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不等式への招待 第10章
- 1 :不等式ヲタ ( ゚∀゚):2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
___ ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
|┃三 ./ ≧ \
|┃ |:::: \ ./ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=__ \ ハァハァ
|┃ ≡ ) 人 \ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第9章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 238 :132人目の素数さん:2019/10/15(火) 02:06:55.09 ID:O93uxOk1.net
- >>236
>>237
正解です
いわゆる等周不等式
想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした
- 239 ::2019/10/17(木) 05:36:05 ID:eT2GFlgw.net
- >>237
参考書の方法の概要
長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を2つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90゚のとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを直径とする円周である。(S=π) (終)
- 240 :132人目の素数さん:2019/10/17(木) 07:08:12.82 ID:eT2GFlgw.net
- >>239
シュタイナー (J. Steiner) の対称化
- 241 :132人目の素数さん:2019/10/17(木) 21:33:31 ID:MQ0StxZa.net
- >>240
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります
曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば
4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2
さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります
- 242 ::2019/10/18(Fri) 08:22:53 ID:nO1XpZx3.net
- 4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
≧ {∫[0,2π] r dθ}^2 (←シュワルツ)
う〜む。
- 243 :132人目の素数さん:2019/10/18(金) 14:30:07.06 ID:nO1XpZx3.net
- (例) 辺の長さ L/4 の正方形
∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s:0→1/√2)
= L log(1+√2)
= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
= (π/4)L^2
= 0.785398163 L^2
> 0.77681940 L^2
= (0.881373587 L)^2
= (∫[0,2π] r dθ)^2
- 244 :132人目の素数さん:2019/10/18(金) 15:04:58.66 ID:48cliLMb.net
- ∫rdθが周長より長いならいいんだけど。
- 245 :132人目の素数さん:2019/10/19(土) 01:59:47.67 ID:j0qSwPAR.net
- >>242 や >>243 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>244 だと、ますます無理っぽい・・・・
- 246 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 07:51:32.79 ID:S8xxgIdK.net
- 〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[分かスレ456脇-921]
- 247 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 09:07:33 ID:S8xxgIdK.net
- I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,
(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
= 2π/(2+(2k+1)π)^2,
I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,
(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},
∴ Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
= 0.04578836 + 0.087529053
= 0.133317413
< 2/15,
0<x<π では sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
= (2/π)^4 ・ 1.8581544248371
= 0.30521248563
< 1/3,
∴ I < 7/15
なお、実際の値は
I_0 = 0.28136039736534
I_1 = 0.0496240021299
I = 0.3990209885942
- 248 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 09:18:45.67 ID:S8xxgIdK.net
- >>247
I_0 > 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 > 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),
- 249 :132人目の素数さん:2019/10/28(月) 13:09:51.57 ID:M55VqgNP.net
- >>247
|y| ≦ π/2 のとき
((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, ・・・・ Jordanの不等式
1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,
π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき sin(x) ≦ (4/π^2)・x(π-x),
- 250 :132人目の素数さん:2019/11/11(月) 01:05:02.45 ID:RnIwgTT0.net
- a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).
IMO 1967 らしい
- 251 :132人目の素数さん:2019/11/11(月) 23:31:55.51 ID:uIUz6082.net
- a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2・b^3・c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。
- 252 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 02:21:11 ID:dGHte+xL.net
- 問題
x>-2,y>0として
ye^x>log(yx+2y)
- 253 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 03:42:47.71 ID:ksIBXQAO.net
- >>250
何年度かね?
http://web.archive.org/web/20080213055134/http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html
- 254 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 06:15:32.35 ID:XcoIZ5AW.net
- >>252
e^t >= 1+t, 1+t >= log(t+2)より
ye^x = e^{(log y) + x} >= log y + (x+1)
>= log y + log(x+2) = log(yx+2y)
二つの等号を同時に成立させるx, yはない。
- 255 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 21:42:38.58 ID:WvFYjXT5F
- >>250 ただのMuirhead
- 256 :132人目の素数さん:2019/11/13(水) 01:43:38.75 ID:HL1mwdTs.net
- >>252
題意より y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。
- 257 :132人目の素数さん:2019/11/15(金) 10:38:04.46 ID:co/VrloJ.net
- Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)
飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。
- 258 :132人目の素数さん:2019/11/15(金) 13:32:49.92 ID:+e/x8O7I.net
- というか、上の級数は1.93あたりに収束するっぽいんだけど、
明示的に極限を書けないかしら。
- 259 :132人目の素数さん:2019/11/16(土) 04:10:15.50 ID:iMDULalJ.net
- >>257
たとえば
(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ・・・・・ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ・・・・ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
(n+1)^n /n! < e^n,
n! > {(n+1)/e}^n,
1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。
Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,
(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,
- 260 :132人目の素数さん:2019/11/16(土) 05:33:37 ID:cdgu8qg6.net
- >>259
おお…ありがとう
ちなみに飛び道具とはcarlemanの不等式でした。
その証明にも(n+1)^n /n! < e^nが使われるという
- 261 :132人目の素数さん:2019/11/16(土) 07:07:44.03 ID:eGTgxrCn.net
- むむむ…、震えてきた…
- 262 :132人目の素数さん:2019/11/18(月) 15:47:33 ID:W9Q6monY.net
- 〔補題〕
(1) (1 +1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
(2) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(3) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
(1)は一般化二項公式を使うらしい。
- 263 :132人目の素数さん:2019/11/23(土) 20:40:03.04 ID:md82QkH1.net
- a,b,c>0
a^2 + b^2 + c^2 ≧ Σ[cyc] a*{ (b^4 + c^4)/2 }^(1/4)
- 264 :132人目の素数さん:2019/11/25(月) 17:59:50 ID:earBUlUp.net
- A = a^4/(a^4+b^4+c^4),
B = b^4/(a^4+b^4+c^4),
C = c^4/(a^4+b^4+c^4),
とおくと
A+B+C = 1.
