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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 183 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 09:59:49.00 ID:CKganLkz.net
- a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2
出典 1978年度ソ連数学オリンピック
https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1869922p12680406
- 184 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 13:54:11.69 ID:v2NzGOZT.net
- >>183
ウホッ！ いい不等式。
- 185 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 15:56:05.98 ID:oX3OQU5P.net
- [Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),
(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,
- 186 ：１３２人目の素数さん：2019/08/11(日) 23:03:44.95 ID:GctloD3X.net
- >>183
d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b) >>185
(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。
n>2 のとき
m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).
- 187 ：１３２人目の素数さん：2019/08/12(月) 16:47:05.09 ID:uLwjs1DH.net
- [ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]
(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0 (n：even)
δ = 1 (n：odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,
- 188 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 11:27:05.56 ID:Tk2MgydX.net
- 任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))
出典 ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編
- 189 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 14:08:52.58 ID:gccQR1zi.net
- 〔リウヴィルの定理〕
無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
p/q ∈ Q ⇒ |α - p/q| > c(α)/q^n.
(例)
|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5641.html
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/2007.html
- 190 ：１３２人目の素数さん：2019/08/15(木) 00:49:47.21 ID:RxBWT0Y0.net
- y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
-π ≦ y < π,
1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,
- 191 ：１３２人目の素数さん：2019/08/16(金) 01:59:00.40 ID:oNtuWoss.net
- 1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy, (|y|≦π/2)
1 - cos(y) ≧ 1, (|y|≧π/2)
1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy, (|y|≦π/3)
1 - cos(y) ≧ 1/2, (|y|≧π/3)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy, (|y|≦π/6)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746, (|y|≧π/6)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy, (|y|≦π/12)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742 (|y|≧π/12)
- 192 ：１３２人目の素数さん：2019/08/21(水) 19:59:33.25 ID:a2bL2fVn.net
- △ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).
- 193 ：１３２人目の素数さん：2019/08/26(月) 23:23:29.14 ID:ywejxerG.net
- >>192
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
∴ r[a] = 2S/(b+c-a).
示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.
傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ﾟ∀ﾟ) ｽﾘｽﾘ ｽﾘｯﾄｫ！
- 194 ：１３２人目の素数さん：2019/08/27(火) 21:03:14.32 ID:VdE/ZoR/.net
- 右側は楽勝だが、左側が分からぬ…
- 195 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 03:47:25.31 ID:vPFzkVBn.net
- C1552
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
C1532, B5017
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201903&t=mat&l=en
- 196 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:14:07.85 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
Is there a function f：Ｒ→Ｒ with the following properties:
(1) if x1≠x2 then f(x1)≠f(x2),
(2) there exist appropriate constants a,b > 0 such that
f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
for all x∈Ｒ ?
C.1532
Show that if a,b,c are positive numbers and
a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
then one of them is at least 1.
C.1552.
Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
log_a{2ab/(a+b)}･log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.
- 197 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:31:15.35 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
f(x_i^2) = f(a･x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴ 0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴ y_i = 1/2,
∴ f(a･x_1+b) = 1/2 = f(a･x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
a･x_1 + b = a･x_2 + b,
a>0 から
x1 = x2 (矛盾)
C.1532.
a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
a+b+c>0 で両辺を割ると
1 ≧ 1/abc,
abc ≧ 1.
C.1552.
log(a) < 0, log(b) < 0 より log(a)･log(b) > 0,
HM-GM より
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
(左辺)･log(a)･log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
≧ log(a)･log(b),
これを log(a)･log(b) >0 で割る。
- 198 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 14:17:25.93 ID:641rcCLM.net
- >>194
同感でござる。
(右)は
aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c), … ヘロン
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
= (a+b+c)/8S = 1/(4r),
∴ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},
- 199 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 12:56:45.26 ID:V/0HLVAJ.net
- >>192 >>194
(左)は
a+b+c = 2S/r,
abc = ab･2R sin(C) = 4SR,
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),
∴ コーシーで
r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
≧ r/(2Rr)^2
= 1/(4RRr),
- 200 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 19:49:05.56 ID:eU3p0wK7.net
- うひょっ！ 自力では解ける気がしないなぁ…
- 201 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 20:28:20.84 ID:eU3p0wK7.net
- 絶対値がらみの不等式
x,y,z ∈R に対して、
(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.
(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.
(1)(2)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1793790p11880112
- 202 ：１３２人目の素数さん：2019/08/30(金) 08:39:13.74 ID:3MesnOrF.net
- お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの？😜
(分かスレ４５５-200)
- 203 ：１３２人目の素数さん：2019/08/30(金) 08:53:58.84 ID:3MesnOrF.net
- >>201
|x+y| ≦ |x|+|y| 等号成立は xy≧0 (同符号)
(1)
証：依題、x,y,z 中必有２↑同号。
不妨設 x,y 同号, 則 |x+y|/(|x|+|y|) = 1.
