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不等式への招待第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
389 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 11:57:16 ID:7I0d5fbg.net: >>388
平方完成は瞬時にはできんかったわい。
3流不等式ヲタでスマン。
390 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 13:59:31 ID:7I0d5fbg.net: x,y>0に対して、
(x^x)*(y^y)*(Γ((x+y)/2))^2 ≦ Γ(x)*Γ(y)*((x+y)/2)^(x+y).
ここで、Γはガンマ関数
391 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:51:37 ID:pDfrzDrp.net: >>390
　f(x) = log{Γ(x)} - x･log(x),
　f '(x) = ψ(x) - log(x) - 1,
　f "(x) = ψ ' (x) - 1/x > 0,
ここに　ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x)　････ digamma関数。

∴　f(x) は下に凸。
392 ：１３２人目の素数さん：2020/04/08(水) 23:57:56 ID:pDfrzDrp.net: >>386
(2)
まず、高次の項を見て
(左辺）=（xx +x/2 -c)^2 +（2c-1/4)xx -(2-c)x + (6/7-cc),
とする。cは定数。

左辺は x = 0.607 の辺りで最小になるので |xx +x/2 -c| も小さいはず。
→　x=0.6 で xx +x/2 -c = 0 となるように c=0.66 とする。

(左辺）=（xx +x/2 -0.66)^2 + 1.07xx - 1.34x + 0.421542857
　　=｛(x-0.6)(x+1.1)}^2 + 1.07(x-67/107)^2 + 0.002010
　　≧ 0.002010
393 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 03:26:14 ID:IAsBrfBV.net: >>390

・E. Artin: "Entfuhrung in die Theorie der Gammafunktion"，Hamburg （1931)

･高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　　第5章　§68. ガンマ函数

・E.アルチン「ガンマ関数入門」(はじめよう数学6), 日本評論社 (2002)
　　　p.126　2200円　上野健爾 [訳･解説]
　http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1985.html
394 ：１３２人目の素数さん：2020/04/10(金) 12:07:36.86 ID:HQzXTvXu.net: 三角形の辺長 a,b,c および面積 S に対して、
√(aa+bb-4S) + √(aa+cc-4S) ≧ √(bb+cc-4S).
395 ：１３２人目の素数さん：2020/04/11(土) 14:55:32 ID:jVXfLHUH.net: 　BC = a,　CA = b,　AB = c としよう。
頂点Aから対辺BCに下した垂線(の延長線)上に、
　AD = BC = a
となる点Dをとると
　CD = √(aa+bb-2ab･sinC) = √(aa+bb-4S),
　BD = √(aa+cc-2ac･sinB) = √(aa+cc-4S),
で、どうする？
396 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 20:45:04 ID:/wfIVimW.net: ツイッターのとあるユーザーから出題

https://i.imgur.com/rLS41sF.jpg
397 ：１３２人目の素数さん：2020/04/18(土) 22:43:06 ID:Mmg17QlQ.net: >>396
うむ、不等式信者が増えているようで何より。
398 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:23:49.74 ID:Cq2k8yf8.net: >>396
　Tenma Inequality Contest
次を示せ。
1.　x,y,z≧0、x+y+z=1 のとき
　　7/9 ≦ (xyz+1)/(xy+yz+zx+1) ≦ 1,

2.　x,y,z≧0、 xyz=1 のとき
　(y/x + z/y + x/z) + (x/y + y/z + z/x) ≧ (x+y+z) + (1/x + 1/y + 1/z) ≧ 6,

3.　x,y,z>0, x+y+z=1 のとき
　1/{x(y+z)} + 1/{y(z+x)} + 1/{z(x+y)} ≧ 27/2 ≧ 1/(x^4 + y^4 + z^4 + xyz),

4.　x,y,z≧0 のとき
　3(x^3+y^3+z^3 +1) + 4(xy+yz+zx) ≧ 9xyz + 4(x+y+z),
399 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 05:49:57 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
１．
　s = x+y+z
　t = xy+yz+zx
　u = xyz
とおく。
左)
　u + 1 - (7/9)(t+1) = u + s^3 - (7/9)s(t+ss)
　= (2s^3 -7st+9u)/9
　≧ {(s^3 -4st+9u) + s(ss-3t)} ≧ 0,
　等号成立は x=y=z=1/3,
右)
　(分母) - (分子) = (xy+yz+zx) - xyz
　= (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz
　= (x+y)(x+z)(z+x)
　≧ 0,
　等号成立は {x,y,z} = {0,0,1}
400 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:02:04.63 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
２.
xyz = G^3 とすると　AM-GMで
　x+y+z ≧ 3G,　1/x+1/y+1/z ≧ 3/G,
(左辺) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) -3
　≧ 3(x+y+z)/G + 3G(1/x+1/y+1/z) -12
　≧ (x+y+z)/G + G(1/x+1/y+1/z),

なお、対称式でなくても AM-GMで
　(1/3)(x/y+x/y+y/z) ≧ x/G,　etc.
巡回的にたすと
　x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)/G,
同様にして
　(1/3)(x/y+y/z+y/z) ≧ G/z,　etc.
巡回的にたすと
　x/y + y/z + z/x ≧ (1/x+1/y+1/z)G,
は出る。

