くだらねぇ問題はここへ書け
- 677 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 17:37:10.94 ID:mfihncTu.net
- >>676
なんでいつも出鱈目書いてるの
- 678 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 18:03:01.67 ID:8e2wHLHp.net
- [第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は超越数である
- 679 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 18:04:34.49 ID:8e2wHLHp.net
- >>677
間違えたところは訂正した
- 680 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 18:27:40.03 ID:mfihncTu.net
- >>678
>>679
根本的に間違ってるから無意味
どこにも代数的数であることを使ってないから代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になるから間違い
- 681 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 18:35:42.79 ID:8e2wHLHp.net
- >>680
>代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる
ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない
- 682 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 18:49:01.45 ID:8e2wHLHp.net
- 体Q上 a＝2^√2 のn次の最小多項式を考えても、
その次数が1であることは明らかだから、
結局はaの無理性の証明に帰着する
- 683 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 19:05:34.41 ID:mfihncTu.net
- >>681
だから>>676>>678は間違い
- 684 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 19:20:32.42 ID:8e2wHLHp.net
- >>683
ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある
2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない
2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い
- 685 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 19:21:14.82 ID:mfihncTu.net
- 書き換えた「証明」
-------------------------------------------------------------------------------
[第1段]：2^{√2} が超越数であるとする
a＝2^{√2} とおく
仮定から、aは実数であって、aは実数の超越数である
a＝2^{√2} とおいているから log_|a|＝√2×log|2| である
よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ
[第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である
また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから
log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である
よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る
[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} が代数的数ではないとしたことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は代数的数である
- 686 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 22:20:27.85 ID:V+z7u92t.net
- >>685
「背理法により 2^{√2} は代数的数である」とあるが
2^{√2} はゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数であることが判明しているので
その証明は誤っている
- 687 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 22:23:38.33 ID:V+z7u92t.net
- >>684
高校の数学教師が高校生に対して「2の√2乗が無理数であることを示せ」という証明問題を出すのは
無理なのでしょうか？
- 688 ：１３２人目の素数さん：2024/02/24(土) 23:03:40.47 ID:mfihncTu.net
- >>686
だから>>676>>678は間違い
- 689 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 02:18:44.81 ID:yxgjgyBu.net
- >>685
>>688
コピペした証明が間違っている
[第1段]：2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である
a＝2^{√2} とおいているから log|a|＝√2×log|2| である
よって a＝2^{√2} から 2^{√2}＝e^{√2×log|2|} が成り立つ
[第2段]：ところで、1＜√2＜3/2 だから 2^{√2}＜2^{3/2} である
また e＞2 から log|2|＜1 であって、4/3＜√2＜3/2 だから
log|2|＜4/3＜√2×log|2|＜3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}＞e^{4/3} である
よって、2^{√2}＞e^{4/3} を得る
[第3段]：故に、log_2|e^{4/3}|＜√2 から log_2|e|＜3/4×√2 であって、
e＜2^{3/4×√2} から 1＜3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}＜2 である
よって、e^{2√2}＜8 を得る
[第4段]：しかし、e^{√2}＞8^{1/2}＝2√2 だから e^{2√2}＞8 である
故に、e^{2√2}＜8 が得られたことは e^{2√2}＞8 なることに反し、矛盾する
この矛盾は 2^{√2} を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法により 2^{√2} は超越数である
集合Aを A＝{2^x| xは代数的無理数 } と定義すれば、
Aは区間 [0、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である
同様に、実数の代数的数全体の集合Bは
区間 (-∞、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である
2^{√2} を代数的数と仮定すると、同時に2つの零集合A、B上で
議論していって矛盾が得られるようになっているから、正しい
- 690 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 02:44:54.60 ID:f53st12k.net
- >>689
間違い
- 691 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 02:51:55.98 ID:yxgjgyBu.net
- >>690
2^{√2} を代数的数と仮定すると A⊂B が成り立つから、零集合A上で議論して矛盾を得る
- 692 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 03:18:08.69 ID:yxgjgyBu.net
- A⊂B → 2^{√2}∈A∪B
零集合A上 → 零集合 A∪B 上
- 693 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 03:27:26.35 ID:yxgjgyBu.net
- >>687
こういう問題を高校生に出すのは止めた方がいい
多分、出題しても完答できる人は殆どいないと思う
無理性を証明するにしても、乗法的独立の知識は要する
- 694 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 12:31:59.03 ID:Ettcwn1v.net
- 連立方程式で質問です
1個１００円のりんごと1個100円の梨を10個1000円分買いました
りんごと梨はいくつ購入されたでしょう
ってなったとき答えって10通りあると思うんですけど式を解くと0ででてきちゃいます
解き方が間違ってるんでしょうか
- 695 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 12:45:36.60 ID:GlKsqPxK.net
- りんごも梨も少なくとも1つは買ってるなら、9通り？
- 696 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 14:35:34.45 ID:GlKsqPxK.net
- 梨はナシでもいいが、りんごがないのは無しだ？
それなら 10通り…
- 697 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 14:45:43.90 ID:gJoC49sx.net
- >>694
それは連立してないからです
100円が意味をなしてないからです
- 698 ：１３２人目の素数さん：2024/02/25(日) 14:58:27.46 ID:r3jtDAq3.net
- >>674
双曲線 (斜交)
漸近線は y = -2/3 と y = m･x - 2/3, (m=5/2).
