不等式への招待 第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

256 ：１３２人目の素数さん：2019/11/13(水) 01:43:38.75 ID:HL1mwdTs.net

>>252
題意より　y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。

257 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 10:38:04.46 ID:co/VrloJ.net

Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)

飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。

258 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 13:32:49.92 ID:+e/x8O7I.net

というか、上の級数は1.93あたりに収束するっぽいんだけど、
明示的に極限を書けないかしら。

259 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 04:10:15.50 ID:iMDULalJ.net

>>257
たとえば
　(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ･････ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
　2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
　(n+1)^n /n! < e^n,
　n! > {(n+1)/e}^n,
　1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。

Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
　= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,

(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,

260 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 05:33:37 ID:cdgu8qg6.net

>>259
おお…ありがとう
ちなみに飛び道具とはcarlemanの不等式でした。
その証明にも(n+1)^n /n! < e^nが使われるという

261 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 07:07:44.03 ID:eGTgxrCn.net

むむむ…、震えてきた…

262 ：１３２人目の素数さん：2019/11/18(月) 15:47:33 ID:W9Q6monY.net

〔補題〕
　(1)　(1 +1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
　(2)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
　(3)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

(1)は一般化二項公式を使うらしい。

263 ：１３２人目の素数さん：2019/11/23(土) 20:40:03.04 ID:md82QkH1.net

a,b,c>0
a^2 + b^2 + c^2 ≧ Σ[cyc] a*{ (b^4 + c^4)/2 }^(1/4)

264 ：１３２人目の素数さん：2019/11/25(月) 17:59:50 ID:earBUlUp.net

　A = a^4/(a^4+b^4+c^4),
　B = b^4/(a^4+b^4+c^4),
　C = c^4/(a^4+b^4+c^4),
とおくと
　A+B+C = 1.
また
　f(x) = √x - [x(1-x)/2]^(1/4),
とおくと
　f '(x) = 1/(2√x) - ((1-2x)/8)[x(1-x)/2]^(-3/4),
　f "(x) = -1/(4x√x) - (1/8)[x(1-x)/2]^(-3/4) + (3/64)[x(1-x)/2]^(-7/4) > 0,
∴　y=f(x) は下に凸。
∴　Jensen より
　(LHS - RHS) 〜 f(A) + f(B) + f(C)
　　≧ 3f((A+B+C)/3)
　　= 3f(1/3)
　　= 0,

微分のことは微分でせよ？

265 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 05:01:43.80 ID:/rJkC9KX.net

>>239-240
・参考文献
　J. Steiner: J. reine Angew. Math., ２４, p.93-152 (1842)
　浦川　肇：「等周不等式」　数理科学(サイエンス社) No.386, p.20-24 (1995/Aug)

266 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:19:29.69 ID:/rJkC9KX.net

>>257-258

Σ[k=1→n] 1/{(n+1)(n!)^2}^(1/n) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),

ぐらいかな。

267 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:21:11.33 ID:/rJkC9KX.net

>>257-258 訂正

Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),

268 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 12:13:55.79 ID:GwDHuLDD.net

問題

1≦pとする
ある定数C=C(p)>0が存在し、
(0,1)上の任意のC^1級関数fに対して
∫_0^1 |f(x)-∫_0^1 f(y) dy|^p dx≦C∫_0^1 |f’(x)|^p dx

またこの不等式が成立する最小のC(p)を求めよ

269 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 14:04:10.49 ID:DW5yGutX.net

11月号の数蝉NOTEに、AM-GMの証明が載ってたみたいだけど、新証明？

270 ：１３２人目の素数さん：2019/11/27(水) 20:12:50.80 ID:th7CPxH7.net

このスレで話題にならないということは、既出の証明だったんじゃね？（鼻ホジ）

JBMO2020らしい
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1899502p12980771

271 ：１３２人目の素数さん：2019/11/28(木) 22:48:14.44 ID:ghZZAPQ9.net

>>267 を改良

S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
　　≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}

S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613

272 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 10:08:04.96 ID:33TTA80m.net

このサイトにある不等式の証明が興味深い
https://www.jstor.org/stable/2975630?seq=3#metadata_info_tab_contents
https://www.researchgate.net/publication/236834618_On_a_mixed_arithmetic-geometric_mean_inequality

273 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 11:04:39.65 ID:gQn2pek9.net

めんどいから全然読んでないけど、重み付きAM-GM差分不等式っぽい（正式な名前は知らん）
https://i.imgur.com/omE2lcy.jpg

274 ：１３２人目の素数さん：2019/11/30(土) 06:31:05.40 ID:EU1tlCDO.net

>>272
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ･･････, x_n >0 のとき
　(1/n)Σ[k=1,n] (x_1･x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
　等号成立は x_1 = x_2 = ････ = x_n.