文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013)　p.26 演習問題1.75
401 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 06:22:15.43 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
３.
　1/(x(y+z)）= 1/(x(s-x)）=｛1/x + 1/(s-x)}/s,
(左辺）≧｛1/x + 1/y + 1/z + 1/(s-x）+ 1/(s-y）+ 1/(s-z)}/s
　≧｛9/(x+y+z)｝+ 9/(3s-x-y-z)}/s　　　(← AM-HM)
　= 9/(ss）+ 9/(2ss)
　= 27/(2ss),

x^4 +y^4 +z^4 + xyz
　≧（x+y+z)(x^3+y^3+z^3)/3 + xyz
　= s(s^3 -3st +3u)/3 + u
　=（s^3 -3st +6u)/3　　　(s=1)
　=（2/9)(s^3 -4st +9u）+（1/27)s(ss-3t）+（2/27)s^3
　≧（2/27)s^3,
∴（右辺）≦ 27/(2s^3),
402 ：１３２人目の素数さん：2020/04/19(日) 10:07:36.72 ID:Cq2k8yf8.net: >>398
４.
(左辺）-（右辺）= 3s(ss-3t）+4t -4s +3
　=｛(3s^3 -4s +3)(ss-3t) + t(2s-3)^2}/ss
　≧ 0,

3s^3 -4s +3 = 3(s+4/3)(s-2/3)^2 + 11/9 ≧ 11/9.
403 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 07:08:39 ID:VEDuEVHa.net: 駿台の過去問らしい

https://i.imgur.com/FH292z6.jpg
404 ：１３２人目の素数さん：2020/04/21(火) 08:05:27 ID:6SMLYdGW.net: >>403
〔問題５〕
nを2以上の整数とし、a_1, a_2, ････, a_n を正の整数とする。
このとき、次の3つの条件をみたす正の整数 b_1, b_2, ････, b_n が存在することを示せ。
(A)　i = 1,2,････,n に対して a_i≦b_i である。
(B)　b_1, b_2, ････, b_n をnで割った余りはすべて異なる。
(C)　不等式
　　b_1 + b_2 + ････+ b_n ≦ n（(n-1)/2 +［(a_1+a_2+････+a_n)/n]).
　が成り立つ。
　ただし、実数xに対してxを超えない最大の整数を［x］で表わす。

>>397
　そうかなぁ？
405 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 06:57:59 ID:A7QrgcmB.net: R^3上の(可測)集合A,Bに対して、
A+B:={x+y | x∈A,y∈B}とする.
このとき、
(A+Bの体積)^(1/3)≧(Aの体積)^(1/3)+(Bの体積)^(1/3)
を証明せよ.
406 ：１３２人目の素数さん：2020/04/28(火) 07:02:02 ID:A7QrgcmB.net: >>405
ちなみに、A,Bを2次元平面上の図形として、
(A+Bの面積)^(1/2)≧(Aの面積)^(1/2)+(Bの面積)^(1/2)
となることは比較的簡単に証明出来ます
407 ：１３２人目の素数さん：2020/05/03(日) 10:38:33 ID:u2nPgxPR.net: a,b,c>0, λ≧0
(a/b + b/c + c/a){a/(a+λb) + b/(b+λc) + c/(c+λa)} ≧ 9/(λ+1).

RMMかどこかで昔拾ったものだったか?

　( ﾟ∀ﾟ)　ﾌﾟｩ
　ﾉヽﾉ) =3　'A`)ﾉﾋｬｰ
　　くく　　へﾍﾉ
408 ：１３２人目の素数さん：2020/05/04(月) 16:31:00 ID:jDRWX2Ph.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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409 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 12:29:59 ID:b2IqdVzK.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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410 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 17:26:38 ID:B6ZQqn9P.net: >>406
平面のときのも全然証明わかりません
証明もしくは出典教えてほしいです
411 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 23:55:57 ID:2A4Z2g/l.net: >>410
ヒントを言うとまずはA,B共に長方形の場合で示してください
ある有名不等式になります

どうしても答えが知りたければ
「Brunn–Minkowskiの不等式」でググってください
412 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:23:27 ID:1eDWV5m3.net: >>411
ありがとう
調べたらかなり有名みたいだね

もちろん最初に同じ向きの長方形の場合を考えてみたけど、そこから一般の場合にどう持っていくのかが謎すぎた
和をとった後の図形がどれくらい小さくなるかは元の図形の大域的な様子が必要そうに思えてさ
wikiぱっと見た感じでは凸包をとってよくて、さらに凸図形の場合は表面積の情報で抑えられるという感じなのかな
413 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:35:55 ID:sAc0zF0B.net: >>412
測度論で長方形から一般の可測集合に主張を拡張したい場合は「Dynkin's π-λ theorem」という便利な定理があります
414 ：１３２人目の素数さん：2020/05/06(水) 00:45:25 ID:sAc0zF0B.net: 適当にパラメータ付けした図形にBrunn–Minkowskiの不等式を適応すれば
大量に不等式を生成することが出来ます
415 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 01:13:17 ID:C8tI9fQ4.net: ツイッターから拾ったのでどうぞ

https://i.imgur.com/aYWdlZa.png

https://i.imgur.com/kMzfG2o.png

https://i.imgur.com/K7zRV0s.png

https://i.imgur.com/v6d3y6p.png

https://i.imgur.com/RJqT4Pu.jpg

https://i.imgur.com/zocnJSH.png
416 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 11:46:01 ID:WmDpVhCu.net: 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
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417 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:28:34 ID:gGrwQusG.net: >>415
１
a,b,c>0 のとき、
　30sst ≦ 7s^4 + 9tt + 54su,
を示せ。
ここに s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc とおいた。

２
実数列｛a_i},{b_j},{c_k｝がある。以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca),

３
x1,x2,･･･,xn を実数とし、ｘ=（x1,x2,････,xn）と書く。
f(x）と g(x）は対称式である。
f(x）≦ g(x）が成り立ち、
等号成立がｘ = ｘ_p =（y1,y2,････,yn）に限るとしても
　f(ｘ）≦ g(ｘ_p)
が成り立たない例があることを示せ。

４
0 < x,y,z のとき、
　x/y + y/z + z/x ≧ (x+y+z)^2 /(xy+yz+zx),
を示せ。

５(改)
　1 < log([(e-2)x+2]/[(e-2)(x-1)+2]) + x･log(1+1/x）< f(x),　(x>1)
ここに　f(x）=｛x･log(x）+ log(x+1）- log(2Γ(x+1))}/(x-1),
　lim[x→1］f(x）= γ + 1/2,
　lim[x→∞］f(x）= 1,

