおく。
(左辺) = (e^{-s})^{√(c/s)} + (e^{-c})^{√(s/c)}
= 2e^{-√(cs)}
≦ 2e^{-log(2)/2} (*)
= 2e^{log(1/√2)}
= √2,
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき cs は急に大きくなる。
SP351.
(1+t)^{1/3} + (1-t)^{1/3}
= 2/[(1+t)^{2/3} - ((1+t)(1-t))^{1/3} + (1-t)^{2/3})
≦ 2,
UP358.
|∫[a,b] e^{ix}/x dx | ≦ ∫[a,b] 1/x dx = log(b/a),
両辺を2乗する。
UP360.
x = y = 1/3,
- 557 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 10:43:02.64 ID:QJC/WS82.net
- http://www.551horai.co.jp/
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき -√cs は大きくなる。(→0)
- 558 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 19:37:27.70 ID:QJC/WS82.net
- SP353.
与式を辺々引くと
λ(x-y) = √(λλyy-1) - √(λλxx-1)
= λλ(yy-xx)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)},
もし x-y≠0 ならば
1 = - λ(x+y)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)}
< 0, (矛盾)
∴ x = y = z = 2/(λ√3),
- 559 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 20:49:16.21 ID:QJC/WS82.net
- SP353. (別法)
t≧1 で f(t) = t + √(tt-1) は単調増加
与式より
f(λx) = f(λy) = f(λz),
λx = λy = λz,
λ>0 より
x = y = z,
- 560 ：１３２人目の素数さん：2020/10/17(土) 13:08:39.01 ID:Ml1qOBSK.net
- UP346.
f(x) e^{arctan(x)} = ∫ (2xx) e^{arctan(x)} / √(1+xx) dx
とおく。
f '(x) + f(x)/(1+xx) ＝ 2xx/√(1+xx),
f '(x)√(1+xx) + f(x)/√(1+xx) = 2xx,
ここで
f(x) = g(x)√(1+xx),
とおくと
(1+xx)g '(x) + (1+x)g(x) = 2xx,
g(x) が n次多項式とすると
g(x) = ax^n + ･･･
（左辺）= (n+1)ax^{n+1} + …
∴ n=1,
(左辺) = 2ax^2 + g(1)(1+x),
a=1, g(1)=0,
g(x) = x-1,
f(x) = (x-1)√(1+xx),
- 561 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 13:13:01.21 ID:ZEBeZlNg.net
- SP354.
log(x^{xy}・y^{yz}・z^{zx})
= log(x^{xy}) + log(y^{yz}) + log(z^{zx})
= y･log(x^x) + z･log(y^y) + x･log(z^z)
≦ y･(x^x - 1) + z･(y^y - 1) + x･(z^z - 1)
= (y・x^x + ｚ・y^y + x・z^z) - (x+y+z),
*) e^t ≧ 1+t より log(u) ≦ u-1,
- 562 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 19:36:39.48 ID:ZEBeZlNg.net
- SP358.
コーシーで
{(y+1)+(z+1)+(x+1)} {(z+1)(x+1)+(y+1)}{x^3/[(y+1)(z+1)] + cyclic}
≧ (x+y+z)^3
= s^3
よって
(左辺) ≧ 4s^3 /(s+3)^2 + 3
= s{(2s/(s+3))^2 + (s+3)/2s + (s+3)/2s - 1}
= s(3-1) (← AM-GM)
= 2s
≧ (右辺),
等号は s=3, x=y=z=1 のとき。
- 563 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 21:26:39.70 ID:ZEBeZlNg.net
- SP358.
コーシーで
{ …… } {(z+1)＋(x+1) + (y+1)}{ …… }
≧ (x+y+z)^3
≧ s(3-1) (← AM-GM)
JP360.
tan(x)^2/{tan(x)^3+cot(x)} + cot(x)^2/{cot(x)^3+tan(x)}
- 2/{tan(x)^2 +cot(x)^2}
= Σ {tan(x) + cot(x) -2}/{tan(x)^2 + cot(x)^2}
= X / (XX+4X+2)
≦ 1/(4+2√2), (*)
ここに X = tan(x) + cot(x) -2 ≧ 0,
∴ 0 ≦ (左辺) - (右辺) ≦ 3/(4+2√2),
*) (XX+4X+2) - (4+2√2)X = (X-√2)^2 ≧ 0,
等号成立は X = √2, sin(2x) = 2 - √2,
- 564 ：１３２人目の素数さん：2020/10/19(月) 19:49:07.20 ID:wNxsDbEN.net
- Twitterで拾った問題
https://i.imgur.com/nrEQJtL.jpg
- 565 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 20:12:27.86 ID:J8I4fsGY.net
- 〔問題558〕
正の実数 x,y,z が xyz=1 を満たすとき、以下を示せ。
x/(1+y+z)^3 + y/(1+z+x)^3 + z/(1+x+y)^3 ≧ 1/9 ≧ 1/(√xy + √yz + √zx)^2,
- 566 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:53:39.82 ID:F90OyzGB.net
- >>565
問題番号がついてるけど、どこかのスレ番号で紹介されていたのかな？
- 567 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:54:13.75 ID:F90OyzGB.net
- ああスマン。このスレの558の画像からか。
- 568 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:23:28.55 ID:qlrP4DQI.net
- a,b,c > 1/2 のときに、aa+bb+cc+ab+bc+ca-a-b-c ≧0 を証明したい。
左辺を平方完成して、残り物 ab+bc+ca-3/4 にAM-GMする以外にﾊｧﾊｧできそうな方法はないかな？
- 569 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:24:46.82 ID:qlrP4DQI.net
- >>564
左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に変えて同次にするんだろうと思うけど、そこで手が止まっている…
- 570 ：１３２人目の素数さん：2020/12/06(日) 02:09:47.83 ID:KT/cOuDT.net
- >>568
(左辺) = {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/2 - (a+b+c)
= {(a+b)(a+b-1) + (b+c)(b+c-1) + (c+a)(c+a-1)}/2
> 0,
とか
(左辺) = {4(a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/6 - (a+b+c)
≧ (2/3)ss - s (s=a+b+c)
= (2/3)s(s - 3/2)
> 0,
とか色々あるけど、単に
a' = a - 1/2 > 0, b' = b - 1/2 > 0, c' = c - 1/2 > 0,
でいい希ガス…
- 571 ：１３２人目の素数さん：2020/12/07(月) 03:29:15.95 ID:8o9fiWHc.net
- >>570
おぉ～ありがとう！
- 572 ：１３２人目の素数さん：2020/12/14(月) 01:35:46.45 ID:gLda82Cm.net
- a,b>0は定数とする. 0<s,t<1のとき
st/(as+bt)+(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)}の最大値を求めよ.
- 573 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 06:19:31.83 ID:DAoaiwdi.net
- 1/(a+b) - (与式) = ab(s-t)^2 /[(a+b)(as+bt){a(1-s)+b(1-t}] ≧ 0,
等号成立は s=t のとき。
- 574 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 13:22:00.83 ID:DAoaiwdi.net
- コーシーで
st/(as+bt) ≦ (at+bs)/(a+b)^2,
(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)} ≦ {a(1-t)+b(1-s)}/(a+b)^2,
辺々たす。
- 575 ：１３２人目の素数さん：2020/12/19(土) 21:22:13.58 ID:iw6DTiTj.net
- 単位円に内接する正n角形のn個の頂点からの距離の和が最小になる点とその最小値を求めよ。
- 576 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 20:55:16.29 ID:QYPKWpxY.net
- 頂点A_k の極座標を (1, 2kπ/n) 点Pの極座標を (r, θ) とおく。
第二余弦定理より
PA_k = √{1 - 2r･cos(2kπ/n - θ) + rr} ≧ 1 - r･cos(2kπ/n - θ)
等号成立は r=0 のとき
また
Σ[k=1,n] cos(2kπ/n - θ) = Σ[k=1,n] {sin((2k+1)π/n - θ) - sin((2k-1)π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
= {sin((2n+1)π/n - θ) - sin(π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
= 0,
∴ Σ[k=1,n] PA_k ≧ n,
等号成立は P=O のとき。
・nが偶数のとき (n=2m)
三角不等式より
PA_k + PA_{m+k} ≧ A_k A_{m+k} = 2,
等号成立は P が線分 A_k A_{m+k} 上にあるとき。(← 円の直径)
∴ Σ[k=1,n] PA_k = Σ[k=1,m] (PA_k + PA_{m+k}) ≧ Σ[k=1,m] 2 = 2m = n,
等号成立は P=O のとき。
- 577 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 23:01:24.01 ID:QYPKWpxY.net
- ヴェクトルの内積を使えば
OA_k = 1 より
PA_k ≧ ↑PA_k・↑OA_k = (↑OA_k - ↑OP)・↑OA_k
= 1 - ↑OP・↑OA_k,
∴ Σ[k=1,n] PA_k ≧ n - ↑OP・{Σ[k=1,n] ↑OA_k} = n,
等号成立は ↑OP = o.