[前スレ.037(1)〜044, 051-053, 097] の辺り
K．Kedlaya： Amer．Math．Monthly, Vol．101, No．4, p．355-357 (1994/Apr)
　"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"

275 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 04:00:04 ID:oC7hjXGF.net

右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが････

　G1 = a,　G2 = √(ab),　G3 =（abc)^(1/3), ････ とおく。
n=2
　(a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2,
n=3
　(a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3,
n=4
　(a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4,
　　B_1 = (aab)^(1/3)
　　B_2 = (abb)^(1/3),
　　B_k = {a^(n-1-k)･b^k}^(1/(n-1))　
　　C = (bbc)^(1/3),
n=5
　(a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
　 B_1 = (aaab)^(1/4),
　　B_2 = √(ab) = G2,
　　B_3 = (abbb)^(1/4),
　　C ' = (ab^4･c)^(1/6),
　　C " = √(bc),
　　D ' = (cccd)^(1/4),

276 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 16:15:48 ID:oC7hjXGF.net

まづ AM-GM で右辺を
　(x1 + x2 + ････ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
　　　　　(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
　　　　= 0　　(otherwise)
チト面倒でござるが････

277 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 20:39:28.33 ID:oC7hjXGF.net

　(x_1+x_2+････+x_k)/k ≧ (1/ｎ)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。

対称性
　e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
　Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k　　(1≦i≦k)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (k<i≦n)
　Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j　　(1≦i≦j)
　　　　　　　　　　 = 0,　　 (j<i≦n)
から出るか。

278 ：１３２人目の素数さん：2019/12/02(月) 19:46:04 ID:a5zqFxLP.net

>>274
(略証)
AM-GM より
　Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
　≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
　= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) 　　　　(←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
　(x_1+x_2+････ +x_k)/k
　≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)　(←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)

279 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 08:05:57.48 ID:tkRoCzDX.net

最後は
　Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
　= Π[i=1,j] (x_i)^(１/j)　　　　　(←k総和則)
　= G_j,　　　(終)

280 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 09:41:52 ID:tkRoCzDX.net

e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},

のように組合せを使って表わすのが 貞三流でござるか？　(山梨大)

281 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 01:06:46.33 ID:+ttUgWiw.net

>>273

〔例題４'〕
　x_1≧1, x_2≧1,　････, x_n ≧1　のとき
　A - G ≧ G/H - 1,
ここに
　A = (x_1+x_2+････+x_n)/n,
　G = (x1･x2････x_n)^(1/n),
　H = n/(1/x_1+1/x_2+ ･･･ +1/x_n),

(略証)
G = (x_1･x_2････x_n)^(1/n)　を固定して考える。
F(ｘ) = (左辺) - (右辺)
　　　= (x_1+x_2+････+x_n)/n - G − (1/n)(1/x_1+1/x_2+････+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ････, x_n) = (G, G, ････, G) ならば F(ｘ) = 0.
そうでないとき
　x_i > G > x_j ≧ 1,
となる ｉ≠j がある。 (x_i･x_j > G･1)
それらを
　ｘ_i’= G,　x_j’=x_i･x_j/G,
に変更すると
　x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = −(x_i -G)(G -x_j)/(n･G),
　1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n･x_i･x_j),
よって
　F(ｘ’) − F(ｘ) = −{(x_i -G)(G -x_j)/(n･G)} {1 - G/(x_i･x_j)} < 0,
すなわち F(ｘ) は減少する。

上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,････,G) となり、F=0 に至る。　(終)

282 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 02:40:54.44 ID:+ttUgWiw.net

〔系〕
　x_1≦1, x_2≦1,　････, x_n≦1　のとき
　A - G ≦ G/H - 1,

(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
　A = 1/H’　G = 1/G’　H = 1/A’

