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不等式への招待 第10章
- 661 :132人目の素数さん:2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net
- IMO2021の2番に不等式問題出たな
https://i.imgur.com/3822PyY.png
- 662 :132人目の素数さん:2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net
- >>661
ウホッ、いい不等式!
- 663 :132人目の素数さん:2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net
- a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい
- 664 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net
- (略解)
t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
u = abc < 1, (AM-GM)
となり題意に反する。
∴ 3 ≦ t < 4,
∴ s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,
(s-t)(ss+st+tt - 4t)
= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
≧ 0, (← Schur-1)
∴ s-t ≧ 0,
[面白スレ37.704] にもあった。
- 665 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net
- 訂正スマソ
s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3, (AM-GM)
- 666 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net
- 〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき a+b+c≧ab+bc+ca,
大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ7.114-115,160]
Inequalitybot [184] ☆7
- 667 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net
- (略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
u = abc < 1 (AM-GM)
となり題意に反する。
∴ 3 ≦ s < 4.
4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
≧0, (← Schur-1)
∴ s-t ≧ 0.
- 668 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net
- >>661
〔問題2.〕
任意の実数 x1, x2, ・・・・, xn に対して、不等式
Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。
- 669 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net
- 実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな
- 670 :132人目の素数さん:2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net
- >>664
s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな
- 671 :132人目の素数さん:2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net
- >>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは
これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする?
- 672 :132人目の素数さん:2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net
- 複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ゚∀゚) ウヒョッ!
- 673 :132人目の素数さん:2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net
- >>672
条件に |z|>1 を追加。
- 674 :132人目の素数さん:2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net
- a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.
- 675 :132人目の素数さん:2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net
- f(a) = Σ[k=1,n] k・a_k とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1 (最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2 (最大)
(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k}) (←同符号)
≧ 0,
- 676 :132人目の素数さん:2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net
- >>672
?不等式より
|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|・arg(z),
- 677 :132人目の素数さん:2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net
- >>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
+ (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
≧ 0,
の方がいいか…
- 678 :132人目の素数さん:2021/07/31(土) 10:02:06 ID:aE5MLnpD.net
- 有名不等式が大量に載ってるpdfを発見したので載せてみる
http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf
あと2020年度imoショートリストから
https://i.imgur.com/ju1Dyee.png
- 679 :132人目の素数さん:2021/08/17(火) 13:07:12 ID:3+UNf6gr.net
- >>678
グッジョブ
分割して日替わり壁紙にしよう
- 680 :132人目の素数さん:2021/08/26(木) 20:07:00 ID:hGc0TLQT.net
- eと(1+1/n)^nが登場する不等式をたくさんください
- 681 :132人目の素数さん:2021/09/04(土) 18:23:48 ID:KMsJe/e+.net
- a, b, c が0以上かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 を満たすとき,
(a+bーc)^n + (b+c-a)^n + (c+a-b)^n (n は3以上の整数)
の最大値と最小値を求めよ.
- 682 :132人目の素数さん:2021/09/04(土) 21:02:15 ID:HGuBdRDo.net
- 最大値 2^{n/2}
a = 0, b = c = 1/√2 など。 (x=√2, y=z=0, etc.)
最小値 (1/3)^{n/2 - 1}
a = b = c = 1/√3, (x=y=z=1/√3)
x = b+c-a, y = c+a-b, z = a+b-c とおくと
1 = aa + bb + cc
= {(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}/4
= {(x+y+z)/√3}^2 + (1/4){(x-y)/√2}^2 + (1/4){(x+y-2z)/√6}^2,
回転楕円体 (どら焼き形)
短軸:1 (1,1,1)方向
長軸:2 それと垂直方向
- 683 :132人目の素数さん:2021/09/04(土) 23:49:24 ID:KMsJe/e+.net
- >> 676
もう少し具体的に
- 684 :132人目の素数さん:2021/09/05(日) 02:00:08 ID:HFxHmzMl.net
- a=u^2,b=v^2,c=w^2
束縛
C = u^4+v^4+w^4-1
評価関数
S = (v^2+w^2-u^2)^n+(w^2+u^2-v^2)^n+(u^2+v^2-w^2)^n
s = 2n((v^2+w^2-u^2)^(n-1)+(w^2+u^2-v^2)^(n-1)+(u^2+v^2-w^2)^(n-1))とおいて
dC=4(u^3,v^3,w^3)
dS=s(u,v,w)
s≠0により
dSがdCで張られる
⇔vw(v^2-w^2)=wu(w^2u^2)=uv(u^2-v^2)=0
⇔u^2=v^2=w^2 or u^2=v^2 & w=0 or u=v=0 or...