焦点 ( ±(8/15)√(2√29)･sin(θ/2), -(2/3) 干 (8/15)√(2√29)･cos(θ/2) )
= ( ±(4/15)√(√29 - 2), -(2/3) 干 (4/15)√(√29 + 2) )
ここに θ = arctan(m),
- 699 ：６７２：2024/02/27(火) 10:54:20.18 ID:1guH9Us7.net
- >>693
ありがとうございます
やはり高校数学の範囲を逸脱しているのかあ…
- 700 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 06:56:21.78 ID:ijdyqSaZ.net
- >>699
2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{√2}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{√2}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である
実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である
今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある
- 701 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 07:04:49.78 ID:GD05aVNN.net
- >>700
間違い
- 702 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 07:15:42.22 ID:ijdyqSaZ.net
- >>701
実数体R上、実数の代数的数の全体は加減乗除の演算に関して体をなし、
実数の代数的数は有理数と同様に実数体R上稠密である
- 703 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 07:22:01.52 ID:ijdyqSaZ.net
- >>701
実数論の有理数の稠密性も分からない人間に間違いって判定されたくない
- 704 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 07:49:43.06 ID:ijdyqSaZ.net
- >この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから
>「生じたから」、2^{√2} は実数の超越数である
- 705 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 07:52:16.12 ID:ijdyqSaZ.net
- >>699
2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{√2}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{√2}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{√2} は実数の超越数である
実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である
- 706 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 08:47:58.92 ID:GD05aVNN.net
- 2^{3/2} が代数的数であるとする
a＝2^{3/2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{2/(3/2)}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である
- 707 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:27:53.48 ID:ijdyqSaZ.net
- >>706
2^{3/2} が代数的数であることは確定しているから 2^{3/2} にその論法は通用しない
原理的には、実数論では有理数の加減乗除をもとに無理数を定義して有理数体Qを完備化するのと同様に、
実数の代数的数の加減乗除をもとに実数の超越数を定義して実数の代数的数の全体を完備化出来る
その後、実関数について微分積分を展開していくという理論展開も原理的には出来る
その考え方を応用しただけ
- 708 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:38:28.88 ID:ijdyqSaZ.net
- >>706
注意しておくけど、2^{3/2}＝2√2 は
有理数体Qに √2 を添加した代数拡大体 Q(√2) に属し、
Q(√2) は超越拡大体ではない
- 709 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:40:05.03 ID:y7FRk2+2.net
- こいつ前もおんなじ突っ込み受けてたやつやろ
一ミリも成長してない
- 710 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:43:09.56 ID:GD05aVNN.net
- >>707
2^{√2} が代数的数であるなら>>705は使えないから
>>705の前に2^{√2} が代数的数でないことを証明しないと
- 711 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:45:05.76 ID:ijdyqSaZ.net
- >>709
そういう微分積分の理論展開も原理的には出来るから、本でも読んでよく考えてみな
- 712 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:49:14.50 ID:GD05aVNN.net
- 1<r<2のとき2^{r} が代数的数であるとする
a＝2^{r} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{2/r}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{2/r}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{r} を代数的数と仮定したことから
生じたから、2^{r} は実数の超越数である
- 713 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 10:58:51.29 ID:ijdyqSaZ.net
- 有理数体Qに実数の超越数eを添加した超越拡大体 Q(e) の加減乗除をもとに
超越数を定義して Q(e) を完備化することは原理的には出来るが、
このときは超越拡大体 Q(e) を完備化する前に実数の超越数eが既に含まれているので、
体 Q(e) を完備化した後微分積分を理論展開して
それを超越性を示すのに応用することは一般には出来ない
- 714 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 11:00:39.05 ID:ijdyqSaZ.net
- >>712
>>713でも読んでどうぞ
- 715 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 11:07:41.61 ID:ijdyqSaZ.net
- >>713と同様なことは、一般に実数体Rの部分体なる超越拡大体についていえる
- 716 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 12:22:15.14 ID:ijdyqSaZ.net
- >>712
という訳で、実数の代数的数の全体をAで表わすことにすれば、
体Aの超越拡大体 A(2^{√2}) についても>>713と同様なことがいえる
だから、>>712の考え方は実数について代数的数か超越数かの判定には適用できない
- 717 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 14:00:54.59 ID:y7FRk2+2.net
- そもそも>>706の言ってる事が理解できてない時点で数学Aすら理解できてない。
数学Aの時点で自分が落ちこぼれてることすら理解できる知能がない。
- 718 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 16:02:47.38 ID:ijdyqSaZ.net
- >>717
