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不等式への招待 第10章
- 1 :不等式ヲタ ( ゚∀゚):2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
___ ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
|┃三 ./ ≧ \
|┃ |:::: \ ./ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=__ \ ハァハァ
|┃ ≡ ) 人 \ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第9章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 302 :132人目の素数さん:2020/01/03(金) 15:24:16.70 ID:Xx1MBzdP.net
- 去年の問題(>>23)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情!
- 303 :132人目の素数さん:2020/01/03(金) 15:46:35.83 ID:Xx1MBzdP.net
- 今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式
- 304 :132人目の素数さん:2020/01/04(土) 21:55:59.92 ID:2AvOoxci.net
- >>185
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな
- 305 :132人目の素数さん:2020/01/04(土) 22:10:26.67 ID:1HNb63rL.net
- >>304
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何を連想するん?
- 306 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 16:43:59.29 ID:M9rUjvu0.net
- 正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.
M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)
M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>28M^3
=(RHS)
- 307 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 17:02:53.16 ID:M9rUjvu0.net
- >>183
Kantorovich
>>230 >>250
Muirhead
>>284
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>305
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
ttps://proofwiki.org/wiki/Reverse_Triangle_Inequality
- 308 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 18:28:42.28 ID:PT3ra9AO.net
- >>303
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… (錯乱)
- 309 :132人目の素数さん:2020/01/06(月) 03:47:32.05 ID:iay27LR5.net
- >>306
正解です!!
(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
= (y^1009 -1)(y-1)
≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,
なお、最良係数は
y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
等号は y = 0.994531163783 のとき
>>300
傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。
- 310 :132人目の素数さん:2020/01/06(月) 19:06:36.22 ID:iay27LR5.net
- >>306
(a+b+c)/3 = M とおく。
(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
≧ 27(M^1009 + 1)
> 27max{M^1009, 1}
≧ 27(max{M, 1})^3
= max{3M, 3}^3
= max{a+b+c, 3}^3.
- 311 :132人目の素数さん:2020/01/07(火) 04:35:19.28 ID:dGX/W9Ay.net
- Rheinboldt's inequality (*´Д`) ハァハァ…
- 312 :132人目の素数さん:2020/01/14(火) 21:02:29 ID:QnAOHIy5.net
- 三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).
- 313 :132人目の素数さん:2020/01/17(金) 00:16:00 ID:1crWIv5/.net
- >>312
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.
a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.
- 314 :132人目の素数さん:2020/01/17(金) 16:03:09 ID:8XEo1F0J.net
- >>296
k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034・・・ より
kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う〜む、場合分けでござるか・・・・
k=2 の場合は
a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.
APMO-2004 A.5,
文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
Inequalitybot [20]
[前スレ. 070[2]、084] [第8章.456、469]
- 315 :132人目の素数さん:2020/01/20(月) 13:00:34 ID:RONGOZUM.net
- >>314
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.
>>296 のステートメントが適当すぎる.
- 316 :132人目の素数さん:2020/01/21(火) 00:47:02 ID:NlSt5Qji.net
- 〔問題〕
実数a,b,cが
a < b < c, a+b+c = 6, ab+bc+ca = 9
を満たしている。
0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
を証明せよ。
高校数学問題bot (@7k_x)
- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
らしい。
- 317 :132人目の素数さん:2020/01/31(金) 12:39:42.63 ID:fETwRHBA.net
- 2016年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/vkhfrlu.png
- 318 :132人目の素数さん:2020/01/31(金) 15:05:57 ID:fETwRHBA.net
- もう一つ
2017年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/NQhkkhd.png
https://i.imgur.com/8eDQygH.png
- 319 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 04:59:30.88 ID:7zqqjjoe.net
- >>317
第7問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,・・・・,a_n に対して
1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ・・・・ + 1/(a_0+a_1+・・・・+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ・・・・ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。
>>318
第8問
正の整数からなる数列a1,a2,・・・・があり、任意の正の整数nについて
a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ・・・・ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。
第10問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1 (k=1,2,・・・・,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,・・・・,a_n, b_1,b_2,・・・・,b_n に対して、
実数 x_1,x2,・・・・,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
|x_k| = 1 (k=1,2,・・・・,n),
|Σ[k=1,n] x_k・a_k | + |Σ[k=1,n] x_k・b_k | ≦ 1.
- 320 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 07:31:35.29 ID:7zqqjjoe.net
- 第7問
k = 1/3
(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)
第10問
v_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
Σ[k=1,n] (±v_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)
- 321 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 13:53:11 ID:0aCfjAcc.net
- 第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる
- 322 :132人目の素数さん:2020/02/05(水) 07:10:07 ID:AQM1KB8L.net
- >>317 >>320
第7問
S_j = a_0 + a_1 + ・・・・ + a_j,
とおくと HM-AM で
4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1〜n の和をとる。
3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,
- 323 :132人目の素数さん:2020/02/09(日) 20:15:04 ID:drHYoHKW.net
- 私的メモ、Hadamardの不等式
- 324 :132人目の素数さん:2020/02/11(火) 23:26:49 ID:Q2MCulxJ.net
- 関数不等式が出ました
https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
- 325 :132人目の素数さん:2020/02/11(火) 23:32:00 ID:l6EiwKBu.net
- >>324
ウホッ!いい関数不等式
- 326 :132人目の素数さん:2020/02/12(水) 07:39:21.58 ID:uWBQqkSN.net
- 2020年 日本数学オリンピック 本選
(C)(公財) 数学オリンピック財団
問 題^1
2020年2月11日 試験時間4時間 5題
1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。
(m,n) = (1,3) (61,11) ?