- 578 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 08:32:42.45 ID:NURKUP5N.net
- ∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
正の数 a，b，c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (a+b+c)e,
e = 2.71828… は自然対数の底
>>299
- 579 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 13:31:16.81 ID:2x2Frbzp.net
- >>578
eが出てくるのか…
- 580 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 06:38:55.14 ID:N51mYuOL.net
- eが出てきても eじゃない…
(左辺) ≧ 2.7199579587(a+b+c)
等号は a=b=c = 0.9968783547581 のとき。
- 581 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 16:12:00.62 ID:+lbXmv47.net
- すべての自然数nについて
Σ_{k=1}^n (k^(1/2)-1)≧(n/2)*((n/2)^(1/2)-1)
が成り立つことをしめせ
- 582 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 20:22:26.62 ID:N51mYuOL.net
- k≧2 について
(k-1)^3 - k(k-3/2)^2 = (3/4)k - 1 > 0, (AM-GM)
(k-1)^{3/2} > (k - 3/2)√k = k^{3/2} - (3/2)√k,
√k > (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
(左辺) = Σ_{k=2}^{n} (√k - 1)
> (2/3)(n^{3/2} - 1) - (n-1)
= (1/3)(2√n +1)(√n - 1)^2
> (n/2)(√(n/2) - 1),
- 583 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 22:48:34.64 ID:N51mYuOL.net
- 積分を使えば簡単だが…
√k > ∫_{k-1}^{k} (√x)dx = (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
- 584 ：１３２人目の素数さん：2021/01/04(月) 20:59:39.27 ID:OQ8TTvGy.net
- 最後は
(左辺) > n((2/3)√n - 1)
> (n/2)(√(n/2) + √(n/3) - 2) (← 補題)
≧ (n/2)(√(n/2) - 1) (n≧3)
n=1, n=2 は明らか。
〔補題〕
1/√2 + 1/√3 < 4/3.
(略証)
コーシーで
(1/√2 + 1/√3)^2 ≦ (1+1)(1/2+1/3) = 5/3 < 16/9 = (4/3)^2,
- 585 ：１３２人目の素数さん：2021/01/05(火) 10:53:44.67 ID:7+Me0drG.net
- GM-AM で
1/√2 + 1/√n < 3/4 + (1/4 + 1/n) = 1 + 1/n,
- 586 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 18:50:24.31 ID:ZXZ11nuc.net
- n が被ってしまった。。。。m 等にすべきか。
>>583 から
Σ_{k=2}^{n} √k > √2 + ∫_[2}^{n} (√x) dx
= √2 + (2/3)(n√n - 2√2)
> (2/3)n√n - 1/2, (n≧2)
- 587 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 19:13:16.60 ID:YFXd0DZ2.net
- JMO2020本選5
- 588 ：１３２人目の素数さん：2021/01/07(木) 14:00:54.18 ID:PX1JcXUq.net
- >>579
正の数 a, b, c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (3/ln3)(a^3 +b^3 +c^3),
- 589 ：１３２人目の素数さん：2021/01/09(土) 17:51:38.85 ID:Gni2ACgE.net
- ついでに…
正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,
http://suseum.jp/gq/question/3221
- 590 ：１３２人目の素数さん：2021/01/10(日) 02:37:24.49 ID:k4Y9uhcW.net
- 〔問題〕
A, B, and C are non-negative real numbers. Prove that
3(A^4 + B^4 + C^4) ≧ (A^2 + B^2 + C^2)(AB + BC + CA) + (A^2 - B^2)^2 + (B^2 - C^2)^2 + (C^2 - A^2)^2
≧ (A^2 + B^2 + C^2)^2,
BMO-2016 Azerbaijan (改)
[数学オリンピック３１．018]
- 591 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 05:19:03.42 ID:n9I3J2ea.net
- >>589
x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x｡},
K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
等号成立は x。= 0.99703312297 のとき。
あとはコーシーで。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221
- 592 ：１３２人目の素数さん：2021/01/27(水) 16:42:45.22 ID:knjIwEAx.net
- 〔問題〕
⊿の各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
(左) Leibnizの不等式 (定理2.4.5) p.88-89
(右) 演習問題 2.57(改) p.94
- 593 ：１３２人目の素数さん：2021/02/13(土) 23:28:41.35 ID:DMjAiYgV.net
- a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
- 594 ：１３２人目の素数さん：2021/02/14(日) 19:07:32.95 ID:EPktPcJq.net
- >>593
a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 1 + 9/{(a+b+c)^2} ≧ 6/(a+b+c)
('A`) ｳｰﾑ…
- 595 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 19:11:23.08 ID:+p1DAQAM.net
- 底面を凸四角形ABCDとする四角錐V-ABCDについて、
すべての辺に接し、かつ中心が底面上にあるような球が存在するとする。
このとき、
VA+VB+VC+VD ≦ AB+BC+CD+DA
[大数2021－2月宿題]
- 596 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 20:08:40.42 ID:ItHwm5kd.net
- 球の半径を1とし、球の中心をO、∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODAをa,b,c,dとすれば
AB+BC+CD+DA=2(cot a+cot b +cot c + cot d)、
VA+VB+VC+VD=cot a + tan a +cot b + tan b +cot c + tan c +cot d + tan d
∴ AB+BC+CD+DA-(VA+VB+VC+VD)
=cot a - tan a +cot b - tan b +cot c - tan c +cot d -tan d
以下a+b+c+d=π/2とcot x-tan xの凸性
- 597 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 21:52:59.29 ID:1xlHv4Kk.net
- 大数ネタはご遠慮願いたいわ
- 598 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:07:29.10 ID:pOGUunX7.net
- >>593-594
文献[9] 佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)
演習問題1.86 p.40
- 599 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:14:31.35 ID:mKsTbiN1.net
- Π[p:素数]cos(2π/p) > 0
- 600 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:22:20.07 ID:FhoAKrRQ.net
- >>596
三行目では, VA=cot a + tan a になるってことですか？
tan a の出所がわからないです。
- 601 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 01:31:32.48 ID:3OYBmM8w.net
- あ、しまった>>596は撤回です
- 602 ：１３２人目の素数さん：2021/02/18(木) 15:24:16.44 ID:gfQsTfgF.net
- 内接円をもつ四角形ABCDで、内接円の中心を I とするとき
(IA+ID)^2+(IB+IC)^2 ≦ (AB+CD)^2
- 603 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 15:53:16.27 ID:mfVhACbJ.net
- >>599
cos(π) = - 1,
cos(2π/3) = - 1/2,
cos(2π/5) = (√5 -1)/4 = 1/(2φ) = 0.309017
cos(2π/7) = 0.6234898
Π[p≧11] cos(2π/p) > Σ[p≧11] (1 - 2ππ/p^2)
> 1 - Σ[p≧11] 2ππ/p^2
> 1 - (2ππ)Σ[k≧5] 1/(2k+1)^2
= 1 - (2ππ)(ππ/8 - 1 - 1/9 - 1/25 - 1/49 - 1/81)
= 1 - (2ππ)・0.0498356
= 0.01628475
∴ (与式) > 0
なお
Π[p≧7] cos(2π/p) = 0.3338
Π[p≧11] cos(2π/p) = 0.5354
(与式) ≒ 0.05158
- 604 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 16:29:58.81 ID:mfVhACbJ.net
- Π[p≧11] cos(2π/p) > Π[p≧11] cos(2π/(p-1))
> Π[n=5,∞] cos(π/n)
= (2√2)Π[n=3,∞] cos(π/n)
= (2√2)・0.114942 (*)
= 0.3251052
*) 数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
●117 によれば
Π[n=3,∞] cos(π/n) = 0.114942044853296…
- 605 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:15:42.03 ID:SY070HAY.net
- (2)
|cosθ| ≦ 1/2 ⇔ cos(2θ) ≦ -1/2,
|cosθ| ≧ 1/2 ⇔ cos(2θ) ≧ -1/2,
(4)
|cosθ| ≦ cos(72) ⇔ cos(4θ) ≧ cos(72),
|cosθ| ≧ cos(72) ⇔ cos(4θ) ≦ cos(72),
[分かスレ４６６-119]
- 606 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:37:41.92 ID:SY070HAY.net
- (2)
cos(2θ) + 1/2 = 2 [(cosθ)^2 - 1/4],
(4)
cos(4θ) - cos(72) = 8 [cos(18)^2 - (cosθ)^2] [cos(72)^2 - (cosθ)^2]
∴ |cosθ| ≦ cos(72) ⇒ cos(4θ) ≧ cos(72),
[分かスレ４６６-129]
- 607 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:39:49.08 ID:dHW5XVEt.net
- (4)
|cosθ| ≦ cos(72) ⇒ cos(4θ) ≧ cos(72),
|cosθ| ≧ cos(72) ← cos(4θ) ≦ cos(72),
- 608 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:43:07.41 ID:dHW5XVEt.net
- 〔問題157〕
x>0, y>0, z>0 ならば
(x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y >2,
[分かスレ４６６-157, 178]
- 609 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:53:41.41 ID:VMjWPceO.net
- >>180
そのわかすれの178のレスでx+y,y+z,z+xのうち1以上のものが少なくとも一つあるとしてるけど、それらのケースに帰着できるわけじゃないよね？
最小値はx=y=z=0.184付近だし
単にすぐに除外していいケース述べてるだけだよね？
- 610 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 06:25:23.53 ID:gfZuqlK8.net
- 全部1未満のとき
0 < x, y, z < 1.