また
f(x) = √x - [x(1-x)/2]^(1/4),
とおくと
f '(x) = 1/(2√x) - ((1-2x)/8)[x(1-x)/2]^(-3/4),
f "(x) = -1/(4x√x) - (1/8)[x(1-x)/2]^(-3/4) + (3/64)[x(1-x)/2]^(-7/4) > 0,
∴ y=f(x) は下に凸。
∴ Jensen より
(LHS - RHS) 〜 f(A) + f(B) + f(C)
≧ 3f((A+B+C)/3)
= 3f(1/3)
= 0,
微分のことは微分でせよ?
- 265 :132人目の素数さん:2019/11/26(火) 05:01:43.80 ID:/rJkC9KX.net
- >>239-240
・参考文献
J. Steiner: J. reine Angew. Math., 24, p.93-152 (1842)
浦川 肇:「等周不等式」 数理科学(サイエンス社) No.386, p.20-24 (1995/Aug)
- 266 :132人目の素数さん:2019/11/26(火) 06:19:29.69 ID:/rJkC9KX.net
- >>257-258
Σ[k=1→n] 1/{(n+1)(n!)^2}^(1/n) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
ぐらいかな。
- 267 :132人目の素数さん:2019/11/26(火) 06:21:11.33 ID:/rJkC9KX.net
- >>257-258 訂正
Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
- 268 :132人目の素数さん:2019/11/26(火) 12:13:55.79 ID:GwDHuLDD.net
- 問題
1≦pとする
ある定数C=C(p)>0が存在し、
(0,1)上の任意のC^1級関数fに対して
∫_0^1 |f(x)-∫_0^1 f(y) dy|^p dx≦C∫_0^1 |f’(x)|^p dx
またこの不等式が成立する最小のC(p)を求めよ
- 269 :132人目の素数さん:2019/11/26(火) 14:04:10.49 ID:DW5yGutX.net
- 11月号の数蝉NOTEに、AM-GMの証明が載ってたみたいだけど、新証明?
- 270 :132人目の素数さん:2019/11/27(水) 20:12:50.80 ID:th7CPxH7.net
- このスレで話題にならないということは、既出の証明だったんじゃね?(鼻ホジ)
JBMO2020らしい
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1899502p12980771
- 271 :132人目の素数さん:2019/11/28(木) 22:48:14.44 ID:ghZZAPQ9.net
- >>267 を改良
S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}
S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613
- 272 :132人目の素数さん:2019/11/29(金) 10:08:04.96 ID:33TTA80m.net
- このサイトにある不等式の証明が興味深い
https://www.jstor.org/stable/2975630?seq=3#metadata_info_tab_contents
https://www.researchgate.net/publication/236834618_On_a_mixed_arithmetic-geometric_mean_inequality
- 273 :132人目の素数さん:2019/11/29(金) 11:04:39.65 ID:gQn2pek9.net
- めんどいから全然読んでないけど、重み付きAM-GM差分不等式っぽい(正式な名前は知らん)
https://i.imgur.com/omE2lcy.jpg
- 274 :132人目の素数さん:2019/11/30(土) 06:31:05.40 ID:EU1tlCDO.net
- >>272
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ・・・・・・, x_n >0 のとき
(1/n)Σ[k=1,n] (x_1・x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
等号成立は x_1 = x_2 = ・・・・ = x_n.