2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
直線BEと直線CDの交点をPとする。
三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。
3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数fであって、任意の正の整数m,nに対して
m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
を満たすものをすべて求めよ。
- 327 :132人目の素数さん:2020/02/12(水) 08:06:10 ID:uWBQqkSN.net
- 4. nを2以上の整数とする。
円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
A君とB君が以下の操作をn回行なう。
まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。
A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。
5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ・・・・ をすべて求めよ。
任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。
ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
以 上
- 328 :132人目の素数さん:2020/02/13(木) 08:18:39 ID:8bKSb4oB.net
- 〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k (c_k ≧0) のとき、次は成り立つか?
(1) {u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2) log{f(e^x)} は下に凸
(3) f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.
分かスレ458.054-063
- 329 :132人目の素数さん:2020/02/16(日) 01:35:24.83 ID:N9QZtxQk.net
- >>316
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または 微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc,x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
-abc < 0 < 4-abc
∴ 0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)
http://suseum.jp/gq/question/3132
- 330 :132人目の素数さん:2020/02/19(水) 13:19:05 ID:WOZU/4dA.net
- n>1 に対して
ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ・・・・
とおく。このとき
ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か?
- 331 :132人目の素数さん:2020/02/20(木) 08:57:27 ID:ZWVgPXIY.net
- ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
= Σ[j=0,∞] 1/N^j
= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!・N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,
- 332 :132人目の素数さん:2020/02/25(火) 17:15:37 ID:Bxdn7zCJ.net
- 2020年度東大理系第一問
https://i.imgur.com/WoxEvwb.jpg
- 333 :132人目の素数さん:2020/02/27(木) 03:16:30 ID:6SmBw6gg.net
- >>332
第 1 問
a,b,c,p を実数とする。不等式
ax^2 + bx + c > 0
bx^2 + cx + a > 0
cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) a,b,c はすべて0以上であることを示せ。
(2) a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) p=0 であることを示せ。
- 334 :132人目の素数さん:2020/02/27(木) 04:06:30.88 ID:6SmBw6gg.net
- >>333
(1) 背理法による。
a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
これは題意の「x>p ⇒ 3式すべてを満たす」に反する。
b,cについても同様。
(2) 背理法による。
a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
|x| > 2|b/a| + √|2c/a| ⇒ f(x) >0 を満たす。
-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
a,b,c>0 と仮定すると、
-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
これは題意の「3式すべてを満たす ⇒ x>p」に反する。
∴ abc=0.
- 335 :132人目の素数さん:2020/02/28(金) 16:07:45 ID:b8YXVJTs.net
- >>333
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
(ax+b)x >0 ・・・・ x>0 または ax+b<0
bxx+a > 0 ・・・・ すべての実数
ax+b > 0 ・・・・ (x>0を含む)
このすべてを満たす実数xは x>0.
a=b=c=0 のとき
3式を満たす実数xはない。(不適)
以上により p=0.
- 336 :132人目の素数さん:2020/02/28(金) 16:57:20 ID:b8YXVJTs.net
- ・分野・テーマ
2次関数、集合と命題、極限
・設問内容
係数に対称性のある3つの2次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。
・解答のポイント
結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。
(1) グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。
十分大きなxについて考えると良い。
(2) (1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。
(3) 前問が示せていなくても、取り組みたい。
係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で3つの不等式を解くことで解決する。
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/
- 337 :132人目の素数さん:2020/03/09(月) 12:24:18.22 ID:3u+TSzyD.net
- 難易度10(満点)らしい
https://i.imgur.com/BoWlWmP.jpg
- 338 :132人目の素数さん:2020/03/09(月) 23:24:26 ID:V6IMEB5h.net
- 〔問題332〕
0以上1以下の実数p,q,r,sにおいて、
√(p^2 + r^2) + √{p^2 + (r-1)^2} + √{(1-q)^2 + s^2} + √{(1-q)^2+(1-s)^2} + √{(p-q)^2 + (r-s)^2}
の最小値を求めよ。
-------------------------------------------------------------
O(0,0) A(0,1) B(1,1) C(1,0) P(p,r) Q(q,s)
とおくと与式は
OP + AP + CQ + BQ + PQ
P は △OCQ のフェルマー点
Q は △ABP のフェルマー点
- 339 :132人目の素数さん:2020/03/10(火) 09:32:03.67 ID:Ct1vj+NA.net
- ∠AQB = 120゚ より 点Qは円周
{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。
∴ P,Q は y=1/2 上に有る。r=s=1/2,
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2) Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)
与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
= 4/√3 + (1 - 1/√3)
= 1 + √3.