f(z) = a^(1-z) (a>0) は下に凸だから
f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z, (0<z<1)
a^(1-z) < a(1-z) + z < a+z,
a^z > a/(a+z), … ベルヌーイの不等式
∴ (x+y)^z > (x+y)/(x+y+z),
巡回的にたす。
- 611 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 07:55:47.98 ID:hMmQPJhz.net
- >>609
なんで上から抑えるん？
最小値>2を示せでしょ？
- 612 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 06:18:44.76 ID:dMP4wwTf.net
- 〔問題596〕
正の実数 a,b,c が a+b+c = 1 を満たすとき
(1/a - a)(1/b - b)(1/c - c) ≧ (3 - 1/3)^3,
等号成立は a=b=c = 1/3.
を示せ。
[高校数学の質問スレ４１０-596,599,610]
- 613 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 22:08:55.30 ID:NWVdDcAf.net
- 「任意の自然数nに対して、n<2^nが成立」
これを色々な方法で証明せよ
よくある証明方法は帰納法、二項定理の利用、微分によるなどあるが、それ以外もあるんかな
- 614 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 06:14:13.22 ID:JY2ui+vd.net
- 帰納法
2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1} > (n-1) + 1 = n,
あるいは
2^n = 2^{n-1} + 2^{n-2} + ････ + 2 + 1 + 1 ≧ n + 1,
(n+1)項
a_1, a_2, ････, a_n ≧ 0 のとき
(1+a_1)(1+a_2)････(1+a_n) = 1 + s_1 + ････ + s_n ≧ 1 + s_1,
s_k は k次の基本対称式
s_1 = a_1 + a_2 + ････ + a_n,
より
2^n ≧ 1 + n
- 615 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 12:04:01.19 ID:qBeEcW7U.net
- 俺が考えていた証明
n(1/n-1/2^n)=1-n/2^n
=(Σ1/2^i)-n/2^n
>(Σ1/2^i)-(1/2+…+1/2^n)>0
よりn>0だから
1/n-1/2^n>0⇔n<2^n
- 616 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 02:13:29.47 ID:M36DVxm1.net
- 不等式ってこういう気まぐれ？なときもあるんだね。。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
- 617 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 22:30:10.49 ID:on5dd3Wr.net
- >>616
n=3のときの、ネビットの不等式に (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ した若い頃が懐かしい…
- 618 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:27:58.15 ID:Rkkg81B/.net
- >>612
a+b+c = 1 より
G = (abc)^{1/3} ≦ 1/3, (AM-GM)
1/y - y = (1+y)･(1/y - 1),
より
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-a -b -c)/(abc) + (1/a + 1/b + 1/c) - 1
= 1/a + 1/b + 1/c - 1
≧ 3/G - 1
≧ 2(1/G + 1) (G≦1/3)
= 2(1/3G + 1/3G + 1/3G + 1)
≧ (2/(3G)^{1/4})^3,
(1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1+G)^3 （コーシー)
= (1/27)(3G+1+1+1)(1+3G+1+1)(1+1+3G+1)
≧ ((4/3)(3G)^{1/4})^3,
辺々掛けて (左辺) ≧ (8/3)^3.
- 619 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:34:06.62 ID:Rkkg81B/.net
- 〔問題3204〕
a≧b≧c≧d≧0 のとき
(a+2b) (aa+bb) ≦ (a+b)^3
(a+2b+3c) (aa+bb+cc) ≦ (a+b+c)^3,
(a+2b+3c+4d) (aa+bb+cc+dd) ≦ (a+b+c+d)^3,
注) 5文字の場合は aa(b-d-2e) が出て来ます…orz
すうじあむ
http://suseum.jp/gq/question/3204
- 620 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 01:32:04.79 ID:iElyCuOB.net
- >>616
こういうのもなんか理由があるっぽい
- 621 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 19:31:57.99 ID:jAHOCp/v.net
- 〔例2.4.6〕
三角形の辺の長さを a,b,c, 面積を⊿とすると
⊿ ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),
佐藤(訳), 文献９, 朝倉書店 (2013) p.89
- 622 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 20:11:29.99 ID:jAHOCp/v.net
- (略証)
⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2} (Heron)
= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)} (Schur-1)
= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),
* Schur-1
F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
- 623 ：１３２人目の素数さん：2021/04/24(土) 23:51:27.16 ID:nN6RssoR.net
- Twitterで拾った問題
https://i.imgur.com/UT7t9WF.jpg
- 624 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 04:42:31.91 ID:We8cr6tt.net
- 〔問題〕
正の実数 a,b,c について、次が成り立つことを示せ。
{aa(b+c)+4}/(a+2)^3 + {bb(c+a)+4}/(b+2)^3 + {cc(a+b)+4}/(c+2)^3 ≧ 2/3.