６
∀x,y ∈［0,π/2)
　sin(x+y）+ tan(x)tan(y）≦ √{1+tan(x)^2}･√{1+tan(y)^2},
418 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 20:45:55 ID:gGrwQusG.net: １
　(右辺）= 7s^4 + 9tt + 54su
　= 30sst +（ss-3t)^2 + 6s(s^3 -4st+9u)
　= 30sst +（F_0)^2 + 6s･F_1
　≧ 30sst,
　F_0 = ss -3t ≧ 0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0.　(シューア)

３
　f(ｘ）= Σ[i=1,n] (x_i)^2,　g(ｘ）= 2Σ[i=1,n] (x_i)^2,
　g(ｘ_p）= g(ｏ）= 0.
何か勘違いしてるかな？

４
コーシーで。
（分数形のものは Engel型のCauchy とか、Arthur Engelの最小原理と呼ぶらしい。)
文献[9] 佐藤(訳) 朝倉書店 (2013) p.44-45

６
　(左辺)^2 ≦｛1 +｜tan(x)tan(y)|}^2
　≦ √{[1 +｜tan(x)tan(y)|]^2 +［tan(x)±tan(y)]^2}/2
　=｛1+tan(x)^2} {1+tan(y)^2},
或いは同じことだが
　(左辺)^2 ≦（1 +｜tan(x)tan(y)|)^2
　=｛cos(x)cos(y）± sin(x)sin(y)}^2 /{cos(x)cos(y)}^2
　= cos(x干y)^2 /{cos(x)cos(y)}^2　　(←複号は適当な方をとる)
　≦ 1/{cos(x)cos(y)}^2,
419 ：１３２人目の素数さん：2020/05/08(金) 23:59:46 ID:gGrwQusG.net: ２
　Σaa = AA,　Σbb = BB,　Σcc = CC,
　Σab = AB cosγ,　Σbc = BC cosα,　Σca = CA cosβ,
とおく。(0≦α,β,γ≦π)
球面三角不等式
　｜α-β｜≦ γ ≦ α+β,
より
　cos(α-β）≧ cosγ ≧ cos(α+β),
｜cosγ - cosα･cosβ｜≦｜sinα･sinβ|,
２乗して整理すると
（cosα)^2 +（cosβ)^2 +（cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
これに（ABC)^2 を掛ければ
　(Σaa)(Σbc)^2 +（Σbb)(Σca)^2 +（Σcc)(Σab)^2 ≦（Σaa)(Σbb)(Σcc）+ 2(Σab)(Σbc)(Σca).
420 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 06:14:35 ID:pHr5kdzK.net: ５
x≒1 では
x･log(x）+ log(x+1）- log(2）=（3/2)(x-1）+（3/8)(x-1)^2 -（1/8)(x-1)^3 + ･･･
log{Γ(x+1)｝=（1-γ)(x-1）+（ππ-6)/12・(x-1)^2 - 0.0673523(x-1)^3 + ････
f(x）=（γ+1/2）+（7/8 - ππ/12)(x-1) - 0.0576477(x-1)^3 + ････

x >>1 では
x･log(x）+ log(x+1）=（x+1)log(x）+ 1/x - 1/(2xx）+ 1/(3x^3）- ････
log{2Γ(x+1)｝=（x+1/2)log(x）-x +（1/2)log(8π）+ 1/(12x) - 1/(360x^3) + ･･･
f(x) =｛x +（1/2)log(x）-（1/2)log(8π）+ 11/(12x）- 1/(2xx）+ 121/(360x^3)}/(x-1)
　→ 1　(x→∞)

６（訂正)
　(左辺)^2 ≦｛1 + |tan(x)tan(y)|}^2
　≦｛1 + |tan(x)tan(y)| })^2 +｛ |tan(x)| - |tan(y)| }^2
　=｛1 + tan(x)^2} {1 + tan(y)^2},
421 ：１３２人目の素数さん：2020/05/09(土) 20:40:48 ID:pHr5kdzK.net: 引き続く3つの奇数の和が54を超えないとき、
小さい数の最大値を求めよ。

The sum of three consecutive odd numbers is not greater than 54,
find the largest value of the smallest number.

數學999
http://www.youtube.com/watch?v=GTehFFxQCp8 02:42
422 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 01:49:21.16 ID:431XMp+q.net: n, k は2以上の整数、Aはn×nエルミート行列のとき、
(det A)^(1/n) ≦ [{(tr A)^k - tr(A^k)}/(n^k - n)]^(1/k).
423 ：１３２人目の素数さん：2020/05/14(木) 08:31:45 ID:w+h9h8DE.net: >>419
２
　　　　　　| (a･a)　(a･b)　(a･c) |
RHS - LHS =｜(b･a)　(b･b)　(b･c) |　　(Grammian)
　　　　　　| (c･a)　(c･b)　(c･c) |

　　| a |
　=｜b｜| a　b　c |　≧ 0,
　　| c |

桑野耕一「ラグランジュ恒等式とは何か」
　　数学セミナー、連載（2006年4月号～）

なお、上式は（|a||b||c|)^2 以下になる。(Hadamardの不等式)

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
　第2章　§26.極大・極小　[例2]　p.72～75
分かスレ４５９．588, 594, 759 など。
424 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 18:07:02 ID:gzO4I8NK.net: ツイッターから拾った
https://i.imgur.com/A46WIGT.jpg
425 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:35:49 ID:0gqdjMjt.net: 〔問題〕
x,y,zが非負実数全体を動くとき
　(x+y+z)^3 /(xyy+yzz+zxx+xyz）≧ 27/4,
を示せ。

