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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 448 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 06:27:38 ID:fgXdb1VU.net
- ツイッターで拾ったこの問題の最後の問題5
https://i.imgur.com/LgaZhH2.png
- 449 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 12:22:08 ID:TPydHgX/.net
- 問題１
三角形ABCとその内部の点Pは、AB=7、AC=8、PB=1、PC=4 を満たす。
∠BAC と ∠BPC の二等分線が平行であるときの、BCの長さを求めよ。
(解答例)
題意より、点Pは△ABCの垂心となる。
AP⊥BC、BP⊥CA、CP⊥AB
二等分線の方向をｘ軸とすれば傾きは
AP -1/5、 BC 5
BP -3、 CA 1/3
CP 3、 AB -1/3
よって
A(0,0) B(21/√10, -7/√10) C(24/√10, 8/√10) P(20/√10, -4/√10)
長さは
BC = 3√(13/5) = 4.83735
AP = 4√(13/5) = 6.4498
- 450 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:08:28.88 ID:TPydHgX/.net
- 問題２
nを4以上の整数とする。
ある正n角形の各頂点にはある頂点から反時計回りで１からnの整数が
書かれている。
この正n角形にn-3本の対角線(辺は含まない)を どの二つの対角線も
交わらないように取ると、正n角形はn-2個の三角形に分けられる。
(証明不要)
これらn-2個の三角形それぞれの得点をその三角形の3頂点に書かれた
整数の和とする。
n-2個の三角形の得点の総和として考えられる最大の値を求めよ。
(解答例)
Σ[k=1,n] (点 'k' を共有する三角形の数)
= Σ[k=1,n] (点 'k' を端点とする対角線の数+1)
∴ 点 'n' を端点とする対角線n-3本をとれば 2n(n-2) (最大)
逆に 点 '1' を端点とする対角線n-3本を取れば (n+3)(n-2) (最小)
- 451 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 14:27:03.25 ID:TPydHgX/.net
- 問題３
以下の等式を満たす正の整数の組 (a,b,c) を全て求めよ。
a^(bc) + b^(ca) = c^(ab)
(解答例)
a^(bc) < c^(ab) より a^c < c^a,
b^(ac) < c^(ab) より b^c < c^b,
∴ a^(1/a), b^(1/b) < c^(1/c),
一方
1 < n^(1/n) < ････ < 5^(1/5) < 4^(1/4) = 2^(1/2) < 3^(1/3),
と比べて
(a,b,c) = (1,1,2) (1,2,3) (2,1,3)
- 452 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 17:47:39.85 ID:TPydHgX/.net
- 問題４
内接円を持つ四角形ABCDの辺 AB, BC, CD, DA 上に
それぞれ P, Q, R, S をとり、線分PRとQSの交点をKとする。
四角形 APKS, BQKP, CRKQ に内接円が存在するとき、
四角形 DSKR にも内接円が存在することを示せ。
(解答例)
内接円をもつ ⇔ 2組の対辺の和が等しい。
だけでは解けぬ。どうするか？
- 453 ：１３２人目の素数さん：2020/06/02(火) 18:21:12 ID:TPydHgX/.net
- 問題５
ある2以上の整数dは、ちょうどk個の正の約数 d_1 < d_2 < ･････ < d_k を持ち、
任意のk個の正の実数 x_1, x_2, ･････, x_k に対して以下の不等式を満たす。
このようなdを全て求めよ。
(√x_1 + √x_2 + ･････ + √x_k + 1)^(2d)
≦ (k+1)^(2d)･Π[i=1,k] {(x_i^d_i + k)/(k+1)}^d_(k+1-i)
≦ 2^(2d-k)･Π[i=1,k] (x_i^d + k^d_(k+1-i)),
ガラパゴス不等式と名付けたい････
- 454 ：１３２人目の素数さん：2020/06/03(水) 14:14:42 ID:Vj2o+qIA.net
- [第7章.946]
i-j=k をみたすn-k項と i-j=n-k をみたすk項 の計n項で Jensen する。
n項の引数の和はkとなる。
Σ[i-j=k] f(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] f(1 - x_i + x_j) ≧ n f(k/n),
k=1,2,････,n-1 でたす。
--------------------------------------------------------
蛇足だが････
f(a) ≦ n ∫[a-1/2n, a+1/2n] f(x) dx,
より
Σ[k=1,n-1] f(k/n) ≦ n∫[1/2n, 1-1/2n] f(x) dx ≦ (n-1)∫[0,1] f(x) dx,
http://suseum.jp/gq/question/2724
- 455 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 03:52:52.71 ID:UZmO2K4a.net
- >>445
s = x+y, t=xy とおくと
0 < t < 1 < s < 2,
16(1-x)(1-y)(x-y)^2 = 16(1-s+t)(ss-4t) (← tの2次式)
= (2-s)^4 - {(2+s)^2 -8t -8}^2 (← 平方完成)
≦ (2-s)^4,
より
(与式）≦ (s-1)(2-s)^4 /(16ss)
= (2/√3 -1)^3 - g(s)(s-2/√3)^2 /(16ss)
≦ (2/√3 -1)^3
= 0.003702332976 = M,
等号は s = 2/√3 = 1.1547 のとき。
10+M = 10 + (2/√3 -1)^3
= (2/√3 +1)^3
= 1/{3(2/√3 -1)}^3
= 1/(27M),
M = 1/{27(10+M)} < 1/270 = 0.00370370････
g(s) = {(√3)(2-s)^3 + (3√3 -4)(2-s)^2 + 4(3√3 -5)(2-s) + 8(7-4√3)}/(√3)
> 8(7-4√3)/√3
= 0.331615 (s<2)
∵ 5/3 < √3 < 7/4,