そもそも、>>705は高校ではなく大学の微分積分に基づいた証明である
- 719 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 16:26:43.49 ID:y7FRk2+2.net
- 数学Aで落ちこぼれてる人間が大学の微積の議論できるはずないやろ
そんなレベルの話すら理解できる知能がないんだよ。
- 720 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 16:33:55.99 ID:ijdyqSaZ.net
- >>719
高校の微分積分と大学の微分積分が同じだと思ったら大間違い
高校の微分積分では実数論が幾何的直観に基づいていて曖昧だが、
大学の微分積分では幾何的直観に基づかず実数論をする
- 721 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 16:36:51.96 ID:ijdyqSaZ.net
- >>719
第一、高校の微分積分ではε-δ論法をしていないだろ
- 722 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:07:59.85 ID:y7FRk2+2.net
- まぁ高木といっしょ
自分の事世紀の天才とでも思ってるんやろ
高校数学の時点で落ちこぼれてるゴミ
- 723 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:12:39.85 ID:GD05aVNN.net
- 指摘が難しすぎるようなので簡単に
4＞a＞2から2＞aは出ない
- 724 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:16:40.16 ID:ijdyqSaZ.net
- >>722
高校数学は計算が大半を占めていて論理的に曖昧な部分があるから
大学数学を理解するのに高校数学をしっかり理解する必要はない
高校の実数論は、連結な数直線の幾何的直観に基づいているから曖昧である
- 725 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:30:14.99 ID:ijdyqSaZ.net
- >>724
間違いの指摘をするなら、回りくどい指摘ではなく
そのように簡単にしてくれた方が分かり易くてありがたい
- 726 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:31:33.37 ID:y7FRk2+2.net
- 高木ということ一緒
おそらく糖質なんやろ
少なくとも高校の段階から知能の向上が止まってっる
もっと前かもしれないが
- 727 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:32:05.91 ID:ijdyqSaZ.net
- >>723
>>725は>>723へのレス
- 728 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:34:57.36 ID:ijdyqSaZ.net
- >>726
くどくど他人のこというなら、>>705のような証明に成功してからいってくれ
- 729 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:58:47.43 ID:GD05aVNN.net
- >>725
背理法で証明するなら仮定を使って矛盾を導かなければできないっていう根本的な指摘だよ
- 730 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 17:59:46.40 ID:GD05aVNN.net
- >>728
成功してない
- 731 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 18:09:45.25 ID:ijdyqSaZ.net
- >>729-730
理解出来ない人間には理解出来ないだろうが、実は>>689の証明は正しい
- 732 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 19:12:29.16 ID:GD05aVNN.net
- >>731
>>729での指摘通り全部間違った証明だよ
- 733 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 20:36:15.10 ID:rXTULRav.net
- 【デコホーム】 北海道に ｀中国人専用´ 住宅街
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- 734 ：１３２人目の素数さん：2024/02/28(水) 23:16:32.58 ID:9tUy1VVA.net
- 高木そっくりwwwwwww
- 735 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 02:10:14.79 ID:f0/HMLwN.net
- >>732
元々、微分積分の理論を有理数から無理数を定義したときと同様に
実数論から再構成してから微分積分の理論を再展開し、
それを実数の超越性の証明に応用して示す長い証明である
>>731では結果だけを切り取って書いたから間違いに見えるだけ
- 736 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 02:12:10.41 ID:f0/HMLwN.net
- >>731では → >>689では
- 737 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 02:18:07.65 ID:f0/HMLwN.net
- >>732
実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して
実数論を再展開するときは最小多項式の次数や
ディオファンタス近似などを使う必要があって、
有理数から無理数を定義した実数論とは様相が全く違う
- 738 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 02:49:35.18 ID:f0/HMLwN.net
- >>689では集合 A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい代数的数 } と
実数の代数的数の全体がなす体Bの共通部分 A∩B が空集合であることを示した方が速い
- 739 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 03:02:44.91 ID:f0/HMLwN.net
- 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して
実数論を再展開して微分積分の理論を再展開しても、
その再展開した微分積分は従来の微分積分と殆ど同じで、
再展開した微分積分には殆ど使い道がなく意味は殆どないだろうから、
>>689では結果だけを切り取って書いた
- 740 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 05:20:02.57 ID:KWhjrVeT.net
- 4/3=1.3333333333<0.9802581434=sqrt(2)log(2).
- 741 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 10:42:57.75 ID:f0/HMLwN.net
- [第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x－q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x－q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x－q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x－q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる
- 742 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 10:45:31.62 ID:f0/HMLwN.net
- Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また、仮定からxは代数的無理数である。
xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である
よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である
- 743 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 11:28:32.36 ID:f0/HMLwN.net
- 訂正：
[第3段]：任意の正の代数的数a → 任意の1とは異なる正の代数的数a
[第1段]のCase1)の最後の行の補足：
(p')^2|a^x－q'/p'|≧1 → (p')^2|a^x－q'/p'|≧1＞(p')^2|a^x－q'/p'|
- 744 ：１３２人目の素数さん：2024/02/29(木) 18:31:29.67 ID:4ajbydc1.net
- xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは
代数的無理数は存在しないってことになるんだが
- 745 ：１３２人目の素数さん：2024/03/01(金) 11:17:35.68 ID:4RjaehFr.net
- [第1段]：集合Aを A＝{a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 }
と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する
集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する
集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a＞1 なる a∈B が存在して、
a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である
nを a^x の最小多項式の次数とする
Case1)：n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、
リウビルの定理より a^x に対して或る c＞0 なる実数cが存在して、
両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x－q/p|＞c/(p^n) である
また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の
既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 が成り立つ
よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して
c/(p')^n＜|a^x－q'/p'|＜1/(p')^2 であって、
c/(p')^{n-2}＜(p')^2|a^x－q'/p'|＜1 即ち (p')^2|a^x－q'/p'|＜1 である
故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて
既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて
既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x－q'/p'|≧1＞(p')^2|a^x－q'/p'|
を満たし矛盾が生じる
Case2)：n＝1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、
a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x＝q/p である
また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、
m≧1 であってaはm次の代数的数である
- 746 ：１３２人目の素数さん：2024/03/01(金) 11:20:33.75 ID:4RjaehFr.net
- Case2-1)：m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、
Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて
Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る
Case2-2)：m＝1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから
aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a＝q''/p'' である
よって、(q''/p'')^x＝q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)＝1 である
しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である
また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である
故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる
Case2-1)、Case2-2)から、n＝1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る
Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる
この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B＝∅ である
[第2段]：よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない
故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、
任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である
[第3段]：故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
に対して、a^x は実数の超越数である
[第4段]：a＝2、x＝√2 のとき。√2 は代数的無理数なること
に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である
- 747 ：１３２人目の素数さん：2024/03/01(金) 11:26:28.28 ID:4RjaehFr.net
- [第3段]について
任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x
→ 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x
- 748 ：１３２人目の素数さん：2024/03/01(金) 22:56:52.83 ID:C0z/65RY.net
- 〔問題〕
a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。
M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c
が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。
・高校数学の質問スレ_Part432 - 883
- 749 ：１３２人目の素数さん：2024/03/02(土) 14:00:51.98 ID:pz54UFyP.net
- 有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ
- 750 ：１３２人目の素数さん：2024/03/02(土) 21:25:10.60 ID:ZADy0LT/.net
- 有理数を小数で表わすと、
有限桁で切れるか又は循環小数となる。
その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。
たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,…
の 第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、
それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。
(k, L) の取り方は無限にあるから、
1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。
- 751 ：１３２人目の素数さん：2024/03/09(土) 18:28:10.26 ID:9TLceQPN.net
- >>748
(a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n)