[前スレ.037(1)〜044, 051-053, 097] の辺り
K.Kedlaya: Amer.Math.Monthly, Vol.101, No.4, p.355-357 (1994/Apr)
"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"
- 275 :132人目の素数さん:2019/12/01(日) 04:00:04 ID:oC7hjXGF.net
- 右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが・・・・
G1 = a, G2 = √(ab), G3 =(abc)^(1/3), ・・・・ とおく。
n=2
(a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2,
n=3
(a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3,
n=4
(a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4,
B_1 = (aab)^(1/3)
B_2 = (abb)^(1/3),
B_k = {a^(n-1-k)・b^k}^(1/(n-1))
C = (bbc)^(1/3),
n=5
(a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e)≧(G1+G2+G3+G4+G5)^5,
B_1 = (aaab)^(1/4),
B_2 = √(ab) = G2,
B_3 = (abbb)^(1/4),
C ' = (ab^4・c)^(1/6),
C " = √(bc),
D ' = (cccd)^(1/4),
- 276 :132人目の素数さん:2019/12/01(日) 16:15:48 ID:oC7hjXGF.net
- まづ AM-GM で右辺を
(x1 + x2 + ・・・・ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
= 0 (otherwise)
チト面倒でござるが・・・・
- 277 :132人目の素数さん:2019/12/01(日) 20:39:28.33 ID:oC7hjXGF.net
- (x_1+x_2+・・・・+x_k)/k ≧ (1/n)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。
対称性
e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k (1≦i≦k)
= 0, (k<i≦n)
Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j (1≦i≦j)
= 0, (j<i≦n)
から出るか。
- 278 :132人目の素数さん:2019/12/02(月) 19:46:04 ID:a5zqFxLP.net
- >>274
(略証)
AM-GM より
Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
(x_1+x_2+・・・・ +x_k)/k
≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
- 279 :132人目の素数さん:2019/12/03(火) 08:05:57.48 ID:tkRoCzDX.net
- 最後は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(1/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
- 280 :132人目の素数さん:2019/12/03(火) 09:41:52 ID:tkRoCzDX.net
- e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},
のように組合せを使って表わすのが 貞三流でござるか? (山梨大)
- 281 :132人目の素数さん:2019/12/05(木) 01:06:46.33 ID:+ttUgWiw.net
- >>273
〔例題4'〕
x_1≧1, x_2≧1, ・・・・, x_n ≧1 のとき
A - G ≧ G/H - 1,
ここに
A = (x_1+x_2+・・・・+x_n)/n,
G = (x1・x2・・・・x_n)^(1/n),
H = n/(1/x_1+1/x_2+ ・・・ +1/x_n),
(略証)
G = (x_1・x_2・・・・x_n)^(1/n) を固定して考える。
F(x) = (左辺) - (右辺)
= (x_1+x_2+・・・・+x_n)/n - G − (1/n)(1/x_1+1/x_2+・・・・+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ・・・・, x_n) = (G, G, ・・・・, G) ならば F(x) = 0.
そうでないとき
x_i > G > x_j ≧ 1,
となる i≠j がある。 (x_i・x_j > G・1)
それらを
x_i’= G, x_j’=x_i・x_j/G,
に変更すると
x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = −(x_i -G)(G -x_j)/(n・G),
1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n・x_i・x_j),
よって
F(x’) − F(x) = −{(x_i -G)(G -x_j)/(n・G)} {1 - G/(x_i・x_j)} < 0,
すなわち F(x) は減少する。
上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,・・・・,G) となり、F=0 に至る。 (終)
- 282 :132人目の素数さん:2019/12/05(木) 02:40:54.44 ID:+ttUgWiw.net
- 〔系〕
x_1≦1, x_2≦1, ・・・・, x_n≦1 のとき
A - G ≦ G/H - 1,
(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
A = 1/H’ G = 1/G’ H = 1/A’
- 283 :132人目の素数さん:2019/12/09(月) 04:36:54.15 ID:3RsZZfph.net
- >>274
nについての帰納法による。
A_k = (x_1+x_2+・・・・+x_k)/k,
G_k = (x_1・x_2・・・・x_k)^(1/k),
とおく。
n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
(A_1・A_2・・・・A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+・・・・+G_n)/n
= (g_1+g_2+・・・・・+g_{n+1})/(n+1),
ここに
g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n
≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n) (AM-GM)
= {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n),