- 456 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 04:14:53.02 ID:UZmO2K4a.net
- >>446
q乗平均Q ≧ 相加平均A
より
(x+1)(y+1) = (A+1)^2 - (1/4)(x-y)^2
≦ (A+1)^2
≦ (Q+1)^2,
∴ (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (Q+1)(Q+1)(z+1),
∴ もし最大値があるとすれば、それは x=y=z に限る。
- 457 ：１３２人目の素数さん：2020/06/04(木) 17:35:49 ID:UZmO2K4a.net
- >449
△ABCの垂心をHとおく。
辺BCに関してHと対称な点をDとおくと、
∠D = ∠BHC = 180ﾟ - ∠A,
∴ Dは△ABCの外接円上にある。
OA = OD
∴ ∠OAH = ∠ODH ････ (1)
△ABCを中点三角形とするような大三角形△A'B'C'を考える。
その垂心は三角形ABCの外心Oである。
相似関係より、
∠BAO=∠CAH, ∠CAH=∠BAO,
∴ ∠A の二等分線は ∠OAHの二等分線。
∠BDO=∠CDH, ∠CDH=∠BDO,
∴ ∠D の二等分線は ∠ODHの二等分線。
(1) より
∠BHC の二等分線 // ∠Aの二等分線
- 458 ：１３２人目の素数さん：2020/06/06(土) 04:26:40 ID:klZxi4yn.net
- [AMM, Problem 12154]
Let r_a , r_b , and r_c be the exradii of a triangle with circumradius R and inradius r. Prove
r_a/(r_b + r_c) + r_b/(r_c + r_a) + r_c/(r_a + r_b) ≧ 2 - r/R.
- 459 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 02:55:50.02 ID:4nsS10XA.net
- >>443
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
- 460 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 04:37:40.73 ID:4nsS10XA.net
- >>443
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3)
- 461 ：１３２人目の素数さん：2020/06/09(火) 10:39:14.84 ID:oCR5MqlE.net
- 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9)
- 462 ：１３２人目の素数さん：2020/06/15(月) 09:49:34.02 ID:m4MzqaBi.net
- >>377
(1,n) から 1 ≧ y1
(i,i) から 2-S_i ≧ yi,
(n,n) から 1 ≧ yn,
(i,j) i<j から
S_(i-1) ≧ yj または 2-S_j ≧ yi ････ これが難解
なお (1,2) ～ (1,n-1) と (i,j) i>j は不要
S_k = x0 + x1 + x2 + ･････ + xk,
- 463 ：１３２人目の素数さん：2020/06/28(日) 15:44:40 ID:OH7XqlAJ.net
- (1) 円周率πに対して、3.1<π<3.2を示せ
(2)ネイピア数eに対して、2.7<e<2.8を示せ
- 464 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 17:05:05 ID:4ejNywyM.net
- (1)
>>102 で θ=π/6 とおくと
18/(2 + 2 + √3) < π < 2(1/2 + 1/2 + 1/√3),
3.140237343 < π < 3.15470054
(2)
特に x=1 のとき、剰余項を入れて書けば
e = 1 + 1/1! + 1/2! + ････ + 1/n! + R_(n+1) (11)
R_(n+1) = e^θ/(n+1)! < 3/(n+1)!
今(11)を用いて1/n!を計算して行けば、n=4 までは右図のようになる。
それらを加えてeの近似値を得るが、剰余項 R_5 < 1/40 だから
2 + 17/24 < e < 2 + 11/15
2.7083333 < e < 2.7333333
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第2章 微分法、§25．Taylorの公式、p.66
- 465 ：１３２人目の素数さん：2020/06/29(月) 19:07:55.63 ID:4ejNywyM.net
- (1)
Simpson の方法 は（3）の応用である。
h=(b-a)/2n と置いて y_(2i-1) に隣る二つの区間に関する積分∫f(x)dx の
近似値として（3）のように
(h/3){y_(2i-2) + 4y_(2i-1) + y_(2i)}
を取って i=1,2,････,n に亘って総計すれば
∫[a,b] f(x)dx
≒ (h/3){y_0 +4y_1 +2y_2 +4y_3 + ････ + 2y_(2n-2) + 4y_(2n-1) + y_(2n)},
これが Simpson の公式である。 ････ (5)
もしも（4）によって剰余項をも取るならば、総計して
R = -{n(h^5)/90}f^(4)(ξ) = -{(b-a)(h^4)/180}f^(4)(ξ),
これは Simpsonの公式の誤差の限界を与える。
一例として π/4 = ∫[0,1] 1/(1+x^2) dx からπの近似値を計算してみよう。
n=5 とすれば h=0.1
π/4 = (0.1/3)(1/1.00 + 4/1.01 + 2/1.04 + 4/1.09 + 2/1.16 + 4/1.25
+ 2/1.36 + 4/1.49 + 2/1.64 + 4/1.81 + 1/2.00) + R
= (0.1/3)・23.5619446 + R
= 0.7853981535 + R
∴ π = 3.141592614 + 4R
-1.333×10^(-5) < R < 1.667×10^(-6)
{実際は R = 9.91264×10^(-9)}
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第3章 積分法、§38．定積分の近似計算 p.127-128
（貞治先生も筆の誤り？）
- 466 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 07:33:44 ID:VISrmZkI.net
- u,v,w∈R^n
(||v||^2 ||w||^2 - (v,w)^2) ||u||^2 ≧ ||(w,u)v - (v,u)w||^2.
