２ちゃんねる ■掲示板に戻る■ 全部 1- 最新50

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

不等式への招待第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
651 ：１３２人目の素数さん：2021/06/06(日) 02:15:52.79 ID:Q09kUO/y.net: 1992年IMO5番
https://i.imgur.com/NvlwAw4.png
652 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:51:17.44 ID:Hilnv+E/.net: ５．Sは3次元座標空間の有限個の点の集合である。
S_x, S_y, S_z はそれぞれ、Sの点の yz-平面, zx-平面, xy-平面への正射影からなる点の集合である。
次を証明せよ。
　　| S |^2 ≦ |S_x|･|S_y|･|S_z|
ここに | A | は有限集合Aの要素の個数である。
653 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:57:08.83 ID:Hilnv+E/.net: >>284

f(x)は下に凸な関数とする。自然数nに対して不等式
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
を示せ。

[面白スレ３６．256-260]
654 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 20:03:58.37 ID:Hilnv+E/.net: >>651 >>652
z値の集合を {z1, …, zi, …, zn} とする。
S, Sy, Sx の点を z値で分類する。
S, Sy, Sx の点のうち　z=zi をみたすものの個数を |Li|, ai, bi とする。

(1)　|Li| ≦ ai･bi,

(2)　|S| = |L1| + … + |Li| + … + |Ln|,

(3)　|Sy| = a1 + … + ai + … + an,
　　|Sx| = b1 + … + bi + … + bn,

(4)　|Li| ≦ |Sz|,

(1) と (4) を掛けて
　|Li|^2 ≦ (ai･bi) |Sz|,
　|Li| ≦ √(ai･bi) √|Sz|,　　　　････ (5)

(2), (5) より
|S|^2 ≦ {√(a1･b1) + … + √(ai･bi) + … + √(an･bn)}^2･|Sz|
　　≦ (a1 + … + ai + … + an)(b1 + … + bi + … + bn)|Sz|　　　コーシー
　　= |Sy| |Sx| |Sz|,

http://www.youtube.com/watch?v=IzitrvYnNkc 11:08,
655 ：１３２人目の素数さん：2021/06/12(土) 15:46:26.57 ID:rM3zqrZ1.net: 1993年日本数学オリンピック本選5番

https://i.imgur.com/kwA3sGg.png
656 ：１３２人目の素数さん：2021/06/14(月) 16:23:08.26 ID:lFKMSNRU.net: 0<k≦3, a,b,c>0のとき
3-k+k(abc)^(2/k)+a^2+b^2+c^2≧2(ab+bc+ca)
を示せ
657 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 01:00:18.66 ID:78D2HNY3.net: >>646
>>656
似た問題くれ
658 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 20:42:53.54 ID:iDQ7MEu/.net: >>656
0<k≦3 ゆえ x^(3/k) は下に凸。　x=1 で接線を曳いて、
　(3-k) + k･x^(3/k) ≧ 3x,
(左辺) - (右辺) ≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 3(abc)^(2/3)
　≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 9abc/(a+b+c)　　　　(AM-GM)
　= F1(a,b,c)/(a+b+c)
　≧ 0,

*)　Schurの不等式
F1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0.
659 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 14:58:41.31 ID:NM0vuEzL.net: >>658
3/kではなくて2/kだぞ
660 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 20:08:44.51 ID:lnjH0V31.net: x = (abc)^(2/3)
661 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net: IMO2021の2番に不等式問題出たな

https://i.imgur.com/3822PyY.png
662 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net: >>661
ｳﾎｯ、いい不等式！
663 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net: a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい
664 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
　t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
　u = abc < 1,　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ t < 4,
∴　s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,

(s-t)(ss+st+tt - 4t)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
　≧ 0,　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0,
　[面白スレ３７．704] にもあった。
665 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net: 訂正ｽﾏｿ
　s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3,　　　(AM-GM)
666 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net: 〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき　a+b+c≧ab+bc+ca,

大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ７.114-115,160]
Inequalitybot [184]　☆7
667 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
　u = abc < 1　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ s < 4.