例の問題...
426 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 21:49:34 ID:0gqdjMjt.net: >>425
(略証)
0 ≦ Min{x,y,z｝= x としてもよい。
4(x+y+z)^3 - 27(xyy+yzz+zxx+xyz)
　= 9x(xx+yy+zz-xy-yz-zx) + (y+4z-5x)(x-2y+z)^2 ≧ 0,
等号成立は（x,y,z) = (1,1,1) (0,1,2) (1,2,0) (2,0,1)
［前スレ．014-020]
文献[8]　安藤：「不等式」数学書房 (2012）例題2.2.12(7）p.56
Inequalitybot [169]

(類題)
カナダMO-1995 A5
イギリスMO-2009 A4
Inequalitybot [61]
427 ：１３２人目の素数さん：2020/05/18(月) 23:15:09.32 ID:0gqdjMjt.net: >>407

(1+λ)(a/b + b/c + c/a）≧（a/b + b/c + c/a）+ 3λ　　(AM-GM)
　=（a+λb)/b +（b+λc)/c +（c+λa)/a,
∴ コーシーで
(1+λ)･LHS ≧｛√(a/b）+ √(b/c）+ √(c/a)}^2
　≧ 3^2　　　　　　　(AM-GM)
　= 9,
428 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 01:32:34 ID:G3uxUJZ9.net: >>426
巡回的なものを非巡回的な式に変形して示すの不思議
巡回的な変形でも示せるのか気になる
429 ：１３２人目の素数さん：2020/05/19(火) 12:59:55 ID:C7hbQ2t7.net: >>419
>>423
2次形式
　f(x,y,z）=｜xａ + yｂ + zｃ｜^2
が半正値だから、
RHS - LHS =（判別式）≧ 0,
430 ：１３２人目の素数さん：2020/05/22(金) 07:21:06.00 ID:y+ggBWMl.net: >>421
(略解)
Let x be the smallest odd number.
x + (x+2) + (x+4) ≦ 54,
　　　　　3x + 6 ≦ 54,
　　　　　　　x ≦ 16,
　　　　　　　x ≦ 15,　(x is odd number)
∴ The largest value of the smallest nember is 15.
431 ：１３２人目の素数さん：2020/05/25(月) 19:54:27 ID:FyhIbn1M.net: a,b,c>0, a+b+c=1
36/(aab+bbc+cca) + 1/(abc) ≧ {24(aab+bbc+cca-6abc)^2}/abc + 343
432 ：１３２人目の素数さん：2020/05/26(火) 22:40:14 ID:jFtHfHtW.net: a,b,c>0、G=(abc)^(1/3) に対して
a/(a+2b+3) + b/(b+2c+3) + c/(c+2a+3) ≧ G/(1+G).

JBMO2020って何だよ？
433 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 06:28:31.08 ID:2I72JytV.net: >>432
｛a(a+2b+3）+ b(b+2c+3）+ c(c+2a+3)｝= (a+b+c)(a+b+c+3）= 9A(A+1),
を左辺に掛ける。　コーシーにより
9A(1+A)(左辺）≧（a+b+c)^2 = 9AA,
∴ (左辺）≧ A/(1+A）≧ G/(1+G),　　　(← AM-GM)

JBMO = Junior Balkan Mathematical Olympiad

なお、日本のは JJMO
434 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 15:36:19 ID:2I72JytV.net: >>432
1/(1+x）≧ 1-x　より
a/(a+2b+3) = a/{(a+b+c+3) + (b-c)}
　= a/{(a+b+c+3) (1+x)}
　≧ a(1-x)/(a+b+c+3)
　= a/(a+b+c+3) - (ab-ca)/(a+b+c+3)^2,
循環的にたす。
　(左辺）≧（a+b+c)/(a+b+c+3）≧ G/(G+1)),
435 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 16:26:37.09 ID:2I72JytV.net: >>270 のことでござるか････
　JBMO2020 はバルカンMO (BMO) のジュニア版のこと　>>433
じゃなく、ただのハンドル名かも････
436 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 18:38:24.11 ID:2I72JytV.net: 〔問題３〕改
a,b,c は正の実数で 1/a + 1/b + 1/c ≧ 3 であるとする。
　(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
を証明せよ。　等号が成立つのはいつか？

Problem 3. (modified)
　Let a,b,c be positive real numbers such that 1/a+1/b+1/c ≧3.
Prove that
　(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 ≧ 3(a+b+c+1).
When does equality hold ?
　JBMO-2014　P.3
437 ：１３２人目の素数さん：2020/05/27(水) 19:07:41.72 ID:2I72JytV.net: 相加平均 A =（a+b+c)/3,　
調和平均 H = 3/(1/a+1/b+1/c）とおく。
問題の条件は H≦1.
2乗平均≧相加平均より
　(左辺）≧ 3(A + 1/H)^2
　= 3(A-1)^2 + 3(3A+1) + 3(A-H)(2-H)/H + 3(1/H^2 - H)
　≧ 3(3A+1)
　= 3(a+b+c+1),

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
　　→　JBMO 2014 Solutions　(マケドニア大会)
438 ：１３２人目の素数さん：2020/05/30(土) 19:23:31 ID:vR2Jo4eU.net: [例9-3] 改
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

[第2章．274-276]
秋山仁 + ピーター・フランクル共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）鳩ノ巣原理では解けません。
439 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 08:48:01.74 ID:vwaCsVj1.net: 二変数a,bの相加平均、相乗平均、調和平均の幾何学的な証明（直径a+bの円）がありますけど
三変数a,b,cの場合の幾何学的な証明はあるのでしょうか？相加平均は重心という自明な意味が
あるけど残りの二つの幾何的な意味がよくわからない。
440 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 11:46:33.00 ID:keH19MaE.net: 自然に考えたら球に拡張しそうだけど
441 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 16:56:40.83 ID:YoOSwytJ.net: 平面でやりたいのでは？
442 ：１３２人目の素数さん：2020/05/31(日) 17:06:28.95 ID:vwaCsVj1.net: 球だとできるんですか？立方体で無理やり解釈することもできるけど一目瞭然では全然ないようなのしかできない。。