とおいた。また
A_{n+1} = (x_1+x_2+・・・・+x_{n+1})/(n+1),
ここでコーシーを使う。
(g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1),
より
(A_1・A_2・・・・・A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+・・・・+G_{n+1})/(n+1)
n+1 についても成り立つ。
- 284 :132人目の素数さん:2019/12/15(日) 01:02:39.88 ID:Nfo6ujPm.net
- 0<x<2n で f "(x) > 0 のとき、
f(x) は下に凸で
nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
[分かスレ456.720-722]
- 285 :132人目の素数さん:2019/12/15(日) 20:33:15.25 ID:9/kB6Zt6r
- >>284
反例になるfをいくらでも作れる
例えば
f(0)=f(2)=-1
0<x<2のとき f(x)=x^2
- 286 :132人目の素数さん:2019/12/17(火) 14:19:03.72 ID:/04vhOiY.net
- 凸不等式より
{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1) ・・・・ (1)
また 0<k<n に対して
{(n-k)f(0) + k・f(2n)} /n > f(2k),
{k・f(0) + (n-k)f(2n)} /n > f(2n-2k),
辺々たすと
f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k) ・・・・ (2)
これらにより
(左辺) - (右辺)
> nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1){f(0)+f(2n)}/2 - (n+1)Σ[k=1,n-1] f(2k)
= (n-1){f(0) + f(2n)}/2 - Σ[k=1,n-1] f(2k)
= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
> 0,
- 287 :132人目の素数さん:2019/12/17(火) 14:43:09.39 ID:/04vhOiY.net
- 〔問題132〕
A = (x_1+x_2+・・・・・+x_n)/n,
G = (x_1・x_2・・・・・x_n)^(1/n),
L = (A_1・A_2・・・・・A_n)^(1/n) ただし A_k = (x_1+x_2+・・・・・+x_k)/k,
とおく。
(n+1)(G/A)^{1/(n+1)} ≦ n(L/A)^(1/n) + G/L ≦ n+1,
IMO-2004 short list A.7
Inequalitybot [132] ☆12
- 288 :132人目の素数さん:2019/12/17(火) 14:58:04.88 ID:/04vhOiY.net
- (左) GM-AM で
(右)も GM-AM で
(L/A)^(1/n)
= {1^((n+1)/2n)} Π[k=2,n] {A_(k-1)/A_k}^((k-1)/nn)
≦ (n+1)/2n + (1/nn)Σ[k=1,n] (k-1)・A_(k-1)/A_k,
また
G/L = (Π[k=1,n] x_k/A_k)^(1/n) ≦ (1/n)Σ[k=1,n] x_k/A_k,
したがって
(中辺) ≦ (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] {(k-1)A_(k-1) + x_k}/A_k
= (n+1)/2 + (1/n)Σ[k=1,n] k
= (n+1)/2 + (n+1)/2
= n+1,
- 289 :132人目の素数さん:2019/12/18(水) 01:08:41.74 ID:jR0GFFw7.net
- a,b,c>0, ab+bc+ca≧1,
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≧ (√3)/(abc).
- 290 :132人目の素数さん:2019/12/19(木) 13:28:01.97 ID:8YaA1ba7.net
- ab+bc+ca = t とする。
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/(abc)
≧ √(3t) /(abc),
∵ xx+yy+zz ≧ (1/3)(x+y+z)^2 ≧ xy+yz+zx,
- 291 :132人目の素数さん:2019/12/19(木) 19:04:36.47 ID:SuNljxVK.net
- >>289-290
出典を貼るのを忘れていた。
香港科技大学 Mathematical Excalibur Vol.22-4
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/47722/1/math-02a-a114.pdf
- 292 :132人目の素数さん:2019/12/20(金) 02:20:08 ID:yiLw1Jz8.net
- 2015
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です!
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)
- 293 :132人目の素数さん:2019/12/27(金) 20:33:34.64 ID:E3VxHfur.net
- ウホッ、懐かしい不等式
https://www.toshin.com/concours/
- 294 :132人目の素数さん:2019/12/27(金) 21:05:30.72 ID:SKZ2Atg2.net
- >>293
https://www.toshin.com/concours/
締切:2020年1月6日※締切日必着
https://i.imgur.com/YiUSwUh.jpg
- 295 :132人目の素数さん:2019/12/29(日) 03:42:26.63 ID:ktrDgrgt.net
- 問 題
任意の相異なる正の数 a,b に対し、不等式
√(ab) < (a-b)/{log(a)-log(b)} < (a+b)/2 ・・・… (*)
が成立することが知られている。
この不等式を相異なる3つの正の数 a,b,c に関する不等式に拡張したものを一つ見つけて、それを証明せよ。ただし、ここでの拡張した不等式とは
(abc)^(1/3) < F(a,b,c) < (a+b+c)/3
( F(a,b,c) は log(a), log(b), log(c) を含む a,b,c の対称式 )
であるとする。
なお、F(a,b,c)について上記以外の仮定は定めないが、できる限り(*)から自明に得られるものでない方が望ましいものとする。
(ただし、(*)からの変形が不可というわけではない。今回はかなり自由に考えてほしい。)
東進 数学コンクール
- 296 :132人目の素数さん:2019/12/30(月) 09:31:01.33 ID:BSp8AaON.net
- (aa+k)(bb+k)(cc+k) ≧ (k+1)(a+b+c+k-2)^2
k ≧ (1+sqrt(5))/2.