4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
　　= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
　　≧0,　　　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0.
668 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net: >>661
〔問題2.〕
　任意の実数 x1, x2, ････, xn に対して、不等式
　　　　　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。
669 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net: 実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな
670 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net: >>664
　s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな
671 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net: >>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは

これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする？
672 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net: 複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
　　　|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
673 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net: >>672
条件に |z|>1 を追加。
674 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net: a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.
675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net: f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k　とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1　(最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2　(最大)

(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
　　　= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
　　　= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k})　　(←同符号)
　　　≧ 0,
676 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net: >>672
?不等式より
　|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|･arg(z),
677 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net: >>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
　　　　　 + (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
　　　　　≧ 0,
の方がいいか…
678 ：１３２人目の素数さん：2021/07/31(土) 10:02:06 ID:aE5MLnpD.net: 有名不等式が大量に載ってるpdfを発見したので載せてみる
http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf

あと2020年度imoショートリストから

https://i.imgur.com/ju1Dyee.png
679 ：１３２人目の素数さん：2021/08/17(火) 13:07:12 ID:3+UNf6gr.net: >>678
グッジョブ
分割して日替わり壁紙にしよう
680 ：１３２人目の素数さん：2021/08/26(木) 20:07:00 ID:hGc0TLQT.net: eと(1+1/n)^nが登場する不等式をたくさんください
681 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 18:23:48 ID:KMsJe/e+.net: a, b, c が０以上かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 を満たすとき,
(a+bーc)^n + (b+c-a)^n + (c+a-b)^n (n は3以上の整数)　
の最大値と最小値を求めよ.
682 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 21:02:15 ID:HGuBdRDo.net: 最大値 2^{n/2}
　　a = 0,　b = c = 1/√2 など。　(x=√2, y=z=0, etc.)
最小値 (1/3)^{n/2 - 1}
　　a = b = c = 1/√3,　　(x=y=z=1/√3)

x = b+c-a,　y = c+a-b,　z = a+b-c とおくと
1 = aa + bb + cc
　= {(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}/4
　= {(x+y+z)/√3}^2 + (1/4){(x-y)/√2}^2 + (1/4){(x+y-2z)/√6}^2,
回転楕円体 (どら焼き形)
　短軸：１　　(1,1,1)方向　　
　長軸：２　　それと垂直方向
683 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 23:49:24 ID:KMsJe/e+.net: >> 676

もう少し具体的に
684 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 02:00:08 ID:HFxHmzMl.net: a=u^2,b=v^2,c=w^2
束縛
C = u^4+v^4+w^4-1
評価関数
S = (v^2+w^2-u^2)^n+(w^2+u^2-v^2)^n+(u^2+v^2-w^2)^n

s = 2n((v^2+w^2-u^2)^(n-1)+(w^2+u^2-v^2)^(n-1)+(u^2+v^2-w^2)^(n-1))とおいて
dC=4(u^3,v^3,w^3)
dS=s(u,v,w)
s≠0により
dSがdCで張られる
⇔vw(v^2-w^2)=wu(w^2u^2)=uv(u^2-v^2)=0
⇔u^2=v^2=w^2 or u^2=v^2 & w=0 or u=v=0 or...
685 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 06:18:37 ID:Zhg5gGCb.net: 専門的過ぎてついていけない
数オリの高校生の理解できる解法でお願いします
686 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 10:01:38 ID:HFxHmzMl.net: 数学の問題は進んだテクニック使っても全然簡単にならず、実は中学生でも理解できるような話の方が楽に解ける時がある
数オリとかの問題とかそういう問題のオンパレードだし、ピーターフランクルとかそんな問題大好きの人もいっぱいいる
しかしそれは進んだ数学を勉強しないでいい理由になどにはならないし、ましてや逆に言えば、進んだテクニック使えば楽に解ける問題をいつまでもいつまでもそういう”初頭数学縛り”をかけて解くのは単なる“自己満”でしか無い
不等式の話を本当に極めるなら未定乗数法は絶対避けては通れない
687 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 12:53:40 ID:LDbpAA38.net: grad(f(u,v,w)) = ∇f = (∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w)
s1 = 2n{-(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s2 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) - (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s3 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) - (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
とおくと
　grad(C) = ∇C = 4(u^3, v^3, w^3)
　grad(S) = ∇S = (s1･u, s2･v, s3･w)
　　　　　　　= s(u, v, w)
ここからついていけない…
688 ：１３２人目の素数さん：2021/09/06(月) 18:13:36 ID:eC9BaMcK.net: 問題[2]
　a_n = (1 + 1/n)^n,　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)　　(nは正の整数)
とおくとき、nが増加するとa_nは増加し、b_nは減少することを証明せよ。
　(数学検定 2011年秋, 1級 2次問題[2] の一部)
* 作問者は AM-GM を活用する解答を期待していたが…

