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不等式への招待 第10章
- 1 :不等式ヲタ ( ゚∀゚):2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
___ ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
|┃三 ./ ≧ \
|┃ |:::: \ ./ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=__ \ ハァハァ
|┃ ≡ ) 人 \ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第9章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 705 :132人目の素数さん:2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net
- |z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 (三角不等式)
= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 (GM-AM)
= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。
- 706 :132人目の素数さん:2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net
- >>702
φ = (1+√5)/2 = 1.618034… とおく。 (黄金比)
1/n^3 = n/n^4
≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2・(nn-4)} (n≧2)
= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,
- 707 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net
- >>704
|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。
- 708 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net
- >>702
1/n^3 = n/n^4
< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)} (n≧3)
= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴ Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792
- 709 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net
- >>707
( ゚∀゚) キタコレ!
- 710 :132人目の素数さん:2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net
- >>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか?
- 711 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net
- arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。
∵ arg(p) = arg(q) = arg(r).
- 712 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net
- Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)
↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん
- 713 :132人目の素数さん:2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net
- とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな
- 714 :132人目の素数さん:2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net
- 初項は 2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,
なお、二項公式から
Σ(k=1〜2n) C(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.
- 715 :132人目の素数さん:2021/10/18(月) 20:54:00 ID:gvNZ1Lh7.net
- 0<a<b,A=(a+b)/2 , G=(ab)^(1/2), H=2ab/(a+b), I(a,b)≡a(a+3b)/(3a+b) とおくと
H≦I(a,b)≦G≦I(b.a)≦A
が成立するんですけどI(a,b)の意味というか簡単な解釈みたいのってあるのでしょうか?
証明はただ計算すればいいんですけど、、
- 716 :132人目の素数さん:2021/10/19(火) 18:46:50 ID:OvSIJGC7.net
- 分かりませんね。
I(a,b) = (A+b)/(1+b/H),
I(b,a) = (A+a)/(1+a/H),
なので
f(x) = (A+x)/(1+x/H),
とおいてみますか。
これはxの一次分数式で単調減少です。
f(∞) = H,
f(b) = I(a,b),
f(H) = (A+H)/2,
f(G) = √(AH) = G,
f(A) = 2AH/(A+H),
f(a) = I(b,a),
f(0) = A,
- 717 :132人目の素数さん:2021/10/19(火) 19:59:53 ID:G5c9BaN8.net
- >>715
AとHの調和平均を J(a,b)=2AH/(A+H)=4ab(a+b)/(a^2+b^2+6ab) とすると
H≦I(a,b)≦J(a,b)≦G≦ab/J(a,b)≦I(b,a)≦A も成立
- 718 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 04:41:32 ID:tGBp8wkO.net
- >>716
f(A) = 2AH/(A+H) = J(a,b),
f(H) = (A+H)/2 = ab/J(a,b),
- 719 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 10:16:30 ID:Xr1EP2wS.net
- f(-a)=b
f(-b)=a
- 720 :132人目の素数さん:2021/10/20(水) 19:32:20 ID:Xr1EP2wS.net
- f(x) = (A+x)/(1+x/H) ⇔ (f-H):(A-f)=H:x (H,Aの内分比をxで定める)
g(x) = (b+x)/(1+x/a) ⇔ (g-a):(b-g)=a:x (a,bの内分比をxで定める)
f(-A) = 0 g(-b) = 0
f(-b) = a g(∞) = a
f(∞) = H g(b) = H
f(b) = I(a,b) g(A) = I(a,b)
f(A) = 2AH/(A+H) g(I(b,a)) = 2AH/(A+H)
f(G) = √(AH) = G g(G) = √(AH) = G
f(H) = (A+H)/2 g(I(a,b)) =(A+H)/2
f(a) = I(b,a) g(H) = I(b,a)
f(0) = A g(a) = A
f(-a) = b g(0) = b
f(-H) = ∞ g(-a) =∞
- 721 :132人目の素数さん:2021/10/24(日) 18:45:19 ID:P60+HIiU.net
- 久々に来たまだあったんだ
aopsは計算機でSOSするのが多く手だと難しいのが多いね
あとは巡回式とか、巡回式じゃない非対称とかも最近多い
不等式を解くテクニックとかは飽和かな?
- 722 :132人目の素数さん:2021/10/26(火) 14:23:08 ID:yHWX4IjJ.net
- AoPS = Art of Problem Solving だろうな。
http://artofproblemsolving.com/
- 723 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 01:18:14 ID:+0fDU6q/.net
- z∈C、|z|≦1のとき、|(3z-1)/(z-3)| の最大値を求めよ。
- 724 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 01:23:12 ID:M1RfnTE1.net
- 閉円盤
- 725 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 05:33:41 ID:te4HpQwE.net
- 解1.