３辺がa,b,cの直方体の体積V=abc ,表面積S=2(ab+bc+ca)　とすると
３辺の長さの相加平均≧直方体と同体積の立方体の１辺≧V/表面積の平均値
443 ：１３２人目の素数さん：2020/06/01(月) 03:27:29.95 ID:LHxMDESI.net: >>438
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.04497020×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
444 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:49:20.04 ID:TPydHgX/.net: >>438
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
445 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 03:56:28 ID:TPydHgX/.net: 〔問題404-627〕
0<x<y<1<x+y のとき
　{(1-x)(1-y)(x+y-1)(y-x)^2}/(x+y)^2
の最大値を求めるにはどうすればいいでしょう？

[高校数学の質問スレPart404．627,632,635]
446 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 04:18:56.72 ID:TPydHgX/.net: 〔問題404-634〕
q>1 を定数とする。
x^q + y^q + z^q = 1 を満たす正の実数x,y,zであって
(x+1)(y+1)(z+1) を最大にするものを求めよ。

[高校数学の質問スレPart404．634,639,648]
447 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 05:10:30.68 ID:Zifnd/u1.net: log(1+t^(1/q))はこのスレでは流行らないんだよな。
448 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 06:27:38 ID:fgXdb1VU.net: ツイッターで拾ったこの問題の最後の問題5

https://i.imgur.com/LgaZhH2.png
449 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 12:22:08 ID:TPydHgX/.net: 問題１
　三角形ABCとその内部の点Pは、AB=7、AC=8、PB=1、PC=4 を満たす。
∠BAC と ∠BPC の二等分線が平行であるときの、BCの長さを求めよ。

(解答例)
題意より、点Pは△ABCの垂心となる。
　AP⊥BC、BP⊥CA、CP⊥AB
二等分線の方向をｘ軸とすれば傾きは
　AP　-1/5、　BC　5
　BP　-3、　CA　1/3
　CP　3、　AB　-1/3
よって
　A(0,0)　B(21/√10, -7/√10)　C(24/√10, 8/√10)　P(20/√10, -4/√10)
長さは
　BC = 3√(13/5) = 4.83735
　AP = 4√(13/5) = 6.4498
450 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:08:28.88 ID:TPydHgX/.net: 問題２
　nを4以上の整数とする。
ある正n角形の各頂点にはある頂点から反時計回りで１からnの整数が
書かれている。
この正n角形にn-3本の対角線(辺は含まない)をどの二つの対角線も
交わらないように取ると、正n角形はn-2個の三角形に分けられる。
(証明不要)
これらn-2個の三角形それぞれの得点をその三角形の3頂点に書かれた
整数の和とする。
n-2個の三角形の得点の総和として考えられる最大の値を求めよ。

(解答例)
Σ[k=1,n] (点 'k' を共有する三角形の数)
= Σ[k=1,n] (点 'k' を端点とする対角線の数+1)
∴ 点 'n' を端点とする対角線n-3本をとれば 2n(n-2)　　(最大)

逆に点 '1' を端点とする対角線n-3本を取れば (n+3)(n-2)　(最小)
451 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:27:03.25 ID:TPydHgX/.net: 問題３
　以下の等式を満たす正の整数の組 (a,b,c) を全て求めよ。
　　　a^(bc) + b^(ca) = c^(ab)

(解答例)
　a^(bc) < c^(ab)　より　a^c < c^a,
　b^(ac) < c^(ab)　より　b^c < c^b,　
∴　a^(1/a),　b^(1/b) < c^(1/c),
一方
　1 < n^(1/n) < ････ < 5^(1/5) < 4^(1/4) = 2^(1/2) < 3^(1/3),
と比べて
(a,b,c) = (1,1,2)　(1,2,3)　(2,1,3)
452 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 17:47:39.85 ID:TPydHgX/.net: 問題４
　内接円を持つ四角形ABCDの辺 AB, BC, CD, DA 上に
それぞれ P, Q, R, S をとり、線分PRとQSの交点をKとする。
四角形 APKS, BQKP, CRKQ に内接円が存在するとき、
四角形 DSKR にも内接円が存在することを示せ。

(解答例)
　内接円をもつ　⇔　2組の対辺の和が等しい。
だけでは解けぬ。どうするか？
453 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 18:21:12 ID:TPydHgX/.net: 問題５
　ある2以上の整数dは、ちょうどk個の正の約数 d_1 < d_2 < ･････ < d_k を持ち、
任意のk個の正の実数 x_1, x_2, ･････, x_k に対して以下の不等式を満たす。
このようなdを全て求めよ。

(√x_1 + √x_2 + ･････ + √x_k + 1)^(2d)
　　≦ (k+1)^(2d)･Π[i=1,k] {(x_i^d_i + k)/(k+1)}^d_(k+1-i)
　　≦ 2^(2d-k)･Π[i=1,k] (x_i^d + k^d_(k+1-i)),

ガラパゴス不等式と名付けたい････
454 ：１３２人目の素数さん：2020/06/03(水) 14:14:42 ID:Vj2o+qIA.net: [第7章.946]
　i-j=k をみたすn-k項と i-j=n-k をみたすk項の計n項で Jensen する。
　n項の引数の和はkとなる。
Σ[i-j=k] f(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] f(1 - x_i + x_j) ≧ n f(k/n),
k=1,2,････,n-1 でたす。

