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不等式への招待第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
577 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 23:01:24.01 ID:QYPKWpxY.net: ヴェクトルの内積を使えば
OA_k = 1　より

PA_k ≧ ↑PA_k・↑OA_k = (↑OA_k - ↑OP)・↑OA_k
　　= 1 - ↑OP・↑OA_k,

∴　Σ[k=1,n] PA_k ≧ n - ↑OP・{Σ[k=1,n] ↑OA_k} = n,
等号成立は ↑OP = o.
578 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 08:32:42.45 ID:NURKUP5N.net: 　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀）　新年あけまして
　　　　 /　　　　ヽ
　　　　し、__X__,ノJ

　　　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　　⌒ｌ　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (a+b+c)e,
e = 2.71828… は自然対数の底
>>299
579 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 13:31:16.81 ID:2x2Frbzp.net: >>578
eが出てくるのか…
580 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 06:38:55.14 ID:N51mYuOL.net: eが出てきても eじゃない…

(左辺) ≧ 2.7199579587(a+b+c)
等号は a=b=c = 0.9968783547581 のとき。
581 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 16:12:00.62 ID:+lbXmv47.net: すべての自然数nについて
Σ_{k=1}^n (k^(1/2)-1)≧(n/2)*((n/2)^(1/2)-1)
が成り立つことをしめせ
582 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 20:22:26.62 ID:N51mYuOL.net: k≧2 について
　(k-1)^3 - k(k-3/2)^2 = (3/4)k - 1 > 0,　　(AM-GM)
　(k-1)^{3/2} > (k - 3/2)√k = k^{3/2} - (3/2)√k,
　√k > (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
(左辺) = Σ_{k=2}^{n} (√k - 1)
　　> (2/3)(n^{3/2} - 1) - (n-1)
　　= (1/3)(2√n +1)(√n - 1)^2
　　> (n/2)(√(n/2) - 1),
583 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 22:48:34.64 ID:N51mYuOL.net: 積分を使えば簡単だが…
√k > ∫_{k-1}^{k} (√x)dx = (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
584 ：１３２人目の素数さん：2021/01/04(月) 20:59:39.27 ID:OQ8TTvGy.net: 最後は
　(左辺) > n((2/3)√n - 1)
　　> (n/2)(√(n/2) + √(n/3) - 2)　　(← 補題)
　　≧ (n/2)(√(n/2) - 1)　　　　　(n≧3)
　n=1, n=2 は明らか。

〔補題〕
　1/√2 + 1/√3 < 4/3.
(略証)
コーシーで
　(1/√2 + 1/√3)^2 ≦ (1+1)(1/2+1/3) = 5/3 < 16/9 = (4/3)^2,
585 ：１３２人目の素数さん：2021/01/05(火) 10:53:44.67 ID:7+Me0drG.net: GM-AM で
　1/√2 + 1/√n < 3/4 + (1/4 + 1/n) = 1 + 1/n,
586 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 18:50:24.31 ID:ZXZ11nuc.net: n が被ってしまった。。。。m 等にすべきか。
>>583 から
　Σ_{k=2}^{n} √k > √2 + ∫_[2}^{n} (√x) dx
　　= √2 + (2/3)(n√n - 2√2)
　　> (2/3)n√n - 1/2,　　　　　　　　(n≧2)
587 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 19:13:16.60 ID:YFXd0DZ2.net: JMO2020本選5
588 ：１３２人目の素数さん：2021/01/07(木) 14:00:54.18 ID:PX1JcXUq.net: >>579

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (3/ln3)(a^3 +b^3 +c^3),
589 ：１３２人目の素数さん：2021/01/09(土) 17:51:38.85 ID:Gni2ACgE.net: ついでに…

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,

http://suseum.jp/gq/question/3221
590 ：１３２人目の素数さん：2021/01/10(日) 02:37:24.49 ID:k4Y9uhcW.net: 〔問題〕
A, B, and C are non-negative real numbers. Prove that
3(A^4 + B^4 + C^4) ≧ (A^2 + B^2 + C^2)(AB + BC + CA) + (A^2 - B^2)^2 + (B^2 - C^2)^2 + (C^2 - A^2)^2
≧ (A^2 + B^2 + C^2)^2,