A(1/3,0) B(3,0) P(x,y) とおくと
(与式) = 3(AP/BP)
(与式) = k (<3) は
AP:BP = k:3
なる アポロニウスの円である。
直径の両端は 内分点と外分点
(3-8/(3-k),0) と (3-8/(3+k),0)
閉円盤 xx+yy≦1 と共有点をもつことから
3-8/(3-k) ≧ -1 または 3-8/(3+k) ≦ 1,
∴ k ≦ 1,
解2.
|z-3|^2 - |3z-1|^2
= (z-3)(z~-3) - (3z-1)(3z~-1)
= 8(1-zz~)
= 8(1-|z|^2),
あるいは
|r・e^(iθ)-3|^2 - |3r・e^(iθ)-1|^2
= (rr -6r・cosθ +9) - (9rr - 6r・cosθ +1)
= 8(1-rr),
よって
|z|≦1 ⇔ |(3z-1)/(z-3)| ≦ 1,
- 726 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 06:43:06 ID:te4HpQwE.net
- 〔補題〕
d(X) がある空間における距離ならば
D(X) = (1/2)log{h + d(X)^2}, h≧4/3
も距離。
[面白スレ39.399,402,404]
- 727 :132人目の素数さん:2021/11/02(火) 19:37:00 ID:te4HpQwE.net
- は怪しいので
D(X) = log{1 + d(X)},
に訂正…
- 728 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 22:55:14 ID:n3XtJQuq.net
- >>723の類題。
z∈C、|z|≦1のとき、|z(z-1)(z-2)| の最大値を求めよ。
- 729 :132人目の素数さん:2021/11/04(木) 23:33:02 ID:+6XnN/it.net
- z=-1で最大
- 730 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 15:34:08 ID:QOJe0Sk2.net
- |z| ≦ 1,
|z-1| ≦ |z| + 1 ≦ 2,
|z-2| ≦ |z| + 2 ≦ 3,
……
辺々掛けて
|z(z-1)(z-2)…(z-n)| ≦ (n+1)!,
等号は z=-1 のとき。
- 731 :132人目の素数さん:2021/11/06(土) 17:32:30 ID:WFsWEsWR.net
- なんか凄いな
- 732 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 07:22:04 ID:0+gULGFn.net
- z≦1(円盤)程度ならプロットすればいいんよ(思考放棄)
- 733 :132人目の素数さん:2021/11/15(月) 18:53:19 ID:EETFS5Z+.net
- 凄くはないよ
その設定で作問してる
等号成立条件が一致してるとか出来過ぎ
汎用性がない解法
- 734 :132人目の素数さん:2021/11/20(土) 01:53:37 ID:ecvBNjJu.net
- 〔問題471〕
任意の自然数nに対して、次を示せ。
1/n > 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + ……
[高校数学の質問スレPart414.471]
- 735 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 02:46:04 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は ∫[0,1] x^n e^{1-x} dx になるらしい…
[同.492]
- 736 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 13:18:27 ID:z//mcKXR.net
- むむむ…
- 737 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 20:28:37 ID:myOhL9Wf.net
- 右辺は {n!e} になるらしい。
高校生なら等比級数
1/n = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ……
を使うだろうけど...
- 738 :132人目の素数さん:2021/11/21(日) 21:24:18 ID:FQCqRacp.net
- >>737
そのまんまじゃないか。全く気付かずガックリ。そして>>735となるのも知ってる人は知っているヤツよなあ(積分がある値になることを知っていれば、勘で逆算できる可能性がある)
- 739 :132人目の素数さん:2021/11/22(月) 05:31:37 ID:ezmXDy6Q.net
- >>735
被積分関数は x≒1 で急増するから、そこで精度が必要。
しかし x=1 で上から接するのは、e^{1-x} が下に凸なので難しい。
そこで e^{x-1} ≧ x と下から接すれば
e^{1-x} ≦ 1/x,
∴ (与式) < ∫[0,1] x^{n-1} dx = 1/n を得る。
- 740 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 06:01:42 ID:JOGGpS/y.net
- 〔補題292〕
a,b,c,d > 0 のとき
a/b + b/c + c/d + d/a ≧ 8(ac+bd)/((a+c)(b+d)),
等号成立は a=c, b=d のとき。
[分かスレ471.279,292]
- 741 :132人目の素数さん:2021/11/24(水) 23:12:24 ID:4mZSj8jn.net
- >>740
a/b + b/c + c/d + d/a
≧ 2√{(ac)/(bd)}+ 2√{(bd)/(ac)}
= 2(ac + bd) / √(abcd)
≧ 8(ac + bd) / {(a + c)(b + d)}
- 742 :132人目の素数さん:2021/11/25(木) 07:10:29 ID:UgfLf66S.net
- 正解です!!