283 ：１３２人目の素数さん：2019/12/09(月) 04:36:54.15 ID:3RsZZfph.net

>>274
　nについての帰納法による。
　A_k = (x_1+x_2+････+x_k)/k,
　G_k = (x_1･x_2････x_k)^(1/k),
とおく。

n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
　(A_1･A_2････A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+････+G_n)/n
　　= (g_1+g_2+･････+g_{n+1})/(n+1),
ここに
g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n
　　≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n)　　(AM-GM)
　　= {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n),
とおいた。また
　A_{n+1} = (x_1+x_2+････+x_{n+1})/(n+1),

ここでコーシーを使う。
　(g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1),
より
　(A_1･A_2･････A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+････+G_{n+1})/(n+1)
n+1 についても成り立つ。

284 ：１３２人目の素数さん：2019/12/15(日) 01:02:39.88 ID:Nfo6ujPm.net

0<x<2n で f "(x) > 0 のとき、
　f(x) は下に凸で
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)

[分かスレ４５６．720-722]

285 ：１３２人目の素数さん：2019/12/15(日) 20:33:15.25 ID:9/kB6Zt6r

>>284
反例になるfをいくらでも作れる
例えば
f(0)=f(2)=-1
0<x<2のとき f(x)=x^2

286 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:19:03.72 ID:/04vhOiY.net

凸不等式より
　{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1)　　　････ (1)
また　0<k<n に対して
　{(n-k)f(0) + k･f(2n)} /n > f(2k),
　{k・f(0) + (n-k)f(2n)} /n > f(2n-2k),
辺々たすと
　f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k)　　　････ (2)
これらにより
　(左辺) - (右辺)
　> nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1){f(0)+f(2n)}/2 - (n+1)Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (n-1){f(0) + f(2n)}/2 - Σ[k=1,n-1] f(2k)
　= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
　> 0,

287 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:43:09.39 ID:/04vhOiY.net

〔問題132〕
　A = (x_1+x_2+･････+x_n)/n,
　G = (x_1･x_2･････x_n)^(1/n),
　L = (A_1･A_2･････A_n)^(1/n)　　ただし A_k = (x_1+x_2+･････+x_k)/k,
とおく。
　(n+1)(G/A)^{1/(n+1)} ≦ n(L/A)^(1/n) + G/L ≦ n+1,

　IMO-2004 short list A.7
　Inequalitybot [132]　　☆12

288 ：１３２人目の素数さん：2019/12/17(火) 14:58:04.88 ID:/04vhOiY.net

(左)　GM-AM で
(右)も GM-AM で
　(L/A)^(1/n)
　= {1^((n+1)/2n)} Π[k=2,n] {A_(k-1)/A_k}^((k-1)/nn)
　≦ (n+1)/2n + (1/nn)Σ[k=1,n] (k-1)･A_(k-1)/A_k,
また
　G/L = (Π[k=1,n]　x_k/A_k)^(1/n) ≦ (1/n)Σ[k=1,n] x_k/A_k,
したがって
　(中辺) ≦ (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] {(k-1)A_(k-1) + x_k}/A_k
　　= (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] k
　　= (n+1)/2 + (n+1)/2
　　= n+1,

289 ：１３２人目の素数さん：2019/12/18(水) 01:08:41.74 ID:jR0GFFw7.net

a,b,c>0, ab+bc+ca≧1,
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≧ (√3)/(abc).

290 ：１３２人目の素数さん：2019/12/19(木) 13:28:01.97 ID:8YaA1ba7.net

ab+bc+ca = t　とする。

1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
　= (a+b+c)/(abc)
　≧ √(3t) /(abc),

∵　xx+yy+zz ≧ (1/3)(x+y+z)^2 ≧ xy+yz+zx,

291 ：１３２人目の素数さん：2019/12/19(木) 19:04:36.47 ID:SuNljxVK.net

>>289-290
出典を貼るのを忘れていた。

香港科技大学 Mathematical Excalibur Vol.22-4
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/47722/1/math-02a-a114.pdf

292 ：１３２人目の素数さん：2019/12/20(金) 02:20:08 ID:yiLw1Jz8.net

2015
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)

293 ：１３２人目の素数さん：2019/12/27(金) 20:33:34.64 ID:E3VxHfur.net

ウホッ、懐かしい不等式
https://www.toshin.com/concours/

294 ：１３２人目の素数さん：2019/12/27(金) 21:05:30.72 ID:SKZ2Atg2.net

>>293
https://www.toshin.com/concours/
締切：2020年1月6日※締切日必着
https://i.imgur.com/YiUSwUh.jpg

