■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
不等式への招待 第10章
- 775 :132人目の素数さん:2022/04/15(金) 21:54:29.68 ID:KFvGzJHP.net
- Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i-x_j|^(1/2)≦Σ_{i=1}^n Σ_{j=1}^n |x_i+x_j|^(1/2)
- 776 :132人目の素数さん:2022/04/17(日) 19:45:28.64 ID:p0ajF9zH.net
- x,y,zが非負実数のとき Σ(x+y)^(-2)≧9/(4Σxy)
- 777 :132人目の素数さん:2022/04/18(月) 08:19:06.84 ID:4YPe9yxz.net
- a,b,c,d > 0 のとき
1/(1/a + 1/b) + 1/(1/c + 1/d) ≦ 1/{1/(a+c) + 1/(b+d)}.
- 778 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:42:19.83 ID:pmf8vt90.net
- USAMO第六問
nは2以上の整数
実数列x_1≧x_2≧…≧x_n,y_1≧y_2≧…≧y_n があり、次式を満たしている
・0=Σx_i=Σy_i
・1=Σ(x_i^2)=Σ(y_i^2)
このとき
Σ(x_i*y_i-x_i*y_(n+i-1))≧2/√(n-1)
を示せ
- 779 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 04:43:45.43 ID:pmf8vt90.net
- >>778
2020年度のUSAMO
https://artofproblemsolving.com/community/c1209089_2020_usomo
- 780 :132人目の素数さん:2022/04/19(火) 12:55:48.55 ID:hd+PG5o3.net
- >>777
(a+c)(b+d)-(a+b+c+d)(ab/(a+b)+cd/(c+d))=(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)≧0
- 781 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 02:00:10.86 ID:J6JlHhd4.net
- ツイッターで拾った謎定数
https://i.imgur.com/UspzFSB.png
- 782 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:46:55.78 ID:EdwWMLBZ.net
- これな
https://i.imgur.com/jg0aj9g.jpg
シンプルに見える問題でも複雑な数になる好例
- 783 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 17:53:23.58 ID:EdwWMLBZ.net
- 同じくシンプルだが複雑な定数になる例、
あやな(@suugaku1)の不等式
-M≦sinx+sin2x≦M
のMも偶然だが1.76くらいになる
- 784 :132人目の素数さん:2022/04/25(月) 20:00:08.42 ID:q7yGPC6B.net
- ウクライナMO2021
a≧b≧c>0のとき
(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≧a+b+c+(a-c)^2/(a+b+c)
- 785 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:15:41.36 ID:zSKeHW9H.net
- >>782
どうやって導き出したんですか?
- 786 :132人目の素数さん:2022/04/26(火) 00:34:34.71 ID:NvtQufOW.net
- 代数関数の値域の上限、下限は係数体の代数的拡大の元
決定するためのアルゴリズムも見つかってる
- 787 :132人目の素数さん:2022/04/27(水) 21:17:46.91 ID:3pZmYP1d.net
- >>784 abcの大小は関係ない
- 788 :132人目の素数さん:2022/04/28(木) 00:41:06.46 ID:sAOcG1R4.net
- コンテストで出題されたアシンメトリーな不等式をもっとくれ
- 789 :132人目の素数さん:2022/05/01(日) 13:38:24.60 ID:69yOeg50.net
- >>781 >>782
nを4から正の偶数に一般化してみた
任意の相異なる実数a,b,cに対し
(a/(b-c))^n + (b/(c-a))^n + (c/(a-b))^n ≧ (2-k)/(2k-k^2)^(n/2)
ここにkは -1+x+2x^n = 0 の正の根
n≧4で等号成立は以下の6組
a:b:c = k±√(2k-k^2) : k±k√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±k√(2k-k^2) : k±√(2k-k^2) : -k(1-k)
a:b:c = k±√(2k-k^2) : -(-k±√(2k-k^2)) : 2
- 790 :132人目の素数さん:2022/05/05(木) 15:25:37.46 ID:R+LgARSS.net
- x,y,z>0⇒4Σ((x+y)(y+z))^2≧Σxy(3x+3y+2z)^2
- 791 :132人目の素数さん:2022/05/25(水) 22:54:43.19 ID:nNeYhYVz.net
- はい
https://i.imgur.com/PGGXthW.png
- 792 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 02:52:11.46 ID:83qPeNBR.net
- w∈C、|w| < 1/2 に対して、|e^w -1| < |w|e^{1/2}.
w∈Rのときは分かるけど、複素数のときはどうやって証明するんでしょうか?
