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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 794 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか？
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ？
- 796 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 ：１３２人目の素数さん：2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 ：１３２人目の素数さん：2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の５点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する５つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか？
- 800 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では？
- 802 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故？
- 803 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
- 805 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net
- >>756
改造してみた。どう？
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
- 806 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net
- 5/3? 4/3でなく？
- 807 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net
- やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja
e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
- 808 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net
- >>807
|z|=1なのに？
- 809 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net
- すまん。
- 810 ：１３２人目の素数さん：2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net
- >>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
- 811 ：１３２人目の素数さん：2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net
- 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
- 812 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net
- >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
- 813 ：１３２人目の素数さん：2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net
- ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
- 814 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか？
- 815 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- マクローリン展開じゃないの？
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
- 816 ：１３２人目の素数さん：2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net
- う～ん
- 817 ：１３２人目の素数さん：2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net
- 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1 (|z|→0)
- 818 ：１３２人目の素数さん：2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net
- >>814
改造してみた。うひょっ！
|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
- 819 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net
- a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
- 820 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net
- z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
- 821 ：１３２人目の素数さん：2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net
- >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
- 822 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net
- | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
- 823 ：１３２人目の素数さん：2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net
- https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
- 824 ：１３２人目の素数さん：2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net
- https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
- 825 ：１３２人目の素数さん：2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net
- ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
- 826 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I
- 827 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net
- π: a→a'
- 828 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net
- 自然な準同型写像
- 829 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net
- Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
- 830 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net
- 準同型写像fの核Ker
- 831 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net
- Kerf=(0)⇔fは単射
- 832 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net
- R/Kerf≅f(R)
- 833 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net
- f'は単準同型写像
剰余環→環
- 834 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net
- f: R→R'
- 835 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I、I=Kerf
- 836 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net
- f': R/I→R'
- 837 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net
- R上の不定元、変数
- 838 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net
- R上のXの多項式
- 839 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net
- exp(x)>x
- 840 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net
- 次数n=degf(x)
-∞
- 841 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net
- R[x]
- 842 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net
- f+g=∑(a+b)x
- 843 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net
- fg=∑∑(ab)x
aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0～n
- 844 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net
- R上の1変数多項式環
- 845 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net
- a₀=0、0元
a₀=1、単位元
- 846 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net
- degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
- 847 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net
- Rが整域⇒R[X]は整域
- 848 ：１３２人目の素数さん：2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net
- R[X][Y]=R[X, Y]
- 849 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net
- 最大公約元
- 850 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式
- 851 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net
- 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
- 852 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net
- Gaussの補題
- 853 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net
- f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
- 854 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net
- f=uF
- 855 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
- 856 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net
- UFD、Rの商体をKとする
- 857 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net
- Fを原始多項式
- 858 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net
- しなわち(a₁)=1とする
- 859 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net
- ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
- 860 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定条件
- 861 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net
- fがKの素元⇒FはRの素元
- 862 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net
- 特にF自身をとると
- 863 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net
- 特にFがKで素元であれば
- 864 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net
- FはKで素元であればRで素元である
- 865 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net
- RがUFD⇒R[はUFD]
- 866 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net
- 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
- 867 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net
- RをUFD、
- 868 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net
- Kをその商体とする。
- 869 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net
- p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
- 870 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net
- モニックp∤aₙ
p|その他0～n-1
p²∤a₀、定数項
- 871 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定法
- 872 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net
- 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
- 873 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体
- 874 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net
- Kを有限体とする
- 875 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net
- Kの単位元を1とする
- 876 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net
- (n)=n･1
- 877 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net
- 準同型写像τ: ℤ→K
- 878 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net
- 環準同型定理より
- 879 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net
- π: ℤ→ℤ/Kerτ
- 880 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net
- τ': ℤ/Kerτ→K
- 881 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net
- 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
- 882 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net
- τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
- 883 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτはℤの素Idealとなる
- 884 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτ=(p)
- 885 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net
- 体Kの標数p
- 886 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net
- これはKの素体
- 887 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net
- Kに含まれる最小の体
- 888 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net
- 標数pの体の素体ℤₚ
- 889 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net
- ℤₚ=𝔽ₚとする
- 890 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
- 891 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
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