295 ：１３２人目の素数さん：2019/12/29(日) 03:42:26.63 ID:ktrDgrgt.net

問 題
　任意の相異なる正の数 a,b に対し、不等式
　　√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2　･･･… (*)
が成立することが知られている。
　この不等式を相異なる3つの正の数 a,b,c に関する不等式に拡張したものを一つ見つけて、それを証明せよ。ただし、ここでの拡張した不等式とは
　(abc)^(1/3) < F(a,b,c) < (a+b+c)/3
　　( F(a,b,c) は log(a), log(b), log(c) を含む a,b,c の対称式 )
であるとする。
　なお、F(a,b,c)について上記以外の仮定は定めないが、できる限り(*)から自明に得られるものでない方が望ましいものとする。
(ただし、(*)からの変形が不可というわけではない。今回はかなり自由に考えてほしい。)

　東進 数学コンクール

296 ：１３２人目の素数さん：2019/12/30(月) 09:31:01.33 ID:BSp8AaON.net

(aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(a+b+c+k-2)^2
k ≧ (1+sqrt(5))/2.

297 ：１３２人目の素数さん：2019/12/30(月) 23:36:43.27 ID:q0w0AswJ.net

https://i.imgur.com/COCl2ly.jpg

298 ：１３２人目の素数さん：2019/12/31(火) 02:29:47.93 ID:CIMjjWYH.net

>>297
f(x) を [0,1] 上で非負の単調減少関数とするとき、
∫[0,1] x f(x)^2 dx /∫[0,1] x f(x) dx ≦ ∫[0,1] f(x)^2 dx /∫[0,1] f(x) dx,
を示せ。

(略証)
題意より
　0 ≦ f(x),
　0 ≦ f(y),
　0 ≧ (x-y) {f(x)-f(y)},
よって
　0 ≧ ∬(x-y){f(x)-f(y)}f(x)f(y) dxdy
　　= ∬{xf(x)^2 f(y) + yf(y)^2 f(x) - xf(x)f(y)^2 - yf(y)f(x)^2} dxdy
　　= 2∫xf(x)^2 dx･∫f(y) dy - 2∫f(x)^2 dx･∫yf(y) dy

∴　∫xf(x)^2 dx /∫yf(y)dy ≦ ∫f(x)^2 dx /∫f(y)dy,

299 ：１３２人目の素数さん：2020/01/01(水) 03:51:45.32 ID:F81QwpXb.net

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀ ） 　新年あけまして
　　　　 /　　　　 ヽ
　　　　 し、__X__,ノJ

　 　 　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　 　⌒ｌ 　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
>>23
>>27

300 ：１３２人目の素数さん：2020/01/01(水) 13:16:53.96 ID:vZvCSbvi.net

exradii って傍接円の半径であってるかな？
共立の赤い辞書にも載ってないし、web検索でもhitしないけど…

301 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 02:47:36.83 ID:6pYHqa71.net

>>299 が解けたら教えよう。

正の数a,b,c･･･は今年は不要だった...orz

302 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 15:24:16.70 ID:Xx1MBzdP.net

去年の問題(>>23)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情！

303 ：１３２人目の素数さん：2020/01/03(金) 15:46:35.83 ID:Xx1MBzdP.net

今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式

304 ：１３２人目の素数さん：2020/01/04(土) 21:55:59.92 ID:2AvOoxci.net

>>185
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな

305 ：１３２人目の素数さん：2020/01/04(土) 22:10:26.67 ID:1HNb63rL.net

>>304
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する

何を連想するん？

306 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 16:43:59.29 ID:M9rUjvu0.net

正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.

M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)

M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>28M^3
=(RHS)

307 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 17:02:53.16 ID:M9rUjvu0.net

>>183
Kantorovich
>>230 >>250
Muirhead
>>284
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>305
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
ttps://proofwiki.org/wiki/Reverse_Triangle_Inequality

308 ：１３２人目の素数さん：2020/01/05(日) 18:28:42.28 ID:PT3ra9AO.net

>>303
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… （錯乱）

309 ：１３２人目の素数さん：2020/01/06(月) 03:47:32.05 ID:iay27LR5.net

>>306
正解です!!