BMO-2016 Azerbaijan (改)
[数学オリンピック３１．018]
591 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 05:19:03.42 ID:n9I3J2ea.net: >>589
　x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x｡},
　K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
　等号成立は　x。= 0.99703312297　のとき。
あとはコーシーで。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221
592 ：１３２人目の素数さん：2021/01/27(水) 16:42:45.22 ID:knjIwEAx.net: 〔問題〕
⊿の各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
　(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
　　≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},

佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　(左)　Leibnizの不等式　(定理2.4.5)　p.88-89
　(右)　演習問題 2.57(改)　p.94
593 ：１３２人目の素数さん：2021/02/13(土) 23:28:41.35 ID:DMjAiYgV.net: a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
594 ：１３２人目の素数さん：2021/02/14(日) 19:07:32.95 ID:EPktPcJq.net: >>593
a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 1 + 9/{(a+b+c)^2} ≧ 6/(a+b+c)

('A`) ｳｰﾑ…
595 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 19:11:23.08 ID:+p1DAQAM.net: 底面を凸四角形ABCDとする四角錐V-ABCDについて、
すべての辺に接し、かつ中心が底面上にあるような球が存在するとする。
このとき、
　VA+VB+VC+VD ≦ AB+BC+CD+DA

[大数2021－2月宿題]
596 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 20:08:40.42 ID:ItHwm5kd.net: 球の半径を1とし、球の中心をO、∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODAをa,b,c,dとすれば
AB+BC+CD+DA=2(cot a+cot b +cot c + cot d)、
VA+VB+VC+VD=cot a + tan a +cot b + tan b +cot c + tan c +cot d + tan d
∴ AB+BC+CD+DA-(VA+VB+VC+VD)
=cot a - tan a +cot b - tan b +cot c - tan c +cot d -tan d
以下a+b+c+d=π/2とcot x-tan xの凸性
597 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 21:52:59.29 ID:1xlHv4Kk.net: 大数ネタはご遠慮願いたいわ
598 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:07:29.10 ID:pOGUunX7.net: >>593-594
　文献[9]　佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)
　演習問題1.86　p.40
599 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:14:31.35 ID:mKsTbiN1.net: Π[p:素数]cos(2π/p) > 0
600 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:22:20.07 ID:FhoAKrRQ.net: >>596
三行目では, VA=cot a + tan a になるってことですか？
tan a の出所がわからないです。
601 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 01:31:32.48 ID:3OYBmM8w.net: あ、しまった>>596は撤回です
602 ：１３２人目の素数さん：2021/02/18(木) 15:24:16.44 ID:gfQsTfgF.net: 内接円をもつ四角形ABCDで、内接円の中心を I とするとき

(IA+ID)^2+(IB+IC)^2 ≦ (AB+CD)^2
603 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 15:53:16.27 ID:mfVhACbJ.net: >>599
cos(π) = - 1,
cos(2π/3) = - 1/2,
cos(2π/5) = (√5 -1)/4 = 1/(2φ) = 0.309017
cos(2π/7) = 0.6234898
Π[p≧11] cos(2π/p) > Σ[p≧11] (1 - 2ππ/p^2)
　　> 1 - Σ[p≧11] 2ππ/p^2
　　> 1 - (2ππ)Σ[k≧5] 1/(2k+1)^2
　　= 1 - (2ππ)(ππ/8 - 1 - 1/9 - 1/25 - 1/49 - 1/81)
　　= 1 - (2ππ)・0.0498356
　　= 0.01628475
∴　(与式) > 0

なお
　Π[p≧7] cos(2π/p) = 0.3338
　Π[p≧11] cos(2π/p) = 0.5354
(与式) ≒ 0.05158
604 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 16:29:58.81 ID:mfVhACbJ.net: Π[p≧11] cos(2π/p) > Π[p≧11] cos(2π/(p-1))
　> Π[n=5,∞] cos(π/n)
　= (2√2)Π[n=3,∞] cos(π/n)
　= (2√2)・0.114942　　　　　　　　(*)
　= 0.3251052

*) 数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
　●117　によれば
　Π[n=3,∞] cos(π/n) = 0.114942044853296…
605 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:15:42.03 ID:SY070HAY.net: (2)
　|cosθ| ≦ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≦ -1/2,
　|cosθ| ≧ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≧ -1/2,

