不等式への招待 第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

614 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 06:14:13.22 ID:JY2ui+vd.net

帰納法
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1} > (n-1) + 1 = n,
あるいは
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-2} + ････ + 2 + 1 + 1 ≧ n + 1,
　　　　　　　　　　　(n+1)項

a_1, a_2, ････, a_n ≧ 0 のとき
(1+a_1)(1+a_2)････(1+a_n) = 1 + s_1 + ････ + s_n ≧ 1 + s_1,
　　s_k は k次の基本対称式
　　s_1 = a_1 + a_2 + ････ + a_n,
より
　2^n ≧ 1 + n

615 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 12:04:01.19 ID:qBeEcW7U.net

俺が考えていた証明

n(1/n-1/2^n)=1-n/2^n
=(Σ1/2^i)-n/2^n
>(Σ1/2^i)-(1/2+…+1/2^n)>0
よりn>0だから
1/n-1/2^n>0⇔n<2^n

616 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 02:13:29.47 ID:M36DVxm1.net

不等式ってこういう気まぐれ？なときもあるんだね。。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

617 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 22:30:10.49 ID:on5dd3Wr.net

>>616
n=3のときの、ネビットの不等式に (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ した若い頃が懐かしい…

618 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:27:58.15 ID:Rkkg81B/.net

>>612
a+b+c = 1 より
　G = (abc)^{1/3} ≦ 1/3,　　　　　(AM-GM)

　1/y - y = (1+y)･(1/y - 1),
より
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-a -b -c)/(abc) + (1/a + 1/b + 1/c) - 1
　= 1/a + 1/b + 1/c - 1
　≧ 3/G - 1
　≧ 2(1/G + 1)　　　(G≦1/3)
　= 2(1/3G + 1/3G + 1/3G + 1)
　≧ (2/(3G)^{1/4})^3,

(1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1+G)^3　　（コーシー)
　= (1/27)(3G+1+1+1)(1+3G+1+1)(1+1+3G+1)
　≧ ((4/3)(3G)^{1/4})^3,

辺々掛けて　(左辺) ≧ (8/3)^3.

619 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:34:06.62 ID:Rkkg81B/.net

〔問題3204〕
a≧b≧c≧d≧0 のとき
　(a+2b) (aa+bb) ≦ (a+b)^3
　(a+2b+3c) (aa+bb+cc) ≦ (a+b+c)^3,
　(a+2b+3c+4d) (aa+bb+cc+dd) ≦ (a+b+c+d)^3,

注)　5文字の場合は aa(b-d-2e) が出て来ます…orz

すうじあむ
　http://suseum.jp/gq/question/3204

620 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 01:32:04.79 ID:iElyCuOB.net

>>616
こういうのもなんか理由があるっぽい

621 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 19:31:57.99 ID:jAHOCp/v.net

〔例2.4.6〕
三角形の辺の長さを a,b,c, 面積を�凾ﾆすると
　�� ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳), 文献９, 朝倉書店 (2013)　　p.89

622 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 20:11:29.99 ID:jAHOCp/v.net

(略証)
　�� = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,

623 ：１３２人目の素数さん：2021/04/24(土) 23:51:27.16 ID:nN6RssoR.net

Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/UT7t9WF.jpg

624 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 04:42:31.91 ID:We8cr6tt.net

〔問題〕
正の実数 a,b,c について、次が成り立つことを示せ。
　{aa(b+c)+4}/(a+2)^3 + {bb(c+a)+4}/(b+2)^3 + {cc(a+b)+4}/(c+2)^3 ≧ 2/3.
等号成立は (a,b,c) = (1,1,1) のとき

625 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 05:46:51.43 ID:We8cr6tt.net

(略証)
{aa(b+c) + 2 + 2} / (a+1+1)^3
　≧ １/ {(1+1+1)[a/(b+c) + 1/2 + 1/2)]}　　(← コーシー)
　= (b+c) / {3(a+b+c)},
巡回的にたす。

626 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 10:47:03.87 ID:2luW0iZY.net

Twitterから拾った問題

https://i.imgur.com/MTQJIvZ.jpg

627 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 11:03:19.13 ID:YeL676w3.net

>>625
作問者の天真(Twitter:@bon_miss_tenma)です
こんなにあっさり解かれるとは思ってませんでしたw
ついでに620さんの問題も僕のだったりします、是非挑戦してください！

628 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 19:29:46.14 ID:We8cr6tt.net