これは有名な不等式なん？
- 467 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 17:35:21.65 ID:ceNKIuAv.net
- A_(i,j) = v_i w_j - v_j w_i (交代テンソル）とおくと
成分は 1≦i<j≦n をわたります。
与式は
||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2 = (スカラー三重積)^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、右辺は（u,v,wが作る平行六面体の体積)^2 です。
・幾何学的解釈
∠(v,w) = a, ∠(w,u) = b, ∠(u,v) = c
とおくと与式は
1 + 2cos(a)cos(b)cos(c) - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 ≧ 0,
すなわち
4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2) ≧ 0,
なので、角｛a,b,c｝の三角不等式です。
・参考
{u,v,w｝がなす球面三角形の面積をSとすると
{4 cos(a/2) cos(b/2) cos(c/2) sin(S/2)}^2
= 4 sin((a+b+c)/2) sin((-a+b+c)/2) sin((a-b+c)/2) sin((a+b-c)/2)
= 1 - cos(a)^2 - cos(b)^2 - cos(c)^2 + 2cos(a)cos(b)cos(c)
= ｜1，cos(c)，cos(b)｜
｜cos(c)，1，cos(a)｜
｜cos(b)，cos(a)，1｜
これはヘロンの公式の球面版と考えられます。（カニョリの式）
- 468 ：１３２人目の素数さん：2020/07/02(木) 18:26:18.89 ID:ceNKIuAv.net
- （訂正）
与式は
||A||^2 |u|^2 ≧ |(A・u)|^2
で、コーシーの不等式です。
3次元の場合、 ||A|| はv,wが作る平行4辺形の面積です。
･････
>>467 の行列式の各行に |u|, |v|, |w|, 各列に |u|, |v|, |w| を掛けて元に戻せば
｜(u, u) (u, v) (u, w)｜
｜(v, u) (v, v) (v, w)｜
｜(w, u) (w, v) (w, w)｜
の形（Grammian）になり、
｜ u'｜
｜v'｜｜u, v, w｜
｜w'｜
= （スカラー三重積)^2
= (u,v,wが作る平行六面体の体積)^2
でした。
- 469 ：１３２人目の素数さん：2020/07/03(金) 01:01:30.39 ID:nLp+q6d/.net
- ありがとう。難しすぎて今は分からんけど。
- 470 ：１３２人目の素数さん：2020/07/16(木) 22:03:57 ID:/5szD4rG.net
- 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5b + b^5c + c^5a) ≧ (1/27)*(a+b+c)^6
- 471 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 02:28:47 ID:xiJ191gm.net
- >>470
この手の同次数の不等式の係数というのは分母を払えば
(N個の係数1の単項式)≧(N個の係数1の単項式)
と書けるようになっていますよね？
このタイプ(特に巡回や対称の場合)の不等式に関して
どのようなとき不等式が成立するかの一般論ってあるんでしょうか
昔、考えたのは対称の場合で
指数のタイプ
(n,0,…,0)、(n-1,1,0,…,0)、…、(1,1,…,1)
に関してヤング図形的な半順序付けをしたとき
上の条件を満たすような係数になっていて、左辺の各単項に右辺の単項式への順序を下げる1対1対応があるとき不等式は成立するというものでした(これは確か証明できた)
これを使うと相加相乗などはすぐに示せます
逆に同次対称で上の係数条件を満たすような不等式はこの左右の順序を下げる1対1対応が存在するか？も考えたのですが確かこれには反例がありました
- 472 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 06:33:37.69 ID:/5BiIC+G.net
- よくってよ
- 473 ：１３２人目の素数さん：2020/07/18(土) 12:04:37.03 ID:dk77+tdw.net
- 2006年度東工大の問題
https://i.imgur.com/0aBFX3v.jpg
- 474 ：１３２人目の素数さん：2020/07/19(日) 19:28:26 ID:WIR0lTu1.net
- >>470
aa=A, bb=B, cc=C とおく。
(左辺) - (aa+bb+cc)^3
≧ 4(A^3 + B^3 + C^3) + 15ABC - (A+B+C)^3
= 3{A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B)}
= 3F_1(A,B,C)
≧ 0, (Schur-1)
∴ (左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ (1/27)(a+b+c)^6.