(4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≦ cos(72),

[分かスレ４６６-119]
606 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:37:41.92 ID:SY070HAY.net: (2)
　cos(2θ) + 1/2 = 2 [(cosθ)^2 - 1/4],

(4)
　cos(4θ) - cos(72) = 8 [cos(18)^2 - (cosθ)^2] [cos(72)^2 - (cosθ)^2]

∴　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),

[分かスレ４６６-129]
607 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:39:49.08 ID:dHW5XVEt.net: (4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　←　　cos(4θ) ≦ cos(72),
608 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:43:07.41 ID:dHW5XVEt.net: 〔問題157〕
x>0, y>0, z>0 ならば
　(x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y >2,

[分かスレ４６６-157, 178]
609 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:53:41.41 ID:VMjWPceO.net: >>180
そのわかすれの178のレスでx+y,y+z,z+xのうち1以上のものが少なくとも一つあるとしてるけど、それらのケースに帰着できるわけじゃないよね？
最小値はx=y=z=0.184付近だし
単にすぐに除外していいケース述べてるだけだよね？
610 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 06:25:23.53 ID:gfZuqlK8.net: 全部1未満のとき
　0 < x, y, z < 1.
　f(z) = a^(1-z)　(a>0) は下に凸だから
　f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z,　　(0<z<1)
　a^(1-z) < a(1-z) + z < a+z,
　a^z > a/(a+z),　　　…　ベルヌーイの不等式
∴　(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z),
　巡回的にたす。
611 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 07:55:47.98 ID:hMmQPJhz.net: >>609
なんで上から抑えるん？
最小値>2を示せでしょ？
612 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 06:18:44.76 ID:dMP4wwTf.net: 〔問題596〕
正の実数 a,b,c が a+b+c = 1 を満たすとき
　(1/a - a)(1/b - b)(1/c - c) ≧ (3 - 1/3)^3,
　等号成立は a=b=c = 1/3.
を示せ。

[高校数学の質問スレ４１０-596,599,610]
613 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 22:08:55.30 ID:NWVdDcAf.net: 「任意の自然数nに対して、n<2^nが成立」
これを色々な方法で証明せよ

よくある証明方法は帰納法、二項定理の利用、微分によるなどあるが、それ以外もあるんかな
614 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 06:14:13.22 ID:JY2ui+vd.net: 帰納法
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1} > (n-1) + 1 = n,
あるいは
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-2} + ････ + 2 + 1 + 1 ≧ n + 1,
　　　　　　　　　　　(n+1)項

a_1, a_2, ････, a_n ≧ 0 のとき
(1+a_1)(1+a_2)････(1+a_n) = 1 + s_1 + ････ + s_n ≧ 1 + s_1,
　　s_k は k次の基本対称式
　　s_1 = a_1 + a_2 + ････ + a_n,
より
　2^n ≧ 1 + n
615 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 12:04:01.19 ID:qBeEcW7U.net: 俺が考えていた証明

n(1/n-1/2^n)=1-n/2^n
=(Σ1/2^i)-n/2^n
>(Σ1/2^i)-(1/2+…+1/2^n)>0
よりn>0だから
1/n-1/2^n>0⇔n<2^n
616 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 02:13:29.47 ID:M36DVxm1.net: 不等式ってこういう気まぐれ？なときもあるんだね。。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
617 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 22:30:10.49 ID:on5dd3Wr.net: >>616
n=3のときの、ネビットの不等式に (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧした若い頃が懐かしい…
618 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:27:58.15 ID:Rkkg81B/.net: >>612
a+b+c = 1 より
　G = (abc)^{1/3} ≦ 1/3,　　　　　(AM-GM)

　1/y - y = (1+y)･(1/y - 1),
より
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-a -b -c)/(abc) + (1/a + 1/b + 1/c) - 1
　= 1/a + 1/b + 1/c - 1
　≧ 3/G - 1
　≧ 2(1/G + 1)　　　(G≦1/3)
　= 2(1/3G + 1/3G + 1/3G + 1)
　≧ (2/(3G)^{1/4})^3,

(1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1+G)^3　　（コーシー)
　= (1/27)(3G+1+1+1)(1+3G+1+1)(1+1+3G+1)
　≧ ((4/3)(3G)^{1/4})^3,