　(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
　= (y^1009 -1)(y-1)
　≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
　y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
　(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,

なお、最良係数は
　y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
　等号は y = 0.994531163783 のとき

>>300
　傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。

310 ：１３２人目の素数さん：2020/01/06(月) 19:06:36.22 ID:iay27LR5.net

>>306
(a+b+c)/3 = M　とおく。

(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
　> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
　≧ 27(M^1009 + 1)
　> 27max{M^1009, 1}
　≧ 27(max{M, 1})^3
　= max{3M, 3}^3
　= max{a+b+c, 3}^3.

311 ：１３２人目の素数さん：2020/01/07(火) 04:35:19.28 ID:dGX/W9Ay.net

Rheinboldt's inequality (*´Д｀) ﾊｧﾊｧ…

312 ：１３２人目の素数さん：2020/01/14(火) 21:02:29 ID:QnAOHIy5.net

三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).

313 ：１３２人目の素数さん：2020/01/17(金) 00:16:00 ID:1crWIv5/.net

>>312
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.

a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.

314 ：１３２人目の素数さん：2020/01/17(金) 16:03:09 ID:8XEo1F0J.net

>>296
　k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034･･･ より
　kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
　(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
　+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
　+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う〜む、場合分けでござるか････


k=2 の場合は
　a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.

　APMO-2004　A.5,
　文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
　Inequalitybot [20]
　[前スレ. 070[2]、084]　　[第８章.456、469]

315 ：１３２人目の素数さん：2020/01/20(月) 13:00:34 ID:RONGOZUM.net

>>314
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.

>>296 のステートメントが適当すぎる.

316 ：１３２人目の素数さん：2020/01/21(火) 00:47:02 ID:NlSt5Qji.net

〔問題〕
実数a,b,cが
　a < b < c,　a+b+c = 6,　ab+bc+ca = 9
を満たしている。
　0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
を証明せよ。
　高校数学問題bot (@7k_x)

- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
らしい。

317 ：１３２人目の素数さん：2020/01/31(金) 12:39:42.63 ID:fETwRHBA.net

2016年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/vkhfrlu.png

318 ：１３２人目の素数さん：2020/01/31(金) 15:05:57 ID:fETwRHBA.net

もう一つ
2017年度春合宿の問題

https://i.imgur.com/NQhkkhd.png
https://i.imgur.com/8eDQygH.png

319 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 04:59:30.88 ID:7zqqjjoe.net

>>317
第７問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,････,a_n に対して
　1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ････ + 1/(a_0+a_1+････+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ････ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。

>>318
第８問
正の整数からなる数列a1,a2,････があり、任意の正の整数nについて
　a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ････ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。

第１０問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1　(k=1,2,････,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,････,a_n, b_1,b_2,････,b_n に対して、
実数 x_1,x2,････,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
　|x_k| = 1　(k=1,2,････,n),
　|Σ[k=1,n] x_k･a_k | + |Σ[k=1,n] x_k･b_k | ≦ 1.

320 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 07:31:35.29 ID:7zqqjjoe.net

第7問
　k = 1/3
　(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)

第10問
　ｖ_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
　Σ[k=1,n] (±ｖ_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)

321 ：１３２人目の素数さん：2020/02/01(土) 13:53:11 ID:0aCfjAcc.net

第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる

322 ：１３２人目の素数さん：2020/02/05(水) 07:10:07 ID:AQM1KB8L.net

>>317 >>320
第７問
　S_j = a_0 + a_1 + ････ + a_j,
とおくと HM-AM で
　4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
　4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1〜n の和をとる。
　3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
　Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,

323 ：１３２人目の素数さん：2020/02/09(日) 20:15:04 ID:drHYoHKW.net

私的メモ、Hadamardの不等式

324 ：１３２人目の素数さん：2020/02/11(火) 23:26:49 ID:Q2MCulxJ.net

関数不等式が出ました

https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg

325 ：１３２人目の素数さん：2020/02/11(火) 23:32:00 ID:l6EiwKBu.net

>>324
ウホッ！いい関数不等式

326 ：１３２人目の素数さん：2020/02/12(水) 07:39:21.58 ID:uWBQqkSN.net

　2020年 日本数学オリンピック 本選
　　　　　　(C)(公財) 数学オリンピック財団

　　　　　　問　　　題^1

2020年2月11日　試験時間4時間 5題

1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。

　(m,n) = (1,3)　(61,11)　？

2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
　直線BEと直線CDの交点をPとする。
　三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
　ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。

3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数ｆであって、任意の正の整数m,nに対して
　　　m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
　を満たすものをすべて求めよ。

327 ：１３２人目の素数さん：2020/02/12(水) 08:06:10 ID:uWBQqkSN.net

4.　nを2以上の整数とする。
　円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
　A君とB君が以下の操作をn回行なう。

　　まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
　　次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。

　A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。

5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ････ をすべて求めよ。

　　任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。

　ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

328 ：１３２人目の素数さん：2020/02/13(木) 08:18:39 ID:8bKSb4oB.net

〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k　(c_k ≧0)　のとき、次は成り立つか？
(1)　{u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2)　log{f(e^x)} は下に凸
(3)　f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.