又 0≦|y+z|/(|y|+|z|)≦1, 0≦|z+x|/(|z|+|x|)≦1, 故 〜〜
(2) Let x,y & z are arbitrary real numbers (not all zero)．
Prove that
2/3 ≦ (|x+y|+|y+z|+|z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2,
(証) 題意より、x,y,z の中に必ず同符号の２つがある。
xy≧0 と置くことを妨げないから
(分子) = |x+y| + |y+z| + |z+x|
= |x| + |y| + (2Max{|y|,|z|} -|y| -|z|) + (2Max{|x|,|z|} -|z| -|x|)
= 2 Max{|y|,|z|} + 2 Max{|x|,|z|} -2|z|
= 2 Max{M,|z|} + 2(Max{m,|z|} -|z|)
≧ 2 Max{|x|,|y|,|z|}
≧ (2/3)(|x|+|y|+|z|),
ここに M = Max{|x|,|y|}, m = min{|x|,|y|} とおいた。
- 204 ：１３２人目の素数さん：2019/08/31(土) 06:25:54.80 ID:45aPYUp8.net
- 〔補題〕
|ｘ+z| + |ｘ-z| = 2 Max{|x|, |z|},
|y+z| + |y-z| = 2 Max{|y|, |z|},
…とやるより、場合分けした方が簡単かな。
- 205 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 05:19:16.22 ID:BBoFSmJW.net
- ジュニア数檻から。
(1) x,y∈R に対して、(xy+x+y-1)^2 / {(x^2+1)(y^2+1)} の取りうる値の範囲。
(2) a,b,c,d∈R に対して、(aa+ac+cc)(bb+bd+dd) の取りうる値の範囲。
(3) a,b∈N に対して、min{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≦{√(4a+4b+5) - 1}/2
- 206 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 15:16:47.18 ID:NPxrtGxy.net
- (1)
(x+i)(y+i) = (xy-1) + (x+y)i,
∴ {(xy-1) + (x+y)}^2 + {(xy-1) - (x+y)}^2 = 2{(xy-1)^2 + (x+y)^2}
= 2 |(xy-1) + (x+y)i|^2
= 2 |(x+i)(y+i)|^2
= 2 (xx+1)(yy+1),
より [0,2]
等号成立は (x-1)(y-1)=2 (直角双曲線)
(2)
aa+ac+cc = (3/4)(a+c)^2 + (1/4)(a-c)^2 ≧ 0,
bb+bd+dd = (3/4)(b+d)^2 + (1/4)(b-d)^2 ≧ 0,
より [0,∞)
等号成立は a=b=c=d=0
(3)
左辺をLとおく。
Max{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≧ L+1, (← 互いに素)
L(L+1) ≦ gcd((a+1)(b+1), ab) = gcd(a+b+1, ab) ≦ a+b+1,
- 207 ：１３２人目の素数さん：2019/09/08(日) 15:54:03.88 ID:NPxrtGxy.net
- 訂正ｽﾏｿ
(2)
等号成立は a=c=0 または b=d=0,
(3)
gcd(a,b+1)･gcd(a+1,b) = gcd((a+1)(b+1), ab) を使った。
- 208 ：１３２人目の素数さん：2019/09/10(火) 18:20:55.90 ID:qdVlLmKr.net
- 2016 IMO Shortliset, A1, A8
https://artofproblemsolving.com/community/c482986_2016_imo_shortlist
個人的には関数方程式も好物なんですがね。
- 209 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 03:41:17.00 ID:1IJ7FHVd.net
- A1.
Let a,b,c be positive real numbers such that min(ab,bc,ca)≧1.
Prove that
{(aa+1)(bb+1)(cc+1)}^(1/3) ≦ {(a+b+c)/3}^2 ＋ 1.
A8.
Find the largest real constant a_n such that
for all positive real numbers x_1, x_2, ････, x_n satisfying 0 < x_1 < x_2 < ････ < x_n,
we have
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ a_n･{Σ[k=0,n-1] k / x_(k+1) },
(x_0 = 0.)
答だけ書くと
a_1 = 1/2 = 0.5
a_2 = 12/25 = 0.48
a_3 = 0.4701514765959817784543884････
(190t^4 - 6561t^3 + 574t^2 + 329t + 391 = 0 の正根 )
a_4 = 0.4643963253583455727840309････
(489t^5 + 1965t^4 - 71t^3 + 602t^2 - 613t + 60 = 0 の正根 )
・・・・・・
a_n → 4/9 = 0.44444････ (n→∞)
- 210 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 03:52:19.18 ID:1IJ7FHVd.net
- A8.