等号成立は (a,b,c) = (1,1,1) のとき
- 625 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 05:46:51.43 ID:We8cr6tt.net
- (略証)
{aa(b+c) + 2 + 2} / (a+1+1)^3
≧ １/ {(1+1+1)[a/(b+c) + 1/2 + 1/2)]} (← コーシー)
= (b+c) / {3(a+b+c)},
巡回的にたす。
- 626 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 10:47:03.87 ID:2luW0iZY.net
- Twitterから拾った問題
https://i.imgur.com/MTQJIvZ.jpg
- 627 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 11:03:19.13 ID:YeL676w3.net
- >>625
作問者の天真(Twitter:@bon_miss_tenma)です
こんなにあっさり解かれるとは思ってませんでしたw
ついでに620さんの問題も僕のだったりします、是非挑戦してください！
- 628 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 19:29:46.14 ID:We8cr6tt.net
- 〔問題620〕
正の実数 a,b,c が aa+bb+cc=3 を満たすとき、次を示せ。
(2a+1)/(b+c+1)^3 + (2b+1)/(c+a+1)^3 + (2c+1)/(a+b+1)^3 ≧ 1/3,
等号成立は (a,b,c)=(1,1,1) のとき。
(略解)
(左辺) ≧ (b+c+1)/(b+c+1)^3 + (c+a+1)/(c+a+1)^3 + (a+b+1)/(a+b+1)^3
= 1/(b+c+1)^2 + 1/(c+a+1)^2 + 1/(a+b+1)^2 (← チェビシェフ)
≧ 9/{(b+c+1)^2 + (c+a+1)^2 + (a+b+1)^2} (← AM-HM / コーシー)
≧ 3/{(bb+cc+1) + (cc+aa+1) + (aa+b+1)}
= 3/{2(aa+bb+cc)+3}
= 1/3, (← 題意)
- 629 ：１３２人目の素数さん：2021/04/26(月) 02:25:57.94 ID:y9M7sTQu.net
- (補足)
チェビシェフで
(a+1/2)/(b+c+1)^3 + (b+1/2)/(c+a+1)^3 - (a+1/2)/(c+a+1)^3 - (b+1/2)/(b+c+1)^3
= (a-b) {1/(b+c+1)^3 - 1/(c+a+1)^3}
≧ 0,
循環的にたすと
(左辺) - 1/(b+c+1)^2 - 1/(c+a+1)^2 - 1/(a+b+1)^2 ≧ 0,
- 630 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 04:23:14.87 ID:B9p/ERZg.net
- >>624
>>626
〔問題34〕
a,b,c > 0 のとき
(a(b+c)+1)/(b+c+1)^2 + (b(c+a)+1)/(c+a+1)^2 + (c(a+b)+1)/(a+b+1)^2 ≧ 1,
Inequalitybot [34] ☆5
JMO-2010 問4
Inequalitybot も問題番号で検索できるようになってます。
- 631 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 07:27:45.63 ID:B9p/ERZg.net
- >>589
〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
USAMO-2004, Q5
Inequalitybot [48] ☆6
- 632 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 16:58:32.60 ID:B9p/ERZg.net
- >>619
(a+b)^3 - (a+2b)(aa+bb) = aab + (2a-b)bb ≧ 0,
(a+b+c)^3 - (a+2b+3c)(aa+bb+cc) = aab + (2a-b)bb + (2a+b-2c)cc + 6abc ≧ 0,
(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)(aa+bb+cc+dd)
= aa(b-d) + (2a-b-d)bb + (2a+b-2c-d)cc + (2a+b-3d)dd + 6(abc+abd+acd+bcd) ≧ 0,
- 633 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 17:05:44.79 ID:B9p/ERZg.net
- これと以下を組み合わせた問題があった。
〔補題〕
a+b+c+… = 1 のとき
(a^a)(b^b)… ≦ (aa+bb+…),
(略証)
a+b+c+… = s とおく。
y=log(x) は上に凸だから Jensen で
a･log(a) + b･log(b) + ････ ≦ s･log((aa+bb+････)/s)
(a^a)(b^b)… ≦ {(aa+bb+…)/s}^s,
s=1 とおく。
- 634 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 19:31:51.11 ID:B9p/ERZg.net
- 〔問題〕
tan(1/2) > cos(1).
これの証明はどうすれば出来ますか？
高校数学の質問スレ４１１- 028, 936
- 635 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 23:28:33.43 ID:Tu1Xrn91.net
- t = tan(1/2)とおいて
tan(1/2)-cos(t)=(t^3+t^2+t-1)/(t^2+1)
なのでコレが＋を言えば良い
tan(1/2)=0.546302.....
t^3+t^2+t-1は単調増大で0になるのはt=0.543689....
とりあえず5次までマクローリン展開して
tan(1/2)
>1/2+(1/3)(1/2)^3+(2/15)/(1/2)^5=131/240=0.54583333......
- 636 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:03:41.02 ID:mxa1BnUU.net
- >>634
θ = 1/2 とおいて
tanθ - cos(2θ) = tanθ - 1 + 2(sinθ)^2
= tanθ - 3/2 + {1/2 + 2(sinθ)^2}
≧ tanθ - 3/2 + 2sinθ (AM-GM)
= tanθ + 2sinθ - 3θ
≧ 0, (Snellius-Huygensの式)
- 637 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:45:36.56 ID:NbeeKPJA.net
- このスネル・ホイヘンスの不等式、以前からどうやって見つけたのか気になってるヤツだ
- 638 ：１３２人目の素数さん：2021/04/30(金) 23:51:02.05 ID:nccWEVYf.net
- >>636
上手だなあ
- 639 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 14:45:07.43 ID:kM6Q2nUa.net
- 数学コンテストの問題から二つの不等式問題を拾ってみた
数オリ中国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/fDeESFB.jpg
数オリ米国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/t1tus8h.jpg
- 640 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 15:17:41.91 ID:34KV0J3x.net
- >>639
さいきん、関数不等式に(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧでござる
- 641 ：１３２人目の素数さん：2021/05/04(火) 23:49:09.08 ID:+H9X9UVo.net
- a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(25/27)
- 642 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:39:50.22 ID:16g2LNeV.net
- 〔簡易版〕
a,b,c>0 に対して
(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3).
(略証)
(a+b+c)^6 = {(aa+bb+cc) + (ab+bc+ca) + (ab+bc+ca)}^3
≧ 27(aa+bb+cc)(ab+bc+ca)^2, (AM-GM)
2/3 乗して
(a+b+c)^4 ≧ 9(ab+bc+ca)^2 {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3)
≧ 27(a+b+c)abc {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3),
元の問題は解けぬwww
- 643 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:41:42.08 ID:16g2LNeV.net
- 〔問題3.85〕
実数a,b,cに対して
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2,
APMO-2004 A5.改
文献[9] 佐藤(訳)、朝倉書店 (2013) 問題3.85 p.140
Inequalitybot [20] ☆8
[高校数学の質問スレ４１２－029,036,040]
- 644 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:49:27.56 ID:16g2LNeV.net
- (解1)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
= (1/3){(aa+5)(bc-1)^2 + (bb+5)(ca-1)^2 + (cc+5)(ab-1)^2
+ (ab+bc+ca-3)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
≧0
(解2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
= aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2(ab+bc+ca)
+ (abc-1)^2
+ 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2,
文献[9] の演習問題1.90 (ii) p.41-42 に帰着する。
〔問題1.90〕(ii)
a,b,c を非負実数とする。このとき
aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),
- 645 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 13:18:52.39 ID:+30DA6pc.net
- >>641-642
ネットで拾ったんだけど、答えがないな
https://mathifc.wordpress.com/2012/09/20/inequality-106/
- 646 ：１３２人目の素数さん：2021/05/06(木) 05:59:11.34 ID:Vi6k/Ft1.net
- >>644
〔例題2.1.11〕
(7) a,b,c が非負実数のとき
aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),
文献[8] 安藤, 数学書房 (2012) p.36
- 647 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 05:50:26.45 ID:EIfW8DuI.net
- >608
{x+y, y+z, z+x} のうち1以上のものが
・2個以上のときは 明らか。
・1個以下のときは 1 > y+z, z+x より 0 < x, y, z < 1 >>610
- 648 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 06:56:34.75 ID:EIfW8DuI.net
- >>637
マクローリン展開
sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - (1/7!)θ^7 + (1/9!)θ^9 - …
tanθ = θ + (1/3)θ^3 + (2/15)θ^5 + (17/315)θ^7 + (62/2835)θ^9 + …
から思い付いたのかも。
>>102 にもあるよ。
H = θ - (1/180)θ^5 - (1/1512)θ^7 - (1/25920)θ^9 - …
G = θ + (1/45)θ^5 + (4/567)θ^7 + (1/405)θ^9 + …
A = θ + (1/20)θ^5 + (1/56)θ^7 + (7/960)θ^9 + …
A + H - 2G = (1/324)θ^7 + (1/432)θ^9 - …
AH/GG = (2cosθ+1)/{(2+cosθ)(cosθ)^(1/3)}
= 1 + (1/324)θ^6 + (1/648)θ^8 + …
- 649 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 08:38:14.15 ID:EIfW8DuI.net
- ついでに…
s>0, t>0 とし
A = (s+s+t)/3,
G = (sst)^(1/3)
H = 3st/(s+t+t),
とおくと
H < G < A,
AH > GG, (0<s<t)
A+H > 2G, (0<s<t)
(略証)
AH = (s+s+t)st/(s+t+t),
G^3 = sst,
より
(AH)^3 - G^6 = tt {t(s+s+t)^3 - s(s+t+t)^3}{s/(s+t+t)}^3
= tt(s+t){(t-s)s/(s+t+t)}^3 > 0,
∴ AH > GG,
(A+H)/2 = (ss+7st+tt)/[3(s+t+t)],
G^3 = sst,
より
{(A+H)/2}^3 - G^3 = {(t-s)^3 + 27stt}{(t-s)/[3(s+t+t)]}^3 > 0,
∴ A+H > 2G,