- 297 :132人目の素数さん:2019/12/30(月) 23:36:43.27 ID:q0w0AswJ.net
- https://i.imgur.com/COCl2ly.jpg
- 298 :132人目の素数さん:2019/12/31(火) 02:29:47.93 ID:CIMjjWYH.net
- >>297
f(x) を [0,1] 上で非負の単調減少関数とするとき、
∫[0,1] x f(x)^2 dx /∫[0,1] x f(x) dx ≦ ∫[0,1] f(x)^2 dx /∫[0,1] f(x) dx,
を示せ。
(略証)
題意より
0 ≦ f(x),
0 ≦ f(y),
0 ≧ (x-y) {f(x)-f(y)},
よって
0 ≧ ∬(x-y){f(x)-f(y)}f(x)f(y) dxdy
= ∬{xf(x)^2 f(y) + yf(y)^2 f(x) - xf(x)f(y)^2 - yf(y)f(x)^2} dxdy
= 2∫xf(x)^2 dx・∫f(y) dy - 2∫f(x)^2 dx・∫yf(y) dy
∴ ∫xf(x)^2 dx /∫yf(y)dy ≦ ∫f(x)^2 dx /∫f(y)dy,
- 299 :132人目の素数さん:2020/01/01(水) 03:51:45.32 ID:F81QwpXb.net
- ∧_∧
( ´Д` ) 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
l⌒ ⌒l おめでとうございます。
⊂ ( ) ⊃
V ̄V
正の数 a,b,c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
>>23
>>27
- 300 :132人目の素数さん:2020/01/01(水) 13:16:53.96 ID:vZvCSbvi.net
- exradii って傍接円の半径であってるかな?
共立の赤い辞書にも載ってないし、web検索でもhitしないけど…
- 301 :132人目の素数さん:2020/01/03(金) 02:47:36.83 ID:6pYHqa71.net
- >>299 が解けたら教えよう。
正の数a,b,c・・・は今年は不要だった...orz
- 302 :132人目の素数さん:2020/01/03(金) 15:24:16.70 ID:Xx1MBzdP.net
- 去年の問題(>>23)も解けていないというのに、無理無駄無謀無茶無情!
- 303 :132人目の素数さん:2020/01/03(金) 15:46:35.83 ID:Xx1MBzdP.net
- 今勉強中なのが、カントロビチクソの不等式
- 304 :132人目の素数さん:2020/01/04(土) 21:55:59.92 ID:2AvOoxci.net
- >>185
Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何か別の名前はついてないのかな
- 305 :132人目の素数さん:2020/01/04(土) 22:10:26.67 ID:1HNb63rL.net
- >>304
> Reverse triangle inequalityと聞くと違う不等式を想像する
何を連想するん?
- 306 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 16:43:59.29 ID:M9rUjvu0.net
- 正の数a, b, cに対して
(a^1010-a+4)(b^1010-b+4)(c^1010-c+4)>(a+b+c)^3
が成り立つことを示す.
Σa/3=Mとおく.
M≧1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>9Σa^1009
≧27M^1009
≧27M^3
=(RHS)
M<1のとき
(LHS)
≧Π(a^1009+3)
>3^3
>28M^3
=(RHS)
- 307 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 17:02:53.16 ID:M9rUjvu0.net
- >>183
Kantorovich
>>230 >>250
Muirhead
>>284
Karamata
細かいけど(0,2n)ではなく[0,2n]でf">0だと思う
>>305
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality
ttps://proofwiki.org/wiki/Reverse_Triangle_Inequality
- 308 :132人目の素数さん:2020/01/05(日) 18:28:42.28 ID:PT3ra9AO.net
- >>303
サノバビッチの不等式、糞ビッチの不等式、ぬるぽビッチの不等式…、いろいろあるなぁ… (錯乱)
- 309 :132人目の素数さん:2020/01/06(月) 03:47:32.05 ID:iay27LR5.net
- >>306
正解です!!
(y^1010 +1) - (y^1009 + y)
= (y^1009 -1)(y-1)
≧ 0,
を使ったでござるか。さらに
y^1009 + 3 ≧ y^1006 + y^3 +2 ≧ y^3 +2,
とすれば、コーシーで
(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) ≧ (a+b+c)^3,
なお、最良係数は
y^1010 -y +4 ≧ 1.008619375112(y^3 +2),
等号は y = 0.994531163783 のとき
>>300
傍接円(excircle) の半径(radii) ですね。
- 310 :132人目の素数さん:2020/01/06(月) 19:06:36.22 ID:iay27LR5.net
- >>306
(a+b+c)/3 = M とおく。
(a^1009 +3)(b^1009 +3)(c^1009 +3)
> 27{(a^1009 + b^1009 + c^1009)/3 + 1}
≧ 27(M^1009 + 1)
> 27max{M^1009, 1}
≧ 27(max{M, 1})^3
= max{3M, 3}^3
= max{a+b+c, 3}^3.