AM-GM だけでいけますね。
- 743 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 12:53:00 ID:HxEDg/nu.net
- 〔掛谷の定理〕
a_n z^n - a_(n-1) z^(n-1) + …… + (-1)^(n-1) a_1 z + (-1)^n a_0 = 0 (a_k>0)
の根は m ≦ |z| ≦ M をみたす。
ここに m = min{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
M = Max{a1/a0, a2/a1, …, a(n-1)/a_n}
高橋正明 著「複素数」科学新興社モノグラフ13. (1972)
高橋正明 著「複素数」改訂版, 科学新興新社モノグラフ9. (1998)
すべて実根のときは、ニュートンの不等式から
a(k-1)/a_k ≦ a_k/a(k+1),
m = a_0/a_1 ≦ …… ≦ a(n-1)/a_n = M,
∴ a_0/a_1 ≦ z ≦ a(n-1)/a_n,
- 744 :132人目の素数さん:2021/11/27(土) 14:13:07 ID:T4OPSuH4.net
- >>741
ナイスエレガンス
- 745 :132人目の素数さん:2021/11/28(日) 11:20:03 ID:MWTbmNPN.net
- >>743
(訂正スマソ)
M = Max{a0/a1, a1/a2, …, a(n-1)/a_n}
元の形は
0 < a_0 < a_1 < … < a(n-1) < a_n のとき |z| <1,
a_0 > a_1 > … > a(n-1) > a_n > 0 のとき |z| >1,
- 746 :132人目の素数さん:2021/12/19(日) 06:22:06 ID:N+EeFsux.net
- 2018年度奈良県立医科大学後期四番
https://i.imgur.com/3OlENLH.png
- 747 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 09:14:39 ID:d28R2ON3.net
- >>746
これは大学の解析の問題やな
普通の高校生には手も足も出ないだろな
東大の問題よりセンスがあってカッコ良いわ
- 748 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 09:45:52 ID:HFnFoVGH.net
- 相変わらず手抜きだよ
- 749 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 11:21:02 ID:NKcN+ZAk.net
- 全然手抜きじゃないだろ
手抜きというのは東大の円周率の評価式や加法定理の証明問題をいうんだよ
- 750 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 14:52:43 ID:HFnFoVGH.net
- 数学できるヤツいらんから、大学で扱ってる問題拾ってきて出してるだけ。
東大のは採点が大変なんだから手抜きにはならん。(想定解答をもとに採点するが別解が出てくれればまた採点官で検討して反映させるので)
- 751 :132人目の素数さん:2021/12/20(月) 15:56:26 ID:d28R2ON3.net
- 別解が出てくるのはどんな問題でも同じだろ
- 752 :132人目の素数さん:2022/01/07(金) 20:39:08 ID:uuJtvVgV.net
- a,b,c>0,
ab+bc+ca=12,
√(ab) + √(bc) + √(ca) + 32/(abc) ≧10.
( ゚∀゚) プケラッチョ
- 753 :132人目の素数さん:2022/01/11(火) 19:08:21 ID:V9PX5rXA.net
- 任意の実数xで、cos(cosx) > sin(sinx)
- 754 :132人目の素数さん:2022/01/11(火) 20:20:46 ID:V9PX5rXA.net
- >>752
条件式の相加相乗から8≧abcなので
√(ab)+√(bc)+√(ca)+16/(abc)+16/(abc)≧5(256/(abc))^(1/5)≧10
- 755 :132人目の素数さん:2022/01/28(金) 22:49:52 ID:FY6nRJtW.net
- 1997東大理系数学第2問
- 756 :132人目の素数さん:2022/02/06(日) 19:19:12 ID:LRt8HG3c.net
- z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e - 1.
- 757 :132人目の素数さん:2022/03/12(土) 20:51:17 ID:+WWCnbfX.net
- 複素関数の本を読んでいたら、ハルナックの不等式が出てきた。春泣く不等式
- 758 :132人目の素数さん:2022/04/13(水) 20:44:36.01 ID:on0g0jTO.net
- z∈C に対して |z(4-z)|<1 を解きたいんですけど、どうやればいいんでせうか?
- 759 :132人目の素数さん:2022/04/13(水) 21:33:37.94 ID:cxjLeouM.net
- ときたいとは?
面積求めるとか?
図示するとか?