(1+1+1)(aa+bb+cc) ≧ (a+b+c)^2 (コーシー) から。
- 475 ：１３２人目の素数さん：2020/07/21(火) 17:57:10 ID:Q73vct+1.net
- >>470
a^3 =A', b^3 =B', c^3 =C' とおく。
(左辺) = 4(a^6 + b^6 + c^6) + 5(a^5･b + b^5･c + c^5･a)
≧ (A'+B'+C'){(4/3)(A'+B'+C') +5abc} （← 補題)
= (A'+B'+C'){(1/3)(a+b+c)^3 + F_1(a,b,c)}
≧ (1/3)(A'+B'+C')(a+b+c)^3
≧ (1/3){(aa+bb+cc)(a+b+c)}^2, (← コーシー)
〔補題〕
a^5･b + b^5･c + c^5･a ≧ abc(a^3+b^3+c^3),
(略証)
a^5･b + b^5･c + c^5･a
≧ (a^3+b^3+c^3)^2 /(a/b+b/c+c/a) (← コーシー)
= abc(a^3+b^3+c^3)^2 /(aac+bba+ccb)
≧ abc(a^3+b^3+c^3), (← チェビシェフ)
あるいは
(16a^5･b + b^5･c + 4c^5･a)/21 ≧ a^4･bc, (← AM-GM)
巡回的にたす。 (終)
- 476 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:47:23.22 ID:U4xy9LSi.net
- 〔演習問題1.90〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、次を証明せよ。
aa+bb+cc + 2abc + 1 ≧ aa+bb+cc + 3(abc)^(2/3)
≧ aa+bb+cc + 9abc/(a+b+c)
≧ 2(ab+bc+ca),
[9] 佐藤(訳), 朝倉書店 (2013) p.41
- 477 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 07:49:09.73 ID:U4xy9LSi.net
- (略証)
左・中は AM-GM で出る。
右は通分して
(a+b+c)(aa+bb+cc-2ab-2bc+2ca) + 9abc
= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= F_1(a,b,c) ≧ 0, (Schur-1)
- 478 ：１３２人目の素数さん：2020/07/22(水) 14:59:40.78 ID:cBVWOvpo.net
- a,b,c,d>0
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ (143/100)*(a+b+c+d)
Slovenia 2012 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 479 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 14:32:02 ID:cdENLWJx.net
- 右辺の係数を λ_n とおくと
λ_1 = 1.0
λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655 (a = (1+√2)^2･b)
λ_3 = 4/3 = 1.333333333 (a = 4b = 16c)
λ_4 = 1.42084438540961 (a = bp = cq = dr)
････
[第８章．972-990]
[前スレ．041] あたりの【Kiran Kedlaya】はこれの改良版（？）
- 480 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 15:03:09.65 ID:cdENLWJx.net
- >>475
〔補題〕
a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + c^{n+1}･a ≧ abc (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}),
(略証)
n=0 のとき等号成立
n=1 のとき AM-GM
n≧2 のとき
a^{n-3} /b + b^{n-3} /c + c^{n-3} /a
= (a^{n-2}･c + b^{n-2}･a + c^{n-2}･b) /(abc)
≦ (a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}) /(abc),
よって
(左辺) ≧ (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})^2 /(a^{n-3}/b + b^{n-3}/c + c^{n-3}/a)
(← コーシー)
≧ abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}).
(別法)
AM-GMで
[nn･a^{n+1}･b + b^{n+1}･c + n c^{n+1}･a] /(nn+n+1) ≧ a^n･bc,
巡回的にたす。
- 481 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 20:57:22.44 ID:sHXJwhgv.net
- 異なる4つの実数が任意に与えられたとき
そこから |ab+1|>|a-b| を満たす異なる実数a,bが選べることを示せ。
- 482 ：１３２人目の素数さん：2020/07/24(金) 22:44:47.85 ID:+6BjH0O/.net
- >>481
tanで置き換えれば瞬殺
- 483 ：１３２人目の素数さん：2020/07/25(土) 10:36:55.68 ID:g3fpMEvS.net
- >>481
[高校数学の質問スレPart405] から。
4つの実数をx_iとする。(i=1～4)
θ_i = arctan(x_i) (-π/2 < θ_i < π/2) とおく。
4つから上手く2つを選ぶと
|θi - θj| ≦π/4 または |θi-θj±π| ≦π/4,
となる。
tanの加法公式
tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα･tanβ),
より
1 ≧ |tan(θi - θj)| = |(x_i-x_j)/(1+x_i･x_j)|,
よって x_i, x_j は条件を満たす。
等号成立は {x_i} がπ/4ずつ異なるとき。 [895,948-949]
例：tan(±22.5ﾟ) = ±(√2 -1), tan(±67.5ﾟ) = ±(√2 +1),
- 484 ：１３２人目の素数さん：2020/08/05(水) 03:24:43 ID:ud0wEpwG.net
- 三角形ABCの外接円の半径Rと内接円の半径rに対して、
2/R ≦ (1/a)*sec(A/2) + (1/b)*sec(B/2) + (1/c)*sec(C/2) ≦ 1/r.