M = (1+3^n)^3,
面白スレ43問目 318-319
- 752 ：１３２人目の素数さん：2024/03/20(水) 19:47:12.86 ID:kos/Cx4z.net
- 一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど
有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね
- 753 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 15:27:08.91 ID:02gDREfj.net
- 〔問題104〕
∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx
を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434－104,117
- 754 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 15:40:56.89 ID:02gDREfj.net
- x ⇔ π/2－x の対称性から
(与式)
= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
cos(x)－sin(x) = sin(t),
－(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
= ∫[0,π/2] {1－1/(1+cos(t))} dt
= ∫[0,π/2] {1－1/[2cos(t/2)^2]} dt
= [ t－tan(t/2) ](0→π/2)
= π/2 － 1.
- 755 ：１３２人目の素数さん：2024/04/17(水) 00:30:46.79 ID:qbH/8Fwh.net
- ∫1/(1+cos(t)) dt
= sin(t)/(1+cos(t))
= (1-cos(t))/sin(t)
= tan(t/2),
(参考書)
森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987)
第Ⅳ篇, 第3章, §40, p.187-192
- 756 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 00:14:29.56 ID:WdKvRNb8.net
- 素因数分解のプログラムを作成予定です。
これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。
- 757 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 02:37:39.74 ID:34PQz0TW.net
- 〔問題336〕
∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx
を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434－336,356
- 758 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 02:46:16.53 ID:34PQz0TW.net
- 1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x)
= {1 + (－sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2
= {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2,
より
∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2,
x - π/4 = y とおけば 分母は (√2)cos y ゆえ、
積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。
- 759 ：１３２人目の素数さん：2024/04/24(水) 11:32:58.69 ID:OH+8ZW3D.net
- 本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、
https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php
ＳＴ中に当たる確率は
＝1-(1-1/99.4)＾163＝0.807593
≒80.76％
これを確率分母に掛ける。
＝99.4✕0.807953
＝80.2748回
残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する)
とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。
これはどんな計算で求めているのでしょうか？
- 760 ：１３２人目の素数さん：2024/04/24(水) 11:38:33.10 ID:OH+8ZW3D.net
- あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね
99.4×0.807593がただしい
- 761 ：１３２人目の素数さん：2024/04/25(木) 18:21:56.57 ID:Bm/wI22/.net
- ウンコを微分せよ。
- 762 ：１３２人目の素数さん：2024/05/05(日) 12:36:33.78 ID:IFtE60+o.net
- 〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434 - 829
- 763 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 01:33:19.53 ID:OgbPgxVI.net
- 内接円の半径r = 1/√3,
内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると
0 ≦ ρ ≦ r,
AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3･cos(3φ)},
最大値 9/√27 = √3 (ρ=1/√3, φ=0)
中央値 8/√27 (ρ=0)
最小値 7/√27 (ρ=1/√3, φ=±60°)
- 764 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 01:43:27.18 ID:OgbPgxVI.net
- 〔問題883-改〕
一辺の長さが1の正三角形ABCがある。
その外接円の周上に点Qをとる。
このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。
高校数学の質問スレ_Part434 - 883
- 765 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 02:12:35.12 ID:OgbPgxVI.net
- 外接円の半径 R= 1/√3,
外心Oのまわりの方位角を θ とすると
∠AOQ = 60°－θ,
∠BOQ = 60° +θ,
∠COQ = 180°－θ,
AQ + BQ + CQ
= 2R{sin(30°－θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°－θ/2)}
= 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} ← 和積公式
= 4R cos(θ/2),
最大値 4/√3 (θ=0)
最小値 2 (θ=±60°)
- 766 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 16:59:35.71 ID:OgbPgxVI.net
- ↑
A： 60°
B： －60°
C： 180°
Q： θ (-60°≦θ≦60°)
とした。
- 767 ：１３２人目の素数さん：2024/05/07(火) 20:04:16.74 ID:OgbPgxVI.net
- ↑
θ/2 方向の単位ヴェクトルをｅとすると、
↑OA・ｅ = R cos(60°－θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2,
↑OB・ｅ = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°－θ)/2) = AQ/2,
↑OC・ｅ = －R cos(θ/2) = －R sin(90°－θ/2) =－CQ/2,
これと
↑OA +↑OB +↑OC = ↑0
から
BQ + AQ －CQ = 0,
∴ AQ + BQ + CQ = 2CQ.
