ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

512 ：１３２人目の素数さん：2024/05/25(土) 08:22:14.07 ID:w3r+RfL1.net

>>509
・なんか、荒くね？
　下記のガロア原論文に比すると、荒いな ；ｐ）
・ガロア原論文では、そもそもガロア分解式で
　下記 中村幸四郎 V=c1xl+c2x2+…+cmxmを用いて
　このVで、逆に方程式の根を x1=θ1(V),x2=θ2(V),・・・,xm=θm(V)と表す〔補題III〕
　これを用いて、置換πk（下記）を定める
・ところが、上記おっさんの記述は荒い
　根aに群Gのgが作用する？
　g(a)が元の方程式f(x)=0の根であることの証明は？
　従って、a+g(a)ζ+g^2(a)ζ^2+…+g^(n-1)(a)ζ^(n-1)がラグランジュの分解式と一致することの証明は？
・そこをきっちり詰めると、結局下記のガロア理論になるんでないの？ ；ｐ）
　なお、下記の彌永昌吉先生の本にあるガロア第一論文でP238に
　ガロア群が巡回群になる例として
　”方程式 (x^n-1)/(x-1)=0の場合は、・・”を挙げているぞｗ

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/15/4/15_4_159/_pdf/-char/ja
ガロア理論の推移史について 中村幸四郎 科学基礎論研究 Vol. 15 No.4
P161
5. ガロアの1831年 論文の理論の展開を要約すると次のようになる。
(1)重根をもたない方程式f(x)=0か出発し,その根をxl,x2,…,.xmとする。
これらの根の有理式,特に
V=c1xl+c2x2+…+cmxm
の係数ci乞を適当に選ぶとき,根の各がVの有理式として表わされる。〔補題III〕
これを
x1=θ1(V),x2=θ2(V),・・・,xm=θm(V)
とする。
(2)Vを根とする既約方程式をg(V)=0としその根をV=V^(0),V^(1),…,V^(n-1)とする。
そして
置換πk=
(θ1(V^(0)),θ2(V^(0)),・・・,θm(V^(0))
(θ1(V^(k)),θ2(V^(k)),・・・,θm(V^(k)) (k=0,1,・・・,m-1)
(注：ここ原文では、外側の括弧は２行に渡るが、この板の仕様では書けないので簡便な2行記法で済ます)
がつくる群Gを考える。〔方程式f(x)=0の群!〕
(3)fx)=0に既約な適当な補助方程式g(x)=0の根を「添加」すれば,対応する方程式の群をG'とすればG⊃G'なる関係が生起する。
このような推論に対応するものが,いま問題としている附録XIの中に見出されるであろうか。
実際文献(3)§165の末尾で,デデキントは次のように述べる。
「体A,Bの中間体Kを 完全に決定しまた中間体相互の関係を研究することは代数学の重要な問題で,ラグランジユに初まり,ガロアが遂に群論によって解決に導いたものである。
我々はこの問題自身に深く立入ることはしないが,我々の体論の立場からもこの中間体決定の問題を処理し得ることを示したい。」
そして次の文献(3)§166には,後にガロア理論の基本定理の原形ともいうべき定理が提出されているのである。
§161の「写像φに属する体」に対比して,ここでは「体同型置換πの群」が考察される。

https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294273.html
ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇
著者名 彌永昌吉 著
発行元 丸善出版
発行年月日 2012年01月
目次
第３章　ガロアの主著
　復習
　まえがき
　方程式が根号で解けるための条件についての論文
　原理
　命題I定理
　命題II定理
　命題III定理
　命題IV定理
　命題V問題
　命題VI補助定理
　命題VII問題
　命題VIII定理