- 340 :132人目の素数さん:2020/03/10(火) 09:37:26.87 ID:Ct1vj+NA.net
- 修正・・・
∠OPC = 120゚ より 点Pは円周
{x + 1/(2√3)}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠OPC の二等分線は (-1/√3, 1/2) を通る。
∠AQB = 120゚ より 点Qは円周
{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。
上記のことから、点P, Q は直線 y=1/2 上に有る。
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2) Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)
与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
= 4/√3 + (1 - 1/√3)
= 1 + √3.
- 341 :132人目の素数さん:2020/03/10(火) 10:03:31.24 ID:Ct1vj+NA.net
- また間違えた・・・・
∴ ∠OPC の二等分線は (-(√3)/2, 1/2) を通る。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+(√3)/2, 1/2) を通る。
イナに改名しようかな・・・・
- 342 :132人目の素数さん:2020/03/13(金) 15:08:40 ID:bNXGbbJ+.net
- 今年の入試問題
https://i.imgur.com/gwo1n7C.jpg
- 343 :132人目の素数さん:2020/03/13(金) 16:13:22 ID:HFBlyies.net
- >>342
問1を判別式を使って答えようとすると、問2を先に解答しなくちゃならなく
あれっ?ってなって、それが問3のヒントになるのか
うまく作ってあるね
- 344 :132人目の素数さん:2020/03/13(金) 19:09:48 ID:l20VjRfO.net
- 2020年 大阪市立大
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
a,b,c, x,y,z を実数とする。次の問いに答えよ。
問1 a^2 - b^2 > 0 のとき、tについての2次方程式
(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0
は実数解をもつことを示せ。
問2 a^2 - b^2 > 0 のとき、
(ax-by)^2 ≧ (a^2 -b^2)(x^2 -y^2)
が成り立つことを示せ。
問3 a^2 - b^2 - c^2 > 0 のとき、
(ax-by-cz)^2 ≧ (a^2 -b^2 -c^2)(x^2 -y^2 -z^2)
が成り立つことを示せ。
- 345 :132人目の素数さん:2020/03/13(金) 23:26:59 ID:l20VjRfO.net
- 問1
f(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2
= (aa-bb)tt + 2(ax-by)t + (xx-yy)
とおく。
aa-bb>0 だから 下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき f(t)>0,
一方、|a|>|b|≧0, a≠0
f(-x/a) = - {b(-x/a)+y}^2 ≦ 0,
中間値の定理より f(t)=0 は実数解をもつ。
t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b)
問2
aa-bb > 0 のとき、
(判別式) = (ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) ≧ 0,
(別解) ラグランジュの恒等式から
(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0
問3
g(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2 - (ct+z)^2
= (aa-bb-cc)tt -2(ax-by-cz)t + (xx-yy-zz)
とおく。
aa-bb-cc > 0 だから 下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき g(t) >0,
|a|> |b|,|c| ≧0 より a≠0,
g(-x/a) = - {(-b/a)t +y}^2 - {(-c/a)t +z}^2 ≦ 0,
中間値の定理より g(t)=0 は実数解をもつ。
(判別式) = (ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz) ≧ 0.
- 346 :132人目の素数さん:2020/03/14(土) 10:34:57 ID:iH59lf4s.net
- このスレの解答は・・・・
問1
(at+x)^2 - (bt+y)^2 = {(a+b)t + (x+y)}{(a-b)t + (x-y)} = 0,
ところで (a+b)(a-b) = aa-bb ≠ 0,
∴ t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b),
問2
(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0 (*)
この場合は aa-bb>0 は不要
問3
xで平方完成する。
(ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz)
= {(bb+cc)xx -2ax(by+cz) + aa(yy+zz)} - (bz-cy)^2 (*)
= {[(bb+cc)x -a(by+cz)]^2 + (aa-bb-cc)(bz-cy)^2}/(bb+cc)
≧ 0,
等号成立は x/a = y/b = z/c のとき。
b=c=0 のときは明らか。
*) ラグランジュの恒等式
(yy+zz) = {(by+cz)^2 + (bz-by)^2}/(bb+cc) を使った。
- 347 :132人目の素数さん:2020/03/16(月) 13:55:03 ID:bNeBdUF1.net
- 〔問題669〕
x>0, y>0 のとき
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,
(略証)
log は単調増加だから
(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
(x/y)^(x-y) ≧ 1,
(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
= (x^x - y^y)^2
≧ 0,
[分かスレ458.669]
- 348 :132人目の素数さん:2020/03/16(月) 16:52:52.52 ID:bNeBdUF1.net
- 〔補題〕
x>0, y>0 とする。
(1) x^x - x^y - y^x + y^y ≧ 0,
(2) x^(2x) - x^(2y) - y^(2x) + y^(2y) ≧ 0,
(3) 0<a≦e のとき、
x^(ax) - x^(ay) - y^(ax) + y^(ay) ≧ 0,
等号成立は x=y のとき。
- 349 :132人目の素数さん:2020/03/16(月) 19:37:14 ID:n1EjKc3E.net
- 次のように関数f,gを定義する
f(x)=1/x+1/(x-2)+…+1/(x-2018)
g(x)=1/(x-1)+1/(x-3)+…+1/(x-2017)
このとき0<x<2018の範囲に存在する任意の実数xに対して、|f(x)-g(x)|>2が成立することを示せ
2018年度APMO第2問
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1662907p10561170
- 350 :132人目の素数さん:2020/03/16(月) 19:42:11 ID:n1EjKc3E.net
- >>349
xが整数でない実数という条件が抜けていた
- 351 :132人目の素数さん:2020/03/16(月) 19:46:00 ID:n1EjKc3E.net
- もうひとつ2012年度APMOから
https://i.imgur.com/ZR1GXZ3.png
- 352 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 05:32:50.08 ID:CmDsCyUw.net
- >>351
〔問題5〕
nを2以上の整数とする。
実数 a_1, a_2, ・・・・, a_n が (a_1)^2 + (a_2)^2 + ・・・・ + (a_n)^2 = n を満たすなら
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i・a_j) ≦ n/2,
が成り立つことを示せ。
Problem 5.