[AMM, Prob12168] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 485 ：１３２人目の素数さん：2020/08/10(月) 14:07:49 ID:WaC83EyQ.net
- 不等式botより
https://i.imgur.com/7iHjp4R.png
- 486 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 16:49:54.71 ID:sLooAqcf.net
- 〔Inequalitybot 98〕
aa ≦ 1, aa+bb ≦ 5, aa+bb+cc ≦ 14, aa+bb+cc+dd ≦ 30 のとき
a+b+c+d ≦ 10
を示せ。 Hungary-Israel binational 2007, 1日目, 問2
- 487 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 17:00:55.87 ID:sLooAqcf.net
- コーシーにより、
(a+b+c+d)^2 /(1+2+3+4) ≦ aa + bb/2 + cc/3 + dd/4
= (1-1/2)aa + (1/2-1/3)(aa+bb) + (1/3-1/4)(aa+bb+cc) + (1/4)(aa+bb+cc+dd)
≦ (1-1/2) + (1/2-1/3)･5 + (1/3-1/4)･14 + (1/4)･30
= 10,
等号成立は (a,b,c,d) = (1,2,3,4)
- 488 ：１３２人目の素数さん：2020/08/11(火) 22:11:26.18 ID:sSrJdUio.net
- a,b,c∈R,
a^2 + b^2 + c^2 > 0,
-1/2 ≦ Σ[cyc] ab/(a^2 + b^2 + 3c^2) ≦ 3/5.
[不明] ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 489 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 08:44:28.46 ID:63pIFzc2.net
- 1824 アンケよろしく @gas1824s (2020/08/13 22:08:21)
回りくどいのでほかにいい解法ありませんかね #数学教えて
https://pbs.twimg.com/media/EfTYnxTUYAAefqC.jpg
http://twitter.com/gas1824s/status/1293897176909660161
(deleted an unsolicited ad)
- 490 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:01:51.38 ID:kEvbrh9S.net
- (a^3+a^3+b^3)/3≧(a^3a^3b^3)^(1/3)=a^2b
- 491 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 09:49:28 ID:6FR6kR83.net
- >>490
おい右辺w
- 492 ：１３２人目の素数さん：2020/08/14(金) 14:32:03.90 ID:Vqud894y.net
- >>489
a,b,c≧0 に対し
a^3 + b^3 + c^3 ≧ abb + bcc + caa,
を示せ。
--------------------------------------
差積 (a-b)(b-c)(c-a) の符号は正にも負にもなるから、
このままではマズイ。
(ついでに言えば、符号も変)
0 ≦ {(a+2b)(a-b)^2 + (b+2c)(b-c)^2 + (c+2a)(c-a)^2}/3
= a^3 + b^3 + c^3 -abb -bcc -caa,
とやるか又は AM-GM で
(a^3 + 2b^3)/3 - abb = (1/3)(a+2b)(a-b)^2 ≧ 0 >>490
を循環的にたす。
- 493 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 18:55:07 ID:Nf0TF7ck.net
- そんなに難しくない問題
https://i.imgur.com/knbMWIu.jpg
- 494 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 21:30:28 ID:ymr8iYI5.net
- 「入試数学の純粋な難問」
0 ≦ x,y,z ≦ 1 のとき
(x+y+z)/3 + √{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} ≦ 3/2
を示せ。
--------------------------------------------------------
(x+y+z)/3 = A とおく。
x(1-x) = (3/2)(3/8 - x/3) - (x - 3/4)^2 ≦ (3/2)(3/8 - x/3),
より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (3/2)(9/8 - A)
= (3/2 - A)^2 - (3/4 - A)^2 ≦ (3/2 - A)^2,
よって
√{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} ≦ 3/2 - A,
- 495 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 22:13:30.32 ID:Nf0TF7ck.net
- (x+y+z)/3=tとおいたら相加相乗平均でいけない？
- 496 ：１３２人目の素数さん：2020/08/18(火) 23:14:15 ID:YNr/CS7O.net
- 続けて。
- 497 ：１３２人目の素数さん：2020/08/26(水) 23:23:01 ID:oXbdk8QE.net
- a,b,c>0
$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
2020 China Norther MO ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 498 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 21:06:34.76 ID:2xmHjvQW.net
- Twitterから色々拾ってきた
https://i.imgur.com/wm73ysp.png
https://i.imgur.com/WZ2vouq.jpg
https://i.imgur.com/mRGlGoa.jpg
- 499 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 22:58:10.89 ID:g1e3GOfL.net
- うむ、よく訓練された不等式ヲタだな。
- 500 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 00:03:43.87 ID:3yJQ3R53.net
- (aa+1)(bb+1)(cc+1) = (a+b+c-abc)^2 + (ab+bc+ca-1)^2.