- 793 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 08:22:42 ID:d+g2kWua.net
- f(z) = eᶻ-1とおけば最大値の原理から|z|<1/2に対して
|eᶻ-1|/|z| < max { |eᶻ-1|/z ; |z| = 1/2 }
= 2((e^(1/2)-1) (z = 1/2のとき最大値)
= 1.2974425414
≦ e^(1/2) = 1.6487212707
- 794 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:25:18.94 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
なるほど、ありがとうございます。
- 795 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 13:45:48 ID:rsT8xIwC.net
- >>793
ごめん、やっぱ分かってなかった。
境界 |z| = 1/2 で最大値をとることまでは分かったけど、z=1/2で最大となるのはなぜですか?
|z| = 1/2のときに、|(e^z -1)/z| = 2|e^z -1| までは分かるけど、
2|e^z -1| ≦ 2(e^{1/2} -1) はなぜ?
- 796 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 15:00:00.10 ID:kuOeuKMZ.net
- |e^w-1|
=|w^1/1!+w^2/2!+w^3/3!+...|
<=|w|(1/1!+|w|/2!+|w|^2/3!+...)
<=|w|(1/1!+(1/2)/2!+(1/2)^2/3!+...)
=|w|(e^(1/2)-1)/(1/2).
- 797 :132人目の素数さん:2022/07/20(水) 17:09:23.51 ID:rsT8xIwC.net
- >>796
なるほど理解できました。ありがとうございまする。
- 798 :132人目の素数さん:2022/08/04(木) 02:20:43.56 ID:2zMvcFob.net
- 単位円上の5点を取り10本の線分で結ぶと凸包の五角形が、11個の部分に分割される
中央の小五角形の面積をT、小五角形と辺を共有する5つの三角形の面積の総和をSとする
S + 2Tの最大値を求めよ
- 799 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 17:06:39.02 ID:VYryJHFS.net
- >>756
これは どうやって証明するのでしょうか?
- 800 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:48:07.18 ID:x5NeuThT.net
- 大先生いわく成立してないぽい
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29&lang=ja
- 801 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 20:57:45.28 ID:VYryJHFS.net
- >>800
全く違う式では?
- 802 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:07:15.27 ID:x5NeuThT.net
- 何故?
- 803 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:13:20.13 ID:VYryJHFS.net
- >>802
ああ、置き換えていたんですな。ごめそ。
- 804 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 21:14:25.41 ID:VYryJHFS.net
- 右辺は e+1 でしょうね。
- 805 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 22:01:18.98 ID:VYryJHFS.net
- >>756
改造してみた。どう?
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 5/3.
- 806 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 22:33:15.76 ID:j8RRYzIG.net
- 5/3? 4/3でなく?
- 807 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:01:03.95 ID:j8RRYzIG.net
- やっぱりおかしいやろ
大先生によるとx=2.987のとき2.72921になる
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28+exp%28exp%28i+x%29%29+-+exp%28i+x%29+-+exp%283i+x%29+-+i%29+when+x+%3D+2.987&lang=ja
e+√(2)-5÷3
=2.465828724165
では抑えられん
- 808 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:29:50.23 ID:VYryJHFS.net
- >>807
|z|=1なのに?
- 809 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:31:17.46 ID:VYryJHFS.net
- すまん。
- 810 :132人目の素数さん:2022/08/17(水) 23:57:56.28 ID:VYryJHFS.net
- >>806
計算しなおしたら、4/3でした。 すまそ。
z∈C、|z|=1 に対して、
|e^z - z^3 - z - i| ≦ e + (√2) - 4/3.