- 311 :132人目の素数さん:2020/01/07(火) 04:35:19.28 ID:dGX/W9Ay.net
- Rheinboldt's inequality (*´Д`) ハァハァ…
- 312 :132人目の素数さん:2020/01/14(火) 21:02:29 ID:QnAOHIy5.net
- 三角形の3辺に対して、
sqrt(aa+bb-4S) + sqrt(bb+cc-4S) ≧ sqrt(cc+aa-4S).
- 313 :132人目の素数さん:2020/01/17(金) 00:16:00 ID:1crWIv5/.net
- >>312
Sは三角形の面積だと勝手に解釈しました. 出典知りたいです.
a≧c≧bの場合を証明すればよい.
まず補題, a^2+b^2+c^2-4S≧(a+c-b)^2 を示す.
これは -1≧1/sinB-1/sinA-1/sinC と同値.
Bを固定する. f(C)=1/sinB-1/sin(π-B-C)-1/sinC とする.
g(X)=-cosX/(sinX)^2 とする. (定義域は(0,π))
g'>0 だからgは単調増加なので f'(C)=-g(π-B-C)+g(C)≦0 だからfは単調減少.
よって f(C)≦f(B)=-1/sin(π-2B)≦-1 なので補題は示された.
題意の不等式は a^2+b^2+c^2-4S=1 の場合を証明すればよい.
(0,1]を定義域とする h(x)=-sqrt(1-x^2) を考える. hは凸関数.
(a+c-b,b) は (a,c) をマジョライズするからKaramataの不等式より
h(a+c-b)+h(b)≧h(a)+h(c) なので h(b)≧h(a)+h(c)
よって sqrt(1-aa)+sqrt(1-cc)≧sqrt(1-bb)
題意の不等式は示された.
- 314 :132人目の素数さん:2020/01/17(金) 16:03:09 ID:8XEo1F0J.net
- >>296
k ≧ (1+√5)/2 = φ = 1.618034・・・ より
kk-k-1 = (k-φ)(k+φ-1) ≧ 0,
より
(左辺) - (右辺) = (kk-k-1){(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2}
+ k{(ab-1)^2 + (bc-1)^2 + (ca-1)^2} + (abc-1)^2
+ 2(a-1)(b-1)(c-1),
う〜む、場合分けでござるか・・・・
k=2 の場合は
a,b,c>0 のとき (aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2.
APMO-2004 A.5,
文献[9] 佐藤(訳) 問題3.85, 朝倉 (2013)
Inequalitybot [20]
[前スレ. 070[2]、084] [第8章.456、469]
- 315 :132人目の素数さん:2020/01/20(月) 13:00:34 ID:RONGOZUM.net
- >>314
k ≧ φ ならば, どの文字に注目しても
f(a,b,c,k) = (aa+k)(bb+k)(cc+k) - (k+1)(a+b+c+k-2)^2
は下に凸の二次関数, さらに(1,1,1,φ)で極小値0.
>>296 のステートメントが適当すぎる.
- 316 :132人目の素数さん:2020/01/21(火) 00:47:02 ID:NlSt5Qji.net
- 〔問題〕
実数a,b,cが
a < b < c, a+b+c = 6, ab+bc+ca = 9
を満たしている。
0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
を証明せよ。
高校数学問題bot (@7k_x)
- - - - - - - - - - - - - - -
3a(4-a) = (c-b)^2 >0,
3c(4-c) = (b-a)^2 >0,
(c-a)^2 -9 = (c-b)(b-a) >0,
3(3-b)(b-1) = (c-b)(b-a) >0,
らしい。
- 317 :132人目の素数さん:2020/01/31(金) 12:39:42.63 ID:fETwRHBA.net
- 2016年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/vkhfrlu.png
- 318 :132人目の素数さん:2020/01/31(金) 15:05:57 ID:fETwRHBA.net
- もう一つ
2017年度春合宿の問題
https://i.imgur.com/NQhkkhd.png
https://i.imgur.com/8eDQygH.png
- 319 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 04:59:30.88 ID:7zqqjjoe.net
- >>317
第7問
実数kは、任意の2以上の整数nと正の実数 a_0,a_1,・・・・,a_n に対して
1/(a_0+a_1) + 1/(a_0+a_1+a_2) + ・・・・ + 1/(a_0+a_1+・・・・+a_n) < k (1/a_0 + 1/a_1 + ・・・・ +1/a_n)
を満たす。このようなkとしてあり得る最小の値を求めよ。
>>318
第8問
正の整数からなる数列a1,a2,・・・・があり、任意の正の整数nについて
a_n > (a_{n+1} + a_{n+2} + ・・・・ + a_{2n}) / (n+2016)
を満たしている。このとき、ある正の実数Cが存在し、
任意の正の整数nについて a_n < C が成り立つことを示せ。
第10問
3以上の正の整数nであり、次を満たすものをすべて求めよ。
|a_k| + |b_k| = 1 (k=1,2,・・・・,n) を満たすような任意の2n個の実数 a_1,a_2,・・・・,a_n, b_1,b_2,・・・・,b_n に対して、
実数 x_1,x2,・・・・,x_n を、次を満たすように選ぶことができる。
|x_k| = 1 (k=1,2,・・・・,n),
|Σ[k=1,n] x_k・a_k | + |Σ[k=1,n] x_k・b_k | ≦ 1.