Let n be an integer greater than or equal to 2.
Prove that if the real numbers a_1, a_2, ・・・・, a_n satisfy (a_1)^2 + (a_2)^2 + ・・・・ + (a_n)^2 = n, then
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i・a_j) ≦ n/2,
must hold.
APMO-2012
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/ → 2012
Inequalitybot [87] ☆10
- 353 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 06:34:23.26 ID:CmDsCyUw.net
- >>352
HM-AM より
2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
= Σ[i=1,n] 1
= n,
両辺に n(n-1) をたすと
Σ[1≦i≠j≦n] n/(n−a_i・a_j) ≦ nn,
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i・a_j) ≦ n/2,
- 354 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 12:40:52 ID:Rjx45xEY.net
- putnumから不等式問題を拾ってきた
https://i.imgur.com/12qyB8u.png
https://i.imgur.com/apEwMZf.png
- 355 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 15:21:04.67 ID:CmDsCyUw.net
- (上)
f(x)は、区間[0,1]で定義された連続な実数値関数とする。次を示せ。
∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.
Let f(x) be a continuous real-valued function defined on the interval [0,1].
Show that
∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.
- 356 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 15:43:05.43 ID:CmDsCyUw.net
- (下)
a_1, a_2, ・・・・ は実数とする。
すべてのnについて
∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
となる定数Aがあるとする。
すべてのnについて
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
となる定数B >0 があることを示せ。
Let a_1, a_2, ・・・・, be real numbers.
Suppose there is a constant A such that for all n,
∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
Prove there is a constant B > 0 such that for all n,
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
- 357 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 17:14:44 ID:CmDsCyUw.net
- >>356
∫[-∞,∞] 1/{1+(x-a)^2}・1/{1+(x-b)^2} dx = 2π/{4+(a-b)^2},
- 358 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 17:25:15 ID:CmDsCyUw.net
- >>353
2xy ≦ (1/2)(x+y)^2 ≦ xx+yy, (GM-AM)
より
2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{2(n-xy)}
≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy), (←コーシー)
x=a_i, y=a_j とおき、1≦i<j≦n でたす。
- 359 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 18:07:30 ID:CmDsCyUw.net
- >>356
>>357
ついでに・・・
∫ 1/{1+(x-a)^2}*1/{1+(x-b)^2} dx
= {(1/(a-b))log((1+(x-b)^2)/(1+(x-a)^2)) + arctan(x-a) + arctan(x-b)}/{4+(a-b)^2},
ローレンツ形関数の畳み込み・・・
- 360 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 19:23:46 ID:CmDsCyUw.net
- >>349
>>350
・2n-1<x<2n のとき
f(x+2) - f(x) = 1/(x+2) + 1/(2018-x),
g(x+2) - g(x) = 1/(x+1) + 1/(2017-x),
∴ g(x+2) - f(x+2) > g(x) - f(x) > ・・・・
∴ 1<x<2 について示せば十分。
g(x) - f(x)
= - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x) + Σ[i=2,1008] {1/(2i-x) - 1/(2i+1-x)} + 1/(2018-x)
> - 1/x + 1/(x-1) + 1/(2-x) - 1/(3-x)
= 1/{(2-x)(x-1)} - 3/{x(3-x)}
> 4 - 3/2
= 5/2.