--------------------------------------------------------
蛇足だが････
　f(a) ≦ n ∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x) dx,
より
　Σ[k=1,n-1] f(k/n) ≦ n∫[1/2n, 1-1/2n] f(x) dx ≦ (n-1)∫[0,1] f(x) dx,

http://suseum.jp/gq/question/2724
455 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 03:52:52.71 ID:UZmO2K4a.net: >>445
s = x+y,　t=xy とおくと
　0 < t < 1 < s < 2,
16(1-x)(1-y)(x-y)^2 = 16(1-s+t)(ss-4t)　　(← tの2次式)
　= (2-s)^4 - {(2+s)^2 -8t -8}^2　　　(← 平方完成)
　≦ (2-s)^4,
より
(与式）≦ (s-1)(2-s)^4 /(16ss)
　= (2/√3 -1)^3 - g(s)(s-2/√3)^2 /(16ss)
　≦ (2/√3 -1)^3
　= 0.003702332976 = M,

等号は s = 2/√3 = 1.1547 のとき。

10+M = 10 + (2/√3 -1)^3
　= (2/√3 +1)^3
　= 1/{3(2/√3 -1)}^3
　= 1/(27M),

M = 1/{27(10+M)} < 1/270 = 0.00370370････

g(s) = {(√3)(2-s)^3 + (3√3 -4)(2-s)^2 + 4(3√3 -5)(2-s) + 8(7-4√3)}/(√3)
　> 8(7-4√3)/√3
　= 0.331615　　(s<2)
∵　5/3 < √3 < 7/4,
456 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 04:14:53.02 ID:UZmO2K4a.net: >>446
　q乗平均Q ≧ 相加平均A
より
　(x+1)(y+1) = (A+1)^2 - (1/4)(x-y)^2
　　≦ (A+1)^2
　　≦ (Q+1)^2,
∴　(x+1)(y+1)(z+1) ≦ (Q+1)(Q+1)(z+1),
∴　もし最大値があるとすれば、それは x=y=z に限る。
457 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 17:35:49 ID:UZmO2K4a.net: >449
△ABCの垂心をHとおく。
辺BCに関してHと対称な点をDとおくと、
∠D = ∠BHC = 180ﾟ - ∠A,
∴ Dは△ABCの外接円上にある。
　OA = OD
∴ ∠OAH = ∠ODH　　････ (1)

△ABCを中点三角形とするような大三角形△A'B'C'を考える。
その垂心は三角形ABCの外心Oである。
相似関係より、
　∠BAO=∠CAH,　∠CAH=∠BAO,
∴ ∠A の二等分線は ∠OAHの二等分線。
　∠BDO=∠CDH,　∠CDH=∠BDO,
∴ ∠D の二等分線は ∠ODHの二等分線。
(1) より
　∠BHC の二等分線 // ∠Aの二等分線
458 ：１３２人目の素数さん：2020/06/06(土) 04:26:40 ID:klZxi4yn.net: [AMM, Problem 12154]
Let r_a , r_b , and r_c be the exradii of a triangle with circumradius R and inradius r. Prove
　r_a/(r_b + r_c) + r_b/(r_c + r_a) + r_c/(r_a + r_b) ≧ 2 - r/R.
459 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 02:55:50.02 ID:4nsS10XA.net: >>443
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
460 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 04:37:40.73 ID:4nsS10XA.net: >>443
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)
461 ：１３２人目の素数さん：2020/06/09(火) 10:39:14.84 ID:oCR5MqlE.net: 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)
462 ：１３２人目の素数さん：2020/06/15(月) 09:49:34.02 ID:m4MzqaBi.net: >>377
　(1,n) から 1 ≧ y1
　(i,i) から 2-S_i ≧ yi,
　(n,n) から 1 ≧ yn,
　(i,j)　i<j　から
　　S_(i-1) ≧ yj　または　2-S_j ≧ yi　　････これが難解

なお　(1,2) ～ (1,n-1) と　(i,j)　i>j は不要

　S_k = x0 + x1 + x2 + ･････ + xk,
463 ：１３２人目の素数さん：2020/06/28(日) 15:44:40 ID:OH7XqlAJ.net: (1) 円周率πに対して、3.1<π<3.2を示せ
(2)ネイピア数eに対して、2.7<e<2.8を示せ
464 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 17:05:05 ID:4ejNywyM.net: (1)
>>102 で θ=π/6　とおくと
　18/(2 + 2 + √3) < π < 2(1/2 + 1/2 + 1/√3),
　3.140237343 < π < 3.15470054

(2)
特に x=1 のとき、剰余項を入れて書けば
　　e = 1 + 1/1! + 1/2! + ････ + 1/n! + R_(n+1)　　　(11)
　　　R_(n+1) = e^θ/(n+1)! < 3/(n+1)!
今(11)を用いて1/n!を計算して行けば、n=4 までは右図のようになる。
それらを加えてeの近似値を得るが、剰余項 R_5 < 1/40 だから
　2 + 17/24 < e < 2 + 11/15
　2.7083333 < e < 2.7333333

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第2章　微分法、§25．Taylorの公式、p.66
465 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 19:07:55.63 ID:4ejNywyM.net: (1)
Simpson の方法は（3）の応用である。
h=(b-a)/2n と置いて　y_(2i-1) に隣る二つの区間に関する積分∫f(x)dx の
近似値として（3）のように
　　　(h/3){y_(2i-2) + 4y_(2i-1) + y_(2i)}
を取って i=1,2,････,n に亘って総計すれば
　∫[a,b] f(x)dx
　　≒ (h/3){y_0 +4y_1 +2y_2 +4y_3 + ････ + 2y_(2n-2) + 4y_(2n-1) + y_(2n)},
これが Simpson の公式である。　　　　　　　　　　　　　　････ (5)
　もしも（4）によって剰余項をも取るならば、総計して
　R = -{n(h^5)/90}f^(4)(ξ) = -{(b-a)(h^4)/180}f^(4)(ξ),
これは Simpsonの公式の誤差の限界を与える。
　一例として π/4 = ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx からπの近似値を計算してみよう。
n=5 とすれば h=0.1
　π/4 = (0.1/3)(1/1.00 + 4/1.01 + 2/1.04 + 4/1.09 + 2/1.16 + 4/1.25
　　　　　　　　 + 2/1.36 + 4/1.49 + 2/1.64 + 4/1.81 + 1/2.00) + R
　　　= (0.1/3)・23.5619446 + R
　　　= 0.7853981535 + R
∴　π = 3.141592614 + 4R