〔問題620〕
正の実数 a,b,c が aa+bb+cc=3 を満たすとき、次を示せ。
　(2a+1)/(b+c+1)^3 + (2b+1)/(c+a+1)^3 + (2c+1)/(a+b+1)^3 ≧ 1/3,
等号成立は (a,b,c)=(1,1,1) のとき。

(略解)
　(左辺) ≧ (b+c+1)/(b+c+1)^3 + (c+a+1)/(c+a+1)^3 + (a+b+1)/(a+b+1)^3
　　= 1/(b+c+1)^2 + 1/(c+a+1)^2 + 1/(a+b+1)^2　　(← チェビシェフ)
　　≧ 9/{(b+c+1)^2 + (c+a+1)^2 + (a+b+1)^2}　　(← AM-HM / コーシー)
　　≧ 3/{(bb+cc+1) + (cc+aa+1) + (aa+b+1)}
　　= 3/{2(aa+bb+cc)+3}
　　= 1/3,　　　　　　(← 題意)

629 ：１３２人目の素数さん：2021/04/26(月) 02:25:57.94 ID:y9M7sTQu.net

(補足)
チェビシェフで
(a+1/2)/(b+c+1)^3 + (b+1/2)/(c+a+1)^3 - (a+1/2)/(c+a+1)^3 - (b+1/2)/(b+c+1)^3
　= (a-b) {1/(b+c+1)^3 - 1/(c+a+1)^3}
　≧ 0,
循環的にたすと
　(左辺) - 1/(b+c+1)^2 - 1/(c+a+1)^2 - 1/(a+b+1)^2 ≧ 0,

630 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 04:23:14.87 ID:B9p/ERZg.net

>>624
>>626

〔問題34〕
a,b,c > 0 のとき
　(a(b+c)+1)/(b+c+1)^2 + (b(c+a)+1)/(c+a+1)^2 + (c(a+b)+1)/(a+b+1)^2 ≧ 1,
　Inequalitybot [34]　☆5
　JMO-2010　問4

Inequalitybot も問題番号で検索できるようになってます。

631 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 07:27:45.63 ID:B9p/ERZg.net

>>589
〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
　(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　USAMO-2004, Q5
　Inequalitybot [48]　☆6

632 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 16:58:32.60 ID:B9p/ERZg.net

>>619
　(a+b)^3 - (a+2b)(aa+bb) = aab + (2a-b)bb ≧ 0,
　(a+b+c)^3 - (a+2b+3c)(aa+bb+cc) = aab + (2a-b)bb + (2a+b-2c)cc + 6abc ≧ 0,
　(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)(aa+bb+cc+dd)
= aa(b-d) + (2a-b-d)bb + (2a+b-2c-d)cc + (2a+b-3d)dd + 6(abc+abd+acd+bcd) ≧ 0,

633 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 17:05:44.79 ID:B9p/ERZg.net

これと以下を組み合わせた問題があった。
〔補題〕
a+b+c+… = 1 のとき
　　(a^a)(b^b)… ≦ (aa+bb+…),
(略証)
a+b+c+… = s　とおく。
y=log(x) は上に凸だから Jensen で
　a･log(a) + b･log(b) + ････ ≦ s･log((aa+bb+････)/s)
　(a^a)(b^b)… ≦ {(aa+bb+…)/s}^s,
s=1 とおく。

634 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 19:31:51.11 ID:B9p/ERZg.net

〔問題〕
　tan(1/2) > cos(1).
これの証明はどうすれば出来ますか？

　高校数学の質問スレ４１１- 028, 936

635 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 23:28:33.43 ID:Tu1Xrn91.net

t = tan(1/2)とおいて
tan(1/2)-cos(t)=(t^3+t^2+t-1)/(t^2+1)
なのでコレが＋を言えば良い
tan(1/2)=0.546302.....
t^3+t^2+t-1は単調増大で0になるのはt=0.543689....
とりあえず5次までマクローリン展開して
tan(1/2)
>1/2+(1/3)(1/2)^3+(2/15)/(1/2)^5=131/240=0.54583333......