∵ 1/4 - (2-x)(x-1) = (3/2 -x)^2 ≧ 0,
x(3-x) - 2 = (2-x)(x-1) > 0,
・2n<x<2n+1 のとき
f(x-1009), g(x-1009) は 奇関数。
f(x) = - f(2018-x),
g(x) = - g(2018-x),
ところで、2n<x<2n+1 ゆえ
2(1009-n) -1 < 2018-x < 2(1009-n),
∴上記により
f(x) - g(x) = - f(2018-x) + g(2018-x) > 5/2,
APMO-2018
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/ → 2018
- 361 :132人目の素数さん:2020/03/17(火) 20:11:27 ID:Rjx45xEY.net
- 良さげな不等式問題を拾ってきたので貼る
https://i.imgur.com/lpbo2qf.png
https://i.imgur.com/2Qhn5ql.png
- 362 :132人目の素数さん:2020/03/18(水) 05:54:49 ID:LbXnfiiv.net
- (上)
a,b,c は負でない実数とする。次を示せ。
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Let a,b,c be non-negative real numbers.
Prove that
a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧ 0.
Wenyu Cao
USA.ELMO-2009 day1-Q3
Inequalitybot [111] ☆5
安藤哲哉「不等式」数学書房 (2012) の p.55, 例題2.2.12(3)
S_3 + 2S_{2,1} ≧ 3S_{1,2}
- 363 :132人目の素数さん:2020/03/18(水) 06:09:44 ID:LbXnfiiv.net
- (下)
a,b,c は正の実数で
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7)
を満たすとする。
(a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1
を証明せよ。
Let a,b,c be positive reals satisfying
a + b + c = a^(1/7) + b^(1/7) + c^(1/7).
Prove that (a^a)(b^b)(c^c) ≧ 1.
(Evan Chen)
- 364 :132人目の素数さん:2020/03/18(水) 06:25:25 ID:LbXnfiiv.net
- >>362
min{a,b,c} = m,
{a,b,c} = {m,m+x,m+y} とする。(x≧0, y≧0)
(与式) = 2m(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ 0.
- 365 :132人目の素数さん:2020/03/18(水) 06:36:15 ID:LbXnfiiv.net
- >>357
>>359
対角項 (a=bの場合) は
∫[-∞,∞] 1/(1+(x-a)^2)^2 dx = ∫[-∞,∞] 1/(1+xx)^2 dx = π/2,
∵∫ 1/(1+xx)^2 dx
= (1/2)∫ {(1-xx)/(1+xx)^2 + 1/(1+xx)} dx
= x/(2(1+xx)) + (1/2)arctan(x),
- 366 :132人目の素数さん:2020/03/19(木) 13:09:23 ID:mXsnD9nM.net
- >>348 (1)
(x-1)log(x) ≧ 0 より
x^x - x ≧ 0, y^y - y ≧ 0, ・・・・ (A)
・x≧1 のとき
x^x -x^y -y^x +y^y
= {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) + {(x^x)(y^y) - (x^y)(y^x)}/(x^y)
≧ {x^(x-y) -1}(x^y - y^y) (>>347 より)
≧ 0.
・(x-1)(y-1)≦0 のとき
x^y ≦ x, y^x ≦ y,
これと (A) から出る。
・0 < y ≦ x ≦1 のとき
d = (x-y)/2 ≧ 0, とおく。
x^x -x^y -y^x +y^y
= - x^((x+y)/2) {x^(-d) - x^d} + y^((x+y)/2) {y^(-d) - y^d},
(sinhθ)/θ は |θ| について単調増加ゆえ
{y^(-d) - y^d}/(-log(y)) ≧ {x^(-d) - x^d}/(-log(x)) ≧ 0,
また
y^((x+y)/2)(-log(y)) ≧ x^((x+y)/2)(-log(x)) ≧ 0,
辺々掛ける。
- 367 :132人目の素数さん:2020/03/19(木) 17:26:22 ID:mXsnD9nM.net
- >>355
区間[0,1] を
P = { x∈[0,1] | f(x)≧0 }
N = { x∈[0,1] | f(x)<0 }
に分ける。
I_P = ∫_P |f(x)| dx,
I_N = ∫_N |f(x)| dx,
p = ∫_P dx,
n = ∫_N dx,
とすると
p + n = 1,
で
(左辺) = ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫PN ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
+ ∫NP ||f(x)|-|f(y)|| dxdy
= ∫PP (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ ∫NN (|f(x)|+|f(y)|) dxdy
+ |∫PN (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
+ |∫NP (|f(x)|-|f(y)|) dxdy |
= 2p・I_P + 2n・I_N + 2|n・I_P - p・I_N|
≧ 2p・I_P + 2n・I_N + (n-p)(I_P - I_N) (*)
= (p+n)(I_P + I_N)
= I_P + I_N
= ∫[0,1] |f(x)| dx,
(*)
(n-p)(I_P-I_N) ≦ 0 のときは明らか。
n≧p, I_P≧I_N のとき
n・I_P - p・I_N = (n-p)I_N + n(I_P-I_N) ≧ (n-p)(I_P-I_N),
p≧n, I_N≧I_P のとき
p・I_N - n・I_P = (p-n)I_P + p(I_N-I_P) ≧ (n-p)(I_P-I_N).