- 650 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 18:54:47.33 ID:SMLQU2Ye.net
- >>648
テイラー展開は、あまり時代に合わんような気もする。まあ古くから、特殊な場合だけや結果だけ知られているということがよくあるのと、詳しくないので結論付けられない。
ホイヘンスによる証明があったわ。
円の大きさの発見 : 1654年ホイヘンスによる円周率の計算
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_tanuma.pdf
（近似）式自体は、15世紀のニコラウス・クザーヌスまで遡れるらしい。
グレゴリーやニュートンが17世紀後半にべき級数展開したらしいから、ホイヘンスは知らないような気もする。代数計算得意じゃないとキツイし。
- 651 ：１３２人目の素数さん：2021/06/06(日) 02:15:52.79 ID:Q09kUO/y.net
- 1992年IMO5番
https://i.imgur.com/NvlwAw4.png
- 652 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:51:17.44 ID:Hilnv+E/.net
- ５．Sは3次元座標空間の有限個の点の集合である。
S_x, S_y, S_z はそれぞれ、Sの点の yz-平面, zx-平面, xy-平面への正射影からなる点の集合である。
次を証明せよ。
| S |^2 ≦ |S_x|･|S_y|･|S_z|
ここに | A | は有限集合Aの要素の個数である。
- 653 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:57:08.83 ID:Hilnv+E/.net
- >>284
f(x)は下に凸な関数とする。自然数nに対して不等式
nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
を示せ。
[面白スレ３６．256-260]
- 654 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 20:03:58.37 ID:Hilnv+E/.net
- >>651 >>652
z値の集合を {z1, …, zi, …, zn} とする。
S, Sy, Sx の点を z値で分類する。
S, Sy, Sx の点のうち z=zi をみたすものの個数を |Li|, ai, bi とする。
(1) |Li| ≦ ai･bi,
(2) |S| = |L1| + … + |Li| + … + |Ln|,
(3) |Sy| = a1 + … + ai + … + an,
|Sx| = b1 + … + bi + … + bn,
(4) |Li| ≦ |Sz|,
(1) と (4) を掛けて
|Li|^2 ≦ (ai･bi) |Sz|,
|Li| ≦ √(ai･bi) √|Sz|, ････ (5)
(2), (5) より
|S|^2 ≦ {√(a1･b1) + … + √(ai･bi) + … + √(an･bn)}^2･|Sz|
≦ (a1 + … + ai + … + an)(b1 + … + bi + … + bn)|Sz| コーシー
= |Sy| |Sx| |Sz|,
http://www.youtube.com/watch?v=IzitrvYnNkc 11:08,
- 655 ：１３２人目の素数さん：2021/06/12(土) 15:46:26.57 ID:rM3zqrZ1.net
- 1993年日本数学オリンピック本選5番
https://i.imgur.com/kwA3sGg.png
- 656 ：１３２人目の素数さん：2021/06/14(月) 16:23:08.26 ID:lFKMSNRU.net
- 0<k≦3, a,b,c>0のとき
3-k+k(abc)^(2/k)+a^2+b^2+c^2≧2(ab+bc+ca)
を示せ
- 657 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 01:00:18.66 ID:78D2HNY3.net
- >>646
>>656
似た問題くれ
- 658 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 20:42:53.54 ID:iDQ7MEu/.net
- >>656
0<k≦3 ゆえ x^(3/k) は下に凸。 x=1 で接線を曳いて、
(3-k) + k･x^(3/k) ≧ 3x,
(左辺) - (右辺) ≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 3(abc)^(2/3)
≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 9abc/(a+b+c) (AM-GM)
= F1(a,b,c)/(a+b+c)
≧ 0,
*) Schurの不等式
F1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0.
- 659 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 14:58:41.31 ID:NM0vuEzL.net
- >>658
3/kではなくて2/kだぞ
- 660 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 20:08:44.51 ID:lnjH0V31.net
- x = (abc)^(2/3)
- 661 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net
- IMO2021の2番に不等式問題出たな
https://i.imgur.com/3822PyY.png
- 662 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net
- >>661
ｳﾎｯ、いい不等式！
- 663 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net
- a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい
- 664 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net
- (略解)
t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
u = abc < 1, (AM-GM)
となり題意に反する。
∴ 3 ≦ t < 4,
∴ s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,
(s-t)(ss+st+tt - 4t)
= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
≧ 0, (← Schur-1)
∴ s-t ≧ 0,
[面白スレ３７．704] にもあった。
- 665 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net
- 訂正ｽﾏｿ
s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3, (AM-GM)
- 666 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net
- 〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき a+b+c≧ab+bc+ca,
大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ７.114-115,160]
Inequalitybot [184] ☆7
- 667 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net
- (略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
u = abc < 1 (AM-GM)
となり題意に反する。
∴ 3 ≦ s < 4.
4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
≧0, (← Schur-1)
∴ s-t ≧ 0.
- 668 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net
- >>661
〔問題2.〕
任意の実数 x1, x2, ････, xn に対して、不等式
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。
- 669 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net
- 実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな
- 670 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net
- >>664
s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな
- 671 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net
- >>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは
これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする？
- 672 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net
- 複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 673 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net
- >>672
条件に |z|>1 を追加。
- 674 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net
- a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.
- 675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net
- f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1 (最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2 (最大)
(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k}) (←同符号)
≧ 0,
- 676 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net
- >>672
?不等式より
|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|･arg(z),
- 677 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net
- >>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
+ (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
≧ 0,
の方がいいか…
- 678 ：１３２人目の素数さん：2021/07/31(土) 10:02:06 ID:aE5MLnpD.net
- 有名不等式が大量に載ってるpdfを発見したので載せてみる
http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf
あと2020年度imoショートリストから
https://i.imgur.com/ju1Dyee.png
- 679 ：１３２人目の素数さん：2021/08/17(火) 13:07:12 ID:3+UNf6gr.net
- >>678
グッジョブ
分割して日替わり壁紙にしよう
- 680 ：１３２人目の素数さん：2021/08/26(木) 20:07:00 ID:hGc0TLQT.net
- eと(1+1/n)^nが登場する不等式をたくさんください
- 681 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 18:23:48 ID:KMsJe/e+.net
- a, b, c が０以上かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 を満たすとき,
(a+bーc)^n + (b+c-a)^n + (c+a-b)^n (n は3以上の整数)
の最大値と最小値を求めよ.
- 682 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 21:02:15 ID:HGuBdRDo.net
- 最大値 2^{n/2}
a = 0, b = c = 1/√2 など。 (x=√2, y=z=0, etc.)
最小値 (1/3)^{n/2 - 1}
a = b = c = 1/√3, (x=y=z=1/√3)
x = b+c-a, y = c+a-b, z = a+b-c とおくと
1 = aa + bb + cc
= {(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}/4
= {(x+y+z)/√3}^2 + (1/4){(x-y)/√2}^2 + (1/4){(x+y-2z)/√6}^2,
回転楕円体 (どら焼き形)
短軸：１ (1,1,1)方向
長軸：２ それと垂直方向
- 683 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 23:49:24 ID:KMsJe/e+.net
- >> 676
もう少し具体的に
- 684 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 02:00:08 ID:HFxHmzMl.net
- a=u^2,b=v^2,c=w^2
束縛
C = u^4+v^4+w^4-1
評価関数
S = (v^2+w^2-u^2)^n+(w^2+u^2-v^2)^n+(u^2+v^2-w^2)^n
s = 2n((v^2+w^2-u^2)^(n-1)+(w^2+u^2-v^2)^(n-1)+(u^2+v^2-w^2)^(n-1))とおいて
dC=4(u^3,v^3,w^3)
dS=s(u,v,w)
s≠0により
dSがdCで張られる
⇔vw(v^2-w^2)=wu(w^2u^2)=uv(u^2-v^2)=0
⇔u^2=v^2=w^2 or u^2=v^2 & w=0 or u=v=0 or...