- 811 :132人目の素数さん:2022/09/06(火) 19:26:53.16 ID:na6+6u4X.net
- 3sinθ/(2+cosθ) < θ < (2sinθ+tanθ)/3
- 812 :132人目の素数さん:2022/09/07(水) 01:42:03.86 ID:fi9kzCby.net
- >>811
スネル・ホイヘンスの不等式
>>634-650
- 813 :132人目の素数さん:2022/09/09(金) 10:08:28.12 ID:BXbMv5wz.net
- ほー、スネルとホイヘンスといえば光学か
確かに光学(の何かに)使えそうな見た目してんな>>812
- 814 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- 十分小さな z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦2|z|.
これはどうやって証明するのでせうか?
- 815 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- マクローリン展開じゃないの?
| log(1+z) - z | ≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/k
≦ Σ[k≧2] |zᵏ|/2
= |z|²/(1-|z|)
- 816 :132人目の素数さん:2022/09/10(土) 06:57:25.66 ID:IWIXvTBm.net
- う~ん
- 817 :132人目の素数さん:2022/09/12(月) 17:26:45.33 ID:moLjFVx4.net
- 理解した。
|Log(1+z)|/|z| = 1 + Σ[k≧2] (1/k)*|z|^{k-1} → 1 (|z|→0)
- 818 :132人目の素数さん:2022/09/14(水) 17:16:59.13 ID:zemgK99G.net
- >>814
改造してみた。うひょっ!
|z|< 1/2、z∈C に対して、|z|/2 ≦ |log(1+z)| ≦ 3|z|/2..
- 819 :132人目の素数さん:[ここ壊れてます] .net
- a,b,c,d >0 に対して
(ab)^(1/3) + (cd)^(1/3) ≦ {(a+b+c)(a+c+d)}^(1/3).
- 820 :132人目の素数さん:2022/09/26(月) 18:16:13.36 ID:wmq00M3D.net
- z∈C に対して、|e^z - 1 - z| ≦ (3/4)|z|.
- 821 :132人目の素数さん:2022/09/26(月) 20:39:38.62 ID:FSZDCr7O.net
- >>820
|z| \leq 1が必要じゃの。
- 822 :132人目の素数さん:2022/09/27(火) 00:51:21.62 ID:3dnqmVEF.net
- | (exp(z)-1-z)/z |
= | Σ[ k≧2 ] zᵏ⁻¹/k! |
≦ | Σ[ k≧2 ] | z Iᵏ⁻¹/k!
≦ | Σ[ k≧2 ] 1/k!
= exp(1) -2
≦ 1/2+1/6(1/(1-1/4))
= 13/18
< 3/4
- 823 :132人目の素数さん:2022/12/20(火) 15:42:24.25 ID:R0GrT6qP.net
- https://i.imgur.com/bFfDS2f.jpg
https://i.imgur.com/JVQsjAd.jpg
https://i.imgur.com/I1aT8Pu.jpg
https://i.imgur.com/doMWwIW.jpg
https://i.imgur.com/8cAJeMD.jpg
https://i.imgur.com/crize0k.jpg
https://i.imgur.com/o7IYRlH.jpg
https://i.imgur.com/jkYopCU.jpg
https://i.imgur.com/4aRCLH9.jpg
https://i.imgur.com/HkEhMPT.jpg
https://i.imgur.com/yjOkcCb.jpg
https://i.imgur.com/KQeyoRY.jpg
- 824 :132人目の素数さん:2023/02/28(火) 18:31:31.57 ID:gK2nVmwr.net
- https://i.imgur.com/lEXzgmV.jpg
- 825 :132人目の素数さん:2023/03/03(金) 04:38:08.86 ID:bTCAa9Qt.net
- ちらっと立ち読みしただけなんだが、数蝉のNoteに、階乗のAM-GMが載っていたよ、
- 826 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:43:46.51 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I
- 827 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:45:48.42 ID:t4b79528.net
- π: a→a'
- 828 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:46:23.12 ID:t4b79528.net
- 自然な準同型写像
- 829 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:48:51.65 ID:t4b79528.net
- Kerf=f⁻¹(0)はIdeal
f(x)=0のx原像
- 830 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:56:30.65 ID:t4b79528.net
- 準同型写像fの核Ker
- 831 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:57:32.36 ID:t4b79528.net
- Kerf=(0)⇔fは単射
- 832 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 10:59:21.23 ID:t4b79528.net
- R/Kerf≅f(R)
- 833 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:01:37.44 ID:t4b79528.net
- f'は単準同型写像
剰余環→環
- 834 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:02:21.15 ID:t4b79528.net
- f: R→R'
- 835 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:02:52.23 ID:t4b79528.net
- π: R→R/I、I=Kerf
- 836 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:03:42.70 ID:t4b79528.net
- f': R/I→R'
- 837 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:13:01.66 ID:t4b79528.net
- R上の不定元、変数
- 838 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 11:13:59.15 ID:t4b79528.net
- R上のXの多項式
- 839 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:08:26.23 ID:LagPnPNw.net
- exp(x)>x
- 840 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:18:01.48 ID:bhyiMb+P.net
- 次数n=degf(x)
-∞
- 841 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:46:41.12 ID:p6AFiZvO.net
- R[x]
- 842 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:51:52.26 ID:p6AFiZvO.net
- f+g=∑(a+b)x
- 843 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:54:49.61 ID:p6AFiZvO.net
- fg=∑∑(ab)x
aᵢbⱼxᵏ (i+j=k)
k=0~n
- 844 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 12:55:44.38 ID:p6AFiZvO.net
- R上の1変数多項式環
- 845 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:03:03.60 ID:p6AFiZvO.net
- a₀=0、0元
a₀=1、単位元
- 846 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:10:03.75 ID:p6AFiZvO.net
- degfg=degf+degg
最高次の係数≠0
aᵢ、bⱼ
aᵢbⱼxⁱ⁺j
a=0またはb=0⇒-∞
- 847 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:11:17.11 ID:p6AFiZvO.net
- Rが整域⇒R[X]は整域
- 848 :132人目の素数さん:2023/05/21(日) 13:12:44.87 ID:p6AFiZvO.net
- R[X][Y]=R[X, Y]
- 849 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:18:58.93 ID:2UAex/JZ.net
- 最大公約元
- 850 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:19:56.92 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式