- 685 :132人目の素数さん:2021/09/05(日) 06:18:37 ID:Zhg5gGCb.net
- 専門的過ぎてついていけない
数オリの高校生の理解できる解法でお願いします
- 686 :132人目の素数さん:2021/09/05(日) 10:01:38 ID:HFxHmzMl.net
- 数学の問題は進んだテクニック使っても全然簡単にならず、実は中学生でも理解できるような話の方が楽に解ける時がある
数オリとかの問題とかそういう問題のオンパレードだし、ピーターフランクルとかそんな問題大好きの人もいっぱいいる
しかしそれは進んだ数学を勉強しないでいい理由になどにはならないし、ましてや逆に言えば、進んだテクニック使えば楽に解ける問題をいつまでもいつまでもそういう”初頭数学縛り”をかけて解くのは単なる“自己満”でしか無い
不等式の話を本当に極めるなら未定乗数法は絶対避けては通れない
- 687 :132人目の素数さん:2021/09/05(日) 12:53:40 ID:LDbpAA38.net
- grad(f(u,v,w)) = ∇f = (∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w)
s1 = 2n{-(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s2 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) - (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s3 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) - (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
とおくと
grad(C) = ∇C = 4(u^3, v^3, w^3)
grad(S) = ∇S = (s1・u, s2・v, s3・w)
= s(u, v, w)
ここから ついていけない…
- 688 :132人目の素数さん:2021/09/06(月) 18:13:36 ID:eC9BaMcK.net
- 問題[2]
a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1) (nは正の整数)
とおくとき、nが増加するとa_nは増加し、b_nは減少することを証明せよ。
(数学検定 2011年秋, 1級 2次 問題[2] の一部)
* 作問者は AM-GM を活用する解答を期待していたが…
〔補題258〕 >>262
(1) (1 + 1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
(2) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(3) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
>>267
Σ[k=1,n] (1/((k+1)(k!)^2))^(1/k) ≒ 1.99877613 - ee/n + 64.5/nn - …
- 689 :132人目の素数さん:2021/09/15(水) 06:12:14 ID:UyKWpegQ.net
- >>680
〔モローの不等式〕
{2n/(2n+1)}e < (1+1/n)^n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
左側は 補題(1) より
{2n/(2n+1)}e < 1/√(1+1/n)・e < (1+1/n)^n
http://www.youtube.com/watch?v=FDTaIYjWR2E 20:24,
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.82
- 690 :132人目の素数さん:2021/09/15(水) 15:24:37 ID:+P/8oXVv.net
- x_1,x_2,...,x_n>0, Πx_k=1のとき次を示せ
Σ1/(n-1+x_k)≦1
- 691 :132人目の素数さん:2021/09/15(水) 17:00:11 ID:cOPYG12B.net
- f(t)=1/(n+e^t)、F(t1,‥) = Σf(ti)とおく
f(t)はt≧lognで下に凸かつt≦lognで上に凸
全てtiがlognより小さい領域ではti=0のときFは最大値1
そうでない領域でΣti=0かつF(ti)>1が存在すれば
t1 =(n-1)c, ti=-c (i≧2,t1>logn)
であるtiで存在する
e^t=uとおいて
F(ti)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) + (n-1)/(n-1+1/u)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) - 1/((n-1)u+1)
しかしu≧1において
n-1+u^(n-1)≧(n-1)u+1
であるから矛盾
- 692 :132人目の素数さん:2021/09/16(木) 05:07:13 ID:Sn49tAbo.net
- 背理法で…
不等式が成り立たないとする。すなわち、
Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) >1,