辺々掛けて　(左辺) ≧ (8/3)^3.
619 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:34:06.62 ID:Rkkg81B/.net: 〔問題3204〕
a≧b≧c≧d≧0 のとき
　(a+2b) (aa+bb) ≦ (a+b)^3
　(a+2b+3c) (aa+bb+cc) ≦ (a+b+c)^3,
　(a+2b+3c+4d) (aa+bb+cc+dd) ≦ (a+b+c+d)^3,

注)　5文字の場合は aa(b-d-2e) が出て来ます…orz

すうじあむ
　http://suseum.jp/gq/question/3204
620 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 01:32:04.79 ID:iElyCuOB.net: >>616
こういうのもなんか理由があるっぽい
621 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 19:31:57.99 ID:jAHOCp/v.net: 〔例2.4.6〕
三角形の辺の長さを a,b,c, 面積を⊿とすると
　⊿ ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳), 文献９, 朝倉書店 (2013)　　p.89
622 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 20:11:29.99 ID:jAHOCp/v.net: (略証)
　⊿ = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,
623 ：１３２人目の素数さん：2021/04/24(土) 23:51:27.16 ID:nN6RssoR.net: Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/UT7t9WF.jpg
624 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 04:42:31.91 ID:We8cr6tt.net: 〔問題〕
正の実数 a,b,c について、次が成り立つことを示せ。
　{aa(b+c)+4}/(a+2)^3 + {bb(c+a)+4}/(b+2)^3 + {cc(a+b)+4}/(c+2)^3 ≧ 2/3.
等号成立は (a,b,c) = (1,1,1) のとき
625 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 05:46:51.43 ID:We8cr6tt.net: (略証)
{aa(b+c) + 2 + 2} / (a+1+1)^3
　≧ １/ {(1+1+1)[a/(b+c) + 1/2 + 1/2)]}　　(← コーシー)
　= (b+c) / {3(a+b+c)},
巡回的にたす。
626 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 10:47:03.87 ID:2luW0iZY.net: Twitterから拾った問題

https://i.imgur.com/MTQJIvZ.jpg
627 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 11:03:19.13 ID:YeL676w3.net: >>625
作問者の天真(Twitter:@bon_miss_tenma)です
こんなにあっさり解かれるとは思ってませんでしたw
ついでに620さんの問題も僕のだったりします、是非挑戦してください！
628 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 19:29:46.14 ID:We8cr6tt.net: 〔問題620〕
正の実数 a,b,c が aa+bb+cc=3 を満たすとき、次を示せ。
　(2a+1)/(b+c+1)^3 + (2b+1)/(c+a+1)^3 + (2c+1)/(a+b+1)^3 ≧ 1/3,
等号成立は (a,b,c)=(1,1,1) のとき。

(略解)
　(左辺) ≧ (b+c+1)/(b+c+1)^3 + (c+a+1)/(c+a+1)^3 + (a+b+1)/(a+b+1)^3
　　= 1/(b+c+1)^2 + 1/(c+a+1)^2 + 1/(a+b+1)^2　　(← チェビシェフ)
　　≧ 9/{(b+c+1)^2 + (c+a+1)^2 + (a+b+1)^2}　　(← AM-HM / コーシー)
　　≧ 3/{(bb+cc+1) + (cc+aa+1) + (aa+b+1)}
　　= 3/{2(aa+bb+cc)+3}
　　= 1/3,　　　　　　(← 題意)
629 ：１３２人目の素数さん：2021/04/26(月) 02:25:57.94 ID:y9M7sTQu.net: (補足)
チェビシェフで
(a+1/2)/(b+c+1)^3 + (b+1/2)/(c+a+1)^3 - (a+1/2)/(c+a+1)^3 - (b+1/2)/(b+c+1)^3
　= (a-b) {1/(b+c+1)^3 - 1/(c+a+1)^3}
　≧ 0,
循環的にたすと
　(左辺) - 1/(b+c+1)^2 - 1/(c+a+1)^2 - 1/(a+b+1)^2 ≧ 0,
630 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 04:23:14.87 ID:B9p/ERZg.net: >>624
>>626