636 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:03:41.02 ID:mxa1BnUU.net

>>634
θ = 1/2　とおいて
tanθ - cos(2θ) = tanθ - 1 + 2(sinθ)^2
　= tanθ - 3/2 + {1/2 + 2(sinθ)^2}
　≧ tanθ - 3/2 + 2sinθ　　(AM-GM)
　= tanθ + 2sinθ - 3θ
　≧ 0,　　　(Snellius-Huygensの式)

637 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:45:36.56 ID:NbeeKPJA.net

このスネル・ホイヘンスの不等式、以前からどうやって見つけたのか気になってるヤツだ

638 ：１３２人目の素数さん：2021/04/30(金) 23:51:02.05 ID:nccWEVYf.net

>>636
上手だなあ

639 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 14:45:07.43 ID:kM6Q2nUa.net

数学コンテストの問題から二つの不等式問題を拾ってみた

数オリ中国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/fDeESFB.jpg

数オリ米国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/t1tus8h.jpg

640 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 15:17:41.91 ID:34KV0J3x.net

>>639
さいきん、関数不等式に(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧでござる

641 ：１３２人目の素数さん：2021/05/04(火) 23:49:09.08 ID:+H9X9UVo.net

a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(25/27)

642 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:39:50.22 ID:16g2LNeV.net

〔簡易版〕
a,b,c>0 に対して
　(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3).

(略証)
(a+b+c)^6 = {(aa+bb+cc) + (ab+bc+ca) + (ab+bc+ca)}^3
　　≧ 27(aa+bb+cc)(ab+bc+ca)^2,　　　　(AM-GM)
2/3 乗して
(a+b+c)^4 ≧ 9(ab+bc+ca)^2 {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3)
　　≧ 27(a+b+c)abc {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3),

元の問題は解けぬwww

643 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:41:42.08 ID:16g2LNeV.net

〔問題3.85〕
実数a,b,cに対して
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2,

　APMO-2004 A5.改
　文献[9] 佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)　問題3.85　p.140
　Inequalitybot [20]　☆8
　[高校数学の質問スレ４１２−029,036,040]

644 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:49:27.56 ID:16g2LNeV.net

(解1)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= (1/3){(aa+5)(bc-1)^2 + (bb+5)(ca-1)^2 + (cc+5)(ab-1)^2
　　+ (ab+bc+ca-3)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
　≧0

(解2)
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2(ab+bc+ca)
　+ (abc-1)^2
　+ 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2,

　文献[9] の演習問題1.90 (ii)　p.41-42 に帰着する。
〔問題1.90〕(ii)
a,b,c を非負実数とする。このとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),

645 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 13:18:52.39 ID:+30DA6pc.net

>>641-642
ネットで拾ったんだけど、答えがないな
https://mathifc.wordpress.com/2012/09/20/inequality-106/

646 ：１３２人目の素数さん：2021/05/06(木) 05:59:11.34 ID:Vi6k/Ft1.net

>>644
〔例題2.1.11〕
(7)　a,b,c が非負実数のとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),


文献[8] 安藤, 数学書房 (2012)　p.36

647 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 05:50:26.45 ID:EIfW8DuI.net

>608
{x+y, y+z, z+x} のうち1以上のものが

・2個以上のときは　明らか。
・1個以下のときは　1 > y+z, z+x　より　0 < x, y, z < 1　　>>610

648 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 06:56:34.75 ID:EIfW8DuI.net

>>637
マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - (1/7!)θ^7 + (1/9!)θ^9 - …
　tanθ = θ + (1/3)θ^3 + (2/15)θ^5 + (17/315)θ^7 + (62/2835)θ^9 + …
から思い付いたのかも。

>>102 にもあるよ。
　H = θ - (1/180)θ^5 - (1/1512)θ^7 - (1/25920)θ^9 - …
　G = θ + (1/45)θ^5 + (4/567)θ^7 + (1/405)θ^9 + …
　A = θ + (1/20)θ^5 + (1/56)θ^7 + (7/960)θ^9 + …
　A + H - 2G = (1/324)θ^7 + (1/432)θ^9 - …
　AH/GG = (2cosθ+1)/{(2+cosθ)(cosθ)^(1/3)}
　　　　= 1 + (1/324)θ^6 + (1/648)θ^8 + …

649 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 08:38:14.15 ID:EIfW8DuI.net

ついでに…
s>0, t>0 とし
　A = (s+s+t)/3,
　G = (sst)^(1/3)
　H = 3st/(s+t+t),
とおくと
　H < G < A,
　AH > GG,　　　(0<s<t)
　A+H > 2G,　　　(0<s<t)
(略証)
　AH = (s+s+t)st/(s+t+t),
　G^3 = sst,
より
　(AH)^3 - G^6 = tt {t(s+s+t)^3 - s(s+t+t)^3}{s/(s+t+t)}^3
　　= tt(s+t){(t-s)s/(s+t+t)}^3 > 0,
∴　AH > GG,