(略解)
3/{x_(j+1) - x_j} … 3個
j / x_j … j個
の(j+3)個で AM-HM すると
9/{x_(j+1) - x_j} + jj/x_j ≧ (j+3)^2 /x_(j+1)
9/{x_(j+1) - x_j} ≧ (j+3)^2 /x_(j+1) - jj/x_j,
j=0…n-1 でたして 9で割る。
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ (4/9)Σ[k=0,n-1] (k+2) / x_(k+1),
A8. の右辺は (k＋２）/ x_(k+1) と訂正....orz >>209
- 211 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 04:55:06.64 ID:1IJ7FHVd.net
- >>208-210
あちこちに在るからKoMaL
KoMaL N.189 (1998/Nov)
http://www.komal.hu/verseny/1998-11/mat.e.shtml
KoMaL A.709 (2017/Nov)
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&l=en&h=201711&t=201711
American Math. Monthly, Problem 11145 (2005)
- 212 ：１３２人目の素数さん：2019/09/11(水) 23:38:19.31 ID:1IJ7FHVd.net
- >>209
A1.
0≦k≦1,
a ' = (1-k)a + kb,
b ' = ka + (1-k)b,
とする。
(a 'a '+1)(b 'b '+1) - (aa+1)(bb+1)
= (D+ab)^2 + (-2D+aa+bb) +1 - (aa+1)(bb+1)
= D{D + 2(ab-1)}
≧ 0 (← ab≧1)
ここに D = k(1-k)(a-b)^2 とおいた。
∴ F(a,b,c) = (aa+1)(bb+1)(cc+1)
は (a,b,c) について上に凸。
F(a,b,c) ≦ F(a',b',c')
≦ ･････
≦ F((a+b+c)/3, (a+b+c)/3, (a+b+c)/3)
- 213 ：１３２人目の素数さん：2019/09/12(木) 00:38:37.35 ID:q8BKz8lq.net
- >>208
A4.
Find all functions f：(0,∞) → (0,∞) such that
for any x,y ∈ (0,∞),
x･f(xx)･f(f(y)) + f(y･f(x)) = f(xy)･{f(f(xx)) + f(f(yy))}.
A7.
Find all functions f：R→R such that f(0)≠0 and
for all x,y∈R,
f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + max{f(xx+yy), f(xx)+f(yy)}.
例 f(x) = -1, f(x) = x-1,
- 214 ：１３２人目の素数さん：2019/09/12(木) 01:07:17.91 ID:q8BKz8lq.net
- >>212 (補足)
0≦k≦1 より
D = k(1-k)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ a'b' = D + ab ≧ ab ≧ 1
〔別法〕
d = (a+b+c)/3 とおく。
(aa+1)(bb+1) ≦ {[(a+b)/2]^2 + 1}^2,
(cc+1)(dd+1) ≦ {[(c+d)/2]^2 + 1}^2,
辺々掛けて
(aa+1)(bb+1)(cc+1)(dd+1) ≦ {[(a+b+c+d)/4]^2 + 1}^4
= (dd+1)^4,
- 215 ：１３２人目の素数さん：2019/09/15(日) 09:13:16.60 ID:V+m2Snsf.net
- 昔の入試問題
https://i.imgur.com/xKwu9QK.jpg
- 216 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 01:34:11.70 ID:FF+PWEgn.net
- >>215
すべての実数xに対して定義された関数
f(x) = cos(x) + cos((√2)x)
について、
(1) f(x) = 2 を満たすxの値をすべて求めよ。
また、f(x) は周期関数ではないことを証明せよ。
(2) t = 6726π のとき、すべてのxに対して 不等式
| f(x+t) - f(x)| < 0.002
が成り立つことを証明せよ。
ただし、√2 = 1.41421356…… とする。
（1986 山梨医科大)
- 217 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 01:44:55.63 ID:FF+PWEgn.net
- >>216
(1)
f(x) = 2 ⇔
cos(x) = cos((√2)x) = 1, ⇔
x = 2mπ, (√2)x = 2nπ, (m,n∈Z) ⇒
m√2 = n (m,n∈Z) ⇔
m = n = 0,
よって x=0 のみ。
f(x)=2 となるxは0以外にないから、周期関数ではない。
- 218 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 02:00:54.51 ID:FF+PWEgn.net
- >>216
(2)
t は 2π の整数倍だから
cos(x+t) - cos(x) = 0,
また和積公式から
|cos((√2)(x+t) - cos((√2)x)| = 2|sin((√2)(x+t/2) sin(t/√2)|
≦ 2|sin(t/√2)|
= 0.001321107
- 219 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 02:03:03.70 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
p,q が自然数のとき |√2 - (p/q)| ≧ (6-4√2)/qq,
(略証)
・q=1 のとき
(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
(左辺) > (6-4√2)/qq,
ピーター・フランクルすれ-039
- 220 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 16:29:27.78 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
f(α) = 0,
因数定理より
f(x) = f(x) - f(α) = (x-α)g(x,α)
p,q を整数(q≠0) とすれば
(q^n)f(p/q) は0でない整数。
1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n･|f(p/q)|
= |q|^n･|p/q - α| g(p/q,α)
≦ |q|^n･|p/q - α| / c(α),
- 221 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 16:49:30.42 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
・n=2 の例
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575 (3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919 (2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236 (9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103 (5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820 (8/3)
c(√8) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288 (3/1)