- 851 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:20:38.92 ID:2UAex/JZ.net
- 係数の最大公約元=1の時,
原始多項式
- 852 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:21:39.91 ID:2UAex/JZ.net
- Gaussの補題
- 853 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:22:23.51 ID:2UAex/JZ.net
- f, gが原始多項式⇒積fgは原始多項式
- 854 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:23:54.64 ID:2UAex/JZ.net
- f=uF
- 855 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:37:03.22 ID:2UAex/JZ.net
- 原始多項式Fは可逆元の積を除いて一意的
- 856 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:37:49.60 ID:2UAex/JZ.net
- UFD、Rの商体をKとする
- 857 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:38:44.86 ID:2UAex/JZ.net
- Fを原始多項式
- 858 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:39:16.44 ID:2UAex/JZ.net
- しなわち(a₁)=1とする
- 859 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:41:27.62 ID:2UAex/JZ.net
- ある原始多項式Fに対して
f=uFと表せる
uは可逆元、単元
- 860 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:44:38.96 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定条件
- 861 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:47:12.97 ID:2UAex/JZ.net
- fがKの素元⇒FはRの素元
- 862 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:48:20.76 ID:2UAex/JZ.net
- 特にF自身をとると
- 863 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:49:36.72 ID:2UAex/JZ.net
- 特にFがKで素元であれば
- 864 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:51:04.42 ID:2UAex/JZ.net
- FはKで素元であればRで素元である
- 865 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:51:59.04 ID:2UAex/JZ.net
- RがUFD⇒R[はUFD]
- 866 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:54:39.98 ID:2UAex/JZ.net
- 特にKが体⇒Kは整域⇒K[x]はUFD
- 867 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:55:33.97 ID:2UAex/JZ.net
- RをUFD、
- 868 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:55:54.15 ID:2UAex/JZ.net
- Kをその商体とする。
- 869 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 03:59:08.23 ID:2UAex/JZ.net
- p∤aₙ∧p|その他∧p²∤a₀
pは素元⇒f(x)は既約多項式
- 870 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:00:30.30 ID:2UAex/JZ.net
- モニックp∤aₙ
p|その他0~n-1
p²∤a₀、定数項
- 871 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:01:37.29 ID:2UAex/JZ.net
- Eisensteinの既約性判定法
- 872 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:02:37.04 ID:2UAex/JZ.net
- 素元pで
0、1、1、…、1、最後は≠2
- 873 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:27:14.46 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体
- 874 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:27:56.66 ID:2UAex/JZ.net
- Kを有限体とする
- 875 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:28:27.35 ID:2UAex/JZ.net
- Kの単位元を1とする
- 876 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:29:05.31 ID:2UAex/JZ.net
- (n)=n・1
- 877 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:29:56.17 ID:2UAex/JZ.net
- 準同型写像τ: ℤ→K
- 878 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:30:41.98 ID:2UAex/JZ.net
- 環準同型定理より
- 879 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:31:13.14 ID:2UAex/JZ.net
- π: ℤ→ℤ/Kerτ
- 880 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:31:45.99 ID:2UAex/JZ.net
- τ': ℤ/Kerτ→K
- 881 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:32:50.30 ID:2UAex/JZ.net
- 同型
ℤ/Kerτ≅τ(ℤ)=K
- 882 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:33:57.73 ID:2UAex/JZ.net
- τ(ℤ)は体Kの部分環だから整域である
- 883 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:34:37.36 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτはℤの素Idealとなる
- 884 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:35:54.91 ID:2UAex/JZ.net
- Kerτ=(p)
- 885 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:36:41.78 ID:2UAex/JZ.net
- 体Kの標数p
- 886 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:37:32.28 ID:2UAex/JZ.net
- これはKの素体
- 887 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:37:51.94 ID:2UAex/JZ.net
- Kに含まれる最小の体
- 888 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:38:50.53 ID:2UAex/JZ.net
- 標数pの体の素体ℤₚ
- 889 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:39:32.58 ID:2UAex/JZ.net
- ℤₚ=𝔽ₚとする
- 890 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:41:16.07 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体Kの0以外の元からなる乗法群K*
- 891 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
- 894 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net
- 部分体と
- 895 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net
- 拡大体
- 896 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net
- KはF上のVector空間
- 897 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net
- dim_F K=[K: F]
- 898 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net