　-1.333×10^(-5) < R < 1.667×10^(-6)
　{実際は R = 9.91264×10^(-9)}

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第3章　積分法、§38．定積分の近似計算　p.127-128
　（貞治先生も筆の誤り？）
466 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 07:33:44 ID:VISrmZkI.net: u,v,w∈R^n
(||v||^2 ||w||^2 - (v,w)^2) ||u||^2 ≧ ||(w,u)v - (v,u)w||^2.

これは有名な不等式なん？
467 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 17:35:21.65 ID:ceNKIuAv.net: A_(i,j) = v_i w_j - v_j w_i　(交代テンソル）とおくと
　成分は 1≦i<j≦n をわたります。
与式は
　||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2 = (スカラー三重積)^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、右辺は（u,v,wが作る平行六面体の体積)^2 です。

・幾何学的解釈
　∠(v,w) = a,　∠(w,u) = b,　∠(u,v) = c
とおくと与式は
　1 + 2cos(a)cos(b)cos(c) - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 ≧ 0,
すなわち
　4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2) ≧ 0,
なので、角｛a,b,c｝の三角不等式です。

・参考
{u,v,w｝がなす球面三角形の面積をSとすると
　{4 cos(a/2) cos(b/2) cos(c/2) sin(S/2)}^2
　= 4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2)
　= 1 - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 + 2cos(a)cos(b)cos(c)
　= ｜1，cos(c)，cos(b)｜
　　｜cos(c)，1，cos(a)｜
　　｜cos(b)，cos(a)，1｜
これはヘロンの公式の球面版と考えられます。（カニョリの式）
468 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 18:26:18.89 ID:ceNKIuAv.net: （訂正）
与式は
　||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、 ||A|| はv,wが作る平行4辺形の面積です。

･････

>>467 の行列式の各行に |u|, |v|, |w|,　各列に |u|, |v|, |w| を掛けて元に戻せば
｜(u, u)　(u, v)　(u, w)｜
｜(v, u)　(v, v)　(v, w)｜
｜(w, u)　(w, v)　(w, w)｜
の形（Grammian）になり、
｜ u'｜
｜v'｜｜u, v, w｜
｜w'｜
= （スカラー三重積)^2
= (u,v,wが作る平行六面体の体積)^2
でした。
469 ：１３２人目の素数さん：2020/07/03(金) 01:01:30.39 ID:nLp+q6d/.net: ありがとう。難しすぎて今は分からんけど。
470 ：１３２人目の素数さん：2020/07/16(木) 22:03:57 ID:/5szD4rG.net: 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5b + b^5c + c^5a) ≧ (1/27)*(a+b+c)^6
471 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 02:28:47 ID:xiJ191gm.net: >>470
この手の同次数の不等式の係数というのは分母を払えば
(N個の係数1の単項式)≧(N個の係数1の単項式)
と書けるようになっていますよね？
このタイプ(特に巡回や対称の場合)の不等式に関して
どのようなとき不等式が成立するかの一般論ってあるんでしょうか

昔、考えたのは対称の場合で
指数のタイプ
(n,0,…,0)、(n-1,1,0,…,0)、…、(1,1,…,1)
に関してヤング図形的な半順序付けをしたとき
上の条件を満たすような係数になっていて、左辺の各単項に右辺の単項式への順序を下げる1対1対応があるとき不等式は成立するというものでした(これは確か証明できた)
これを使うと相加相乗などはすぐに示せます

逆に同次対称で上の係数条件を満たすような不等式はこの左右の順序を下げる1対1対応が存在するか？も考えたのですが確かこれには反例がありました
472 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 06:33:37.69 ID:/5BiIC+G.net: よくってよ
473 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 12:04:37.03 ID:dk77+tdw.net: 2006年度東工大の問題

https://i.imgur.com/0aBFX3v.jpg
474 ：１３２人目の素数さん：2020/07/19(日) 19:28:26 ID:WIR0lTu1.net: >>470
aa=A, bb=B, cc=C とおく。
(左辺) - (aa+bb+cc)^3
　≧ 4(A^3 + B^3 + C^3) + 15ABC - (A+B+C)^3
　= 3{A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B)}
　= 3F_1(A,B,C)
　≧ 0,　　　　　　　　　　　(Schur-1)

∴　(左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ (1/27)(a+b+c)^6.

　(1+1+1)(aa+bb+cc) ≧ (a+b+c)^2　　(コーシー)　から。
475 ：１３２人目の素数さん：2020/07/21(火) 17:57:10 ID:Q73vct+1.net: >>470
a^3 =A', b^3 =B', c^3 =C' とおく。
(左辺) = 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5･b + b^5･c + c^5･a)
　≧ (A'+B'+C'){(4/3)(A'+B'+C') +5abc}　　（← 補題)
　= (A'+B'+C'){(1/3)(a+b+c)^3 + F_1(a,b,c)}
　≧ (1/3)(A'+B'+C')(a+b+c)^3
　≧ (1/3){(aa+bb+cc)(a+b+c)}^2,　　　(← コーシー)

〔補題〕
　a^5･b + b^5･c + c^5･a ≧ abc(a^3+b^3+c^3),
(略証)
　a^5･b + b^5･c + c^5･a
　　≧ (a^3+b^3+c^3)^2 /(a/b+b/c+c/a)　　(← コーシー)
　　= abc(a^3+b^3+c^3)^2 /(aac+bba+ccb)
　　≧ abc(a^3+b^3+c^3),　　　　　　(← チェビシェフ)