- 368 :132人目の素数さん:2020/03/19(木) 19:08:25 ID:TLP5gz64.net
- ルーマニア数学オリンピックから不等式の問題を色々拾ってきたので貼る
https://i.imgur.com/Ff1ilAe.png
https://i.imgur.com/g0L0rVU.png
https://i.imgur.com/tctI7rS.png
https://i.imgur.com/ZnoplcH.png
- 369 :132人目の素数さん:2020/03/19(木) 20:17:08 ID:TLP5gz64.net
- そしてこれはルーマニア数オリ代表選抜の問題から
https://i.imgur.com/a7w31xM.png
https://i.imgur.com/E7grEPf.png
https://i.imgur.com/INwFbml.png
- 370 :132人目の素数さん:2020/03/19(木) 22:27:58 ID:J+ez4IFc.net
- (;゚∀゚)=3ハァハァ
- 371 :132人目の素数さん:2020/03/20(金) 00:31:37 ID:lC3HBZ24.net
- >>368
[1]
すべての自然数nについて
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n),
sin(π/4n) ≧ (√2)/(2n), ∀n∈N
[2]
自然数 n≧2 と n個の正の実数 a_1, a_2, ・・・・, a_n が
次の不等式を満たすとする。
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,・・・・,n-1}
このとき
Σ[k=1,n-1] a_k/a_{k+1} ≦ n/2.
を証明せよ。
Let be a natural number n≧2 and n positive real numbers
a_1, a_2, ・・・・, a_n that satisfy the inequalities
Σ[j=1,i] a_j ≦ a_{i+1}, ∀i∈{1,2,・・・・,n-1}
Prove that
Σ[k=1,n-1] a_k/a_{k+1} ≦ n/2.
[3]
1/2 ≦ a,b,c ≦ 1 とする。
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
を証明せよ。
Let a,b,c ∈ [1/2,1].
Prove that
2 ≦ (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b) ≦ 3.
(selected by Mircea Lascu)
[4]
n∈N゚ とし、
v1, v2, ・・・・, vn は平面内ヴェクトルで、長さは1以下とする。
このとき
|ξ1・v1 + ξ2・v2 + ・・・・ + ξn・vn | ≦ √2.
となるような ξ1, ξ2, ・・・・, ξn ∈ {-1,1} が存在することを示せ。
Let n∈N゚ and v1, v2, ・・・・, vn be vectors in the plane
with lengths less than or equal to 1.
Prove that there exists ξ1, ξ2, ・・・・, ξn ∈ {-1,1} such that
|ξ1・v1 + ξ2・v2 + ・・・・ + ξn・vn | ≦ √2.
- 372 :132人目の素数さん:2020/03/20(金) 04:13:12 ID:lC3HBZ24.net
- [1]
〔ジョルダンの不等式〕
sinθは上に凸だから
sin(aθ) ≧ a・sinθ, (0≦a≦1、0≦θ≦1.43π)
文献[3] 大関(1987)、p.38 例題2
[3]
(左)
s = a+b+c とおくと
(与式) = (a+b)/(1+c) + (b+c)/(1+a) + (c+a)/(1+b)
= (1+a+b+c){1/(1+c) + 1/(1+a) + 1/(1+b)} - 3
≧ (1+s)・9/(3+s) - 3 (AM-HM)
= 6 - 18/(3+s)
≧ 6 - 4 (s≧3/2)
= 2,
(右)
(与式) = {(a+b)(1+a)(1+b) + (b+c)(1+b)(1+c) + (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {3(1+c)(1+a)(1+b) - (a+b)(1+a)(1+b) - (b+c)(1+b)(1+c) - (c+a)(1+c)(1+a)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
= 3 - {(1-a)[4a+(b-c)^2] +(1-b)[4b+(c-a)^2] +(1-c)[4c+(a-b)^2] +3(1-a)(1-b)(1-c)}/{(1+c)(1+a)(1+b)}
≦ 3 (0≦a,b,c≦1)
- 373 :132人目の素数さん:2020/03/20(金) 16:48:31 ID:lC3HBZ24.net
- >>369
[5]
n≧2 は自然数, a_i,b_i (1≦i≦n) は実数で、
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
のとき
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
を証明せよ。
For n∈N, n≧2, a_i,b_i∈R, 1≦i≦n, such that
Σ[i=1,n] (a_i)^2 = Σ[j=1,n] (b_j)^2 = 1,
Σ[i=1,n] (a_i)(b_i) = 0.
Prove that
(Σ[i=1,n] a_i)^2 + (Σ[j=1,n] b_j)^2 ≦ n.
[6]
a_1, a_2, a_3, a_4 を任意の4角形の辺とし、周長を 2s とする。
Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
を証明せよ。
等号が成立つのはいつか?
Let a_1, a_2, a_3, a_4 be the sides of an arbitrary quadrilateral
of perimeter 2s. Prove that
Σ[i=1,4] 1/(a_i+s) ≦ (2/9)Σ[1≦i<j≦4] 1/√{(s-a_i)(s-a_j)}.