- 685 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 06:18:37 ID:Zhg5gGCb.net
- 専門的過ぎてついていけない
数オリの高校生の理解できる解法でお願いします
- 686 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 10:01:38 ID:HFxHmzMl.net
- 数学の問題は進んだテクニック使っても全然簡単にならず、実は中学生でも理解できるような話の方が楽に解ける時がある
数オリとかの問題とかそういう問題のオンパレードだし、ピーターフランクルとかそんな問題大好きの人もいっぱいいる
しかしそれは進んだ数学を勉強しないでいい理由になどにはならないし、ましてや逆に言えば、進んだテクニック使えば楽に解ける問題をいつまでもいつまでもそういう”初頭数学縛り”をかけて解くのは単なる“自己満”でしか無い
不等式の話を本当に極めるなら未定乗数法は絶対避けては通れない
- 687 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 12:53:40 ID:LDbpAA38.net
- grad(f(u,v,w)) = ∇f = (∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w)
s1 = 2n{-(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s2 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) - (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s3 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) - (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
とおくと
grad(C) = ∇C = 4(u^3, v^3, w^3)
grad(S) = ∇S = (s1･u, s2･v, s3･w)
= s(u, v, w)
ここから ついていけない…
- 688 ：１３２人目の素数さん：2021/09/06(月) 18:13:36 ID:eC9BaMcK.net
- 問題[2]
a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数)
とおくとき、nが増加するとa_nは増加し、b_nは減少することを証明せよ。
(数学検定 2011年秋, 1級 2次 問題[2] の一部)
* 作問者は AM-GM を活用する解答を期待していたが…
〔補題258〕 >>262
(1) (1 + 1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
(2) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(3) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
>>267
Σ[k=1,n] (1/((k+1)(k!)^2))^(1/k) ≒ 1.99877613 - ee/n + 64.5/nn - …
- 689 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 06:12:14 ID:UyKWpegQ.net
- >>680
〔モローの不等式〕
{2n/(2n+1)}e < (1+1/n)^n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
左側は 補題(1) より
{2n/(2n+1)}e < 1/√(1+1/n)・e < (1+1/n)^n
http://www.youtube.com/watch?v=FDTaIYjWR2E 20:24,
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.82
- 690 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 15:24:37 ID:+P/8oXVv.net
- x_1,x_2,...,x_n>0, Πx_k=1のとき次を示せ
Σ1/(n-1+x_k)≦1
- 691 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 17:00:11 ID:cOPYG12B.net
- f(t)=1/(n+e^t)、F(t1,‥) = Σf(ti)とおく
f(t)はt≧lognで下に凸かつt≦lognで上に凸
全てtiがlognより小さい領域ではti=0のときFは最大値1
そうでない領域でΣti=0かつF(ti)>1が存在すれば
t1 =(n-1)c, ti=-c (i≧2,t1>logn)
であるtiで存在する
e^t=uとおいて
F(ti)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) + (n-1)/(n-1+1/u)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) - 1/((n-1)u+1)
しかしu≧1において
n-1+u^(n-1)≧(n-1)u+1
であるから矛盾
- 692 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:07:13 ID:Sn49tAbo.net
- 背理法で…
不等式が成り立たないとする。すなわち、
Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) >1,
であると仮定する。このとき
1/(n-1+x_i) > 1 - Σ[k≠i] 1/(n-1+x_k)
= (1/(n-1))Σ[k≠i] x_k /(n-1+x_k)
≧ ( Π[k≠i] x_k /(n-1+x_k) )^{1/(n-1)}, (AM-GM)
となる。i=1,…,n で掛けて
Π[i=1,n] 1/(n-1+x_i) > Π[k=1,n] x_k /(n-1+x_k),
となるが、これは 1 > Π[k=1,n] x_k を意味するので矛盾である。
ルーマニアMO-1999,
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013), 問題3.35 p.131
Inequalitybot [109]
- 693 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:13:59 ID:Sn49tAbo.net
- 〔類題〕
x_1, x_2, …, x_n >0 が Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) = 1 を満たすとする。
このとき
Π[k=1,n] x_k ≧ 1,
を証明せよ。
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013), 問題1.46改 p.14
- 694 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 10:34:26 ID:YMP5Sl+4.net
- (1)
z,w∈C、|z|=|w|=1 のとき、
|z+1| + |w+1| + |zw+1| ≧ 2
(2)
a,b,c∈C に対して、
|a| + |b| + |c| ≦ |a+b-c| + |b+c-a| + |c+a-b|
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 695 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 22:52:38 ID:lYkiWXwV.net
- (1)は簡単やな
x^をxの複素共役として
|z+1|+|w+1|+|zw+1|
=|z+1|+|w^+1|+|z+w^|
なので|a|+|b|+|c|=1のとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|≧2
を示せば良い
b = c exp(2iA), c = exp(2iB), a = exp(2iC), A+B+C=π
となる非負実数A,B,Cがとれるとしてよくこのとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|
=2(cosA+cosB+cosC)
であるからcos(x)の凸性により(A,B,C)=(-π,π,π),(π,-π,π),(π,π,-π)のとき最小値2
- 696 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 23:02:12 ID:lYkiWXwV.net
- (2)は力技で
sを複素定数としC^3の領域
R={ .. | a + b + c = 2s }
におけるS=2( |s-a| + |s-b| + |s-c| ) - ( |a| + |b| + | c| )の最小値が0以上であることを示せば良い
それには全微分できない領域で非負、全微分可能な極値で非負を言えば十分
s=0であればS=|a|+|b|+|c|となり自明だからs≠0とする
i) a=0のとき
S=2(|b+c|/2 + |b-c|/2 × 2) - (|b|+|c|)
=|b+c|/2-|b|+|b+c|/2-|c|+|b-c|
≧-|b-c|/2 × 2 + |b-c| = 0
(ii) a=s のとき
このときs=a=b+cより
S=2(|b|+|c|)-(|b+c|+|b|+|c|)
=|b|+|c|-|b+c|≧0
(iii) a=bのとき
このときs=a+c/2より
S=2(|c/2|+|c/2|+|a-c/2|)-(|a|×2+|c/2|)
=|c|+|2a-c|-|2a|≧0
(iv)a,b,cが同一直線上のとき
a,b,cは実数としてよくSをaの関数として見たときlim[a→±∞]S=∞だから極値だけ考えればよく、極値をとるのはa=s,0の場合のみであるから既出の場合に還元される
(v)その他の場合
Sは全微分可能でありz^を複素共役としてe(z)=z/|z|とおけば
dS = -2(e(s-a)^da + e(s-a)da^+ e(s-b)^db +e(s-b)db^+ e(s-c)^dc + e(s-c)dc^)-(e(a)^da+e(a)da^+e(b)^db+e(b)db^+e(c)^dc+e(c)dc^)
でありコレがda+db+dcの複素定数倍であるから
2e(s-a)+e(a)=2e(s-b)+e(b)=2e(s-c)+e(c)=0
である
よってa,b,cが同一直線上となるので既出のケースに還元される
- 697 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:09:47 ID:AENcTZtD.net
- >>695
(1)
|a| = |b| = |c| = 1 のとき
|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2,
ですか。
>>696
(2) は簡単やな。Ravi変換で
b+c-a = p,
c+a-b = q,
a+b-c = r,
とおけば
(左辺) = |a| + |b| + |c|
= |q+r|/2 + |r+p|/2 + |p+q|/2
≦ |p| + |q| + |r|.
- 698 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:22:40 ID:IIHpCqtI.net
- あれ？
その方法最初に考えてダメと思ったんやけど勘違いしたかな？
まぁ複素係数の微分形式の復習になったからいいけど
- 699 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 20:58:30 ID:AENcTZtD.net
- >>695
C ≧ π/2 の場合 (鈍角?) は
|b+c| + |c+a| + |a+b|
= 2(|cosA| + |cosB| + |cosC|)
≧ 2(cosA + cosB)
≧ 2(1 + cos(A+B)) (凸性)
≧ 2, (A+B≦π/2)
ですね。あるいは
cosA + cosB + cosC
= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (A+B+C=π)
≧ 1,
- 700 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 19:57:40 ID:K2h4cEAP.net
- >>694
(1)は簡単やな
|z+1| + |w^+1| + |z+w^|
≧ |(z+1) + (w^+1) - (z+w^)|
= 2,
|b+c| + |c+a| + |a+b|
≧ |-(b+c) + (c+a) + (a+b)|
= 2|a|,
同様にして
|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2 Max{|a|,|b|,|c|}
(2)は簡単やな >>697
- 701 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 20:21:10 ID:miCnVfcc.net
- >>700
なんでそういう書き方するん？
それ読んだ相手がどういう気持ちになるか考えられへんの？
- 702 ：１３２人目の素数さん：2021/09/24(金) 22:25:33 ID:lJNbXbJw.net
- 〔問題〕
Σ[n=2,∞] 1/n^3 < (1+√5)/16 = 0.2022542486
(阪大-改)
http://www.youtube.com/watch?v=_zGQfWy9j28 22:05
鈴木貫太郎
- 703 ：１３２人目の素数さん：2021/09/25(土) 11:52:48 ID:S56dxsDJ.net
- 1/n^3 = n/n^4
< n/(nn-1/4)^2
= {(n+1/2)^2 - (n-1/2)^2}/{2(nn-1/4)^2}
= (1/2){1/(n-1/2)^2 - 1/(n+1/2)^2}
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 2/9 = 0.222222
ぢゃ出ない････orz
- 704 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 04:04:41 ID:xRhStcay.net
- c>0 かつ z,w∈C のとき、
|z+w|^2 ≦ (1+c)|z|^2 + (1 + 1/c)|w|^2.