であると仮定する。このとき
1/(n-1+x_i) > 1 - Σ[k≠i] 1/(n-1+x_k)
= (1/(n-1))Σ[k≠i] x_k /(n-1+x_k)
≧ ( Π[k≠i] x_k /(n-1+x_k) )^{1/(n-1)}, (AM-GM)
となる。i=1,…,n で掛けて
Π[i=1,n] 1/(n-1+x_i) > Π[k=1,n] x_k /(n-1+x_k),
となるが、これは 1 > Π[k=1,n] x_k を意味するので矛盾である。
ルーマニアMO-1999,
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013), 問題3.35 p.131
Inequalitybot [109]
- 693 :132人目の素数さん:2021/09/16(木) 05:13:59 ID:Sn49tAbo.net
- 〔類題〕
x_1, x_2, …, x_n >0 が Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) = 1 を満たすとする。
このとき
Π[k=1,n] x_k ≧ 1,
を証明せよ。
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013), 問題1.46改 p.14
- 694 :132人目の素数さん:2021/09/20(月) 10:34:26 ID:YMP5Sl+4.net
- (1)
z,w∈C、|z|=|w|=1 のとき、
|z+1| + |w+1| + |zw+1| ≧ 2
(2)
a,b,c∈C に対して、
|a| + |b| + |c| ≦ |a+b-c| + |b+c-a| + |c+a-b|
( ゚∀゚) ウヒョッ!
- 695 :132人目の素数さん:2021/09/20(月) 22:52:38 ID:lYkiWXwV.net
- (1)は簡単やな
x^をxの複素共役として
|z+1|+|w+1|+|zw+1|
=|z+1|+|w^+1|+|z+w^|
なので|a|+|b|+|c|=1のとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|≧2
を示せば良い
b = c exp(2iA), c = exp(2iB), a = exp(2iC), A+B+C=π
となる非負実数A,B,Cがとれるとしてよくこのとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|
=2(cosA+cosB+cosC)
であるからcos(x)の凸性により(A,B,C)=(-π,π,π),(π,-π,π),(π,π,-π)のとき最小値2
- 696 :132人目の素数さん:2021/09/20(月) 23:02:12 ID:lYkiWXwV.net
- (2)は力技で
sを複素定数としC^3の領域
R={ .. | a + b + c = 2s }
におけるS=2( |s-a| + |s-b| + |s-c| ) - ( |a| + |b| + | c| )の最小値が0以上であることを示せば良い
それには全微分できない領域で非負、全微分可能な極値で非負を言えば十分
s=0であればS=|a|+|b|+|c|となり自明だからs≠0とする
i) a=0のとき
S=2(|b+c|/2 + |b-c|/2 × 2) - (|b|+|c|)
=|b+c|/2-|b|+|b+c|/2-|c|+|b-c|
≧-|b-c|/2 × 2 + |b-c| = 0
(ii) a=s のとき
このときs=a=b+cより
S=2(|b|+|c|)-(|b+c|+|b|+|c|)
=|b|+|c|-|b+c|≧0
(iii) a=bのとき
このときs=a+c/2より
S=2(|c/2|+|c/2|+|a-c/2|)-(|a|×2+|c/2|)
=|c|+|2a-c|-|2a|≧0
(iv)a,b,cが同一直線上のとき
a,b,cは実数としてよくSをaの関数として見たときlim[a→±∞]S=∞だから極値だけ考えればよく、極値をとるのはa=s,0の場合のみであるから既出の場合に還元される
(v)その他の場合
Sは全微分可能でありz^を複素共役としてe(z)=z/|z|とおけば
dS = -2(e(s-a)^da + e(s-a)da^+ e(s-b)^db +e(s-b)db^+ e(s-c)^dc + e(s-c)dc^)-(e(a)^da+e(a)da^+e(b)^db+e(b)db^+e(c)^dc+e(c)dc^)
でありコレがda+db+dcの複素定数倍であるから
2e(s-a)+e(a)=2e(s-b)+e(b)=2e(s-c)+e(c)=0
である
よってa,b,cが同一直線上となるので既出のケースに還元される
- 697 :132人目の素数さん:2021/09/21(火) 12:09:47 ID:AENcTZtD.net
- >>695
(1)
|a| = |b| = |c| = 1 のとき
|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2,
ですか。
>>696
(2) は簡単やな。Ravi変換で
b+c-a = p,
c+a-b = q,
a+b-c = r,
とおけば
(左辺) = |a| + |b| + |c|
= |q+r|/2 + |r+p|/2 + |p+q|/2
≦ |p| + |q| + |r|.