- 768 ：１３２人目の素数さん：2024/05/08(水) 21:05:22.25 ID:/PMdnc9j.net
- ここって自作問題を投下してもいいところ？
- 769 ：１３２人目の素数さん：2024/05/08(水) 22:48:14.20 ID:9b91wrP+.net
- くだらねぇ問題ならいい。作者にはよらない。
- 770 ：１３２人目の素数さん：2024/05/09(木) 09:55:06.19 ID:xTfUXmfc.net
- 自作問題でも構いませんが良問の投稿は禁止です。
- 771 ：１３２人目の素数さん：2024/05/09(木) 14:38:16.53 ID:7hFC8QRz.net
- そしたら、これ
a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。
- 772 ：１３２人目の素数さん：2024/05/09(木) 23:11:15.86 ID:vS28WcMc.net
- うむ。確かに くだらねぇ。
特に n=1 や m=1 も含めた くだらなさが 際立ってるね。
もし n≧2, m≧2 にしたら 良問になりそうだから禁止ですね。
(a,b,n,m)
(41,7,2,3) (7,41,3,2)
(32,10,2,3) (10,32,3,2)
(10,4,3,5) (4,10,5,3)
- 773 ：１３２人目の素数さん：2024/05/09(木) 23:24:34.48 ID:93jHN3Aw.net
- m,n≧2に制限してもくだらない
そう思えないなら感覚が狂ってる
- 774 ：１３２人目の素数さん：2024/05/10(金) 00:39:07.95 ID:ZOfbeqGP.net
- abc conjecture
- 775 ：１３２人目の素数さん：2024/05/10(金) 16:33:33.99 ID:hfGXUFEm.net
- >>772
(10,2,3,10) (2,10,10,3)
- 776 ：１３２人目の素数さん：2024/05/15(水) 21:01:14.39 ID:KzIMAqFi.net
- 文系なんで教えてください
コンウェイのチェーン表記
３→２→２っていくつ？
- 777 ：１３２人目の素数さん：2024/05/18(土) 11:34:11.20 ID:zioSuWLF.net
- 27
3→2→2
=3→(3→1→2)→1
=3→(3↑↑1)→1
=3→3→1
=3→3
=3^3
- 778 ：１３２人目の素数さん：2024/05/20(月) 03:45:49.71 ID:Zwcbbpmn.net
- R環として平坦 R 加群の直和因子は全て平坦であることを証明して下さい。
- 779 ：１３２人目の素数さん：2024/05/20(月) 11:15:36.15 ID:L5PJsM9W.net
- くだらないね
- 780 ：１３２人目の素数さん：2024/05/21(火) 12:56:06.60 ID:f6payQiI.net
- 分からないんですねw
- 781 ：１３２人目の素数さん：2024/05/21(火) 23:46:38.14 ID:hL+1ms/7.net
- 質問
000から999まで1,000通りあるクジを毎日引くとき
a) 特定の三桁の数字を固定する（たとえば943とか）
b) 毎回適当な三桁の数字にする（たとえば昨日は123で今日は852とか）
1,000日繰り返したとして、クジに当たる確率はaもbも同じ
↑
直観的にはaのほうが当たりそうだけど、aもbも当たる確率は同じですよね？
まあこれナンバーズ3をコンピュータで自動購入してる話なんですけど
- 782 ：１３２人目の素数さん：2024/05/22(水) 03:08:46.81 ID:bq08hf8k.net
- 当選番号が公開されるなら、
長期間のデータを集めれば各番号の当選確率を推測できそう。
b) で一番当たりやすい番号を買えば良いかな？
- 783 ：１３２人目の素数さん：2024/05/23(木) 09:53:34.20 ID:An+D5BCh.net