〔補題258〕　　　　　　　　　　　　　　　>>262
　(1)　(1 + 1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
　(2)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
　(3)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

>>267
Σ[k=1,n] (1/((k+1)(k!)^2))^(1/k) ≒ 1.99877613 - ee/n + 64.5/nn - …
689 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 06:12:14 ID:UyKWpegQ.net: >>680
〔モローの不等式〕
　{2n/(2n+1)}e < (1+1/n)^n < {(2n+1)/(2n+2)}e,

左側は補題(1) より
　{2n/(2n+1)}e < 1/√(1+1/n)・e < (1+1/n)^n

http://www.youtube.com/watch?v=FDTaIYjWR2E 20:24,
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.82
690 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 15:24:37 ID:+P/8oXVv.net: x_1,x_2,...,x_n>0, Πx_k=1のとき次を示せ
Σ1/(n-1+x_k)≦1
691 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 17:00:11 ID:cOPYG12B.net: f(t)=1/(n+e^t)、F(t1,‥) = Σf(ti)とおく
f(t)はt≧lognで下に凸かつt≦lognで上に凸
全てtiがlognより小さい領域ではti=0のときFは最大値1
そうでない領域でΣti=0かつF(ti)>1が存在すれば
t1 =(n-1)c, ti=-c (i≧2,t1>logn)
であるtiで存在する
e^t=uとおいて
F(ti)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) + (n-1)/(n-1+1/u)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) - 1/((n-1)u+1)
しかしu≧1において
n-1+u^(n-1)≧(n-1)u+1
であるから矛盾
692 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:07:13 ID:Sn49tAbo.net: 背理法で…
不等式が成り立たないとする。すなわち、
　Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) >1,
であると仮定する。このとき
1/(n-1+x_i) > 1 - Σ[k≠i] 1/(n-1+x_k)
　= (1/(n-1))Σ[k≠i] x_k /(n-1+x_k)
　≧ ( Π[k≠i] x_k /(n-1+x_k) )^{1/(n-1)},　(AM-GM)
となる。i=1,…,n で掛けて
　Π[i=1,n] 1/(n-1+x_i) > Π[k=1,n] x_k /(n-1+x_k),
となるが、これは 1 > Π[k=1,n] x_k を意味するので矛盾である。

ルーマニアMO-1999,
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題3.35　p.131
Inequalitybot [109]
693 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:13:59 ID:Sn49tAbo.net: 〔類題〕
　x_1, x_2, …, x_n >0 が Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) = 1 を満たすとする。
このとき
　　　Π[k=1,n] x_k ≧ 1,
を証明せよ。

文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題1.46改　p.14
694 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 10:34:26 ID:YMP5Sl+4.net: (1)
z,w∈C、|z|=|w|=1 のとき、
|z+1| + |w+1| + |zw+1| ≧ 2

(2)
a,b,c∈C に対して、
|a| + |b| + |c| ≦ |a+b-c| + |b+c-a| + |c+a-b|

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
695 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 22:52:38 ID:lYkiWXwV.net: (1)は簡単やな
x^をxの複素共役として
|z+1|+|w+1|+|zw+1|
=|z+1|+|w^+1|+|z+w^|
なので|a|+|b|+|c|=1のとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|≧2
を示せば良い
b = c exp(2iA), c = exp(2iB), a = exp(2iC), A+B+C=π
となる非負実数A,B,Cがとれるとしてよくこのとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|
=2(cosA+cosB+cosC)
であるからcos(x)の凸性により(A,B,C)=(-π,π,π),(π,-π,π),(π,π,-π)のとき最小値2
696 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 23:02:12 ID:lYkiWXwV.net: (2)は力技で
sを複素定数としC^3の領域
R={ .. | a + b + c = 2s }
におけるS=2( |s-a| + |s-b| + |s-c| ) - ( |a| + |b| + | c| )の最小値が0以上であることを示せば良い
それには全微分できない領域で非負、全微分可能な極値で非負を言えば十分
s=0であればS=|a|+|b|+|c|となり自明だからs≠0とする

i) a=0のとき
S=2(|b+c|/2 + |b-c|/2 × 2) - (|b|+|c|)
=|b+c|/2-|b|+|b+c|/2-|c|+|b-c|
≧-|b-c|/2 × 2 + |b-c| = 0