昔やったかも？ ( ﾟ∀ﾟ)
- 705 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net
- |z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 (三角不等式)
= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 (GM-AM)
= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。
- 706 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net
- >>702
φ = (1+√5)/2 = 1.618034… とおく。 (黄金比)
1/n^3 = n/n^4
≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2･(nn-4)} (n≧2)
= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,
- 707 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net
- >>704
|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
- 708 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net
- >>702
1/n^3 = n/n^4
< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)} (n≧3)
= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
- 709 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net
- >>707
( ﾟ∀ﾟ) ｷﾀｺﾚ！
- 710 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net
- >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか？
- 711 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net
- arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。
∵ arg(p) = arg(q) = arg(r).
- 712 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net
- Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)
↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
- 713 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net
- とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
- 714 ：１３２人目の素数さん：2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net
- 初項は 2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,
なお、二項公式から
Σ(k=1～2n) Ｃ(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
- 715 ：１３２人目の素数さん：2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net
- 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b) とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか？
証明はただ計算すればいいんですけど、、
- 716 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net
- 分かりませんね。
I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
f(∞) = H,
f(b) = I(a,b),
f(H) = (A+H)/2,
f(G) = √(AH) = G,
f(A) = 2AH/(A+H),
f(a) = I(b,a),
f(0) = A,
- 717 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net
- >>715
AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると
H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A も成立
- 718 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net
- >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
- 719 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net
- f(-a)=b
f(-b)=a
- 720 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net
- f(x) = (A+x)/(1+x/H) ⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
g(x) = (b+x)/(1+x/a) ⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)
f(-A) = 0 g(-b) = 0
f(-b) = a g(∞) = a
f(∞) = H g(b) = H
f(b) = I(a,b) g(A) = I(a,b)
f(A) = 2AH/(A+H) g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
f(G) = √(AH) = G g(G) = √(AH) = G
f(H) = (A+H)/2 g(I(a,b)) =(A+H)/2
f(a) = I(b,a) g(H) = I(b,a)
f(0) = A g(a) = A
f(-a) = b g(0) = b
f(-H) = ∞ g(-a) =∞
- 721 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net
- 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな？
- 722 ：１３２人目の素数さん：2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net
- AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
- 723 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net
- z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
- 724 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net
- 閉円盤
- 725 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net
- 解1.
A(1/3,0) B(3,0) P(x,y) とおくと
(与式) = 3(AP/BP)
(与式) = k (<3) は
AP：BP = k：3
なる アポロニウスの円である。
直径の両端は 内分点と外分点
(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
3-8/(3-k) ≧ -1 または 3-8/(3+k) ≦ 1,
∴ k ≦ 1,
解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
= 8(1-zz~)
= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r･e^(iθ)-3|^2 - |3r･e^(iθ)-1|^2
= (rr -6r･cosθ +9) - (9rr - 6r･cosθ +1)
= 8(1-rr),
よって
|z|≦1 ⇔ |(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
- 726 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net
- 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離。
[面白スレ３９．399,402,404]
- 727 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net
- は怪しいので
D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
- 728 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net
- >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
- 729 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net
- z=-1で最大
- 730 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net
- |z| ≦ 1,
|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
……
辺々掛けて
|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
- 731 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net
- なんか凄いな
- 732 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net
- z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
- 733 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net
- 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
- 734 ：１３２人目の素数さん：2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net
- 〔問題471〕
任意の自然数ｎに対して、次を示せ。
1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……
[高校数学の質問スレPart414．471]
- 735 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は ∫[0,1] x^n e^{1-x} dx になるらしい…
[同．492]
- 736 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net
- むむむ…
- 737 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は {n!e} になるらしい。
高校生なら等比級数
1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
- 738 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net
- >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ（積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある）
- 739 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net
- >>735
被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x と下から接すれば
e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n を得る。
- 740 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net
- 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。
[分かスレ４７１．279,292]
- 741 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net
- >>740
a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
＝ 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
- 742 ：１３２人目の素数さん：2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net
- 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
- 743 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net
- 〔掛谷の定理〕
a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0 (a_k>0)
の根は m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}
高橋正明 著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明 著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)
すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,
∴ a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
- 744 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net
- >>741
ナイスエレガンス
- 745 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net
- >>743
(訂正ｽﾏｿ)
M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
元の形は
0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n のとき |z| <1,
a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0 のとき |z| >1,
- 746 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net
- 2018年度奈良県立医科大学後期四番
https://i.imgur.com/3OlENLH.png
- 747 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net
- >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
- 748 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net
- 相変わらず手抜きだよ
- 749 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net
- 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
- 750 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net
- 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。
東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。（想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので）
- 751 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net
- 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ
- 752 ：１３２人目の素数さん：2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net
- a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ
- 753 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net
- 任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)
- 754 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net
- >>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10
- 755 ：１３２人目の素数さん：2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net
- 1997東大理系数学第2問
- 756 ：１３２人目の素数さん：2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net
- z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.
- 757 ：１３２人目の素数さん：2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net
- 複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式
- 758 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net
- z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか？
- 759 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net
- ときたいとは？
面積求めるとか？
図示するとか？
- 760 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net
- 図示ですぞ
- 761 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net
- >>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ
- 762 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net
- ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。
- 763 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net
- 大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja
- 764 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net
- 大先生は よく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…
- 765 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net
- >>764
最後の方にある
y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
と
y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
の間やろ
- 766 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net
- >>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。
- 767 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net
- >>766大先生の答え整理したら円になる？
- 768 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net
- zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
- 769 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net
- ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。
>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。
- 770 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net
- イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja
- 771 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net
- >>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。
- 772 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net
- もともとは、冪級数
S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が２つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。
(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。
- 773 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net
- >>770
x・yの二次式って意味だった。
>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。
- 774 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net
- youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子？で女性？
- 775 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net
- Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
- 776 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net
- x,y,zが非負実数のとき Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
- 777 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net
- a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
- 778 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net
- USAMO第六問
nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
- 779 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net
- >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
- 780 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net
- >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
- 781 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net
- ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
- 782 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net
- これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
- 783 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net
- 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
- 784 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net
- ウクライナMO2021
a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
- 785 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net
- >>782
どうやって導き出したんですか？
- 786 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net
- 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
- 787 ：１３２人目の素数さん：2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net
- >>784 abcの大小は関係ない
- 788 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net
- コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
- 789 ：１３２人目の素数さん：2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net
- >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた
任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根
n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
- 790 ：１３２人目の素数さん：2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net
- x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
- 791 ：１３２人目の素数さん：2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net
- はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
- 792 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net
- w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.