c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423 (19/6)
c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689 (10/3)
c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354 (7/2)
c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497 (649/180)
c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181 (15/4)
c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665 (4/1)
c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996 (33/8)
c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2)
c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688 (170/39)
c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618 (9/2)
c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874 (99/14)
c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1)
c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2 = 0.35354437 (99/7)
c(√n) ≦ 1/(2√n),
- 222 ：１３２人目の素数さん：2019/09/16(月) 17:37:47.01 ID:FF+PWEgn.net
- >>220
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。
（なお、 |(p/q) - α| >1 のときは明らか。)
- 223 ：１３２人目の素数さん：2019/09/20(金) 13:27:55.61 ID:KyAOfC1j.net
- 2800
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
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- 224 ：１３２人目の素数さん：2019/09/23(月) 12:07:10.78 ID:8OPrFZ2d.net
- [NKSΣ@nkswtr][2019/9/23 10:58:45]
x_kが全て正のとき、不等式がなりたつ
https://pbs.twimg.com/media/EFHSqW1VUAAxAt3.jpg
[Tweet URL: https://twitter.com/nkswtr/status/1175952611234566146 ]
(deleted an unsolicited ad)
- 225 ：１３２人目の素数さん：2019/09/23(月) 18:13:40.99 ID:2PqEJji0.net
- x_k >0, Σ[k=1,n] x_k = S のとき
(S/n)^S ≦ Π[k=1,n] (x^k)^(x_k),
(略証)
{x･log(x)}" = 1/x > 0, (下に凸)
Jensenより
S･log(S/n) ≦ Σ[k=1,n] (x_k)log(x_k),
等号成立は x_1=x_2=…=x_n
- 226 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 06:33:10.11 ID:CUDTSBu2.net
- 〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0，x_1，x_2，…… such that
｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1
for every pair of distinct i，j.
次の不等式をみたす有界無限実数列： x_0，x_1，x_2，… を1つ与えよ。
i≠j ⇒ ｜x_i - x_j｜｜i - j｜ > 1,
IMO-1991（32nd，Sweden）問題6-改.
数セミ、1991年10月号
- 227 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 06:37:31.33 ID:CUDTSBu2.net
- >>226
x_j = k { j √m - 1/2 }， k=1+2√m,
ここに m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
（富蘭平太氏の解）
- 228 ：１３２人目の素数さん：2019/09/24(火) 12:46:05.02 ID:X/bhMtKR.net
- https://i.imgur.com/cdAdjkJ.jpg
昔どっかで拾ったやつ。パソコン内の画像ファイルを整理していて見つけた。詳細不明。
- 229 ：１３２人目の素数さん：2019/09/25(水) 16:48:12.69 ID:rBwhMx0MX
- >>228 Muirhead
- 230 ：１３２人目の素数さん：2019/09/26(木) 08:01:36.36 ID:C1ckjksZ.net
- 〔問題〕
Prove that, for a,b,c,････ > 0,
Σ[cycl] (ab)^3 /c^5 ≧ Σ[cycl] ab/c,
コーシーで
(c+d+････+a+b)^2 (左辺) ≧ (右辺)^3,
は出るけど、
(右辺) ≧ (a+b+c+ ････)
は成り立つのかな？？
- 231 ：１３２人目の素数さん：2019/09/26(木) 23:50:54.84 ID:C1ckjksZ.net
- 3文字のときはコーシーで簡単だが････
(右辺)^2 = (ab/c+bc/a+ca/b) (ca/b+ab/c+bc/a) ≧ (a+b+c)^2,
文献[8] 安藤(2012) p.124 例題3.1.3(1) および p.144 例題3.2.2(1)
・3文字の別解
ab/c + bc/a + ca/b ≧ √{3(aa+bb+cc)} を使う。
(右辺)^2 ≧ 3{(ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b)} = 3(aa+bb+cc),
アイルランドMO (2007)
文献[8] 安藤(2012) p.162 例題3.3.5(2)
文献[9] 佐藤(2013) p.56 演習問題 1.113
- 232 ：１３２人目の素数さん：2019/09/27(金) 00:00:31.56 ID:ncViLEfF.net
- >>224
東京工大 (1990) かな。
- 233 ：１３２人目の素数さん：2019/09/27(金) 17:30:14.59 ID:ncViLEfF.net
- >>230
4文字以上では不成立かな。
a,b,c,d >0
ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≧ a+b+c+d,
の凡例
a,b,cを固定する。
(左辺) - (右辺) = (ab/c -a-b-c) + (bc/d) + (c/a + a/b -1)d,
c/a + a/b <1 ならば d→∞ で負になる。
a=m, b=(m+1)m, c=1, d≧(m+1)m^3 のとき負。
- 234 ：１３２人目の素数さん：2019/10/10(木) 09:05:52.04 ID:4MNDsrsX.net
- >>227
i≠j とする。
|i-j| ≧ 1,
| {i√m} - {j√m} | < 1,
さて、
(i-j)√m - {i√m} + {j√m} = [ i√m ] - [ j√m ] = n,
の両辺を２乗して移行すれば
(i-j)^2･m - nn = ({i√m}-{j√m})(2|i-j|√m -{i√m} +{j√m})