- 698 :132人目の素数さん:2021/09/21(火) 12:22:40 ID:IIHpCqtI.net
- あれ?
その方法最初に考えてダメと思ったんやけど勘違いしたかな?
まぁ複素係数の微分形式の復習になったからいいけど
- 699 :132人目の素数さん:2021/09/21(火) 20:58:30 ID:AENcTZtD.net
- >>695
C ≧ π/2 の場合 (鈍角?) は
|b+c| + |c+a| + |a+b|
= 2(|cosA| + |cosB| + |cosC|)
≧ 2(cosA + cosB)
≧ 2(1 + cos(A+B)) (凸性)
≧ 2, (A+B≦π/2)
ですね。あるいは
cosA + cosB + cosC
= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (A+B+C=π)
≧ 1,
- 700 :132人目の素数さん:2021/09/22(水) 19:57:40 ID:K2h4cEAP.net
- >>694
(1)は簡単やな
|z+1| + |w^+1| + |z+w^|
≧ |(z+1) + (w^+1) - (z+w^)|
= 2,
|b+c| + |c+a| + |a+b|
≧ |-(b+c) + (c+a) + (a+b)|
= 2|a|,
同様にして
|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2 Max{|a|,|b|,|c|}
(2)は簡単やな >>697
- 701 :132人目の素数さん:2021/09/22(水) 20:21:10 ID:miCnVfcc.net
- >>700
なんでそういう書き方するん?
それ読んだ相手がどういう気持ちになるか考えられへんの?
- 702 :132人目の素数さん:2021/09/24(金) 22:25:33 ID:lJNbXbJw.net
- 〔問題〕
Σ[n=2,∞] 1/n^3 < (1+√5)/16 = 0.2022542486
(阪大-改)
http://www.youtube.com/watch?v=_zGQfWy9j28 22:05
鈴木貫太郎
- 703 :132人目の素数さん:2021/09/25(土) 11:52:48 ID:S56dxsDJ.net
- 1/n^3 = n/n^4
< n/(nn-1/4)^2
= {(n+1/2)^2 - (n-1/2)^2}/{2(nn-1/4)^2}
= (1/2){1/(n-1/2)^2 - 1/(n+1/2)^2}
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 2/9 = 0.222222
ぢゃ出ない・・・・orz
- 704 :132人目の素数さん:2021/09/28(火) 04:04:41 ID:xRhStcay.net
- c>0 かつ z,w∈C のとき、
|z+w|^2 ≦ (1+c)|z|^2 + (1 + 1/c)|w|^2.
昔やったかも? ( ゚∀゚)
- 705 :132人目の素数さん:2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net
- |z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 (三角不等式)
= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 (GM-AM)
= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。
- 706 :132人目の素数さん:2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net
- >>702
φ = (1+√5)/2 = 1.618034… とおく。 (黄金比)
1/n^3 = n/n^4
≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2・(nn-4)} (n≧2)
= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,
- 707 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net
- >>704
|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
- 708 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net
- >>702
1/n^3 = n/n^4
< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)} (n≧3)
= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
- 709 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net
- >>707
( ゚∀゚) キタコレ!
