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不等式への招待 第10章
- 707 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net
- >>704
|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
- 708 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net
- >>702
1/n^3 = n/n^4
< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)} (n≧3)
= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
- 709 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net
- >>707
( ﾟ∀ﾟ) ｷﾀｺﾚ！
- 710 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net
- >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか？
- 711 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net
- arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。
∵ arg(p) = arg(q) = arg(r).
- 712 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net
- Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)
↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
- 713 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net
- とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
- 714 ：１３２人目の素数さん：2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net
- 初項は 2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,
なお、二項公式から
Σ(k=1〜2n) Ｃ(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
- 715 ：１３２人目の素数さん：2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net
- 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b) とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか？
証明はただ計算すればいいんですけど、、
- 716 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net
- 分かりませんね。
I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
f(∞) = H,
f(b) = I(a,b),
f(H) = (A+H)/2,
f(G) = √(AH) = G,
f(A) = 2AH/(A+H),
f(a) = I(b,a),
f(0) = A,
- 717 ：１３２人目の素数さん：2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net
- >>715
AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると
H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A も成立
- 718 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net
- >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
- 719 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net
- f(-a)=b
f(-b)=a
- 720 ：１３２人目の素数さん：2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net
- f(x) = (A+x)/(1+x/H) ⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
g(x) = (b+x)/(1+x/a) ⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)
f(-A) = 0 g(-b) = 0
f(-b) = a g(∞) = a
f(∞) = H g(b) = H
f(b) = I(a,b) g(A) = I(a,b)
f(A) = 2AH/(A+H) g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
f(G) = √(AH) = G g(G) = √(AH) = G
f(H) = (A+H)/2 g(I(a,b)) =(A+H)/2
f(a) = I(b,a) g(H) = I(b,a)
f(0) = A g(a) = A
f(-a) = b g(0) = b
f(-H) = ∞ g(-a) =∞
- 721 ：１３２人目の素数さん：2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net
- 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな？
- 722 ：１３２人目の素数さん：2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net
- AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
- 723 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net
- z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
- 724 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net
- 閉円盤
- 725 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net
- 解1.
A(1/3,0) B(3,0) P(x,y) とおくと
(与式) = 3(AP/BP)
(与式) = k (<3) は
AP：BP = k：3
なる アポロニウスの円である。
直径の両端は 内分点と外分点
(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
3-8/(3-k) ≧ -1 または 3-8/(3+k) ≦ 1,
∴ k ≦ 1,
解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
= 8(1-zz~)
= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r･e^(iθ)-3|^2 - |3r･e^(iθ)-1|^2
= (rr -6r･cosθ +9) - (9rr - 6r･cosθ +1)
= 8(1-rr),
よって
|z|≦1 ⇔ |(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
- 726 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net
- 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離。
[面白スレ３９．399,402,404]
- 727 ：１３２人目の素数さん：2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net
- は怪しいので
D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
- 728 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net
- >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
- 729 ：１３２人目の素数さん：2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net
- z=-1で最大
- 730 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net
- |z| ≦ 1,
|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
……
辺々掛けて
|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
- 731 ：１３２人目の素数さん：2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net
- なんか凄いな
- 732 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net
- z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
- 733 ：１３２人目の素数さん：2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net
- 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
- 734 ：１３２人目の素数さん：2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net
- 〔問題471〕
任意の自然数ｎに対して、次を示せ。
1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……
[高校数学の質問スレPart414．471]
- 735 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は ∫[0,1] x^n e^{1-x} dx になるらしい…
[同．492]
- 736 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net
- むむむ…
- 737 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は {n!e} になるらしい。
高校生なら等比級数
1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
- 738 ：１３２人目の素数さん：2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net
- >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ（積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある）
- 739 ：１３２人目の素数さん：2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net
- >>735
被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x と下から接すれば
e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n を得る。
- 740 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net
- 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。
[分かスレ４７１．279,292]
- 741 ：１３２人目の素数さん：2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net
- >>740
a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
＝ 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
- 742 ：１３２人目の素数さん：2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net
- 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
- 743 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net
- 〔掛谷の定理〕
a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0 (a_k>0)
の根は m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}
高橋正明 著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明 著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)
すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,
∴ a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
- 744 ：１３２人目の素数さん：2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net
- >>741
ナイスエレガンス
- 745 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net
- >>743
(訂正ｽﾏｿ)
M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
元の形は
0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n のとき |z| <1,
a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0 のとき |z| >1,
- 746 ：１３２人目の素数さん：2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net
- 2018年度奈良県立医科大学後期四番
https://i.imgur.com/3OlENLH.png
- 747 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net
- >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
- 748 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net
- 相変わらず手抜きだよ
- 749 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net
- 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
- 750 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net
- 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。
東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。（想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので）
- 751 ：１３２人目の素数さん：2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net
- 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ
- 752 ：１３２人目の素数さん：2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net
- a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ
- 753 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net
- 任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)
- 754 ：１３２人目の素数さん：2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net
- >>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10
- 755 ：１３２人目の素数さん：2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net
- 1997東大理系数学第2問
- 756 ：１３２人目の素数さん：2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net
- z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.