m≠平方数 ゆえ、左辺は0でない整数。
1 ≦ |(i-j)^2･m - nn| ≦ |{i√m}-{j√m}|(1+2√m)|i-j| = |x_i-x_j||i-j|
- 235 ：１３２人目の素数さん：2019/10/14(Mon) 21:12:53 ID:OfKxP42X.net
- ここの住人は積分不等式とかは興味ないかな？
f,gを[0,1]上滑らか、かつ(f(0),g(0))=(f(1),g(1))となる関数としたとき
2π∫_0^1 {f(x)g’(x)-f’(x)g(x)}dx≦[∫_0^1 √{(f’(x))^2+(g’(x))^2} dx]^2
- 236 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 00:45:39.69 ID:eja156vF.net
- (u, v) = (f(x), g(x)) とおく。
x∈[0,1] で (u, v) は閉曲線Cを描く。
∫[0,1] {f(x)g’(x)- f’(x)g(x)}dx = ∫_C (udv-vdu) = {Cの内部の有向面積(反時計周り→正)},
∫[0,1] √{(f’(x))^2 + (g’(x))^2}dx = ∫_C √{(du)^2 + (dv)^2} = (Cの長さ),
2π(面積) ≦ (長さ)^2
等号はCが円周 f(x)^2 + g(x)^2 = c^2 のとき。
- 237 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 01:20:58.22 ID:eja156vF.net
- 訂正
4π(面積) ≦ (長さ)^2
・参考書
数セミ増刊「数学100の問題」 日本評論社 (1984)
「等周問題」 p.176-177
香具師が変分法を作り、シャボン玉がコンパクト概念
を生んだ。 （森 毅）
- 238 ：１３２人目の素数さん：2019/10/15(火) 02:06:55.09 ID:O93uxOk1.net
- >>236
>>237
正解です
いわゆる等周不等式
想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした
- 239 ：：2019/10/17(木) 05:36:05 ID:eT2GFlgw.net
- >>237
参考書の方法の概要
長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を２つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90ﾟのとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを直径とする円周である。(S=π) (終)
- 240 ：１３２人目の素数さん：2019/10/17(木) 07:08:12.82 ID:eT2GFlgw.net
- >>239
シュタイナー (J. Steiner) の対称化
- 241 ：１３２人目の素数さん：2019/10/17(木) 21:33:31 ID:MQ0StxZa.net
- >>240
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります
曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば
4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2
さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります
- 242 ：：2019/10/18(Fri) 08:22:53 ID:nO1XpZx3.net
- 4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
≧ {∫[0,2π] r dθ}^2 (←シュワルツ)
う〜む。
- 243 ：１３２人目の素数さん：2019/10/18(金) 14:30:07.06 ID:nO1XpZx3.net
- (例) 辺の長さ L/4 の正方形
∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s：0→1/√2)
= L log(1+√2)
= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
= (π/4)L^2
= 0.785398163 L^2
> 0.77681940 L^2
= (0.881373587 L)^2
= (∫[0,2π] r dθ)^2
- 244 ：１３２人目の素数さん：2019/10/18(金) 15:04:58.66 ID:48cliLMb.net
- ∫rdθが周長より長いならいいんだけど。
- 245 ：１３２人目の素数さん：2019/10/19(土) 01:59:47.67 ID:j0qSwPAR.net
- >>242 や >>243 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>244 だと、ますます無理っぽい････
- 246 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 07:51:32.79 ID:S8xxgIdK.net
- 〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[分かスレ４５６脇-921]
- 247 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 09:07:33 ID:S8xxgIdK.net
- I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,
(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
= 2π/(2+(2k+1)π)^2,
I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,
(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},
∴ Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
= 0.04578836 + 0.087529053
= 0.133317413
< 2/15,
0<x<π では sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
= (2/π)^4 ･ 1.8581544248371
= 0.30521248563
< 1/3,
∴ I < 7/15
なお、実際の値は
I_0 = 0.28136039736534
I_1 = 0.0496240021299
I = 0.3990209885942
- 248 ：１３２人目の素数さん：2019/10/26(土) 09:18:45.67 ID:S8xxgIdK.net
- >>247
I_0 ＞ 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 ＞ 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),
- 249 ：１３２人目の素数さん：2019/10/28(月) 13:09:51.57 ID:M55VqgNP.net
- >>247
|y| ≦ π/2 のとき
((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, ････ Jordanの不等式
1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,
π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき sin(x) ≦ (4/π^2)･x(π-x),
- 250 ：１３２人目の素数さん：2019/11/11(月) 01:05:02.45 ID:RnIwgTT0.net
- a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).