w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか？
- 793 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net
- f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して
|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
- 794 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか？
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ？
- 796 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 ：１３２人目の素数さん：2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の５点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する５つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか？
- 800 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では？
- 802 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故？
- 803 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
- 805 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net
- >>756
改造してみた。どう？
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
- 806 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net
- 5/3? 4/3でなく？
- 807 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net
- やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja
e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
- 808 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net
- >>807
|z|=1なのに？
- 809 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net
- すまん。
- 810 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net
- >>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
- 811 ：１３２人目の素数さん：2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net
- 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
- 812 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net
- >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
- 813 ：１３２人目の素数さん：2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net
- ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
- 814 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか？
- 815 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- マクローリン展開じゃないの？
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
- 816 ：１３２人目の素数さん：2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net
- う～ん
- 817 ：１３２人目の素数さん：2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net
- 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1 (|z|→0)
- 818 ：１３２人目の素数さん：2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net
- >>814
改造してみた。うひょっ！
|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
- 819 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
- 820 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net
- z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
- 821 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net
- >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
- 822 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net
- | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
- 823 ：１３２人目の素数さん：2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net
- https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
- 824 ：１３２人目の素数さん：2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net
- https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
- 825 ：１３２人目の素数さん：2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net
- ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
- 826 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I
- 827 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net
- π: a→a'
- 828 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net
- 自然な準同型写像
- 829 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net
- Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
- 830 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net
- 準同型写像fの核Ker
- 831 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net
- Kerf=(0)⇔fは単射
- 832 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net
- R/Kerf≅f(R)
- 833 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net
- f'は単準同型写像
剰余環→環
- 834 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net
- f: R→R'
- 835 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I、I=Kerf
- 836 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net
- f': R/I→R'
- 837 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net
- R上の不定元、変数
- 838 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net
- R上のXの多項式
- 839 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net
- exp(x)>x
- 840 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net
- 次数n=degf(x)
-∞
- 841 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net
- R[x]
- 842 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net
- f+g=∑(a+b)x
- 843 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net
- fg=∑∑(ab)x
aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0～n
- 844 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net
- R上の1変数多項式環
- 845 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net
- a₀=0、0元
a₀=1、単位元
- 846 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net
- degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
- 847 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net
- Rが整域⇒R[X]は整域
- 848 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net
- R[X][Y]=R[X, Y]
- 849 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net
- 最大公約元
- 850 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式
- 851 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net
- 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
- 852 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net
- Gaussの補題
- 853 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net
- f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
- 854 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net
- f=uF
- 855 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
- 856 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net
- UFD、Rの商体をKとする
- 857 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net
- Fを原始多項式
- 858 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net
- しなわち(a₁)=1とする
- 859 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net
- ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
- 860 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定条件
- 861 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net
- fがKの素元⇒FはRの素元
- 862 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net
- 特にF自身をとると
- 863 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net
- 特にFがKで素元であれば
- 864 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net
- FはKで素元であればRで素元である
- 865 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net
- RがUFD⇒R[はUFD]
- 866 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net
- 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
- 867 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net
- RをUFD、
- 868 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net
- Kをその商体とする。
- 869 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net
- p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
- 870 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net
- モニックp∤aₙ
p|その他0～n-1
p²∤a₀、定数項
- 871 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定法
- 872 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net
- 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
- 873 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体
- 874 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net
- Kを有限体とする
- 875 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net
- Kの単位元を1とする
- 876 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net
- (n)=n･1
- 877 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net
- 準同型写像τ: ℤ→K
- 878 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net
- 環準同型定理より
- 879 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net
- π: ℤ→ℤ/Kerτ
- 880 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net
- τ': ℤ/Kerτ→K
- 881 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net
- 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
- 882 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net
- τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
- 883 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτはℤの素Idealとなる
- 884 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτ=(p)
- 885 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net
- 体Kの標数p
- 886 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net
- これはKの素体
- 887 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net
- Kに含まれる最小の体
- 888 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net
- 標数pの体の素体ℤₚ
- 889 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net
- ℤₚ=𝔽ₚとする
- 890 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
- 891 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
- 894 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net
- 部分体と
- 895 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net
- 拡大体
- 896 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net
- KはF上のVector空間
- 897 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net
- dim_F K=[K: F]
- 898 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net
- [L: F]=[L: K][K: F]
- 899 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上代数的である
- 900 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上超越的である
- 901 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする
- 902 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net
- 次数最小の
- 903 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net
- モニックな
- 904 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net
- 既約多項式
- 905 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net
- αのK上の最小多項式f(x)
- 906 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
- 907 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net
- LはK上代数的
- 908 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net
- Kにαを添加した体
- 909 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net
- K(α)
- 910 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net
- Kに添加した体
- 911 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net
- 単純拡大
- 912 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net
- 単拡大
- 913 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net
- K[]X→K[α]⊂L
- 914 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net
- X→α代入
- 915 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net
- これは環同型写像
- 916 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net
- K[α]の商体K(α)
- 917 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net
- K上の有理関数体と同型
- 918 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net
- K(x)
- 919 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net
- 写像: K[ X]/(f)→K(α)
- 920 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net
- この場合、写像X'→α
- 921 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net
- 同型写像でありK[α]は体になる
- 922 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net
- すなわちK[α]=K(α)
- 923 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net
- K⊂L、α∈Lとする
- 924 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net
- αを体K上代数的とする
- 925 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net
- [K(α): K]=n
- 926 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net
- f(x)のLにおける根
- 927 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net
- 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
- 928 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net
- 制限σ|F
- 929 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net
- 自己同型写像
- 930 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net
- 恒等写像
- 931 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net
- q=p^r、r≧1
- 932 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net
- -(-a)=a
- 933 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net
- 0a=a0=0
- 934 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net
- (-a)b=a(-b)=-ab
- 935 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net
- a(b-c)=ab-ac
- 936 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net
- (b-c)a=ba-ca
- 937 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net
- 三則が可能
- 938 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net
- 可換、簡約が可能とは限らない
- 939 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net
- 単位的環
- 940 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net
- 正則R*
- 941 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net
- (ma)b=a(mb)=mab
- 942 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net
- 零環{0}
- 943 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
- 944 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net
- 零環は0しかない
- 945 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net
- 零元0
- 946 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net
- 環R≠{0}
零環を除くとする
- 947 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net
- a≠0を元に持つ
- 948 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net
- 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
- 949 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net
- よってe≠0
- 950 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
- 951 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net
- a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
- 952 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net
- よって0a=a0=0となる
- 953 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=a
- 954 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net
- (a⁻¹)⁻¹=a
- 955 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net
- 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
- 956 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
- 957 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net
- 加法群において
a+(-a)=0
- 958 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net
- これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
- 959 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
- 960 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=aとなる
- 961 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net
- R*
- 962 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net
- a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
- 963 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net
- a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
- 964 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net
- a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
- 965 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net
- するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
- 966 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net
- (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
- 967 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net
- ab∈R*より積に関してR*は閉じている
- 968 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net
- Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
- 969 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net
- 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
- 970 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net
- Rに関して0を除外した場合
- 971 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net
- R*は群をなすかどうか
- 972 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net
- 結果的に群をなす
- 973 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net
- ことがわかった
- 974 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net
- 積に関して閉じている
- 975 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net
- 単位元の存在
- 976 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net
- 逆元の存在
- 977 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net
- 結合律の成立
- 978 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net
- 逆元を持つ元のみの集合
- 979 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net
- 結局0が除外サれるだけ
- 980 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net
- 0には逆元は存在しない
- 981 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net
- 加法群としてならば存在する
- 982 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net
- R*=R-{0}
- 983 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net
- R\{0}
- 984 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net
- R=R*と仮定すると
- 985 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net
- 0∈Rより0∈R*となる
- 986 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net
- ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
- 987 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net
- a=0として
- 988 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net
- 0×0⁻¹=e
- 989 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net
- ∀a、0a=0より
- 990 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net
- 0=eとかり不合理
- 991 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:48.61 ID:wmZr8viD.net
- よってR≠R*である
- 992 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:09.66 ID:wmZr8viD.net
- あり得ない物を持ち込んで
- 993 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:31.62 ID:wmZr8viD.net
- 矛盾を導く
- 994 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:22:57.43 ID:wmZr8viD.net
- 分配律を利用する
- 995 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:24:14.71 ID:wmZr8viD.net
- (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
∴(-a)b=-ab
- 996 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:25:31.12 ID:wmZr8viD.net
- a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
∴a(-b)=-ab
- 997 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:28:00.31 ID:wmZr8viD.net
- よってA(-b)=-Ab
A=-aとして
-(-a)(-b)=-(-a)b=ab
- 998 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:29:55.29 ID:wmZr8viD.net
- 分配律より
- 999 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:32.40 ID:wmZr8viD.net
- a(b-c)=
- 1000 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:51.82 ID:wmZr8viD.net
- 分配律により
- 1001 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:32:12.80 ID:wmZr8viD.net
- a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
- 1002 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:06.82 ID:wmZr8viD.net
- -a=+(-a)
- 1003 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:37.42 ID:wmZr8viD.net
- (b-c)a=
- 1004 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:03.92 ID:wmZr8viD.net
- (b+(-c))a=
- 1005 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:30.31 ID:wmZr8viD.net
- bc+(-c)a=
- 1006 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:36:03.53 ID:wmZr8viD.net
- ba-ca
- 1007 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread
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