　(A+H)/2 = (ss+7st+tt)/[3(s+t+t)],
　G^3 = sst,
より
　{(A+H)/2}^3 - G^3 = {(t-s)^3 + 27stt}{(t-s)/[3(s+t+t)]}^3 > 0,
∴　A+H > 2G,

650 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 18:54:47.33 ID:SMLQU2Ye.net

>>648
テイラー展開は、あまり時代に合わんような気もする。まあ古くから、特殊な場合だけや結果だけ知られているということがよくあるのと、詳しくないので結論付けられない。

ホイヘンスによる証明があったわ。
円の大きさの発見 : 1654年ホイヘンスによる円周率の計算
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_tanuma.pdf
（近似）式自体は、15世紀のニコラウス・クザーヌスまで遡れるらしい。

グレゴリーやニュートンが17世紀後半にべき級数展開したらしいから、ホイヘンスは知らないような気もする。代数計算得意じゃないとキツイし。

651 ：１３２人目の素数さん：2021/06/06(日) 02:15:52.79 ID:Q09kUO/y.net

1992年IMO5番
https://i.imgur.com/NvlwAw4.png

652 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:51:17.44 ID:Hilnv+E/.net

５．Sは3次元座標空間の有限個の点の集合である。
S_x, S_y, S_z はそれぞれ、Sの点の yz-平面, zx-平面, xy-平面への正射影からなる点の集合である。
次を証明せよ。
　　| S |^2 ≦ |S_x|･|S_y|･|S_z|
ここに | A | は有限集合Aの要素の個数である。

653 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:57:08.83 ID:Hilnv+E/.net

>>284

f(x)は下に凸な関数とする。自然数nに対して不等式
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
を示せ。

[面白スレ３６．256-260]

654 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 20:03:58.37 ID:Hilnv+E/.net

>>651 >>652
z値の集合を {z1, …, zi, …, zn} とする。
S, Sy, Sx の点を z値で分類する。
S, Sy, Sx の点のうち　z=zi をみたすものの個数を |Li|, ai, bi とする。

(1)　|Li| ≦ ai･bi,

(2)　|S| = |L1| + … + |Li| + … + |Ln|,

(3)　|Sy| = a1 + … + ai + … + an,
　　|Sx| = b1 + … + bi + … + bn,

(4)　|Li| ≦ |Sz|,

(1) と (4) を掛けて
　|Li|^2 ≦ (ai･bi) |Sz|,
　|Li| ≦ √(ai･bi) √|Sz|,　　　　････ (5)

(2), (5) より
|S|^2 ≦ {√(a1･b1) + … + √(ai･bi) + … + √(an･bn)}^2･|Sz|
　　≦ (a1 + … + ai + … + an)(b1 + … + bi + … + bn)|Sz|　　　コーシー
　　= |Sy| |Sx| |Sz|,

http://www.youtube.com/watch?v=IzitrvYnNkc 11:08,

655 ：１３２人目の素数さん：2021/06/12(土) 15:46:26.57 ID:rM3zqrZ1.net

1993年日本数学オリンピック本選5番

https://i.imgur.com/kwA3sGg.png

656 ：１３２人目の素数さん：2021/06/14(月) 16:23:08.26 ID:lFKMSNRU.net

0<k≦3, a,b,c>0のとき
3-k+k(abc)^(2/k)+a^2+b^2+c^2≧2(ab+bc+ca)
を示せ

657 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 01:00:18.66 ID:78D2HNY3.net

>>646
>>656
似た問題くれ

658 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 20:42:53.54 ID:iDQ7MEu/.net

>>656
0<k≦3 ゆえ x^(3/k) は下に凸。　x=1 で接線を曳いて、
　(3-k) + k･x^(3/k) ≧ 3x,
(左辺) - (右辺) ≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 3(abc)^(2/3)
　≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 9abc/(a+b+c)　　　　(AM-GM)
　= F1(a,b,c)/(a+b+c)
　≧ 0,

*)　Schurの不等式
F1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0.