IMO 1967 らしい
- 251 ：１３２人目の素数さん：2019/11/11(月) 23:31:55.51 ID:uIUz6082.net
- a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2･b^3･c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。
- 252 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 02:21:11 ID:dGHte+xL.net
- 問題
x＞-2,y＞0として
ye^x＞log(yx+2y)
- 253 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 03:42:47.71 ID:ksIBXQAO.net
- >>250
何年度かね？
http://web.archive.org/web/20080213055134/http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html
- 254 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 06:15:32.35 ID:XcoIZ5AW.net
- >>252
e^t >= 1+t, 1+t >= log(t+2)より
ye^x = e^{(log y) + x} >= log y + (x+1)
>= log y + log(x+2) = log(yx+2y)
二つの等号を同時に成立させるx, yはない。
- 255 ：１３２人目の素数さん：2019/11/12(火) 21:42:38.58 ID:WvFYjXT5F
- >>250 ただのMuirhead
- 256 ：１３２人目の素数さん：2019/11/13(水) 01:43:38.75 ID:HL1mwdTs.net
- >>252
題意より y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。
- 257 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 10:38:04.46 ID:co/VrloJ.net
- Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)
飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。
- 258 ：１３２人目の素数さん：2019/11/15(金) 13:32:49.92 ID:+e/x8O7I.net
- というか、上の級数は1.93あたりに収束するっぽいんだけど、
明示的に極限を書けないかしら。
- 259 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 04:10:15.50 ID:iMDULalJ.net
- >>257
たとえば
(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ･････ < (1+1/n)^n < e,
すなわち
2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {(n+1)/n}^n < e,
最右辺を除くn項を掛け合わせて
(n+1)^n /n! < e^n,
n! > {(n+1)/e}^n,
1/n! < {e/(n+1)}^n,
と評価する。
Σ[n=3,∞) (1/{(n+1)!(n!)})^(1/n) < Σ[n=3,∞] {e/(n+2)}{e/(n+1)}
= Σ[n=3,∞] ee{1/(n+1) - 1/(n+2)} = ee/4,
(左辺) < 1/2 + 1/√12 + ee/4 = 2.63593916 < e,
- 260 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 05:33:37 ID:cdgu8qg6.net
- >>259
おお…ありがとう
ちなみに飛び道具とはcarlemanの不等式でした。
その証明にも(n+1)^n /n! < e^nが使われるという
- 261 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 07:07:44.03 ID:eGTgxrCn.net
- むむむ…、震えてきた…
- 262 ：１３２人目の素数さん：2019/11/18(月) 15:47:33 ID:W9Q6monY.net
- 〔補題〕
(1) (1 +1/n)^(n+1/2) は単調減少でeに収束
(2) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(3) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
(1)は一般化二項公式を使うらしい。
- 263 ：１３２人目の素数さん：2019/11/23(土) 20:40:03.04 ID:md82QkH1.net
- a,b,c>0
a^2 + b^2 + c^2 ≧ Σ[cyc] a*{ (b^4 + c^4)/2 }^(1/4)
- 264 ：１３２人目の素数さん：2019/11/25(月) 17:59:50 ID:earBUlUp.net
- A = a^4/(a^4+b^4+c^4),
B = b^4/(a^4+b^4+c^4),
C = c^4/(a^4+b^4+c^4),
とおくと
A+B+C = 1.