- 710 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net
- >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか?
- 711 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net
- arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。
∵ arg(p) = arg(q) = arg(r).
- 712 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net
- Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)
↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
- 713 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net
- とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
- 714 :132人目の素数さん:2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net
- 初項は 2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,
なお、二項公式から
Σ(k=1〜2n) C(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
- 715 :132人目の素数さん:2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net
- 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b) とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか?
証明はただ計算すればいいんですけど、、
- 716 :132人目の素数さん:2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net
- 分かりませんね。
I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
f(∞) = H,
f(b) = I(a,b),
f(H) = (A+H)/2,
f(G) = √(AH) = G,
f(A) = 2AH/(A+H),
f(a) = I(b,a),
f(0) = A,
- 717 :132人目の素数さん:2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net
- >>715
AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると
H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A も成立
- 718 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net
- >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
- 719 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net
- f(-a)=b
f(-b)=a
- 720 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net
- f(x) = (A+x)/(1+x/H) ⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
g(x) = (b+x)/(1+x/a) ⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)
f(-A) = 0 g(-b) = 0
f(-b) = a g(∞) = a
f(∞) = H g(b) = H
f(b) = I(a,b) g(A) = I(a,b)
f(A) = 2AH/(A+H) g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
f(G) = √(AH) = G g(G) = √(AH) = G
f(H) = (A+H)/2 g(I(a,b)) =(A+H)/2
f(a) = I(b,a) g(H) = I(b,a)
f(0) = A g(a) = A
f(-a) = b g(0) = b
f(-H) = ∞ g(-a) =∞
- 721 :132人目の素数さん:2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net
- 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな?
- 722 :132人目の素数さん:2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net
- AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
- 723 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net
- z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
- 724 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net
- 閉円盤
- 725 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net
- 解1.
A(1/3,0) B(3,0) P(x,y) とおくと
(与式) = 3(AP/BP)
(与式) = k (<3) は
AP:BP = k:3
なる アポロニウスの円である。
直径の両端は 内分点と外分点
(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
3-8/(3-k) ≧ -1 または 3-8/(3+k) ≦ 1,
∴ k ≦ 1,
解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
= 8(1-zz~)
= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r・e^(iθ)-3|^2 - |3r・e^(iθ)-1|^2
= (rr -6r・cosθ +9) - (9rr - 6r・cosθ +1)
= 8(1-rr),
よって
|z|≦1 ⇔ |(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
- 726 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net
- 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離。
[面白スレ39.399,402,404]
- 727 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net
- は怪しいので
D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
- 728 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net
- >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
- 729 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net
- z=-1で最大
- 730 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net
- |z| ≦ 1,
|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
……
辺々掛けて
|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
- 731 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net
- なんか凄いな
- 732 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net
- z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
- 733 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net
- 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
- 734 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net
- 〔問題471〕
任意の自然数nに対して、次を示せ。
1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……
[高校数学の質問スレPart414.471]
- 735 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は ∫[0,1] x^n e^{1-x} dx になるらしい…
[同.492]
- 736 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net
- むむむ…
- 737 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は {n!e} になるらしい。
高校生なら等比級数
1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
- 738 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net
- >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ(積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある)
- 739 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net
- >>735
被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x と下から接すれば
e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n を得る。
- 740 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net
- 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。
[分かスレ471.279,292]
- 741 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net
- >>740
a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
= 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
- 742 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net
- 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
- 743 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net
- 〔掛谷の定理〕
a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0 (a_k>0)
の根は m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}
高橋正明 著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明 著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)
すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,
∴ a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
- 744 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net
- >>741
ナイスエレガンス
- 745 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net
- >>743
(訂正スマソ)
M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
元の形は
0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n のとき |z| <1,
a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0 のとき |z| >1,
- 746 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net
- 2018年度奈良県立医科大学後期四番
https://i.imgur.com/3OlENLH.png
- 747 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net
- >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
- 748 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net
- 相変わらず手抜きだよ
- 749 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net
- 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
- 750 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net
- 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。
東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。(想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので)
- 751 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net
- 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ
- 752 :132人目の素数さん:2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net
- a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.