- [L: F]=[L: K][K: F]
- 899 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上代数的である
- 900 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上超越的である
- 901 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする
- 902 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net
- 次数最小の
- 903 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net
- モニックな
- 904 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net
- 既約多項式
- 905 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net
- αのK上の最小多項式f(x)
- 906 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
- 907 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net
- LはK上代数的
- 908 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net
- Kにαを添加した体
- 909 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net
- K(α)
- 910 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net
- Kに添加した体
- 911 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net
- 単純拡大
- 912 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net
- 単拡大
- 913 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net
- K[]X→K[α]⊂L
- 914 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net
- X→α代入
- 915 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net
- これは環同型写像
- 916 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net
- K[α]の商体K(α)
- 917 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net
- K上の有理関数体と同型
- 918 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net
- K(x)
- 919 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net
- 写像: K[ X]/(f)→K(α)
- 920 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net
- この場合、写像X'→α
- 921 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net
- 同型写像でありK[α]は体になる
- 922 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net
- すなわちK[α]=K(α)
- 923 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net
- K⊂L、α∈Lとする
- 924 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net
- αを体K上代数的とする
- 925 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net
- [K(α): K]=n
- 926 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net
- f(x)のLにおける根
- 927 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net
- 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
- 928 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net
- 制限σ|F
- 929 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net
- 自己同型写像
- 930 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net
- 恒等写像
- 931 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net
- q=p^r、r≧1
- 932 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net
- -(-a)=a
- 933 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net
- 0a=a0=0
- 934 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net
- (-a)b=a(-b)=-ab
- 935 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net
- a(b-c)=ab-ac
- 936 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net
- (b-c)a=ba-ca
- 937 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net
- 三則が可能
- 938 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net
- 可換、簡約が可能とは限らない
- 939 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net
- 単位的環
- 940 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net
- 正則R*
- 941 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net
- (ma)b=a(mb)=mab
- 942 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net
- 零環{0}
- 943 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
- 944 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net
- 零環は0しかない
- 945 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net
- 零元0
- 946 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net
- 環R≠{0}
零環を除くとする
- 947 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net
- a≠0を元に持つ
- 948 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net
- 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
- 949 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net
- よってe≠0
- 950 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
- 951 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net
- a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
- 952 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net
- よって0a=a0=0となる
- 953 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=a
- 954 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net
- (a⁻¹)⁻¹=a
- 955 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net
- 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
- 956 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
- 957 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net
- 加法群において
a+(-a)=0
- 958 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net
- これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
- 959 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
- 960 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=aとなる
- 961 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net
- R*
- 962 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net
- a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
- 963 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net
- a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
- 964 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net
- a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
- 965 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net
- するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
- 966 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net
- (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
- 967 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net
- ab∈R*より積に関してR*は閉じている
- 968 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net
- Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
- 969 :132人目の素数さん:2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net
- 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
- 970 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net
- Rに関して0を除外した場合
- 971 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net
- R*は群をなすかどうか
- 972 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net
- 結果的に群をなす
- 973 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net
- ことがわかった
- 974 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net
- 積に関して閉じている
- 975 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net
- 単位元の存在
- 976 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net
- 逆元の存在
- 977 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net
- 結合律の成立
- 978 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net
- 逆元を持つ元のみの集合
- 979 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net
- 結局0が除外サれるだけ
- 980 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net
- 0には逆元は存在しない
- 981 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net
- 加法群としてならば存在する
- 982 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net
- R*=R-{0}
- 983 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net
- R\{0}
- 984 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net
- R=R*と仮定すると
- 985 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net
- 0∈Rより0∈R*となる
- 986 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net
- ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
- 987 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net
- a=0として
- 988 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net
- 0×0⁻¹=e
- 989 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net
- ∀a、0a=0より
- 990 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net
- 0=eとかり不合理
- 991 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:14:48.61 ID:wmZr8viD.net
- よってR≠R*である
- 992 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:15:09.66 ID:wmZr8viD.net
- あり得ない物を持ち込んで
- 993 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:15:31.62 ID:wmZr8viD.net
- 矛盾を導く
- 994 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:22:57.43 ID:wmZr8viD.net
- 分配律を利用する
- 995 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:24:14.71 ID:wmZr8viD.net
- (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0
∴(-a)b=-ab
- 996 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:25:31.12 ID:wmZr8viD.net
- a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0
∴a(-b)=-ab
- 997 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:28:00.31 ID:wmZr8viD.net
- よってA(-b)=-Ab
A=-aとして
-(-a)(-b)=-(-a)b=ab
- 998 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:29:55.29 ID:wmZr8viD.net
- 分配律より
- 999 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:30:32.40 ID:wmZr8viD.net
- a(b-c)=
- 1000 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:30:51.82 ID:wmZr8viD.net
- 分配律により
- 1001 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:32:12.80 ID:wmZr8viD.net
- a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
- 1002 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:34:06.82 ID:wmZr8viD.net
- -a=+(-a)
- 1003 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:34:37.42 ID:wmZr8viD.net
- (b-c)a=
- 1004 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:35:03.92 ID:wmZr8viD.net
- (b+(-c))a=
- 1005 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:35:30.31 ID:wmZr8viD.net
- bc+(-c)a=
- 1006 :132人目の素数さん:2023/05/23(火) 00:36:03.53 ID:wmZr8viD.net
- ba-ca
- 1007 :2ch.net投稿限界:Over 1000 Thread
- 2ch.netからのレス数が1000に到達しました。
総レス数 1007
345 KB
掲示板に戻る
全部
前100
次100
最新50
read.cgi ver.24052200