659 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 14:58:41.31 ID:NM0vuEzL.net

>>658
3/kではなくて2/kだぞ

660 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 20:08:44.51 ID:lnjH0V31.net

x = (abc)^(2/3)

661 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net

IMO2021の2番に不等式問題出たな

https://i.imgur.com/3822PyY.png

662 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net

>>661
ｳﾎｯ、いい不等式！

663 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net

a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい

664 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net

(略解)
　t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
　u = abc < 1,　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ t < 4,
∴　s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,

(s-t)(ss+st+tt - 4t)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
　≧ 0,　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0,
　[面白スレ３７．704] にもあった。

665 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net

訂正ｽﾏｿ
　s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3,　　　(AM-GM)

666 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net

〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき　a+b+c≧ab+bc+ca,

大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ７.114-115,160]
Inequalitybot [184]　☆7

667 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net

(略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
　u = abc < 1　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ s < 4.

4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
　　= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
　　≧0,　　　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0.

668 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net

>>661
〔問題2.〕
　任意の実数 x1, x2, ････, xn に対して、不等式
　　　　　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。

669 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net

実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな

670 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net

>>664
　s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな

671 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net

>>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは

これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする？

672 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net

複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
　　　|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

673 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net

>>672
条件に |z|>1 を追加。

674 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net

a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.

675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net

f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k　とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1　(最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2　(最大)

(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
　　　= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
　　　= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k})　　(←同符号)
　　　≧ 0,

676 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net

>>672
?不等式より
　|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|･arg(z),

677 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net

>>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
　　　　　 + (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
　　　　　≧ 0,
の方がいいか…

678 ：１３２人目の素数さん：2021/07/31(土) 10:02:06 ID:aE5MLnpD.net

有名不等式が大量に載ってるpdfを発見したので載せてみる
http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf

あと2020年度imoショートリストから

https://i.imgur.com/ju1Dyee.png

679 ：１３２人目の素数さん：2021/08/17(火) 13:07:12 ID:3+UNf6gr.net

>>678
グッジョブ
分割して日替わり壁紙にしよう

680 ：１３２人目の素数さん：2021/08/26(木) 20:07:00 ID:hGc0TLQT.net

eと(1+1/n)^nが登場する不等式をたくさんください

681 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 18:23:48 ID:KMsJe/e+.net

a, b, c が０以上かつ a^2 + b^2 + c^2 = 1 を満たすとき,
(a+bーc)^n + (b+c-a)^n + (c+a-b)^n (n は3以上の整数)　
の最大値と最小値を求めよ.

682 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 21:02:15 ID:HGuBdRDo.net

最大値 2^{n/2}
　　a = 0,　b = c = 1/√2 など。　(x=√2, y=z=0, etc.)
最小値 (1/3)^{n/2 - 1}
　　a = b = c = 1/√3,　　(x=y=z=1/√3)

x = b+c-a,　y = c+a-b,　z = a+b-c とおくと
1 = aa + bb + cc
　= {(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}/4
　= {(x+y+z)/√3}^2 + (1/4){(x-y)/√2}^2 + (1/4){(x+y-2z)/√6}^2,
回転楕円体 (どら焼き形)
　短軸：１　　(1,1,1)方向　　
　長軸：２　　それと垂直方向

683 ：１３２人目の素数さん：2021/09/04(土) 23:49:24 ID:KMsJe/e+.net

>> 676

もう少し具体的に

684 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 02:00:08 ID:HFxHmzMl.net

a=u^2,b=v^2,c=w^2
束縛
C = u^4+v^4+w^4-1
評価関数
S = (v^2+w^2-u^2)^n+(w^2+u^2-v^2)^n+(u^2+v^2-w^2)^n

s = 2n((v^2+w^2-u^2)^(n-1)+(w^2+u^2-v^2)^(n-1)+(u^2+v^2-w^2)^(n-1))とおいて
dC=4(u^3,v^3,w^3)
dS=s(u,v,w)
s≠0により
dSがdCで張られる
⇔vw(v^2-w^2)=wu(w^2u^2)=uv(u^2-v^2)=0
⇔u^2=v^2=w^2 or u^2=v^2 & w=0 or u=v=0 or...

685 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 06:18:37 ID:Zhg5gGCb.net

専門的過ぎてついていけない
数オリの高校生の理解できる解法でお願いします

686 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 10:01:38 ID:HFxHmzMl.net

数学の問題は進んだテクニック使っても全然簡単にならず、実は中学生でも理解できるような話の方が楽に解ける時がある
数オリとかの問題とかそういう問題のオンパレードだし、ピーターフランクルとかそんな問題大好きの人もいっぱいいる
しかしそれは進んだ数学を勉強しないでいい理由になどにはならないし、ましてや逆に言えば、進んだテクニック使えば楽に解ける問題をいつまでもいつまでもそういう”初頭数学縛り”をかけて解くのは単なる“自己満”でしか無い
不等式の話を本当に極めるなら未定乗数法は絶対避けては通れない