- お前らこのインドのJSに勝てる？
https://i.imgur.com/7KlcRdQ.mp4
- 784 ：１３２人目の素数さん：2024/05/24(金) 00:20:26.71 ID:QRIuqGrQ.net
- >>778
R環上の平坦加群の直和因子が全て平坦であることを証明します。
まず、R加群 M, N がそれぞれ平坦であるとは、任意の R-加群準同型 f: P → M に対し、ある R-加群準同型 g: M → P で fg = id_P となるようなものが存在することを意味します。
ここで、M, N が R環上の平坦加群であり、それらの直和 M ⊕ N を考えます。このとき、任意の R-加群準同型 h: P → M ⊕ N に対して、h を M への射影と N への射影に分解できます。
さらに、M, N が平坦であることから、それぞれに対して M への射影と N への射影を fg = id_P となるような R-加群準同型 f, g に分解できます。
これらの分解を用いることで、h = (f, g) となるような R-加群準同型 f, g が存在することを示すことができます。
よって、M ⊕ N も R環上の平坦加群であることが証明できます。
- 785 ：１３２人目の素数さん：2024/05/24(金) 00:22:22.75 ID:QRIuqGrQ.net
- >>776
コンウェイのチェーン表記って初めて聞いた？私も最初はちんぷんかんぷんだったよ。
でも大丈夫！ここでは、文系でも理解できるよう、分かりやすく解説していくね。
まず、チェーン表記とは、矢印を使って巨大な数を表す方法なんだ。例えば、3→2→2は、3の2乗の2乗を表すんだ。つまり、3↑↑2ってことだね。
計算方法はちょっと複雑だけど、ポイントは、右側の数字が左側の数字の累乗を表すってこと。
今回の3→2→2だと、
最初は3を2乗する：3↑↑2 = 3^2 = 9
次に、9を2乗する：9↑↑2 = 9^2 = 81
だから、3→2→2は81を表すということになるんだ。
もっと複雑なチェーン表記もあるんだけど、基本さえ理解すれば大丈夫！
- 786 ：１３２人目の素数さん：2024/05/24(金) 01:05:24.76 ID:RqlIQQ5z.net
- >>784 でたらめ
- 787 ：１３２人目の素数さん：2024/05/24(金) 01:50:51.68 ID:gjj4AKIT.net
- >>782
験を担ぐわけだ。。。
- 788 ：１３２人目の素数さん：2024/06/12(水) 11:19:46.32 ID:+eQLufR0.net
- フーリェ分解の公式
k を自然数とするとき
(cos θ)^{2k}
= (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ) }
(sin θ)^{2k}
= (1/2^{2k}) { C(2k,k) + 2Σ[m=1,k] C(2k,k±m)・cos(2mθ)・(-1)^m }
ここに C(2k,r) は二項係数。
- 789 ：１３２人目の素数さん：2024/06/12(水) 12:34:38.73 ID:dZKpyoLh.net
- >>776
3→2→2＝27
a→b→c＝a↑…↑b（矢印＝c本）であるから
3→2→2＝3↑↑2
m↑↑n＝m↑m↑…↑m（mの数＝n個）であるから
3↑↑2＝3↑3
p↑q＝pのq乗であるから
3↑3＝3の3乗＝27
- 790 ：１３２人目の素数さん：2024/06/15(土) 21:14:33.12 ID:xakgg+mx.net
- >>788
左辺に
cos θ = (e^{θi} + e^{-θi})/2,
sin θ = (e^{θi} － e^{-θi})/2i,
を入れて2項公式で展開するだけ。
∴ くだらねぇ問題の条件をみたす。
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