( ゚∀゚) プケラッチョ
- 753 :132人目の素数さん:2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net
- 任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)
- 754 :132人目の素数さん:2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net
- >>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10
- 755 :132人目の素数さん:2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net
- 1997東大理系数学第2問
- 756 :132人目の素数さん:2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net
- z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.
- 757 :132人目の素数さん:2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net
- 複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式
- 758 :132人目の素数さん:2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net
- z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか?
- 759 :132人目の素数さん:2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net
- ときたいとは?
面積求めるとか?
図示するとか?
- 760 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net
- 図示ですぞ
- 761 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net
- >>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ
- 762 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net
- ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。
- 763 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net
- 大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja
- 764 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net
- 大先生は よく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…
- 765 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net
- >>764
最後の方にある
y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
と
y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
の間やろ
- 766 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net
- >>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。
- 767 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net
- >>766大先生の答え整理したら円になる?
- 768 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net
- zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
- 769 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net
- ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。
>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。
- 770 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net
- イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja
- 771 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net
- >>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。
- 772 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net
- もともとは、冪級数
S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が2つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。
(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。
- 773 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net
- >>770
x・yの二次式って意味だった。
>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。
- 774 :132人目の素数さん:2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net
- youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子?で女性?
- 775 :132人目の素数さん:2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net
- Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
- 776 :132人目の素数さん:2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net
- x,y,zが非負実数のとき Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
- 777 :132人目の素数さん:2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net
- a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
- 778 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net
- USAMO第六問
nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
- 779 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net
- >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
- 780 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net
- >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
- 781 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net
- ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
- 782 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net
- これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
- 783 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net
- 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
- 784 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net
- ウクライナMO2021
a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
- 785 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net
- >>782
どうやって導き出したんですか?
- 786 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net
- 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
- 787 :132人目の素数さん:2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net
- >>784 abcの大小は関係ない
- 788 :132人目の素数さん:2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net
- コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
- 789 :132人目の素数さん:2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net
- >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた
任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根
n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
- 790 :132人目の素数さん:2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net
- x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
- 791 :132人目の素数さん:2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net
- はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
- 792 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net
- w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.
w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか?
- 793 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net
- f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して
|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
- 794 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか?
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ?
- 796 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 :132人目の素数さん:2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の5点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する5つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか?
- 800 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では?
- 802 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故?
- 803 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
- 805 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net
- >>756
改造してみた。どう?
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
- 806 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net
- 5/3? 4/3でなく?
- 807 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net
- やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja
e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
- 808 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net
- >>807
|z|=1なのに?
- 809 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net
- すまん。
- 810 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net
- >>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
- 811 :132人目の素数さん:2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net
- 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
- 812 :132人目の素数さん:2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net
- >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
- 813 :132人目の素数さん:2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net
- ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
- 814 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか?
- 815 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- マクローリン展開じゃないの?
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
- 816 :132人目の素数さん:2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net
- う~ん
- 817 :132人目の素数さん:2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net
- 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1 (|z|→0)
- 818 :132人目の素数さん:2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net
- >>814
改造してみた。うひょっ!