When does the equality hold ?
[7]
n≧2 を整数とし、a_1, a_2, ・・・・, a_n を実数とする。
任意の空でない部分集合S ⊂ {1,2,・・・・,n} について
(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+・・・・+a_j)^2.
を証明せよ。
Let n≧2 be an integer and let a_1, a_2, ・・・・, a_n be
real numbers.
Prove that for any non-empty subset S ⊂ {1,2,・・・・,n}
we have
(Σ[i∈S] a_i)^2 ≦ Σ[1≦i≦j≦n] (a_i+・・・・+a_j)^2.
(Gabriel Dospinescu)
- 374 :132人目の素数さん:2020/03/21(土) 01:09:55 ID:a/9U1hEf.net
- [5]
n次元空間で考える。
n個のヴェクトル {a,b,c, ・・・・ } が規格化直交系をなす、とする。
t = a(a・t) + b(b・t) + c(c・t) + ・・・・,
(t・t) = (a・t)^2 + (b・t)^2 + (c・t)^2 + ・・・・
≧ (a・t)^2 + (b・t)^2.
ここで t = (1,1,・・・・,1) とおく。
- 375 :132人目の素数さん:2020/03/21(土) 04:24:54 ID:a/9U1hEf.net
- >>364 を改良
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 ≧ (K-5/2)|?|,
ここに
? = (a-b)(b-c)(c-a) = xy(x-y),
K = √(13/4 + 4√2) = 2.984435331765856875
(略証)
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 - (K-5/2)xy(x-y)
= x^3 - (K+1/2)x^2・y + (K-1/2)xy^2 + y^3
= (x+0.2819716800612y)(x-1.8832・・・・y)^2,
≧ 0,
(x/y)。 = {1 +√2 +√(2√2 -1)}/2
= 1.8832035059135
x(x-2y)^2 + y(x-y)^2 + (K+5/2)xy(x-y)
= x^3 + (K-1/2)x^2・y - (K+1/2)xy^2 + y^3
= (x+3.546455444685y)(x-0.53101・・・・y)^2
≧ 0,
(x/y)。 = {1 +√2 -√(2√2 -1)}/2
= 0.531010056459569
- 376 :132人目の素数さん:2020/03/21(土) 21:07:57 ID:lmCUfcwV.net
- ネットで拾った数オリ代表が作った不等式問題
おそらく海陽中等教育学校の神田秀峰と思われる
https://i.imgur.com/RUbbbS4.png
- 377 :132人目の素数さん:2020/03/22(日) 07:12:46.54 ID:fYa2zo9P.net
- 9.神田
nを1以上の整数とする。
2n個の正の実数 x1,x2,・・・・,xn, y1,y2,・・・・,yn は
x1 + x2 + ・・・・ + xn = 1,
をみたす。 1以上n以下の任意の整数の組(i,j)に対し
x1 + ・・・・ + x_{i-1} ≧ y_j または 2 - x1 - ・・・・ - x_j ≧ y_i
となるとき
x1・y1 + x2・y2 + ・・・・ + xn・yn ≦ 1
を示せ。
- 378 :132人目の素数さん:2020/03/26(木) 01:44:21 ID:zUlAmjt2.net
- >>306
x = max{a,b,c} で場合分けする方法もある・・・・
(i) 0≦x≦1 のとき
a^2020 - a^2 +4 ≧ a^2018 + 3 > 3, etc.
∴ (左辺) > 27 ≧ (3xx)^3 ≧ (aa+bb+cc)^3.
(ii) x>1 のとき
x^2020 - x^2 +4 > x^26 - x^2 +4 > x^24 +1 +1 +1 > 4 x^6,
∴ (左辺) ≧ 36 x^6 = (4/3)(3xx)^3 ≧ (4/3)(aa+bb+cc)^3.
http://suseum.jp/gq/question/3129 (クロニャンコさん-改)
- 379 :132人目の素数さん:2020/03/26(木) 07:13:41.66 ID:IoPO15gu.net
- うむ
- 380 :132人目の素数さん:2020/03/27(金) 05:53:57.81 ID:GzR1OrPK.net
- >>329
問2
c - a > 3 を示せ。
-----------------------------------------------------------------
f(x) > 4x - abc (0<x<1) ⇒ a < abc/4,
f(x) < 4x -12 -abc (3<x<4) ⇒ c > 3 + abc/4,
もあるが・・・・
- 381 :132人目の素数さん:2020/04/01(水) 10:30:00 ID:3A39oS9Q.net
- >>75
ベルトラン予想(チェビシェフの定理)によらないでも
初等的な論法によって証明できる。 (神戸市・公文氏)
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●107
- 382 :132人目の素数さん:2020/04/01(水) 10:41:11 ID:QzKcUG7e.net
- >>381
その本には、初等的な論法による証明は紹介されているのでせうか?