- 501 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 00:51:04.79 ID:PGJ1gE8Y.net
- (a+i)(b+i)(c+i) = (abc -a-b-c) + (ab+bc+ca-1)i,
(a-i)(b-i)(c-i) = (abc -a-b-c) - (ab+bc+ca-1)i,
辺々掛ける。
- 502 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 01:07:54.34 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>497
a,b,c>0 のとき
(a^3+b^3)/√(aa-ab+bb) + (b^3+c^3)/√(bb-bc+cc) + (c^3+a^3)/√(cc-ca+aa) ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2),
(略証)
コーシーで
(x^3+y^3)/√(xx-xy+yy) = √{(x^3+y^3)(x+y)} ≧ x^2 + y^2,
巡回的にたす。
- 503 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 02:47:25.14 ID:yitbZe7d.net
- >>501
からくりを見ると、当たり前の等式だったんだなあ ( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…
- 504 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 13:48:56.02 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>500
実数でやるなら
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおく。
(左辺) = (abc)^2 + ((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + 1
= uu + (tt-2su) + (ss-2t) + 1
= (uu -2su +ss) + (tt -2t +1)
= (u-s)^2 + (t-1)^2,
- 505 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:48:46.83 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>498
(上)
〔問題214〕
自然数n∈Nを固定する。
i=1,2,･････,2n に対して |x_i| ≦ 1 の値をとるとき
Σ[1≦r<s≦2n] (s-r-n) x_r x_s
の取り得る最大の値を求めよ。
IMO Shortlist 2015 A-3
Inequalitybot [214]
(中）
△ABCにおいて、
F = {(sinA)^2 + 2(sinB)^2 + 3(sinC)^2} / {(sinA)(sinB)(sinC)}
とおく。
(1) △ABCの3辺の長さを BC=a, CA=b, AB=c とおき、
さらに△ABCの面積をSとする。
F を a,b,c,S で表わせ。
(2) Fの最小値を求めよ。
(下)
Problem 26
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=3 をみたすとき、
a(bb+cc)/(aa+bc) + b(cc+aa)/(bb+ca) + c(aa+bb)/(cc+ab) ≧ 3
が成立することを示せ。
- 506 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 16:26:15 ID:PGJ1gE8Y.net
- (中)
(1) 正弦定理
sin(A) = a/2R, sin(B) = b/2R, sin(C) = c/2R,
と
S = abc/4R,
より
F = 2R(aa+2bb+3cc)/abc = (aa+2bb+3cc)/2S,
(2)
ところで 面積S は a,b,c の関数である。(ヘロンの公式)
(aa+2bb+3cc)^2 - 11･16SS
= (aa+2bb+3cc)^2 - 11{2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 -a^4 -b^4 -c^4}
= (3･4･5){(bb/4-cc/3)^2 + 2(cc/3-aa/5)^2 + 3(aa/5-bb/4)^2}
≧ 0,
aa+2bb+3cc ≧ (4√11)S,
∴ F ≧ 2√11 = 6.63325
等号成立は a：b：c = √5：√4：√3 のとき。
- 507 ：１３２人目の素数さん：2020/09/04(金) 01:17:36.55 ID:USkdw4WV/
- 【誰でもOK】手堅く月50万を稼ぐ手順
https://www.youtube.com/watch?v=QRRcJ3D-6uI
動画編集者をレベル分けしてみた
https://www.youtube.com/watch?v=Gq9-CmrpVHo
動画編集のディレクター需要が高まる3つの理由
https://www.youtube.com/watch?v=9qyECT9f_ZE
動画編集者のディレクターになるメリットとデメリット
https://www.youtube.com/watch?v=PxK-wqLGrWw
【体験談】動画編集のディレクターという職業
https://www.youtube.com/watch?v=PLshf0PJyNo
動画編集者がYouTubeをやる3つのメリット
https://www.youtube.com/watch?v=V_b_lfaEtwQ
動画編集初心者が勉強始めてから案件獲得するまでの3ステップ
https://www.youtube.com/watch?v=pEt7NGOqm4U
【動画編集】案件を得るための4つの営業先【超初心者向け】
https://www.youtube.com/watch?v=S_iyjOUq2ZI
- 508 ：１３２人目の素数さん：2020/09/13(日) 23:58:13.39 ID:JpJgDqA9.net
- a,b,c,d > 0
\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{cd} ≦ \sqrt[3]{(a+c+d)(a+c+d)}
あばばばばばば
∩＿＿＿∩
|ノ ヽ/⌒) あびゃば
/⌒)(ﾟ) (ﾟ) / あびゃあばばば
/ / (_●)ミ / ∩――、
（ ヽ |∪| ／ ／(ﾟ)ヽ _ ヽ
＼ ヽノ / / (● (ﾟ) |つ
/ / ｜ (入_ノ ミ
｜ / ｜ (＿／ ノ
｜ ／＼ ＼ ＼＿＿＿ノﾞー-、
｜ / ) ) ／＼ ＿ ＼
(_ﾉ ( ＼ （⌒O ／＼ (＿ﾉ
＼＿) ＼ノ / ､ )０
- 509 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 02:22:15.74 ID:8KYEGgmf.net