(ii) a=s のとき
このときs=a=b+cより
S=2(|b|+|c|)-(|b+c|+|b|+|c|)
=|b|+|c|-|b+c|≧0

(iii) a=bのとき
このときs=a+c/2より
S=2(|c/2|+|c/2|+|a-c/2|)-(|a|×2+|c/2|)
=|c|+|2a-c|-|2a|≧0

(iv)a,b,cが同一直線上のとき
a,b,cは実数としてよくSをaの関数として見たときlim[a→±∞]S=∞だから極値だけ考えればよく、極値をとるのはa=s,0の場合のみであるから既出の場合に還元される

(v)その他の場合
Sは全微分可能でありz^を複素共役としてe(z)=z/|z|とおけば
dS = -2(e(s-a)^da + e(s-a)da^+ e(s-b)^db +e(s-b)db^+ e(s-c)^dc + e(s-c)dc^)-(e(a)^da+e(a)da^+e(b)^db+e(b)db^+e(c)^dc+e(c)dc^)
でありコレがda+db+dcの複素定数倍であるから
2e(s-a)+e(a)=2e(s-b)+e(b)=2e(s-c)+e(c)=0
である
よってa,b,cが同一直線上となるので既出のケースに還元される
697 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:09:47 ID:AENcTZtD.net: >>695
(1)
|a| = |b| = |c| = 1 のとき
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2,
ですか。

>>696
(2) は簡単やな。Ravi変換で
　b+c-a = p,
　c+a-b = q,
　a+b-c = r,
とおけば
(左辺) = |a| + |b| + |c|
　= |q+r|/2 + |r+p|/2 + |p+q|/2
　≦ |p| + |q| + |r|.
698 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:22:40 ID:IIHpCqtI.net: あれ？
その方法最初に考えてダメと思ったんやけど勘違いしたかな？
まぁ複素係数の微分形式の復習になったからいいけど
699 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 20:58:30 ID:AENcTZtD.net: >>695
　C ≧ π/2 の場合 (鈍角?) は
　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　= 2(|cosA| + |cosB| + |cosC|)
　≧ 2(cosA + cosB)
　≧ 2(1 + cos(A+B))　　　(凸性)
　≧ 2,　　　　　　　　(A+B≦π/2)
ですね。あるいは
　cosA + cosB + cosC
　= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)　　　(A+B+C=π)
　≧ 1,
700 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 19:57:40 ID:K2h4cEAP.net: >>694
(1)は簡単やな
　|z+1| + |w^+1| + |z+w^|
　≧ |(z+1) + (w^+1) - (z+w^)|
　= 2,

　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　≧ |-(b+c) + (c+a) + (a+b)|
　= 2|a|,
同様にして
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2 Max{|a|,|b|,|c|}

(2)は簡単やな　　>>697
701 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 20:21:10 ID:miCnVfcc.net: >>700
なんでそういう書き方するん？
それ読んだ相手がどういう気持ちになるか考えられへんの？
702 ：１３２人目の素数さん：2021/09/24(金) 22:25:33 ID:lJNbXbJw.net: 〔問題〕
　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < (1+√5)/16 = 0.2022542486

　(阪大-改)

http://www.youtube.com/watch?v=_zGQfWy9j28 22:05
鈴木貫太郎
703 ：１３２人目の素数さん：2021/09/25(土) 11:52:48 ID:S56dxsDJ.net: 1/n^3 = n/n^4
　< n/(nn-1/4)^2
　= {(n+1/2)^2 - (n-1/2)^2}/{2(nn-1/4)^2}
　= (1/2){1/(n-1/2)^2 - 1/(n+1/2)^2}
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 2/9 = 0.222222
ぢゃ出ない････orz
704 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 04:04:41 ID:xRhStcay.net: c>0 かつ z,w∈C のとき、
|z+w|^2 ≦ (1+c)|z|^2 + (1 + 1/c)|w|^2.