- 757 ：１３２人目の素数さん：2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net
- 複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式
- 758 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net
- z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか？
- 759 ：１３２人目の素数さん：2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net
- ときたいとは？
面積求めるとか？
図示するとか？
- 760 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net
- 図示ですぞ
- 761 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net
- >>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ
- 762 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net
- ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。
- 763 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net
- 大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja
- 764 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net
- 大先生は よく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…
- 765 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net
- >>764
最後の方にある
y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
と
y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
の間やろ
- 766 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net
- >>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。
- 767 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net
- >>766大先生の答え整理したら円になる？
- 768 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net
- zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
- 769 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net
- ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。
>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。
- 770 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net
- イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja
- 771 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net
- >>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。
- 772 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net
- もともとは、冪級数
S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が２つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。
(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。
- 773 ：１３２人目の素数さん：2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net
- >>770
x・yの二次式って意味だった。
>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。
- 774 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net
- youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子？で女性？
- 775 ：１３２人目の素数さん：2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net
- Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
- 776 ：１３２人目の素数さん：2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net
- x,y,zが非負実数のとき Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
- 777 ：１３２人目の素数さん：2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net
- a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
- 778 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net
- USAMO第六問
nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
- 779 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net
- >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
- 780 ：１３２人目の素数さん：2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net
- >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
- 781 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net
- ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
- 782 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net
- これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
- 783 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net
- 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
- 784 ：１３２人目の素数さん：2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net
- ウクライナMO2021
a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
- 785 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net
- >>782
どうやって導き出したんですか？
- 786 ：１３２人目の素数さん：2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net
- 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
- 787 ：１３２人目の素数さん：2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net
- >>784 abcの大小は関係ない
- 788 ：１３２人目の素数さん：2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net
- コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
- 789 ：１３２人目の素数さん：2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net
- >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた
任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根
n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
- 790 ：１３２人目の素数さん：2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net
- x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
- 791 ：１３２人目の素数さん：2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net
- はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
- 792 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net
- w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.