- 383 :132人目の素数さん:2020/04/03(金) 00:14:12 ID:mgebV0rK.net
- ●107
(3) 自然数nは、n^(1/3) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(4) 自然数nは、n^(1/4) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
(5) 自然数nは、n^(1/5) より小さいすべての自然数で割り切れるという。
このような最大のnは何でしょうか。
- 384 :132人目の素数さん:2020/04/03(金) 00:33:15 ID:mgebV0rK.net
- (3) n = 420 = GCD{1,・・・,7} [n^(1/3)] = 7.4888724
(4) n = 27720 = GCD{1,・・・,12} [n^(1/4)] = 12.903226
(5) n = 720720 = GCD{1,・・・,16} [n^(1/5)] = 14.844081
- 385 :132人目の素数さん:2020/04/03(金) 00:36:13 ID:mgebV0rK.net
- まちがえた...orz
(3) n = 420 = LCM{1,・・・,7} n^(1/3) = 7.4888724
(4) n = 27720 = LCM{1,・・・,12} n^(1/4) = 12.903226
(5) n = 720720 = LCM{1,・・・,16} n^(1/5) = 14.844081
- 386 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 11:23:03 ID:pDfrzDrp.net
- (1) x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0,
(2) x^4 + x^3 - 2x + 6/7 > 0,
高校数学の質問スレPart404.051〜068
- 387 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 11:39:19 ID:7I0d5fbg.net
- >>386
(1)は見た瞬間にグラフの概形が頭に描かれたわ。
訓練された不等式ヲタとは、そういうものだ。
- 388 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 11:46:58 ID:pDfrzDrp.net
- (1) の方は
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 +x -1)^2,
だが・・・・
- 389 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 11:57:16 ID:7I0d5fbg.net
- >>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
- 390 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 13:59:31 ID:7I0d5fbg.net
- x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
- 391 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 23:51:37 ID:pDfrzDrp.net
- >>390
f(x) = log{Γ(x)} - x・log(x),
f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x) ・・・・ digamma関数。
∴ f(x) は下に凸。
- 392 :132人目の素数さん:2020/04/08(水) 23:57:56 ID:pDfrzDrp.net
- >>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺)=(xx +x/2 -c)^2 +(2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。
左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→ x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。
(左辺)=(xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
={(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
≧ 0.002010
- 393 :132人目の素数さん:2020/04/10(金) 03:26:14 ID:IAsBrfBV.net
- >>390
・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion",Hamburg (1931)
・高木貞治:「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第5章 §68. ガンマ函数
・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
p.126 2200円 上野健爾 [訳・解説]
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
- 394 :132人目の素数さん:2020/04/10(金) 12:07:36.86 ID:HQzXTvXu.net
- 三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
- 395 :132人目の素数さん:2020/04/11(土) 14:55:32 ID:jVXfLHUH.net
- BC = a, CA = b, AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
AD = BC = a
となる点Dをとると
CD = √(aa+bb-2ab・sinC) = √(aa+bb-4S),
BD = √(aa+cc-2ac・sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする?
- 396 :132人目の素数さん:2020/04/18(土) 20:45:04 ID:/wfIVimW.net
- ツイッターのとあるユーザーから出題
https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
- 397 :132人目の素数さん:2020/04/18(土) 22:43:06 ID:Mmg17QlQ.net
- >>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
- 398 :132人目の素数さん:2020/04/19(日) 05:23:49.74 ID:Cq2k8yf8.net
- >>396
Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1. x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,
2. x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,
3. x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),
4. x,y,z≧0 のとき
3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
- 399 :132人目の素数さん:2020/04/19(日) 05:49:57 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
1.
s = x+y+z
t = xy+yz+zx
u = xyz
とおく。
左)
u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
= (2s^3 -7st+9u)/9
≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
等号成立は x=y=z=1/3,
右)
(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
= (x+y)(x+z)(z+x)
≧ 0,
等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
- 400 :132人目の素数さん:2020/04/19(日) 06:02:04.63 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
2.
xyz = G^3 とすると AM-GMで
x+y+z ≧ 3G, 1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),
なお、対称式でなくても AM-GMで
(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z, etc.
巡回的にたすと
x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.26 演習問題1.75
- 401 :132人目の素数さん:2020/04/19(日) 06:22:15.43 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
3.
1/(x(y+z))= 1/(x(s-x))={1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺)≧{1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x)+ 1/(s-y)+ 1/(s-z)}/s
≧{9/(x+y+z)}+ 9/(3s-x-y-z)}/s (← AM-HM)
= 9/(ss)+ 9/(2ss)
= 27/(2ss),
x^4 +y^4 +z^4 + xyz
≧(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
=(s^3 -3st +6u)/3 (s=1)
=(2/9)(s^3 -4st +9u)+(1/27)s(ss-3t)+(2/27)s^3
≧(2/27)s^3,
∴(右辺)≦ 27/(2s^3),
- 402 :132人目の素数さん:2020/04/19(日) 10:07:36.72 ID:Cq2k8yf8.net
- >>398
4.
(左辺)-(右辺)= 3s(ss-3t)+4t -4s +3
={(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
≧ 0,
3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
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