分かスレ４５８.054-063

329 ：１３２人目の素数さん：2020/02/16(日) 01:35:24.83 ID:N9QZtxQk.net

>>316
　f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
　(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
　f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または 微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc，x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
　-abc < 0 < 4-abc
∴　0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)

http://suseum.jp/gq/question/3132

330 ：１３２人目の素数さん：2020/02/19(水) 13:19:05 ID:WOZU/4dA.net

n>1 に対して
　ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ････
とおく。このとき
　ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か？

331 ：１３２人目の素数さん：2020/02/20(木) 08:57:27 ID:ZWVgPXIY.net

ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
　> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
　= Σ[j=0,∞] 1/N^j
　= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!･N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,

332 ：１３２人目の素数さん：2020/02/25(火) 17:15:37 ID:Bxdn7zCJ.net

2020年度東大理系第一問

https://i.imgur.com/WoxEvwb.jpg

333 ：１３２人目の素数さん：2020/02/27(木) 03:16:30 ID:6SmBw6gg.net

>>332
　　　第　１　問

a,b,c,p を実数とする。不等式
　　ax^2 + bx + c > 0
　　bx^2 + cx + a > 0
　　cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。

(1)　a,b,c はすべて0以上であることを示せ。

(2)　a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3)　p=0 であることを示せ。

334 ：１３２人目の素数さん：2020/02/27(木) 04:06:30.88 ID:6SmBw6gg.net

>>333
(1) 背理法による。
　a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
　f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
　これは題意の「x>p　⇒　3式すべてを満たす」に反する。
　b,cについても同様。

(2) 背理法による。
　a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
　|x| > 2|b/a| + √|2c/a|　⇒　f(x) >0 を満たす。
　-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
　a,b,c>0 と仮定すると、
　-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
　これは題意の「3式すべてを満たす　⇒　x>p」に反する。
　∴ abc=0.

335 ：１３２人目の素数さん：2020/02/28(金) 16:07:45 ID:b8YXVJTs.net

>>333
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
　(ax+b)x >0　････　x>0 または ax+b<0
　bxx+a > 0　････　すべての実数
　ax+b > 0　････　(x>0を含む)
　このすべてを満たす実数xは x>0.

a=b=c=0 のとき
　3式を満たす実数xはない。(不適)

以上により p=0.

336 ：１３２人目の素数さん：2020/02/28(金) 16:57:20 ID:b8YXVJTs.net

・分野・テーマ
　２次関数、集合と命題、極限

・設問内容
係数に対称性のある３つの２次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。

・解答のポイント
結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。
(1)　グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。
　　十分大きなxについて考えると良い。
(2)　(1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。
(3)　前問が示せていなくても、取り組みたい。
　　係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で３つの不等式を解くことで解決する。

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/

337 ：１３２人目の素数さん：2020/03/09(月) 12:24:18.22 ID:3u+TSzyD.net

難易度10(満点)らしい

https://i.imgur.com/BoWlWmP.jpg

338 ：１３２人目の素数さん：2020/03/09(月) 23:24:26 ID:V6IMEB5h.net

〔問題332〕
0以上1以下の実数p,q,r,sにおいて、
　√(p^2 + r^2) + √{p^2 + (r-1)^2} + √{(1-q)^2 + s^2} + √{(1-q)^2+(1-s)^2} + √{(p-q)^2 + (r-s)^2}
の最小値を求めよ。

-------------------------------------------------------------

O(0,0)　A(0,1)　B(1,1)　C(1,0)　P(p,r)　Q(q,s)
とおくと与式は
　OP + AP + CQ + BQ + PQ

P は △OCQ のフェルマー点
Q は △ABP のフェルマー点

339 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 09:32:03.67 ID:Ct1vj+NA.net

∠AQB = 120ﾟ より 点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

∴ P,Q は y=1/2 上に有る。r=s=1/2,
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.