w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか？
- 793 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net
- f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して
|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
- 794 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか？
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ？
- 796 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 ：１３２人目の素数さん：2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の５点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する５つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか？
- 800 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では？
- 802 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故？
- 803 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
- 805 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net
- >>756
改造してみた。どう？
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
- 806 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net
- 5/3? 4/3でなく？
- 807 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net
- やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja
e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
- 808 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net
- >>807
|z|=1なのに？
- 809 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net
- すまん。
- 810 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net
- >>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
- 811 ：１３２人目の素数さん：2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net
- 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
- 812 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net
- >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
- 813 ：１３２人目の素数さん：2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net
- ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
- 814 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか？
- 815 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- マクローリン展開じゃないの？
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
- 816 ：１３２人目の素数さん：2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net
- う～ん
- 817 ：１３２人目の素数さん：2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net
- 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1 (|z|→0)
- 818 ：１３２人目の素数さん：2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net
- >>814
改造してみた。うひょっ！
|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
- 819 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
- 820 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net
- z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
- 821 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net
- >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
- 822 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net
- | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
- 823 ：１３２人目の素数さん：2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net
- https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
- 824 ：１３２人目の素数さん：2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net
- https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
- 825 ：１３２人目の素数さん：2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net
- ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
- 826 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I
- 827 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net
- π: a→a'
- 828 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net
- 自然な準同型写像
- 829 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net
- Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
- 830 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net
- 準同型写像fの核Ker
- 831 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net
- Kerf=(0)⇔fは単射
- 832 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net
- R/Kerf≅f(R)
- 833 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net
- f'は単準同型写像
剰余環→環
- 834 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net
- f: R→R'
- 835 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I、I=Kerf
- 836 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net
- f': R/I→R'
- 837 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net
- R上の不定元、変数
- 838 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net
- R上のXの多項式
- 839 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net
- exp(x)>x
- 840 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net
- 次数n=degf(x)
-∞
- 841 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net
- R[x]
- 842 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net
- f+g=∑(a+b)x
- 843 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net
- fg=∑∑(ab)x
aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0～n
- 844 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net
- R上の1変数多項式環
- 845 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net
- a₀=0、0元
a₀=1、単位元
- 846 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net
- degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
- 847 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net
- Rが整域⇒R[X]は整域
- 848 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net
- R[X][Y]=R[X, Y]
- 849 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net
- 最大公約元
- 850 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式
- 851 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net
- 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
- 852 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net
- Gaussの補題
- 853 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net
- f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
- 854 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net
- f=uF
- 855 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
- 856 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net
- UFD、Rの商体をKとする
- 857 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net
- Fを原始多項式
- 858 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net
- しなわち(a₁)=1とする
- 859 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net
- ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
- 860 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定条件
- 861 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net
- fがKの素元⇒FはRの素元
- 862 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net
- 特にF自身をとると
- 863 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net
- 特にFがKで素元であれば
- 864 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net
- FはKで素元であればRで素元である
- 865 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net
- RがUFD⇒R[はUFD]
- 866 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net
- 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
- 867 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net
- RをUFD、
- 868 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net
- Kをその商体とする。
- 869 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net
- p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
- 870 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net
- モニックp∤aₙ
p|その他0～n-1
p²∤a₀、定数項
- 871 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定法
- 872 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net
- 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
- 873 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体
- 874 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net
- Kを有限体とする
- 875 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net
- Kの単位元を1とする
- 876 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net
- (n)=n･1
- 877 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net
- 準同型写像τ: ℤ→K
- 878 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net
- 環準同型定理より
- 879 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net
- π: ℤ→ℤ/Kerτ
- 880 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net
- τ': ℤ/Kerτ→K
- 881 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net
- 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
- 882 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net
- τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
- 883 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτはℤの素Idealとなる
- 884 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτ=(p)
- 885 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net
- 体Kの標数p
- 886 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net
- これはKの素体
- 887 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net
- Kに含まれる最小の体
- 888 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net
- 標数pの体の素体ℤₚ
- 889 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net
- ℤₚ=𝔽ₚとする
- 890 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
- 891 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
- 894 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net
- 部分体と
- 895 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net
- 拡大体
- 896 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net
- KはF上のVector空間
- 897 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net
- dim_F K=[K: F]
- 898 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net
- [L: F]=[L: K][K: F]
- 899 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上代数的である