- 760 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:03:20.04 ID:RdL/Dtg3.net
- 図示ですぞ
- 761 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:14:30.93 ID:UD9sHCgS.net
- >>758
>>723-730らへん
20年前に高校でやったなあ
- 762 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:17:50.63 ID:UD9sHCgS.net
- ごめん違う問題だったな。平方完成しててきとうにやればええやろ。
- 763 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:28:38.03 ID:VImhL7xV.net
- 大先生に書いてもらうとこんな感じ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C%28x%5E2%2By%5E2%29%28%284-x%29%5E2%2By%5E2%29%7C%3D1&lang=ja
- 764 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 00:57:08.49 ID:RdL/Dtg3.net
- 大先生は よく分からんね。
2つの楕円の内部が解領域なのか…
- 765 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 01:09:54.51 ID:wrO3la+m.net
- >>764
最後の方にある
y = sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
と
y = -sqrt(-x^2 + sqrt(16 x^2 - 64 x + 65) + 4 x - 8)
の間やろ
- 766 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 02:27:28 ID:UD9sHCgS.net
- >>764
スケールおかしいだけで、円の内部やぞ。
|z(4-z)|=|z||z-4|だから原点0とzのキョリと4とzのキョリの積、それが1未満。0付近か4付近だと小さくなる。
- 767 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 03:05:03.21 ID:xiGeSXG1.net
- >>766大先生の答え整理したら円になる?
- 768 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 04:05:38 ID:RdL/Dtg3.net
- zの存在領域は、0の近傍と4の近傍に2つある。
境界線は次式で表されて、楕円っぽい形で、円にはならない。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
- 769 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 12:44:16.36 ID:l1Bgx+ly.net
- ごめんボーッとしてて頭おかしくなってたわ。
因数分解して(二次式)(二次式)<0にできるんだから楕円2つの内部だ。楕円のようなカタチの二次式は楕円しかないので。
>>766
>>764
一行目完全にムシ、それ以外は正しい。
- 770 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 13:42:00.94 ID:4XM7DyMd.net
- イヤいくらでもあるやろ
y^2 = - (x^2-1)*(x^2-3) (楕円曲線(楕円二つではない))
とか
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%5E2+%3D+-+%28x%5E2-1%29*%28x%5E2-3%29&lang=ja
- 771 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 18:34:50.58 ID:RdL/Dtg3.net
- >>769
正確にはだえんじゃないよね。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
で言うと、左半分が少し広がっている。
- 772 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 18:47:04.72 ID:RdL/Dtg3.net
- もともとは、冪級数
S(z) = Σ[n=0 to ∞] {z(4-z)}^n
について、
(1) S(z) の収束する領域が2つの分離した領域であることを示せ。
(2) S(z) を最大限に解析接続せよ。
という問題。
y=-sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}
y= sqrt{-xx+4x-8+√(16xx-64x+65)}.
これって微分して増減表調べればグラフの概形が分かるだろうけどダルイ。
(1)を、z = re^(iθ)、4-z = se^{ i (φ+)π} とおいて、極形式で考える方法は挫折。
- 773 :132人目の素数さん:2022/04/14(木) 20:37:32.40 ID:UD9sHCgS.net
- >>770
x・yの二次式って意味だった。
>>771
ホンマや、図示と違って楕円じゃないな。。。ちゃんとした図示じゃなかったってだけか。
てっきり因数分解=0とできるもんだと誤解したわ。
- 774 :132人目の素数さん:2022/04/15(金) 13:42:40.32 ID:t03sEjFl.net
- youtube,twitterの不等式botさんは望月教授の弟子?で女性?
- 775 :132人目の素数さん:2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net
- Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
- 776 :132人目の素数さん:2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net
- x,y,zが非負実数のとき Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
- 777 :132人目の素数さん:2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net
- a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
- 778 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net
- USAMO第六問
nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
- 779 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net
- >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
- 780 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net
- >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
- 781 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net
- ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
- 782 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net
- これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
- 783 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net
- 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
- 784 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net
- ウクライナMO2021
a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
- 785 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net
- >>782
どうやって導き出したんですか?
- 786 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net
- 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
- 787 :132人目の素数さん:2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net
- >>784 abcの大小は関係ない
- 788 :132人目の素数さん:2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net
- コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
- 789 :132人目の素数さん:2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net
- >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた
任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根
n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
- 790 :132人目の素数さん:2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net
- x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
- 791 :132人目の素数さん:2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net
- はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
- 792 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net
- w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.
w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか?
- 793 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net
- f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して
|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
- 794 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか?
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ?
- 796 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 :132人目の素数さん:2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の5点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する5つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか?
- 800 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では?
- 802 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故?
- 803 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
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