687 ：１３２人目の素数さん：2021/09/05(日) 12:53:40 ID:LDbpAA38.net

grad(f(u,v,w)) = ∇f = (∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w)
s1 = 2n{-(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s2 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) - (w^2+u^2-v^2)^(n-1) + (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
s3 = 2n{(v^2+w^2-u^2)^(n-1) + (w^2+u^2-v^2)^(n-1) - (u^2+v^2-w^2)^(n-1)},
とおくと
　grad(C) = ∇C = 4(u^3, v^3, w^3)
　grad(S) = ∇S = (s1･u, s2･v, s3･w)
　　　　　　　= s(u, v, w)
ここから ついていけない…

688 ：１３２人目の素数さん：2021/09/06(月) 18:13:36 ID:eC9BaMcK.net

問題[2]
　a_n = (1 + 1/n)^n,　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)　　(nは正の整数)
とおくとき、nが増加するとa_nは増加し、b_nは減少することを証明せよ。
　(数学検定 2011年秋, 1級 2次 問題[2] の一部)
* 作問者は AM-GM を活用する解答を期待していたが…

〔補題258〕　　　　　　　　　　　　　　　>>262
　(1)　(1 + 1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
　(2)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
　(3)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

>>267
Σ[k=1,n] (1/((k+1)(k!)^2))^(1/k) ≒ 1.99877613 - ee/n + 64.5/nn - …

689 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 06:12:14 ID:UyKWpegQ.net

>>680
〔モローの不等式〕
　{2n/(2n+1)}e < (1+1/n)^n < {(2n+1)/(2n+2)}e,

左側は 補題(1) より
　{2n/(2n+1)}e < 1/√(1+1/n)・e < (1+1/n)^n

http://www.youtube.com/watch?v=FDTaIYjWR2E 20:24,
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.82

690 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 15:24:37 ID:+P/8oXVv.net

x_1,x_2,...,x_n>0, Πx_k=1のとき次を示せ
Σ1/(n-1+x_k)≦1

691 ：１３２人目の素数さん：2021/09/15(水) 17:00:11 ID:cOPYG12B.net

f(t)=1/(n+e^t)、F(t1,‥) = Σf(ti)とおく
f(t)はt≧lognで下に凸かつt≦lognで上に凸
全てtiがlognより小さい領域ではti=0のときFは最大値1
そうでない領域でΣti=0かつF(ti)>1が存在すれば
t1 =(n-1)c, ti=-c (i≧2,t1>logn)
であるtiで存在する
e^t=uとおいて
F(ti)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) + (n-1)/(n-1+1/u)-1
= 1/(n-1+u^(n-1) - 1/((n-1)u+1)
しかしu≧1において
n-1+u^(n-1)≧(n-1)u+1
であるから矛盾

692 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:07:13 ID:Sn49tAbo.net

背理法で…
不等式が成り立たないとする。すなわち、
　Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) >1,
であると仮定する。このとき
1/(n-1+x_i) > 1 - Σ[k≠i] 1/(n-1+x_k)
　= (1/(n-1))Σ[k≠i] x_k /(n-1+x_k)
　≧ ( Π[k≠i] x_k /(n-1+x_k) )^{1/(n-1)},　(AM-GM)
となる。i=1,…,n で掛けて
　Π[i=1,n] 1/(n-1+x_i) > Π[k=1,n] x_k /(n-1+x_k),
となるが、これは 1 > Π[k=1,n] x_k を意味するので矛盾である。

ルーマニアMO-1999,
文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題3.35　p.131
Inequalitybot [109]

693 ：１３２人目の素数さん：2021/09/16(木) 05:13:59 ID:Sn49tAbo.net

〔類題〕
　x_1, x_2, …, x_n >0 が Σ[k=1,n] 1/(n-1+x_k) = 1 を満たすとする。
このとき
　　　Π[k=1,n] x_k ≧ 1,
を証明せよ。

文献[9], 佐藤(訳), 朝倉書店(2013),　問題1.46改　p.14

694 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 10:34:26 ID:YMP5Sl+4.net

(1)
z,w∈C、|z|=|w|=1 のとき、
|z+1| + |w+1| + |zw+1| ≧ 2

(2)
a,b,c∈C に対して、
|a| + |b| + |c| ≦ |a+b-c| + |b+c-a| + |c+a-b|

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

695 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 22:52:38 ID:lYkiWXwV.net