- 900 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上超越的である
- 901 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする
- 902 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net
- 次数最小の
- 903 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net
- モニックな
- 904 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net
- 既約多項式
- 905 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net
- αのK上の最小多項式f(x)
- 906 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
- 907 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net
- LはK上代数的
- 908 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net
- Kにαを添加した体
- 909 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net
- K(α)
- 910 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net
- Kに添加した体
- 911 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net
- 単純拡大
- 912 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net
- 単拡大
- 913 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net
- K[]X→K[α]⊂L
- 914 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net
- X→α代入
- 915 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net
- これは環同型写像
- 916 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net
- K[α]の商体K(α)
- 917 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net
- K上の有理関数体と同型
- 918 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net
- K(x)
- 919 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net
- 写像: K[ X]/(f)→K(α)
- 920 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net
- この場合、写像X'→α
- 921 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net
- 同型写像でありK[α]は体になる
- 922 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net
- すなわちK[α]=K(α)
- 923 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net
- K⊂L、α∈Lとする
- 924 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net
- αを体K上代数的とする
- 925 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net
- [K(α): K]=n
- 926 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net
- f(x)のLにおける根
- 927 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net
- 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
- 928 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net
- 制限σ|F
- 929 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net
- 自己同型写像
- 930 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net
- 恒等写像
- 931 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net
- q=p^r、r≧1
- 932 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net
- -(-a)=a
- 933 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net
- 0a=a0=0
- 934 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net
- (-a)b=a(-b)=-ab
- 935 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net
- a(b-c)=ab-ac
- 936 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net
- (b-c)a=ba-ca
- 937 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net
- 三則が可能
- 938 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net
- 可換、簡約が可能とは限らない
- 939 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net
- 単位的環
- 940 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net
- 正則R*
- 941 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net
- (ma)b=a(mb)=mab
- 942 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net
- 零環{0}
- 943 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
- 944 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net
- 零環は0しかない
- 945 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net
- 零元0
- 946 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net
- 環R≠{0}
零環を除くとする
- 947 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net
- a≠0を元に持つ
- 948 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net
- 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
- 949 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net
- よってe≠0
- 950 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
- 951 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net
- a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
- 952 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net
- よって0a=a0=0となる
- 953 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=a
- 954 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net
- (a⁻¹)⁻¹=a
- 955 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net
- 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
- 956 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
- 957 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net
- 加法群において
a+(-a)=0
- 958 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net
- これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
- 959 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
- 960 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=aとなる
- 961 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net
- R*
- 962 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net
- a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
- 963 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net
- a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
- 964 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net
- a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
- 965 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net
- するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
- 966 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net
- (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
- 967 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net
- ab∈R*より積に関してR*は閉じている
- 968 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net
- Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
- 969 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net
- 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
- 970 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net
- Rに関して0を除外した場合
- 971 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net
- R*は群をなすかどうか
- 972 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net
- 結果的に群をなす
- 973 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net
- ことがわかった
- 974 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net
- 積に関して閉じている
- 975 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net
- 単位元の存在
- 976 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net
- 逆元の存在
- 977 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net
- 結合律の成立
- 978 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net
- 逆元を持つ元のみの集合
- 979 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net
- 結局0が除外サれるだけ
- 980 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net
- 0には逆元は存在しない
- 981 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net
- 加法群としてならば存在する
- 982 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net
- R*=R-{0}
- 983 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net
- R\{0}
- 984 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net
- R=R*と仮定すると
- 985 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net
- 0∈Rより0∈R*となる
- 986 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net
- ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
- 987 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net
- a=0として
- 988 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net
- 0×0⁻¹=e
- 989 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net
- ∀a、0a=0より
- 990 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net
- 0=eとかり不合理
- 991 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:48.61 ID:wmZr8viD.net
- よってR≠R*である
- 992 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:09.66 ID:wmZr8viD.net
- あり得ない物を持ち込んで
- 993 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:15:31.62 ID:wmZr8viD.net
- 矛盾を導く
- 994 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:22:57.43 ID:wmZr8viD.net
- 分配律を利用する
- 995 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:24:14.71 ID:wmZr8viD.net
- (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
∴(-a)b=-ab
- 996 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:25:31.12 ID:wmZr8viD.net
- a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
∴a(-b)=-ab
- 997 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:28:00.31 ID:wmZr8viD.net
- よってA(-b)=-Ab
A=-aとして
-(-a)(-b)=-(-a)b=ab
- 998 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:29:55.29 ID:wmZr8viD.net
- 分配律より
- 999 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:32.40 ID:wmZr8viD.net
- a(b-c)=
- 1000 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:30:51.82 ID:wmZr8viD.net
- 分配律により
- 1001 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:32:12.80 ID:wmZr8viD.net
- a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
- 1002 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:06.82 ID:wmZr8viD.net
- -a=+(-a)
- 1003 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:34:37.42 ID:wmZr8viD.net
- (b-c)a=
- 1004 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:03.92 ID:wmZr8viD.net
- (b+(-c))a=
- 1005 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:35:30.31 ID:wmZr8viD.net
- bc+(-c)a=
- 1006 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:36:03.53 ID:wmZr8viD.net
- ba-ca
- 1007 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread
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