〔問題34〕
a,b,c > 0 のとき
　(a(b+c)+1)/(b+c+1)^2 + (b(c+a)+1)/(c+a+1)^2 + (c(a+b)+1)/(a+b+1)^2 ≧ 1,
　Inequalitybot [34]　☆5
　JMO-2010　問4

Inequalitybot も問題番号で検索できるようになってます。
631 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 07:27:45.63 ID:B9p/ERZg.net: >>589
〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
　(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　USAMO-2004, Q5
　Inequalitybot [48]　☆6
632 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 16:58:32.60 ID:B9p/ERZg.net: >>619
　(a+b)^3 - (a+2b)(aa+bb) = aab + (2a-b)bb ≧ 0,
　(a+b+c)^3 - (a+2b+3c)(aa+bb+cc) = aab + (2a-b)bb + (2a+b-2c)cc + 6abc ≧ 0,
　(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)(aa+bb+cc+dd)
= aa(b-d) + (2a-b-d)bb + (2a+b-2c-d)cc + (2a+b-3d)dd + 6(abc+abd+acd+bcd) ≧ 0,
633 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 17:05:44.79 ID:B9p/ERZg.net: これと以下を組み合わせた問題があった。
〔補題〕
a+b+c+… = 1 のとき
　　(a^a)(b^b)… ≦ (aa+bb+…),
(略証)
a+b+c+… = s　とおく。
y=log(x) は上に凸だから Jensen で
　a･log(a) + b･log(b) + ････ ≦ s･log((aa+bb+････)/s)
　(a^a)(b^b)… ≦ {(aa+bb+…)/s}^s,
s=1 とおく。
634 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 19:31:51.11 ID:B9p/ERZg.net: 〔問題〕
　tan(1/2) > cos(1).
これの証明はどうすれば出来ますか？

　高校数学の質問スレ４１１- 028, 936
635 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 23:28:33.43 ID:Tu1Xrn91.net: t = tan(1/2)とおいて
tan(1/2)-cos(t)=(t^3+t^2+t-1)/(t^2+1)
なのでコレが＋を言えば良い
tan(1/2)=0.546302.....
t^3+t^2+t-1は単調増大で0になるのはt=0.543689....
とりあえず5次までマクローリン展開して
tan(1/2)
>1/2+(1/3)(1/2)^3+(2/15)/(1/2)^5=131/240=0.54583333......
636 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:03:41.02 ID:mxa1BnUU.net: >>634
θ = 1/2　とおいて
tanθ - cos(2θ) = tanθ - 1 + 2(sinθ)^2
　= tanθ - 3/2 + {1/2 + 2(sinθ)^2}
　≧ tanθ - 3/2 + 2sinθ　　(AM-GM)
　= tanθ + 2sinθ - 3θ
　≧ 0,　　　(Snellius-Huygensの式)
637 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:45:36.56 ID:NbeeKPJA.net: このスネル・ホイヘンスの不等式、以前からどうやって見つけたのか気になってるヤツだ
638 ：１３２人目の素数さん：2021/04/30(金) 23:51:02.05 ID:nccWEVYf.net: >>636
上手だなあ
639 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 14:45:07.43 ID:kM6Q2nUa.net: 数学コンテストの問題から二つの不等式問題を拾ってみた

数オリ中国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/fDeESFB.jpg

数オリ米国代表選抜の問題
https://i.imgur.com/t1tus8h.jpg
640 ：１３２人目の素数さん：2021/05/01(土) 15:17:41.91 ID:34KV0J3x.net: >>639
さいきん、関数不等式に(;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧでござる
641 ：１３２人目の素数さん：2021/05/04(火) 23:49:09.08 ID:+H9X9UVo.net: a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(25/27)
642 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:39:50.22 ID:16g2LNeV.net: 〔簡易版〕
a,b,c>0 に対して
　(a+b+c)^3 ≧ 27abc{(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3).