(1)は簡単やな
x^をxの複素共役として
|z+1|+|w+1|+|zw+1|
=|z+1|+|w^+1|+|z+w^|
なので|a|+|b|+|c|=1のとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|≧2
を示せば良い
b = c exp(2iA), c = exp(2iB), a = exp(2iC), A+B+C=π
となる非負実数A,B,Cがとれるとしてよくこのとき
|b+c|+|c+a|+|a+b|
=2(cosA+cosB+cosC)
であるからcos(x)の凸性により(A,B,C)=(-π,π,π),(π,-π,π),(π,π,-π)のとき最小値2

696 ：１３２人目の素数さん：2021/09/20(月) 23:02:12 ID:lYkiWXwV.net

(2)は力技で
sを複素定数としC^3の領域
R={ .. | a + b + c = 2s }
におけるS=2( |s-a| + |s-b| + |s-c| ) - ( |a| + |b| + | c| )の最小値が0以上であることを示せば良い
それには全微分できない領域で非負、全微分可能な極値で非負を言えば十分
s=0であればS=|a|+|b|+|c|となり自明だからs≠0とする

i) a=0のとき
S=2(|b+c|/2 + |b-c|/2 × 2) - (|b|+|c|)
=|b+c|/2-|b|+|b+c|/2-|c|+|b-c|
≧-|b-c|/2 × 2 + |b-c| = 0

(ii) a=s のとき
このときs=a=b+cより
S=2(|b|+|c|)-(|b+c|+|b|+|c|)
=|b|+|c|-|b+c|≧0

(iii) a=bのとき
このときs=a+c/2より
S=2(|c/2|+|c/2|+|a-c/2|)-(|a|×2+|c/2|)
=|c|+|2a-c|-|2a|≧0

(iv)a,b,cが同一直線上のとき
a,b,cは実数としてよくSをaの関数として見たときlim[a→±∞]S=∞だから極値だけ考えればよく、極値をとるのはa=s,0の場合のみであるから既出の場合に還元される

(v)その他の場合
Sは全微分可能でありz^を複素共役としてe(z)=z/|z|とおけば
dS = -2(e(s-a)^da + e(s-a)da^+ e(s-b)^db +e(s-b)db^+ e(s-c)^dc + e(s-c)dc^)-(e(a)^da+e(a)da^+e(b)^db+e(b)db^+e(c)^dc+e(c)dc^)
でありコレがda+db+dcの複素定数倍であるから
2e(s-a)+e(a)=2e(s-b)+e(b)=2e(s-c)+e(c)=0
である
よってa,b,cが同一直線上となるので既出のケースに還元される

697 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:09:47 ID:AENcTZtD.net

>>695
(1)
|a| = |b| = |c| = 1 のとき
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2,
ですか。

>>696
(2) は簡単やな。Ravi変換で
　b+c-a = p,
　c+a-b = q,
　a+b-c = r,
とおけば
(左辺) = |a| + |b| + |c|
　= |q+r|/2 + |r+p|/2 + |p+q|/2
　≦ |p| + |q| + |r|.

698 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 12:22:40 ID:IIHpCqtI.net

あれ？
その方法最初に考えてダメと思ったんやけど勘違いしたかな？
まぁ複素係数の微分形式の復習になったからいいけど

699 ：１３２人目の素数さん：2021/09/21(火) 20:58:30 ID:AENcTZtD.net

>>695
　C ≧ π/2 の場合 (鈍角?) は
　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　= 2(|cosA| + |cosB| + |cosC|)
　≧ 2(cosA + cosB)
　≧ 2(1 + cos(A+B))　　　(凸性)
　≧ 2,　　　　　　　　(A+B≦π/2)
ですね。あるいは
　cosA + cosB + cosC
　= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)　　　(A+B+C=π)
　≧ 1,

700 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 19:57:40 ID:K2h4cEAP.net

>>694
(1)は簡単やな
　|z+1| + |w^+1| + |z+w^|
　≧ |(z+1) + (w^+1) - (z+w^)|
　= 2,

　|b+c| + |c+a| + |a+b|
　≧ |-(b+c) + (c+a) + (a+b)|
　= 2|a|,
同様にして
　|b+c| + |c+a| + |a+b| ≧ 2 Max{|a|,|b|,|c|}