また
f(x) = √x - [x(1-x)/2]^(1/4),
とおくと
f '(x) = 1/(2√x) - ((1-2x)/8)[x(1-x)/2]^(-3/4),
f "(x) = -1/(4x√x) - (1/8)[x(1-x)/2]^(-3/4) + (3/64)[x(1-x)/2]^(-7/4) > 0,
∴ y=f(x) は下に凸。
∴ Jensen より
(LHS - RHS) 〜 f(A) + f(B) + f(C)
≧ 3f((A+B+C)/3)
= 3f(1/3)
= 0,
微分のことは微分でせよ？
- 265 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 05:01:43.80 ID:/rJkC9KX.net
- >>239-240
・参考文献
J. Steiner: J. reine Angew. Math., ２４, p.93-152 (1842)
浦川 肇：「等周不等式」 数理科学(サイエンス社) No.386, p.20-24 (1995/Aug)
- 266 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:19:29.69 ID:/rJkC9KX.net
- >>257-258
Σ[k=1→n] 1/{(n+1)(n!)^2}^(1/n) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
ぐらいかな。
- 267 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 06:21:11.33 ID:/rJkC9KX.net
- >>257-258 訂正
Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k) ≒ 1.99877 - ee/(n+2),
- 268 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 12:13:55.79 ID:GwDHuLDD.net
- 問題
1≦pとする
ある定数C=C(p)>0が存在し、
(0,1)上の任意のC^1級関数fに対して
∫_0^1 |f(x)-∫_0^1 f(y) dy|^p dx≦C∫_0^1 |f’(x)|^p dx
またこの不等式が成立する最小のC(p)を求めよ
- 269 ：１３２人目の素数さん：2019/11/26(火) 14:04:10.49 ID:DW5yGutX.net
- 11月号の数蝉NOTEに、AM-GMの証明が載ってたみたいだけど、新証明？
- 270 ：１３２人目の素数さん：2019/11/27(水) 20:12:50.80 ID:th7CPxH7.net
- このスレで話題にならないということは、既出の証明だったんじゃね？（鼻ホジ）
JBMO2020らしい
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1899502p12980771
- 271 ：１３２人目の素数さん：2019/11/28(木) 22:48:14.44 ID:ghZZAPQ9.net
- >>267 を改良
S_n = Σ[k=1→n] 1/{(k+1)(k!)^2}^(1/k)
≒ 1.99877613 - (ee/(n+2)){1 - (1/n)log(n)}
S_1 = 0.50
S_2 = 0.78867513459481
S_4 = 1.11596688482249
S_8 = 1.41825957672665
S_16 = 1.6498309820817
S_32 = 1.80276021419195
S_64 = 1.8936289850894
S_128 = 1.9439982730789
S_256 = 1.9707380873724
S_512 = 1.9845718842414
S_1024 = 1.99162226380515
S_2048 = 1.9951849538552
S_4096 = 1.9969766630793
S_8192 = 1.9978753488909
S = 1.99877613
- 272 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 10:08:04.96 ID:33TTA80m.net
- このサイトにある不等式の証明が興味深い
https://www.jstor.org/stable/2975630?seq=3#metadata_info_tab_contents
https://www.researchgate.net/publication/236834618_On_a_mixed_arithmetic-geometric_mean_inequality
- 273 ：１３２人目の素数さん：2019/11/29(金) 11:04:39.65 ID:gQn2pek9.net
- めんどいから全然読んでないけど、重み付きAM-GM差分不等式っぽい（正式な名前は知らん）
https://i.imgur.com/omE2lcy.jpg
- 274 ：１３２人目の素数さん：2019/11/30(土) 06:31:05.40 ID:EU1tlCDO.net
- >>272
〔定理〕
x_1 >0, x_2 >0, ･･････, x_n >0 のとき
(1/n)Σ[k=1,n] (x_1･x_2…x_k)^(1/k) ≦ {Π[k=1,n] (x_1+x_2+…+x_k)/k}^(1/n),
等号成立は x_1 = x_2 = ････ = x_n.
[前スレ.037(1)〜044, 051-053, 097] の辺り
K．Kedlaya： Amer．Math．Monthly, Vol．101, No．4, p．355-357 (1994/Apr)
"Proof of a mixed Arithmetic-mean, Geometric-mean inequality"
- 275 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 04:00:04 ID:oC7hjXGF.net
- 右辺を変形してコーシーに持ち込みたいが････
G1 = a, G2 = √(ab), G3 =（abc)^(1/3), ････ とおく。
n=2
(a+a)(a+b) ≧ (G1+G2)^2,
n=3
(a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c) ≧ (G1+G2+G3)^3,
n=4
(a+a+a+a)(a+B1+B2+b)(a+B2+C+c)(a+b+c+d) ≧ (G1+G2+G3+G4)^4,
B_1 = (aab)^(1/3)
B_2 = (abb)^(1/3),
B_k = {a^(n-1-k)･b^k}^(1/(n-1))
C = (bbc)^(1/3),
n=5
(a+a+a+a+a)(a+B1+G2+B3+b)(a+G2+C'+C"+c)(a+B3+C"+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,