あるいは
　(16a^5･b + b^5･c + 4c^5･a)/21 ≧ a^4･bc,　　(← AM-GM)
巡回的にたす。　　　　　　　　　　　　　　　　　(終)
476 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:47:23.22 ID:U4xy9LSi.net: 〔演習問題1.90〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、次を証明せよ。
　aa+bb+cc + 2abc + 1 ≧ aa+bb+cc + 3(abc)^(2/3)
　　≧ aa+bb+cc + 9abc/(a+b+c)
　　≧ 2(ab+bc+ca),

[9] 佐藤(訳), 朝倉書店 (2013) p.41
477 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:49:09.73 ID:U4xy9LSi.net: (略証)
左・中は AM-GM で出る。
右は通分して
　(a+b+c)(aa+bb+cc-2ab-2bc+2ca) + 9abc
　= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= F_1(a,b,c) ≧ 0,　　　　　　(Schur-1)
478 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 14:59:40.78 ID:cBVWOvpo.net: a,b,c,d>0
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ (143/100)*(a+b+c+d)

Slovenia 2012 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
479 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 14:32:02 ID:cdENLWJx.net: 右辺の係数を λ_n とおくと
　λ_1 = 1.0
　λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655　(a = (1+√2)^2･b)
　λ_3 = 4/3 = 1.333333333　　(a = 4b = 16c)
　λ_4 = 1.42084438540961　　(a = bp = cq = dr)
　････
[第８章．972-990]

[前スレ．041] あたりの【Kiran Kedlaya】はこれの改良版（？）
480 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 15:03:09.65 ID:cdENLWJx.net: >>475
〔補題〕
　a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + c^{n+1}･a ≧ abc (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}),

(略証)
　n=0 のとき等号成立
　n=1 のとき AM-GM
　n≧2 のとき
　a^{n-3} /b + b^{n-3} /c + c^{n-3} /a
　= (a^{n-2}･c + b^{n-2}･a + c^{n-2}･b) /(abc)
　≦ (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}) /(abc),
よって
　(左辺) ≧ (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})^2 /(a^{n-3}/b + b^{n-3}/c + c^{n-3}/a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(← コーシー)
　≧ abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}).

(別法)
　AM-GMで
　[nn･a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + n c^{n+1}･a] /(nn+n+1) ≧ a^n･bc,
巡回的にたす。
481 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 20:57:22.44 ID:sHXJwhgv.net: 異なる4つの実数が任意に与えられたとき
そこから |ab+1|>|a-b| を満たす異なる実数a,bが選べることを示せ。
482 ：１３２人目の素数さん：2020/07/24(金) 22:44:47.85 ID:+6BjH0O/.net: >>481
tanで置き換えれば瞬殺
483 ：１３２人目の素数さん：2020/07/25(土) 10:36:55.68 ID:g3fpMEvS.net: >>481

[高校数学の質問スレPart405] から。

4つの実数をx_iとする。(i=1～4)
θ_i = arctan(x_i)　(-π/2 < θ_i < π/2) とおく。
4つから上手く2つを選ぶと
　|θi - θj| ≦π/4　または |θi-θj±π| ≦π/4,
となる。
tanの加法公式
　tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα･tanβ),
より
　1 ≧ |tan(θi - θj)| = |(x_i-x_j)/(1+x_i･x_j)|,
よって x_i, x_j は条件を満たす。
等号成立は {x_i} がπ/4ずつ異なるとき。　[895,948-949]

例：tan(±22.5ﾟ) = ±(√2 -1),　tan(±67.5ﾟ) = ±(√2 +1),
484 ：１３２人目の素数さん：2020/08/05(水) 03:24:43 ID:ud0wEpwG.net: 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rに対して、
2/R ≦ (1/a)*sec(A/2) + (1/b)*sec(B/2) + (1/c)*sec(C/2) ≦ 1/r.

[AMM, Prob12168] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
485 ：１３２人目の素数さん：2020/08/10(月) 14:07:49 ID:WaC83EyQ.net: 不等式botより

https://i.imgur.com/7iHjp4R.png
486 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 16:49:54.71 ID:sLooAqcf.net: 〔Inequalitybot 98〕
aa ≦ 1,　aa+bb ≦ 5,　aa+bb+cc ≦ 14,　aa+bb+cc+dd ≦ 30 のとき
　　　a+b+c+d ≦ 10
を示せ。　　　Hungary-Israel binational 2007, 1日目, 問2
487 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 17:00:55.87 ID:sLooAqcf.net: コーシーにより、
　(a+b+c+d)^2 /(1+2+3+4) ≦ aa + bb/2 + cc/3 + dd/4
　= (1-1/2)aa + (1/2-1/3)(aa+bb) + (1/3-1/4)(aa+bb+cc) + (1/4)(aa+bb+cc+dd)
　≦ (1-1/2) + (1/2-1/3)･5 + (1/3-1/4)･14 + (1/4)･30
　= 10,
等号成立は (a,b,c,d) = (1,2,3,4)
488 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 22:11:26.18 ID:sSrJdUio.net: a,b,c∈R,
a^2 + b^2 + c^2 > 0,
-1/2 ≦ Σ[cyc] ab/(a^2 + b^2 + 3c^2) ≦ 3/5.

[不明] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
489 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 08:44:28.46 ID:63pIFzc2.net: 1824 アンケよろしく @gas1824s (2020/08/13 22:08:21)
回りくどいのでほかにいい解法ありませんかね #数学教えて
https://pbs.twimg.com/media/EfTYnxTUYAAefqC.jpg
http://twitter.com/gas1824s/status/1293897176909660161
(deleted an unsolicited ad)

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