|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
- 819 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
- 820 :132人目の素数さん:2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net
- z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
- 821 :132人目の素数さん:2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net
- >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
- 822 :132人目の素数さん:2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net
- | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
- 823 :132人目の素数さん:2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net
- https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
- 824 :132人目の素数さん:2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net
- https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
- 825 :132人目の素数さん:2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net
- ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
- 826 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I
- 827 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net
- π: a→a'
- 828 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net
- 自然な準同型写像
- 829 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net
- Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
- 830 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net
- 準同型写像fの核Ker
- 831 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net
- Kerf=(0)⇔fは単射
- 832 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net
- R/Kerf≅f(R)
- 833 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net
- f'は単準同型写像
剰余環→環
- 834 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net
- f: R→R'
- 835 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I、I=Kerf
- 836 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net
- f': R/I→R'
- 837 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net
- R上の不定元、変数
- 838 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net
- R上のXの多項式
- 839 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net
- exp(x)>x
- 840 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net
- 次数n=degf(x)
-∞
- 841 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net
- R[x]
- 842 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net
- f+g=∑(a+b)x
- 843 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net
- fg=∑∑(ab)x
aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0~n
- 844 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net
- R上の1変数多項式環
- 845 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net
- a₀=0、0元
a₀=1、単位元
- 846 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net
- degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
- 847 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net
- Rが整域⇒R[X]は整域
- 848 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net
- R[X][Y]=R[X, Y]
- 849 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net
- 最大公約元
- 850 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式
- 851 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net
- 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
- 852 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net
- Gaussの補題
- 853 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net
- f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
- 854 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net
- f=uF
- 855 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
- 856 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net
- UFD、Rの商体をKとする
- 857 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net
- Fを原始多項式
- 858 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net
- しなわち(a₁)=1とする
- 859 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net
- ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
- 860 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定条件
- 861 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net
- fがKの素元⇒FはRの素元
- 862 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net
- 特にF自身をとると
- 863 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net
- 特にFがKで素元であれば
- 864 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net
- FはKで素元であればRで素元である
- 865 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net
- RがUFD⇒R[はUFD]
- 866 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net
- 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
- 867 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net
- RをUFD、
- 868 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net
- Kをその商体とする。
- 869 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net
- p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
- 870 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net
- モニックp∤aₙ
p|その他0~n-1
p²∤a₀、定数項
- 871 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定法
- 872 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net
- 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
- 873 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体
- 874 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net
- Kを有限体とする
- 875 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net
- Kの単位元を1とする
- 876 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net
- (n)=n・1
- 877 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net
- 準同型写像τ: ℤ→K
- 878 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net
- 環準同型定理より
- 879 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net
- π: ℤ→ℤ/Kerτ
- 880 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net
- τ': ℤ/Kerτ→K
- 881 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net
- 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
- 882 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net
- τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
- 883 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτはℤの素Idealとなる
- 884 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτ=(p)
- 885 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net
- 体Kの標数p
- 886 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net
- これはKの素体
- 887 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net
- Kに含まれる最小の体
- 888 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net
- 標数pの体の素体ℤₚ
- 889 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net
- ℤₚ=𝔽ₚとする
- 890 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
- 891 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
- 894 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net
- 部分体と
- 895 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net
- 拡大体
- 896 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net
- KはF上のVector空間
- 897 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net
- dim_F K=[K: F]
- 898 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net
- [L: F]=[L: K][K: F]
- 899 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上代数的である
- 900 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上超越的である
- 901 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする
- 902 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net
- 次数最小の
- 903 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net
- モニックな
- 904 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net
- 既約多項式
- 905 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net
- αのK上の最小多項式f(x)
- 906 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
- 907 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net
- LはK上代数的
- 908 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net
- Kにαを添加した体
- 909 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net
- K(α)
- 910 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net
- Kに添加した体
- 911 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net
- 単純拡大
- 912 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net
- 単拡大
- 913 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net
- K[]X→K[α]⊂L
- 914 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net
- X→α代入
- 915 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net
- これは環同型写像
- 916 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net
