不等式への招待 第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

716 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net

分かりませんね。

　I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
　I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
　f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
　f(∞) = H,
　f(b) = I(a,b),
　f(H) = (A+H)/2,
　f(G) = √(AH) = G,
　f(A) = 2AH/(A+H),
　f(a) = I(b,a),
　f(0) = A,

717 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net

>>715

AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると

H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A　も成立

718 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net

>>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),

719 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net

f(-a)=b
f(-b)=a

720 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net

　f(x) = (A+x)/(1+x/H)　⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
　g(x) = (b+x)/(1+x/a)　⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)

　f(-A) = 0　　　　　 　　g(-b) = 0
　f(-b) = a　　　　　 　　g(∞) = a
　f(∞) = H　　　　　 　　g(b) =　H
　f(b) = I(a,b)　　　 　　g(A) = I(a,b)
　f(A) = 2AH/(A+H)　 g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
　f(G) = √(AH) = G　 g(G) = √(AH) = G
　f(H) = (A+H)/2　　　 g(I(a,b)) =(A+H)/2
　f(a) = I(b,a)　　　 　　g(H) = I(b,a)
　f(0) = A　　　　　　　　g(a) = A
　f(-a) = b　　　　　　 　g(0) = b
　f(-H) = ∞　　　　　　　g(-a) =∞

721 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net

久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな？

722 ：１３２人目の素数さん：2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net

AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/

723 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net

z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。

724 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net

閉円盤

725 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net

解1.
A(1/3,0)　B(3,0)　P(x,y) とおくと
　(与式) = 3(AP/BP)

(与式) = k　(<3) は
　AP：BP = k：3
なる アポロニウスの円である。
直径の両端は 内分点と外分点
　(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
　3-8/(3-k) ≧ -1　または　3-8/(3+k) ≦ 1,
∴　k ≦ 1,

解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
　= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
　= 8(1-zz~)
　= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r･e^(iθ)-3|^2 - |3r･e^(iθ)-1|^2
　= (rr -6r･cosθ +9) - (9rr - 6r･cosθ +1)
　= 8(1-rr),
よって
　|z|≦1　　⇔　　|(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,

726 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net

〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
　D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2},　　　h≧4/3
も距離。

[面白スレ３９．399,402,404]

727 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net

は怪しいので
　D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…

728 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net

>>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。

729 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net

z=-1で最大

730 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net

　|z| ≦ 1,
　|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
　|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
　……
辺々掛けて
　|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。

731 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net

なんか凄いな

732 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net

z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)

733 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net

凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法

734 ：１３２人目の素数さん：2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net

〔問題471〕
任意の自然数ｎに対して、次を示せ。
　1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……

[高校数学の質問スレPart414．471]

735 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net

右辺は　∫[0,1] x^n e^{1-x} dx　になるらしい…

[同．492]

736 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net

むむむ…

737 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net

右辺は {n!e} になるらしい。

高校生なら等比級数
　1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...

738 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net

>>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ（積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある）

739 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net

>>735
　被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x　と下から接すれば
　e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n　を得る。

740 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net

〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
　a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。

[分かスレ４７１．279,292]

741 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net

>>740

a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
＝ 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}

742 ：１３２人目の素数さん：2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net

正解です!!
AM-GM だけでいけますね。

743 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net

〔掛谷の定理〕
　a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0　(a_k>0)
の根は　m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
　　　M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}

高橋正明 著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明 著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)

すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
　 a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
　m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,

∴　a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,

744 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net

>>741
ナイスエレガンス

745 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net

>>743
(訂正ｽﾏｿ)
　　M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}

元の形は
　0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n　のとき　|z| <1,
　a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0　のとき　|z| >1,

746 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net

2018年度奈良県立医科大学後期四番

https://i.imgur.com/3OlENLH.png

747 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net

>>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ

748 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net

相変わらず手抜きだよ

749 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net

全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ

750 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net

数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。

東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。（想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので）

751 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net

別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ

752 ：１３２人目の素数さん：2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net

a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ

753 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net

任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)

754 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net

>>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10

755 ：１３２人目の素数さん：2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net

1997東大理系数学第2問

756 ：１３２人目の素数さん：2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net

z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.

757 ：１３２人目の素数さん：2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net

複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式

758 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net

z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか？

759 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net

ときたいとは？
面積求めるとか？
図示するとか？

760 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net

図示ですぞ

761 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net

>>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ

762 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net

ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。

763 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net

大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja

764 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net

大先生は よく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…

765 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net

>>764
最後の方にある

y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)

と

y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)

の間やろ

766 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net

>>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。

767 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net

>>766大先生の答え整理したら円になる？

768 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net

zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.

769 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net

ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。

>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。

770 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net

イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja

771 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net

>>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。

772 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net

もともとは、冪級数
　S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が２つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。

　y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
　y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.

これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。

(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。

773 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net

>>770
x・yの二次式って意味だった。

>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。

774 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net

youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子？で女性？

775 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net

Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)

776 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net

x,y,zが非負実数のとき　Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)

777 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net

a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.

778 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net

USAMO第六問

nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ

779 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net

>>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo

780 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net

>>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0

781 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net

ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png

782 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net

これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例

783 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net

同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる

784 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net

ウクライナMO2021

a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)

785 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net

>>782
どうやって導き出したんですか？

786 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net

代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる

787 ：１３２人目の素数さん：2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net

>>784　abcの大小は関係ない

788 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net

コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ

789 ：１３２人目の素数さん：2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net

>>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた

任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根

n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2

790 ：１３２人目の素数さん：2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net

x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2

791 ：１３２人目の素数さん：2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net

はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png

792 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net

w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.

w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか？

793 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net

f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して

|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707

794 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net

>>793
なるほど、ありがとうございます。

795 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net

>>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか？

|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ？

796 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net

|e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).

797 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net

>>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。

798 ：１３２人目の素数さん：2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net

単位円上の５点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する５つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ

799 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net

>>756
これは どうやって証明するのでしょうか？

800 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net

大先生いわく成立してないぽい

https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja

801 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net

>>800
全く違う式では？

802 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net

何故？

803 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net

>>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。

804 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net

右辺は e+1 でしょうね。

805 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net

>>756
改造してみた。どう？

z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.

806 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net

5/3? 4/3でなく？

807 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net

やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる

https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja

e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん

808 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net

>>807
|z|=1なのに？

809 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net

すまん。

810 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net

>>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。

z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.

811 ：１３２人目の素数さん：2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net

3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3

812 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net

>>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650

813 ：１３２人目の素数さん：2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net

ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812

814 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net

十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか？

815 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net

マクローリン展開じゃないの？
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)