(略証)
(a+b+c)^6 = {(aa+bb+cc) + (ab+bc+ca) + (ab+bc+ca)}^3
　　≧ 27(aa+bb+cc)(ab+bc+ca)^2,　　　　(AM-GM)
2/3 乗して
(a+b+c)^4 ≧ 9(ab+bc+ca)^2 {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3)
　　≧ 27(a+b+c)abc {(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)}^(2/3),

元の問題は解けぬwww
643 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:41:42.08 ID:16g2LNeV.net: 〔問題3.85〕
実数a,b,cに対して
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2,

　APMO-2004 A5.改
　文献[9] 佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)　問題3.85　p.140
　Inequalitybot [20]　☆8
　[高校数学の質問スレ４１２－029,036,040]
644 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 05:49:27.56 ID:16g2LNeV.net: (解1)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= (1/3){(aa+5)(bc-1)^2 + (bb+5)(ca-1)^2 + (cc+5)(ab-1)^2
　　+ (ab+bc+ca-3)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
　≧0

(解2)
　(aa+2)(bb+2)(cc+2) - 3(a+b+c)^2
　= aa + bb + cc + 2abc + 1 - 2(ab+bc+ca)
　+ (abc-1)^2
　+ 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2,

　文献[9] の演習問題1.90 (ii)　p.41-42 に帰着する。
〔問題1.90〕(ii)
a,b,c を非負実数とする。このとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),
645 ：１３２人目の素数さん：2021/05/05(水) 13:18:52.39 ID:+30DA6pc.net: >>641-642
ネットで拾ったんだけど、答えがないな
https://mathifc.wordpress.com/2012/09/20/inequality-106/
646 ：１３２人目の素数さん：2021/05/06(木) 05:59:11.34 ID:Vi6k/Ft1.net: >>644
〔例題2.1.11〕
(7)　a,b,c が非負実数のとき
　aa + bb + cc + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca),

文献[8] 安藤, 数学書房 (2012)　p.36
647 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 05:50:26.45 ID:EIfW8DuI.net: >608
{x+y, y+z, z+x} のうち1以上のものが

・2個以上のときは　明らか。
・1個以下のときは　1 > y+z, z+x　より　0 < x, y, z < 1　　>>610
648 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 06:56:34.75 ID:EIfW8DuI.net: >>637
マクローリン展開
　sinθ = θ - (1/3!)θ^3 + (1/5!)θ^5 - (1/7!)θ^7 + (1/9!)θ^9 - …
　tanθ = θ + (1/3)θ^3 + (2/15)θ^5 + (17/315)θ^7 + (62/2835)θ^9 + …
から思い付いたのかも。

>>102 にもあるよ。
　H = θ - (1/180)θ^5 - (1/1512)θ^7 - (1/25920)θ^9 - …
　G = θ + (1/45)θ^5 + (4/567)θ^7 + (1/405)θ^9 + …
　A = θ + (1/20)θ^5 + (1/56)θ^7 + (7/960)θ^9 + …
　A + H - 2G = (1/324)θ^7 + (1/432)θ^9 - …
　AH/GG = (2cosθ+1)/{(2+cosθ)(cosθ)^(1/3)}
　　　　= 1 + (1/324)θ^6 + (1/648)θ^8 + …
649 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 08:38:14.15 ID:EIfW8DuI.net: ついでに…
s>0, t>0 とし
　A = (s+s+t)/3,
　G = (sst)^(1/3)
　H = 3st/(s+t+t),
とおくと
　H < G < A,
　AH > GG,　　　(0<s<t)
　A+H > 2G,　　　(0<s<t)
(略証)
　AH = (s+s+t)st/(s+t+t),
　G^3 = sst,
より
　(AH)^3 - G^6 = tt {t(s+s+t)^3 - s(s+t+t)^3}{s/(s+t+t)}^3
　　= tt(s+t){(t-s)s/(s+t+t)}^3 > 0,
∴　AH > GG,

　(A+H)/2 = (ss+7st+tt)/[3(s+t+t)],
　G^3 = sst,
より
　{(A+H)/2}^3 - G^3 = {(t-s)^3 + 27stt}{(t-s)/[3(s+t+t)]}^3 > 0,
∴　A+H > 2G,
650 ：１３２人目の素数さん：2021/05/30(日) 18:54:47.33 ID:SMLQU2Ye.net: >>648
テイラー展開は、あまり時代に合わんような気もする。まあ古くから、特殊な場合だけや結果だけ知られているということがよくあるのと、詳しくないので結論付けられない。

ホイヘンスによる証明があったわ。
円の大きさの発見 : 1654年ホイヘンスによる円周率の計算
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_tanuma.pdf
（近似）式自体は、15世紀のニコラウス・クザーヌスまで遡れるらしい。