340 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 09:37:26.87 ID:Ct1vj+NA.net

修正･･･
∠OPC = 120ﾟ より　点Pは円周
　{x + 1/(2√3)}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠OPC の二等分線は (-1/√3, 1/2) を通る。

∠AQB = 120ﾟ より 点Qは円周
　{1+1/(2√3) -x}^2 + (y - 1/2)^2 = 1/3,
上にある。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+1/√3, 1/2) を通る。

上記のことから、点P, Q は直線 y=1/2 上に有る。
∴ P(p,r) = (1/(2√3), 1/2)　　Q(q,s) = (1 - 1/(2√3), 1/2)

与式 = OP + AP + CQ + BQ + PQ
　≧ 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + 1/√3 + (q-p)
　= 4/√3 + (1 - 1/√3)
　= 1 + √3.

341 ：１３２人目の素数さん：2020/03/10(火) 10:03:31.24 ID:Ct1vj+NA.net

また間違えた････

∴ ∠OPC の二等分線は (-(√3)/2, 1/2) を通る。
∴ ∠AQB の二等分線は (1+(√3)/2, 1/2) を通る。

イナに改名しようかな････

342 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 15:08:40 ID:bNXGbbJ+.net

今年の入試問題

https://i.imgur.com/gwo1n7C.jpg

343 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 16:13:22 ID:HFBlyies.net

>>342
問１を判別式を使って答えようとすると、問２を先に解答しなくちゃならなく
あれっ？ってなって、それが問３のヒントになるのか
うまく作ってあるね

344 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 19:09:48 ID:l20VjRfO.net

2020年　大阪市立大
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　a,b,c, x,y,z を実数とする。次の問いに答えよ。
問1　a^2 - b^2 > 0 のとき、tについての2次方程式
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = 0
　は実数解をもつことを示せ。
問2　a^2 - b^2 > 0 のとき、
　(ax-by)^2 ≧ (a^2 -b^2)(x^2 -y^2)
　が成り立つことを示せ。
問3　a^2 - b^2 - c^2 > 0 のとき、
　(ax-by-cz)^2 ≧ (a^2 -b^2 -c^2)(x^2 -y^2 -z^2)
　が成り立つことを示せ。

345 ：１３２人目の素数さん：2020/03/13(金) 23:26:59 ID:l20VjRfO.net

問１
　f(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2
　　= (aa-bb)tt + 2(ax-by)t + (xx-yy)
とおく。
aa-bb>0 だから 下に凸な放物線。　　
|t| がじゅうぶん大きいとき f(t)>0,
一方、|a|>|b|≧0,　a≠0
　f(-x/a) = - {b(-x/a)+y}^2 ≦ 0,
中間値の定理より f(t)=0 は実数解をもつ。
　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b)

問２
aa-bb > 0 のとき、
　(判別式) = (ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) ≧ 0,
(別解)　ラグランジュの恒等式から
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0

問３
　g(t) = (at+x)^2 - (bt+y)^2 - (ct+z)^2
　　= (aa-bb-cc)tt -2(ax-by-cz)t + (xx-yy-zz)
とおく。
aa-bb-cc > 0 だから 下に凸な放物線。
|t| がじゅうぶん大きいとき g(t) >0,
|a|> |b|,|c| ≧0　より　a≠0,
　g(-x/a) = - {(-b/a)t +y}^2 - {(-c/a)t +z}^2 ≦ 0,
中間値の定理より g(t)=0 は実数解をもつ。
　(判別式) = (ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz) ≧ 0.

346 ：１３２人目の素数さん：2020/03/14(土) 10:34:57 ID:iH59lf4s.net

このスレの解答は････

問１
　(at+x)^2 - (bt+y)^2 = {(a+b)t + (x+y)}{(a-b)t + (x-y)} = 0,
ところで (a+b)(a-b) = aa-bb ≠ 0,
∴　t = -(x+y)/(a+b), -(x-y)/(a-b),

問２
　(ax-by)^2 - (aa-bb)(xx-yy) = (ay-bx)^2 ≧ 0　　　(*)
　この場合は aa-bb>0 は不要

問３
　xで平方完成する。
　(ax-by-cz)^2 - (aa-bb-cc)(xx-yy-zz)
　= {(bb+cc)xx -2ax(by+cz) + aa(yy+zz)} - (bz-cy)^2　　(*)
　= {[(bb+cc)x -a(by+cz)]^2 + (aa-bb-cc)(bz-cy)^2}/(bb+cc)
　≧ 0,
　等号成立は x/a = y/b = z/c のとき。
　b=c=0 のときは明らか。