B_1 = (aaab)^(1/4),
B_2 = √(ab) = G2,
B_3 = (abbb)^(1/4),
C ' = (ab^4･c)^(1/6),
C " = √(bc),
D ' = (cccd)^(1/4),
- 276 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 16:15:48 ID:oC7hjXGF.net
- まづ AM-GM で右辺を
(x1 + x2 + ････ + xk)/k ≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
として、コーシーを使うのでござる。
ここに
e(i;j,k) = (n-j)! (j-1)! (n-k)! (k-1)! /{(n-1)! (i-1)! (j-i)! (k-i)! (n+i-j-k)!}
(i≦j≦n, i≦k≦n & j+k-i≦n)
= 0 (otherwise)
チト面倒でござるが････
- 277 ：１３２人目の素数さん：2019/12/01(日) 20:39:28.33 ID:oC7hjXGF.net
- (x_1+x_2+････+x_k)/k ≧ (1/ｎ)Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)
でござった。
対称性
e(i;j,k) = e(i;k,j)
斉次性
Σ[i=1,k] e(i;j,k) = 1,
総和則
Σ[j=i,n] e(i;j,k) = n/k (1≦i≦k)
= 0, (k<i≦n)
Σ[k=i,n] e(i;j,k) = n/j (1≦i≦j)
= 0, (j<i≦n)
から出るか。
- 278 ：１３２人目の素数さん：2019/12/02(月) 19:46:04 ID:a5zqFxLP.net
- >>274
(略証)
AM-GM より
Σ[i=1,k] e(i;j,k) x_i
≧ {Σ[i=1,k] e^(i;j,k)}・{Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k)}
= Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←i斉次性)
これを Σ[j=1,n] で加えると
(x_1+x_2+････ +x_k)/k
≧ Σ[j=1,n] Π[i=1,k] (x_i)^e(i;j,k) (←j総和則)
次に Π[k=1,n] で掛け合わせ、コーシーを使う。
n乗の中の第j項は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=1,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(n/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
- 279 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 08:05:57.48 ID:tkRoCzDX.net
- 最後は
Π[i=1,n] (x_i)^{(1/n)Σ[k=i,n] e(i;j,k)}
= Π[i=1,j] (x_i)^(１/j) (←k総和則)
= G_j, (終)
- 280 ：１３２人目の素数さん：2019/12/03(火) 09:41:52 ID:tkRoCzDX.net
- e(i;j,k) = C[j-1,i-1] C[k-1,i-1] (n-j)! (n-k)! / {C[n-1,i-1] (n-i)! (n+i-j-k)!},
のように組合せを使って表わすのが 貞三流でござるか？ (山梨大)
- 281 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 01:06:46.33 ID:+ttUgWiw.net
- >>273
〔例題４'〕
x_1≧1, x_2≧1, ････, x_n ≧1 のとき
A - G ≧ G/H - 1,
ここに
A = (x_1+x_2+････+x_n)/n,
G = (x1･x2････x_n)^(1/n),
H = n/(1/x_1+1/x_2+ ･･･ +1/x_n),
(略証)
G = (x_1･x_2････x_n)^(1/n) を固定して考える。
F(ｘ) = (左辺) - (右辺)
= (x_1+x_2+････+x_n)/n - G − (1/n)(1/x_1+1/x_2+････+1/x_n)G + 1,
とおく。
(x_1, x_2, ････, x_n) = (G, G, ････, G) ならば F(ｘ) = 0.
そうでないとき
x_i > G > x_j ≧ 1,
となる ｉ≠j がある。 (x_i･x_j > G･1)
それらを
ｘ_i’= G, x_j’=x_i･x_j/G,
に変更すると
x_i’+ x_j’- (x_i + x_j) = −(x_i -G)(G -x_j)/(n･G),
1/x_i’+ 1/x_j’- (1/x_i + 1/x_j) = (x_i -G)(G -x_j)/(n･x_i･x_j),
よって
F(ｘ’) − F(ｘ) = −{(x_i -G)(G -x_j)/(n･G)} {1 - G/(x_i･x_j)} < 0,
すなわち F(ｘ) は減少する。
上記の操作を行なうたびにGの個数が1つ増えるから、
n回以内に (G,G,････,G) となり、F=0 に至る。 (終)
- 282 ：１３２人目の素数さん：2019/12/05(木) 02:40:54.44 ID:+ttUgWiw.net
- 〔系〕
x_1≦1, x_2≦1, ････, x_n≦1 のとき
A - G ≦ G/H - 1,
(略証)
x_i = 1/x’_i とおくと、
A = 1/H’ G = 1/G’ H = 1/A’
- 283 ：１３２人目の素数さん：2019/12/09(月) 04:36:54.15 ID:3RsZZfph.net
- >>274
nについての帰納法による。
A_k = (x_1+x_2+････+x_k)/k,
G_k = (x_1･x_2････x_k)^(1/k),
とおく。
n=1 は明らか。
あるnについて成立つとする。
(A_1･A_2････A_n)^(1/n) ≧ (G_1+G_2+････+G_n)/n
= (g_1+g_2+･････+g_{n+1})/(n+1),
ここに
g_k = [(k-1)G_{k-1} + (n+1-k)G_k]/n
≧ [G_{k-1}^(k-1)・(G_k)^(n+1-k)]^(1/n) (AM-GM)
= {(G_k)^(n+1) / x_k}^(1/n),
とおいた。また
A_{n+1} = (x_1+x_2+････+x_{n+1})/(n+1),
ここでコーシーを使う。
(g_k)^n・x_k ≧ (G_k)^(n+1),
より
(A_1･A_2･････A_{n+1})^{1/(n+1)} ≧ (G_1+G_2+････+G_{n+1})/(n+1)
n+1 についても成り立つ。
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