グレゴリーやニュートンが17世紀後半にべき級数展開したらしいから、ホイヘンスは知らないような気もする。代数計算得意じゃないとキツイし。
651 ：１３２人目の素数さん：2021/06/06(日) 02:15:52.79 ID:Q09kUO/y.net: 1992年IMO5番
https://i.imgur.com/NvlwAw4.png
652 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:51:17.44 ID:Hilnv+E/.net: ５．Sは3次元座標空間の有限個の点の集合である。
S_x, S_y, S_z はそれぞれ、Sの点の yz-平面, zx-平面, xy-平面への正射影からなる点の集合である。
次を証明せよ。
　　| S |^2 ≦ |S_x|･|S_y|･|S_z|
ここに | A | は有限集合Aの要素の個数である。
653 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 05:57:08.83 ID:Hilnv+E/.net: >>284

f(x)は下に凸な関数とする。自然数nに対して不等式
　nΣ[k=0,n] f(2k) > (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1)
を示せ。

[面白スレ３６．256-260]
654 ：１３２人目の素数さん：2021/06/08(火) 20:03:58.37 ID:Hilnv+E/.net: >>651 >>652
z値の集合を {z1, …, zi, …, zn} とする。
S, Sy, Sx の点を z値で分類する。
S, Sy, Sx の点のうち　z=zi をみたすものの個数を |Li|, ai, bi とする。

(1)　|Li| ≦ ai･bi,

(2)　|S| = |L1| + … + |Li| + … + |Ln|,

(3)　|Sy| = a1 + … + ai + … + an,
　　|Sx| = b1 + … + bi + … + bn,

(4)　|Li| ≦ |Sz|,

(1) と (4) を掛けて
　|Li|^2 ≦ (ai･bi) |Sz|,
　|Li| ≦ √(ai･bi) √|Sz|,　　　　････ (5)

(2), (5) より
|S|^2 ≦ {√(a1･b1) + … + √(ai･bi) + … + √(an･bn)}^2･|Sz|
　　≦ (a1 + … + ai + … + an)(b1 + … + bi + … + bn)|Sz|　　　コーシー
　　= |Sy| |Sx| |Sz|,

http://www.youtube.com/watch?v=IzitrvYnNkc 11:08,
655 ：１３２人目の素数さん：2021/06/12(土) 15:46:26.57 ID:rM3zqrZ1.net: 1993年日本数学オリンピック本選5番

https://i.imgur.com/kwA3sGg.png
656 ：１３２人目の素数さん：2021/06/14(月) 16:23:08.26 ID:lFKMSNRU.net: 0<k≦3, a,b,c>0のとき
3-k+k(abc)^(2/k)+a^2+b^2+c^2≧2(ab+bc+ca)
を示せ
657 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 01:00:18.66 ID:78D2HNY3.net: >>646
>>656
似た問題くれ
658 ：１３２人目の素数さん：2021/06/15(火) 20:42:53.54 ID:iDQ7MEu/.net: >>656
0<k≦3 ゆえ x^(3/k) は下に凸。　x=1 で接線を曳いて、
　(3-k) + k･x^(3/k) ≧ 3x,
(左辺) - (右辺) ≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 3(abc)^(2/3)
　≧ aa+bb+cc - 2(ab+bc+ca) + 9abc/(a+b+c)　　　　(AM-GM)
　= F1(a,b,c)/(a+b+c)
　≧ 0,

*)　Schurの不等式
F1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0.
659 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 14:58:41.31 ID:NM0vuEzL.net: >>658
3/kではなくて2/kだぞ
660 ：１３２人目の素数さん：2021/06/17(木) 20:08:44.51 ID:lnjH0V31.net: x = (abc)^(2/3)
661 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 10:02:29.51 ID:olJMYtps.net: IMO2021の2番に不等式問題出たな

https://i.imgur.com/3822PyY.png
662 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 12:58:46.19 ID:iF34JJ+s.net: >>661
ｳﾎｯ、いい不等式！
663 ：１３２人目の素数さん：2021/07/24(土) 13:52:58.43 ID:iF34JJ+s.net: a,b,c > 0、ab+bc+ca+abc=4 のとき、a+b+c ≧ ab+bc+ca.
ベトナム1996らしい
664 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:46:50.40 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
　t = ab+bc+ca < 3,
と仮定すると
　u = abc < 1,　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ t < 4,
∴　s = a+b+c ≧ tt/3 ≧ 3,