昔やったかも？ ( ﾟ∀ﾟ)
705 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net: |z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 　　　　(三角不等式)
　　= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
　　= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
　　≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2　　　(GM-AM)
　　= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。
706 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net: >>702
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034…　とおく。　(黄金比)
1/n^3 = n/n^4
　≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2･(nn-4)}　　　　(n≧2)
　= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
　= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
　= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,
707 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net: >>704
　|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
708 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net: >>702
1/n^3 = n/n^4
　< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)}　　　　(n≧3)
　= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
　= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
　= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
709 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net: >>707
( ﾟ∀ﾟ) ｷﾀｺﾚ！
710 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net: >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか？
711 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net: arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。

∵　arg(p) = arg(q) = arg(r).
712 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net: Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)

↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
713 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net: とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
714 ：１３２人目の素数さん：2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net: 初項は　2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,

なお、二項公式から
　Σ(k=1～2n) Ｃ(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
715 ：１３２人目の素数さん：2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net: 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b)　とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A　
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか？
証明はただ計算すればいいんですけど、、
716 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net: 分かりませんね。

　I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
　I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
　f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
　f(∞) = H,
　f(b) = I(a,b),
　f(H) = (A+H)/2,
　f(G) = √(AH) = G,
　f(A) = 2AH/(A+H),
　f(a) = I(b,a),
　f(0) = A,
717 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net: >>715

AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると

H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A　も成立
718 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net: >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
719 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net: f(-a)=b
f(-b)=a
720 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net: 　f(x) = (A+x)/(1+x/H)　⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
　g(x) = (b+x)/(1+x/a)　⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)

　f(-A) = 0　　　　　　　g(-b) = 0
　f(-b) = a　　　　　　　g(∞) = a
　f(∞) = H　　　　　　　g(b) =　H
　f(b) = I(a,b)　　　　　g(A) = I(a,b)
　f(A) = 2AH/(A+H)　 g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
　f(G) = √(AH) = G　 g(G) = √(AH) = G
　f(H) = (A+H)/2　　　 g(I(a,b)) =(A+H)/2
　f(a) = I(b,a)　　　　　g(H) = I(b,a)
　f(0) = A　　　　　　　　g(a) = A
　f(-a) = b　　　　　　　g(0) = b
　f(-H) = ∞　　　　　　　g(-a) =∞
721 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net: 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな？
722 ：１３２人目の素数さん：2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net: AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
723 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net: z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
724 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net: 閉円盤
725 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net: 解1.
A(1/3,0)　B(3,0)　P(x,y) とおくと
　(与式) = 3(AP/BP)

(与式) = k　(<3) は
　AP：BP = k：3
なるアポロニウスの円である。
直径の両端は内分点と外分点
　(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
　3-8/(3-k) ≧ -1　または　3-8/(3+k) ≦ 1,
∴　k ≦ 1,

解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
　= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
　= 8(1-zz~)
　= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r･e^(iθ)-3|^2 - |3r･e^(iθ)-1|^2
　= (rr -6r･cosθ +9) - (9rr - 6r･cosθ +1)
　= 8(1-rr),
よって
　|z|≦1　　⇔　　|(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
726 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net: 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
　D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2},　　　h≧4/3
も距離。

[面白スレ３９．399,402,404]
727 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net: は怪しいので
　D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
728 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net: >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
729 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net: z=-1で最大
730 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net: 　|z| ≦ 1,
　|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
　|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
　……
辺々掛けて
　|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
731 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net: なんか凄いな
732 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net: z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
733 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net: 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
734 ：１３２人目の素数さん：2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net: 〔問題471〕
任意の自然数ｎに対して、次を示せ。
　1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……

[高校数学の質問スレPart414．471]
735 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net: 右辺は　∫[0,1] x^n e^{1-x} dx　になるらしい…

[同．492]
736 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net: むむむ…
737 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net: 右辺は {n!e} になるらしい。

高校生なら等比級数
　1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
738 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net: >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ（積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある）
739 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net: >>735
　被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x　と下から接すれば
　e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n　を得る。
740 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net: 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
　a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。

[分かスレ４７１．279,292]
741 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net: >>740

a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
＝ 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
742 ：１３２人目の素数さん：2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net: 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
743 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net: 〔掛谷の定理〕
　a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0　(a_k>0)
の根は　m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
　　　M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}

高橋正明著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)

すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
　 a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
　m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,

∴　a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
744 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net: >>741
ナイスエレガンス
745 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net: >>743
(訂正ｽﾏｿ)
　　M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}

元の形は
　0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n　のとき　|z| <1,
　a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0　のとき　|z| >1,
746 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net: 2018年度奈良県立医科大学後期四番

https://i.imgur.com/3OlENLH.png
747 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net: >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
748 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net: 相変わらず手抜きだよ
749 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net: 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
750 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net: 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。

東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。（想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので）
751 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net: 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ

総レス数 1007
345 KB

新着レスの表示

掲示板に戻る全部前100 次100 最新50

read.cgi ver.24052200