*) ラグランジュの恒等式
　(yy+zz) = {(by+cz)^2 + (bz-by)^2}/(bb+cc)　を使った。

347 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 13:55:03 ID:bNeBdUF1.net

〔問題669〕
x>0, y>0 のとき
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,

(略証)
log は単調増加だから
　(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
　(x/y)^(x-y) ≧ 1,
　(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
　= (x^x - y^y)^2
　≧ 0,

[分かスレ４５８．669]

348 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 16:52:52.52 ID:bNeBdUF1.net

〔補題〕
x>0, y>0 とする。
(1)　x^x - x^y - y^x + y^y ≧ 0,
(2)　x^(2x) - x^(2y) - y^(2x) + y^(2y) ≧ 0,
(3)　0<a≦e のとき、
　x^(ax) - x^(ay) - y^(ax) + y^(ay) ≧ 0,
等号成立は x=y のとき。

349 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:37:14 ID:n1EjKc3E.net

次のように関数f,gを定義する
f(x)=1/x+1/(x-2)+…+1/(x-2018)
g(x)=1/(x-1)+1/(x-3)+…+1/(x-2017)
このとき0<x<2018の範囲に存在する任意の実数xに対して、|f(x)-g(x)|>2が成立することを示せ

2018年度APMO第2問
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1662907p10561170

350 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:42:11 ID:n1EjKc3E.net

>>349
xが整数でない実数という条件が抜けていた

351 ：１３２人目の素数さん：2020/03/16(月) 19:46:00 ID:n1EjKc3E.net

もうひとつ2012年度APMOから


https://i.imgur.com/ZR1GXZ3.png

352 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 05:32:50.08 ID:CmDsCyUw.net

>>351

〔問題５〕
nを2以上の整数とする。
実数 a_1, a_2, ････, a_n が (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n を満たすなら
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i･a_j) ≦ n/2,
が成り立つことを示せ。

Problem 5.
Let n be an integer greater than or equal to 2.
Prove that if the real numbers a_1, a_2, ････, a_n satisfy (a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2 = n, then
Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i･a_j) ≦ n/2,
must hold.

APMO-2012
http://cms.math.ca/Competitions/APMO/　→　2012
Inequalitybot [87]　☆10

353 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 06:34:23.26 ID:CmDsCyUw.net

>>352
HM-AM より
　2xy/(n-xy) ≦ (x+y)^2 /{(n-xx)+(n-yy)}
　　≦ yy/(n-xx) + xx/(n-yy),
x=a_i, y=a_j とおく。
　Σ[x≠y] xy/(n-xy) ≦ Σ[x≠y] yy/(n-xx)
　= Σ[i=1,n] Σ[j≠i] (a_j)^2 /{n-(a_i)^2}
　= Σ[i=1,n] 1
　= n,
両辺に n(n-1) をたすと
　Σ[1≦i≠j≦n] n/(n−a_i･a_j) ≦ nn,
　Σ[1≦i<j≦n] 1/(n−a_i･a_j) ≦ n/2,

354 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 12:40:52 ID:Rjx45xEY.net

putnumから不等式問題を拾ってきた

https://i.imgur.com/12qyB8u.png

https://i.imgur.com/apEwMZf.png

355 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 15:21:04.67 ID:CmDsCyUw.net

(上)
f(x)は、区間[0,1]で定義された連続な実数値関数とする。次を示せ。
　∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.

Let f(x) be a continuous real-valued function defined on the interval [0,1].
Show that
　∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dx dy ≧ ∫[0,1] |f(x)| dx.

356 ：１３２人目の素数さん：2020/03/17(火) 15:43:05.43 ID:CmDsCyUw.net

(下)
a_1, a_2, ････ は実数とする。
すべてのnについて
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
となる定数Aがあるとする。
すべてのnについて
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.
となる定数B >0 があることを示せ。

Let a_1, a_2, ････, be real numbers.
Suppose there is a constant A such that for all n,
　∫[-∞,∞] {Σ[i=1,n] 1/(1+(x-a_i)^2) }^2 dx ≦ A n.
Prove there is a constant B > 0 such that for all n,
　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] {1 + (a_i-a_j)^2} ≧ B n^3.