- 320 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 07:31:35.29 ID:7zqqjjoe.net
- 第7問
k = 1/3
(a_0 = a_1 = 1, a_k = 2^(k-1), n→∞ のとき)
第10問
v_k = (a_k,b_k) は正方形 |X| + |Y| = 1 の辺上にある。
Σ[k=1,n] (±v_k) が正方形の内側に落ちる (ように各符号x_kを選ぶ)
- 321 :132人目の素数さん:2020/02/01(土) 13:53:11 ID:0aCfjAcc.net
- 第8問だけど上に有界なら極限値は何になるのかも気になる
- 322 :132人目の素数さん:2020/02/05(水) 07:10:07 ID:AQM1KB8L.net
- >>317 >>320
第7問
S_j = a_0 + a_1 + ・・・・ + a_j,
とおくと HM-AM で
4/S_j = 4/{S_(j-1) + a_j} ≦ 1/S_(j-1) + 1/a_j,
4/S_j - 1/S_(j-1) ≦ 1/a_j,
j=1〜n の和をとる。
3Σ[j=1,n] 1/S_j + 1/S_n ≦ Σ[j=0,n] 1/a_j,
Σ[j=1,n] 1/S_j < (1/3)Σ[j=0,n] 1/a_j,
- 323 :132人目の素数さん:2020/02/09(日) 20:15:04 ID:drHYoHKW.net
- 私的メモ、Hadamardの不等式
- 324 :132人目の素数さん:2020/02/11(火) 23:26:49 ID:Q2MCulxJ.net
- 関数不等式が出ました
https://i.imgur.com/Ub5tYCW.jpg
- 325 :132人目の素数さん:2020/02/11(火) 23:32:00 ID:l6EiwKBu.net
- >>324
ウホッ!いい関数不等式
- 326 :132人目の素数さん:2020/02/12(水) 07:39:21.58 ID:uWBQqkSN.net
- 2020年 日本数学オリンピック 本選
(C)(公財) 数学オリンピック財団
問 題^1
2020年2月11日 試験時間4時間 5題
1. (n^2 +1)/(2m) と √{2^(n-1) + m + 4} がともに整数となるような正の整数の組 (m,n) をすべて求めよ。
(m,n) = (1,3) (61,11) ?
2. BC < AB, BC < AC なる三角形ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり、BD=CE=BC を満たしている。
直線BEと直線CDの交点をPとする。
三角形ABEの外接円と三角形ACDの外接円の交点のうちAでない方をQとしたとき、直線PQと直線BCは垂直に交わることを示せ。
ただし、XYで線分XYの長さを表わすものとする。
3. 正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数fであって、任意の正の整数m,nに対して
m^2 + f(n)^2 + (m-f(n))^2 ≧ f(m)^2 + n^2,
を満たすものをすべて求めよ。
- 327 :132人目の素数さん:2020/02/12(水) 08:06:10 ID:uWBQqkSN.net
- 4. nを2以上の整数とする。
円周上に相異なる3n個の点があり、これらを特別な点とよぶことにする。
A君とB君が以下の操作をn回行なう。
まず、A君が線分で直接結ばれていない2つの特別な点を結んで線分で結ぶ。
次に、B君が駒の置かれていない特別な点を1つ選んで駒を置く。
A君はB君の駒の置き方にかかわらず、n回の操作が終わったときに駒の置かれている特別な点と駒の置かれていない特別な点を結ぶ線分の数を (n-1)/6 以上にできることを示せ。
5. ある正の実数cに対して以下が成立するような、正の整数からなる数列 a_1, a_2, ・・・・ をすべて求めよ。
任意の正の整数m,nに対して gcd(a_m + n, a_n + m) > c (m+n) となる。
ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数を gcd(x,y) で表わす。
以 上
- 328 :132人目の素数さん:2020/02/13(木) 08:18:39 ID:8bKSb4oB.net
- 〔問題〕
f(x) = Σ[k=0,n] c_k x^k (c_k ≧0) のとき、次は成り立つか?