- 何かが変だ
- 510 ：１３２人目の素数さん：2020/09/14(月) 04:14:30.54 ID:MMq0bu8b.net
- 何かおかしい、何となくそんな気がした。
ＴＶに映る試合は俺とは全く縁もゆかりもない県同士の戦いだが、負けてる方をなんとな～く応援している気分でいると、これまたなんとなくそろそろハルヒが騒ぎ出すような気がした。
- 511 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 07:33:01.17 ID:bL5lP9LW.net
- >>488
等号成立条件だけ。
最小値： {a,b,c} = {-1,0,1}
最大値： {a,b,c} = {1,1,1} {1,1,2/3}
- 512 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 21:41:55.44 ID:oug42vb/.net
- うむ
- 513 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 22:27:51.50 ID:5JiWovoE.net
- うむ、エレガントな証明を見せてもらおうか。
- 514 ：１３２人目の素数さん：2020/09/21(月) 22:00:12.84 ID:uwUcrYFn.net
- >>488、>>511
等号成立条件は、たぶんこうぢゃなゐかな？ ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
(a,b,c,d) = (t, kt, (1+ 1/k)t, k(k+1)t), ただし k, t > 0 とする。
- 515 ：１３２人目の素数さん：2020/09/22(火) 13:24:21.97 ID:7+NxYT1p.net
- >>514
間違った。 >>513 は >>508 の等号成立条件。
- 516 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 14:21:02.58 ID:qMQmLmqf.net
- ｘが0以上のとき 5x^3-3x+1>0
微分法で簡単に示せるですが
不等式エキスパートの人なら巧みな多項式変形とかで示せるですか？
- 517 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:07:53.46 ID:63e1O9oo.net
- x√5 = X とおけば
5x^3 - 3x + 1 > 5x^3 - 3x + (2/√5)
= (X^3 - 3X + 2) /√5
= (X+2)(X-1)^2 /√5
≧ 0,
ただし、x=1/√5 で極小になることを
微分などの方法で知る必要がある…
- 518 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 21:14:37.25 ID:yFt7+l2/.net
- 相加相乗平均だけで示せないかな
- 519 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:26:05.40 ID:UPCkCEIn.net
- a≧b≧c≧d＞0 かつ a+b+c+d=1 のとき、
(a+2b+3c+4d)(a^a)(b^b)(c^c)(d^d) ≦ 1.
- 520 ：１３２人目の素数さん：2020/09/23(水) 22:35:07.36 ID:qMQmLmqf.net
- x=0のときは明らかなのでx>0として 5x^2 + 1/x > 3 を言えばよいが
相加相乗で左辺≧3*(5/4)^(1/3) >3 。
式変形だけで、例えば
x^16 - x + 1 = (x^8-1/2)^2+(x^4-1/2)^2+(x^2-1/2)^2+(x-1/2)^2
みたいな感じの巧みな変形でいけないものでしょうか。
- 521 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:06:27.00 ID:qc+lGULo.net
- >>518
X^3 + 1 + 1 ≧ 3X,
は 相加相乗平均(AM-GM) と思ってもいいし、
コーシー
(X^3 + 1 + 1)(1 + X^3 + 1)(1 + 1 + X^3)
≧ (X + X + X)^3
= (3X)^3,
の3乗根と思ってもいい。
- 522 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 10:21:36.43 ID:3a+g1aMq.net
- >>520-521
abc3数の相加相乗平均は、
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ba)
= (a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
と変形できるので、a=X・b=1・c=1を代入して……って>>517と同じ式変形やないかーい笑
y=f(x) とした関数は非負だと x=1/√5 で極小値かつ最小値をとる。
極小値だけ移動した g(x)=f(x)-極小値 を考える→
x軸に接する
→(x-1/√5)^2 または (X-1)^2を因数にもつ
という考えと同じ。
- 523 ：１３２人目の素数さん：2020/09/24(木) 22:14:11.72 ID:shPxNCvG.net
- >>522
少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
- 524 ：：2020/09/25(金) 01:49:19.72 ID:a6NySAb6.net
- >>523
> 少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか？
なんと出来るらしい。
https://mathoverflow.net/questions/279969/wanted-positivity-certificate-for-the-am-gm-inequality-in-low-dimension
AMとGMの差は非負多項式で表すことが可能 https://gyazo.com/0e13cfb59b28c529dd5adbfed354bd16
具体的な恒等式（5次） https://gyazo.com/58b89593fc30a48f70ab35cee68d31e5
具体的な恒等式（2次・3次・4次）https://gyazo.com/4726111c57e1863fca1b9fcd64678b23
アドルフ・フルヴィッツによる1891年の論文
Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-4160-3_35
nが奇数の場合を示したらしい: 藤原和将・小澤徹（応用物理）による2014年の論文 Fujiwara, Kazumasa, and Tohru Ozawa. Identities for the Difference between the Arithmetic and Geometric Means, (2014).