(s-t)(ss+st+tt - 4t)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + (s^3-4st+9u)
　= (4-t)(t-3)(t+3) + F1(a,b,c)
　≧ 0,　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0,
　[面白スレ３７．704] にもあった。
665 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 04:52:39.17 ID:0rv1EuHc.net: 訂正ｽﾏｿ
　s = a+b+c ≧ √(3t) ≧ 3,　　　(AM-GM)
666 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:08:13.86 ID:0rv1EuHc.net: 〔類題184〕
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき　a+b+c≧ab+bc+ca,

大数宿題 2010-Q7
[不等式スレ７.114-115,160]
Inequalitybot [184]　☆7
667 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 05:12:18.46 ID:0rv1EuHc.net: (略解)
s = a+b+c < 3 と仮定すると
　u = abc < 1　　　(AM-GM)
となり題意に反する。
∴　3 ≦ s < 4.

4s(s-t) = (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + (s^3 -4st +9u)
　　= (4-s)(s-3)(s+3) + 9(4-s-u) + F1(a,b,c)
　　≧0,　　　　　(← Schur-1)
∴　s-t ≧ 0.
668 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 06:48:26.36 ID:0rv1EuHc.net: >>661
〔問題2.〕
　任意の実数 x1, x2, ････, xn に対して、不等式
　　　　　Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi-xj| ≦ Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] √|xi+xj|,
が成り立つことを示せ。
669 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 11:16:51.60 ID:236oCq6r.net: 実質極値がa=b=cの時でしかもそれが未定定数法で簡単に求まるやつはなんかもひとつやな
670 ：１３２人目の素数さん：2021/07/25(日) 18:35:50.30 ID:0rv1EuHc.net: >>664
　s≧3 どこにも使ってないの、なんかもひとつやな
671 ：１３２人目の素数さん：2021/07/27(火) 19:25:05 ID:gRrHTwn5.net: >>661
こんな良い不等式がまだ残ってるとは

これルートなくても成り立ちそうだけど、その場合は簡単に示せたりする？
672 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:08:01 ID:gaBM8HMZ.net: 複素数 z (0≦arg(z) < 2π) に対して、
　　　|z-1| < |z| - 1 + |z|*arg(z).
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
673 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 01:09:26 ID:gaBM8HMZ.net: >>672
条件に |z|>1 を追加。
674 ：１３２人目の素数さん：2021/07/29(木) 21:13:16 ID:a7gJLkin.net: a_1≧a_2≧…≧a_n>0かつa_1+a_2+…+a_n=1のとき
a_1+2a_2+…na_nのとりうる値の範囲を求めよ.
675 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:22:01 ID:oWjQc2j0.net: f(a) = Σ[k=1,n] k･a_k　とおく。
f(1, 0, …, 0) = 1　(最小)
f(1/n, 1/n, …, 1/n) = (n+1)/2　(最大)

(略証)
f(a) - 1 = (a_1+a_2+…+a_n - 1) + Σ[k=2,n] (k-1) a_k ≧ 0,
(n+1)/2 - f(a) = Σ[k=1,n] ((n+1)/2 - k) a_k
　　　= Σ[k'=1,n] (k' - (n+1)/2) a_{n+1-k'}
　　　= (1/2)Σ[k=1,n] ((n+1)/2-k) (a_k - a_{n+1-k})　　(←同符号)
　　　≧ 0,
676 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 06:46:40 ID:oWjQc2j0.net: >>672
?不等式より
　|z - 1| ≦ ||z| - 1| + |z - |z|| < ||z| - 1| + |z|･arg(z),
677 ：１３２人目の素数さん：2021/07/30(金) 14:02:27 ID:oWjQc2j0.net: >>675
(n+1)/2 - f(a) = ((n+1)/2) (1 - a_1 - a_2 - … - a_n)
　　　　　 + (1/2) Σ[k=1,n-1] k(n-k) (a_k - a_{k+1})
　　　　　≧ 0,
の方がいいか…

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