(1) {u f '(x)/f(x)} ' ≧ 0,
(2) log{f(e^x)} は下に凸
(3) f(x)f(y) ≧ f(√(xy))^2.
分かスレ458.054-063
- 329 :132人目の素数さん:2020/02/16(日) 01:35:24.83 ID:N9QZtxQk.net
- >>316
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -6x^2 +9x -abc
とおく。
(4-abc) - f(x) = (4-x)(1-x)^2,
から x=1 で極大 f(1) = 4-abc = f(4),
f(x) + abc =x(x-3)^2,
より x=3 で極小 f(3) = -abc = f(0),
または 微分して増減表を書けばx=1で極大値 4-abc,x=3で極小値 -abc をとる。
題意により、f(x)=0 は 3実根a<b<cをもつから
-abc < 0 < 4-abc
∴ 0<a<1<b<3<c<4
(tenさん)
http://suseum.jp/gq/question/3132
- 330 :132人目の素数さん:2020/02/19(水) 13:19:05 ID:WOZU/4dA.net
- n>1 に対して
ζ(n) = 1 + 1/(2^n) + 1/(3^n) + ・・・・
とおく。このとき
ζ(n) > e^{1/(2^n)} > 1 + 1/(2^n)
か?
- 331 :132人目の素数さん:2020/02/20(木) 08:57:27 ID:ZWVgPXIY.net
- ζ(n) = Σ[k=1,∞] 1/(k^n)
> Σ[j=0,∞] 1/(2^j)^n
= Σ[j=0,∞] 1/N^j
= 1/(1 - 1/N),
ここに、N=2^n とおいた。
1/N^j > 1/(j!・N^j) より
ζ(n) > 1/(1 - 1/N) > exp(1/N) > 1 + 1/N,
- 332 :132人目の素数さん:2020/02/25(火) 17:15:37 ID:Bxdn7zCJ.net
- 2020年度東大理系第一問
https://i.imgur.com/WoxEvwb.jpg
- 333 :132人目の素数さん:2020/02/27(木) 03:16:30 ID:6SmBw6gg.net
- >>332
第 1 問
a,b,c,p を実数とする。不等式
ax^2 + bx + c > 0
bx^2 + cx + a > 0
cx^2 + ax + b > 0
をすべて満たす実数xの集合と、x>p を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) a,b,c はすべて0以上であることを示せ。
(2) a,b,c のうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) p=0 であることを示せ。
- 334 :132人目の素数さん:2020/02/27(木) 04:06:30.88 ID:6SmBw6gg.net
- >>333
(1) 背理法による。
a<0 と仮定すると f(x) = ax^2 +bx +c は上に凸な放物線。
f(x)>0 を満たすxの範囲は (もし有っても) 有限の範囲内。
これは題意の「x>p ⇒ 3式すべてを満たす」に反する。
b,cについても同様。
(2) 背理法による。
a>0 と仮定すると f(x) = ax^2+bx+c は下に凸な放物線。
|x| > 2|b/a| + √|2c/a| ⇒ f(x) >0 を満たす。
-x がじゅうぶん大きいときにも f(x) >0 を満たす。
a,b,c>0 と仮定すると、
-x がじゅうぶん大きいときにも 3式すべてを満たす。
これは題意の「3式すべてを満たす ⇒ x>p」に反する。
∴ abc=0.
- 335 :132人目の素数さん:2020/02/28(金) 16:07:45 ID:b8YXVJTs.net
- >>333
(3)
a>0, b≧0, c=0 のとき
(ax+b)x >0 ・・・・ x>0 または ax+b<0
bxx+a > 0 ・・・・ すべての実数
ax+b > 0 ・・・・ (x>0を含む)
このすべてを満たす実数xは x>0.
a=b=c=0 のとき
3式を満たす実数xはない。(不適)
以上により p=0.
- 336 :132人目の素数さん:2020/02/28(金) 16:57:20 ID:b8YXVJTs.net
- ・分野・テーマ
2次関数、集合と命題、極限
・設問内容
係数に対称性のある3つの2次以下の不等式をすべて満たす実数の集合の形から、不等式の係数についての条件や、不等式の解を決定する問題である。
・解答のポイント
結論は直感的には明らかであるが、それをきちんと証明するのは難しい。
(1) グラフの概形をイメージすることが大きな手掛かりとなる。
十分大きなxについて考えると良い。
(2) (1)と同様に極限を考えると良いが、ここが難所である。
(3) 前問が示せていなくても、取り組みたい。
係数すべてが0となることはなく、1つは0であるから、この条件の下で3つの不等式を解くことで解決する。
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/tokyo/1313355_5408.html
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1582861742/
- 337 :132人目の素数さん:2020/03/09(月) 12:24:18.22 ID:3u+TSzyD.net
- 難易度10(満点)らしい
https://i.imgur.com/BoWlWmP.jpg
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