(2)は簡単やな　　>>697

701 ：１３２人目の素数さん：2021/09/22(水) 20:21:10 ID:miCnVfcc.net

>>700
なんでそういう書き方するん？
それ読んだ相手がどういう気持ちになるか考えられへんの？

702 ：１３２人目の素数さん：2021/09/24(金) 22:25:33 ID:lJNbXbJw.net

〔問題〕
　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < (1+√5)/16 = 0.2022542486

　(阪大-改)

http://www.youtube.com/watch?v=_zGQfWy9j28 22:05
鈴木貫太郎

703 ：１３２人目の素数さん：2021/09/25(土) 11:52:48 ID:S56dxsDJ.net

1/n^3 = n/n^4
　< n/(nn-1/4)^2
　= {(n+1/2)^2 - (n-1/2)^2}/{2(nn-1/4)^2}
　= (1/2){1/(n-1/2)^2 - 1/(n+1/2)^2}
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 2/9 = 0.222222
ぢゃ出ない････orz

704 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 04:04:41 ID:xRhStcay.net

c>0 かつ z,w∈C のとき、
|z+w|^2 ≦ (1+c)|z|^2 + (1 + 1/c)|w|^2.

昔やったかも？ ( ﾟ∀ﾟ)

705 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:43:23 ID:ED+tdwHx.net

|z+w|^2 ≦ (|z| + |w|)^2 　　　　(三角不等式)
　　= |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w|
　　= |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2 - (|z|√c - |w|/√c)^2
　　≦ |z|^2 + |w|^2 + c|z|^2 + (1/c)|w|^2　　　(GM-AM)
　　= (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2.
等号成立は w = cz のとき。

706 ：１３２人目の素数さん：2021/09/28(火) 12:56:38 ID:ED+tdwHx.net

>>702
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034…　とおく。　(黄金比)
1/n^3 = n/n^4
　≦ n/{n^4 - (2/φ-1)^2･(nn-4)}　　　　(n≧2)
　= n/{(nn -2 +4/φ)^2 - nn}
　= n/{(nn -n -2 +4/φ)(nn +n -2 +4/φ)}
　= (1/2){1/(nn-n-2 +4/φ) - 1/(nn+n-2 +4/φ)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < φ/8 = (1+√5)/16,

707 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 05:31:52 ID:lKJ2KBeg.net

>>704
　|z+w|^2 + |z√c - w/√c|^2 = (1+c)|z|^2 + (1+1/c)|w|^2,
だった希ガス。。。

708 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 09:17:12 ID:lKJ2KBeg.net

>>702
1/n^3 = n/n^4
　< n/{n^4 - (√10 -3)^2(nn-9)}　　　　(n≧3)
　= n/{(nn -9 +3√10)^2 - n^2}
　= n/{(nn -n -9 +3√10)(nn +n -9 +3√10)}
　= (1/2){1/(nn -n -9 +3√10) - 1/(nn +n -9 +3√10)},
∴　Σ[n=2,∞] 1/n^3 < 1/8 + (1+√10)/54 = 0.2020792

709 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 10:19:16 ID:mxWzl1I/.net

>>707
( ﾟ∀ﾟ) ｷﾀｺﾚ！

710 ：１３２人目の素数さん：2021/09/29(水) 11:56:39 ID:mxWzl1I/.net

>>694
(2)の等号成立条件はどうなるんでせうか？

711 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 06:51:58 ID:hn+yThHP.net

arg(a) = arg(b) = arg(c) かつ |a|, |b|,| c| が三角不等式を満たす。
ただし arg(0) は任意の値に等しいとする。

∵　arg(p) = arg(q) = arg(r).

712 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 22:46:47 ID:jz/TtT2s.net

Σ(k=1~2n)2nCk×(1/(n-1)^2)^k>2/(n-1)

↑これ成り立ちそうなんだけど証明浮かばん

713 ：１３２人目の素数さん：2021/09/30(木) 23:26:03 ID:yVhW4Ory.net

とりあえずt = 1/(n-1)とおいてt=0の近傍では左辺-右辺は
4 t^2 + (13 t^3)/3 + (11 t^4)/3 + (8 t^5)/5 - (7 t^6)/90 + O(t^7)
(テイラー級数)
だそうな

714 ：１３２人目の素数さん：2021/10/01(金) 06:04:21 ID:y+GdRVMF.net

初項は　2n/(n-1)^2 > 2/(n-1),
あとの項も >0,

なお、二項公式から
　Σ(k=1〜2n) Ｃ(2n,k) (t^2)^k = (1+t^2)^{2n} - 1.