- K[α]の商体K(α)
- 917 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net
- K上の有理関数体と同型
- 918 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net
- K(x)
- 919 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net
- 写像: K[ X]/(f)→K(α)
- 920 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net
- この場合、写像X'→α
- 921 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net
- 同型写像でありK[α]は体になる
- 922 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net
- すなわちK[α]=K(α)
- 923 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net
- K⊂L、α∈Lとする
- 924 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net
- αを体K上代数的とする
- 925 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net
- [K(α): K]=n
- 926 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net
- f(x)のLにおける根
- 927 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net
- 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
- 928 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net
- 制限σ|F
- 929 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net
- 自己同型写像
- 930 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net
- 恒等写像
- 931 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net
- q=p^r、r≧1
- 932 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net
- -(-a)=a
- 933 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net
- 0a=a0=0
- 934 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net
- (-a)b=a(-b)=-ab
- 935 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net
- a(b-c)=ab-ac
- 936 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net
- (b-c)a=ba-ca
- 937 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net
- 三則が可能
- 938 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net
- 可換、簡約が可能とは限らない
- 939 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net
- 単位的環
- 940 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net
- 正則R*
- 941 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net
- (ma)b=a(mb)=mab
- 942 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net
- 零環{0}
- 943 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
- 944 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net
- 零環は0しかない
- 945 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net
- 零元0
- 946 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net
- 環R≠{0}
零環を除くとする
- 947 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net
- a≠0を元に持つ
- 948 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net
- 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
- 949 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net
- よってe≠0
- 950 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
- 951 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net
- a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
- 952 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net
- よって0a=a0=0となる
- 953 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=a
- 954 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net
- (a⁻¹)⁻¹=a
- 955 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net
- 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
- 956 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
- 957 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net
- 加法群において
a+(-a)=0
- 958 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net
- これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
- 959 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
- 960 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=aとなる
- 961 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net
- R*
- 962 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net
- a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
- 963 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net
- a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
- 964 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net
- a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
- 965 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net
- するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
- 966 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net
- (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
- 967 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net
- ab∈R*より積に関してR*は閉じている
- 968 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net
- Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
- 969 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net
- 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
- 970 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net
- Rに関して0を除外した場合
- 971 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net
- R*は群をなすかどうか
- 972 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net
- 結果的に群をなす
- 973 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net
- ことがわかった
- 974 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net
- 積に関して閉じている
- 975 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net
- 単位元の存在
- 976 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net
- 逆元の存在
- 977 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net
- 結合律の成立
- 978 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net
- 逆元を持つ元のみの集合
- 979 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net
- 結局0が除外サれるだけ
- 980 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net
- 0には逆元は存在しない
- 981 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net
- 加法群としてならば存在する
- 982 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net
- R*=R-{0}
- 983 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net
- R\{0}
- 984 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net
- R=R*と仮定すると
- 985 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net
- 0∈Rより0∈R*となる
- 986 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net
- ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
- 987 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net
- a=0として
- 988 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net
- 0×0⁻¹=e
- 989 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net
- ∀a、0a=0より
- 990 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net
- 0=eとかり不合理
- 991 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:48.61 ID:wmZr8viD.net
- よってR≠R*である
- 992 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:15:09.66 ID:wmZr8viD.net
- あり得ない物を持ち込んで
- 993 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:15:31.62 ID:wmZr8viD.net
- 矛盾を導く
- 994 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:22:57.43 ID:wmZr8viD.net
- 分配律を利用する
- 995 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:24:14.71 ID:wmZr8viD.net
- (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
∴(-a)b=-ab
- 996 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:25:31.12 ID:wmZr8viD.net
- a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
∴a(-b)=-ab
- 997 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:28:00.31 ID:wmZr8viD.net
- よってA(-b)=-Ab
A=-aとして
-(-a)(-b)=-(-a)b=ab
- 998 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:29:55.29 ID:wmZr8viD.net
- 分配律より
- 999 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:30:32.40 ID:wmZr8viD.net
- a(b-c)=
- 1000 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:30:51.82 ID:wmZr8viD.net
- 分配律により
- 1001 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:32:12.80 ID:wmZr8viD.net
- a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
- 1002 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:34:06.82 ID:wmZr8viD.net
- -a=+(-a)
- 1003 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:34:37.42 ID:wmZr8viD.net
- (b-c)a=
- 1004 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:35:03.92 ID:wmZr8viD.net
- (b+(-c))a=
- 1005 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:35:30.31 ID:wmZr8viD.net
- bc+(-c)a=
- 1006 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:36:03.53 ID:wmZr8viD.net
- ba-ca
- 1007 :2ch.net投稿限界:Over 1000 Thread
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