http://m-hikari.com/ijma/ijma-2014/ijma-29-32-2014/ozawaIJMA29-32-2014.pdf
nが偶数の場合を示しているらしい: ハーディ・リトルウッド・ポリア『不等式』第2章
なおこの問題は、ヒルベルトの第17問題（いつも正の有理式は平方和で表せる)の特殊な場合でもある。
最初に見付けたのページは医師でアマチュア数学者の佐藤郁郎によるコラムだったが、いかんせん読みにくく参考までに。（NGなのでURL貼らない）
因数分解の算法（その１１）
因数分解の算法（その１４）
因数分解の算法（その１８）
- 525 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 02:15:38.40 ID:Bm3x9keW.net
- >>524
めっちゃ詳しくありがとうございます！
まさか本当に出来るとは驚きです
第17問題のwikiを読んだ感じでは非負な斉次多項式に対して一般にこういうことは出来ないようですね
この不可能性はモデル理論的な話があるようでこれも面白そうです
- 526 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 06:52:57.18 ID:kUKUaPs5.net
- >>524
ｳﾎｯ！興奮してきた…
- 527 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 13:45:47.22 ID:C/C9yJEj.net
- (x_1)^n, ･････, (x_n)^n の相加平均をA, 相乗平均をG,
⊿_n = n(A^n - G^n) = Σ x^n - nΠ x,
とおく。
⊿_2(a,b) = aa +bb -2ab = (a-b)^2,
⊿_3(a,b,c) = a^3 +b^3 +c^3 - 3abc
= (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,
⊿_4(a,b,c,d) = a^4 +b^4 +c^4 +d^4 - 4abcd
= (aa-bb)^2 + (cc-dd)^2 + 2(ab-cd)^2
= (aa-cc)^2 + (bb-dd)^2 + 2(ac-bd)^2
= (aa-dd)^2 + (bb-cc)^2 + 2(ad-bc)^2,
⊿_5(a,b,c,d,e)
= a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 -5abcde
= (a-b)(a^4 -b^4)/4 + (a-c)(a^4 -c^4)/4 +
･････ + (d-e)(d^4 -e^4)/4
+ a⊿_4(b,c,d,e)/4
+ b⊿_4(c,d,e,a)/4
+ c⊿_4(d,e,a,b)/4
+ d⊿_4(e,a,b,c)/4
+ e⊿_4(a,b,c,d)/4,
* (x-y)(x^4-y^4) = (x+y)(xx+yy)(x-y)^2 ≧ 0,
- 528 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:14:27.50 ID:lnmePYpg.net
- >>527
なるほど、5次の場合は
1/4(x+y)(x^2+y^2)(x-y)^2
=1/6(x^3+y^3)(x-y)^2+1/12(x+y)(x^2-y^2)^2
を利用すると>>524の藤原小澤の表示と一致するのか
藤原小澤の論文は流し読みしたけどテクすぎて全然わからん
表示の仕方の自由度高そうだし何か行列式的な表示とか対称式の空間上の作用素みたいなのを見つけて綺麗に示せないもんかね
>>525
訂正
てっきり不可能性がモデル理論的に分かると思っていたけど今日モデル理論の本借りて見てみたら肯定的な証明が書かれていた
17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
- 529 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 22:49:49.44 ID:yIQAC3t7.net
- 元の十七問題はΣ多項式^2でかけるか？でそれは誰かの反例が出た
後に実閉体まで話広げるとΣ実閉包の元^2でかける事が証明された(Artin)
永田先生の可換体論の5章に証明がある
- 530 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:07:14.49 ID:lnmePYpg.net
- 自分の読んでる「幾何学的モデル理論入門」(最近、改訂版が出たばかりらしい)に実閉体の第17問題が肯定的に解けることを利用して有理数体の場合も証明できるかのように書いてるように見えるんです…
- 531 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:15:05.52 ID:yIQAC3t7.net
- >>624
どんなステートメントが書いてあるんですか？
- 532 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:32:33.79 ID:lnmePYpg.net
- こんな感じです
微妙な言い回しなんでもしかしたら肯定的に言ってるわけではないかも…
https://dotup.org/uploda/dotup.org2265448.jpg
- 533 ：：2020/09/26(土) 23:44:50.71 ID:lzfEoiqI.net
- >>528
> 17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
一部が肯定的に解決された（部分的に可能）
https://i.imgur.com/Jit5Abl.jpg
- 534 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:49:36.06 ID:yIQAC3t7.net
- >>532
thx
確か上がってる反例はΣ整式^2では表せない例でΣ有理式^2では表せるんだったかな？
Artinの定理の正確なステートメント覚えてない(かつ永田先生の本が現在部屋のどこにあるかわからん)のでわかんないけどΣ有理式^2で表すのは有理係数でもいけるのかもしれない
任意の実閉包の中で0以上 →Σ有理式^2で表示できる
だったかも
確か右が言えてない場合に標数0の加法的付値体て0未満になる構造が存在する事示してそれを上手いこと微調整して通常のRの中で0以下に出来る事を示すんだったような
- 535 ：１３２人目の素数さん：2020/09/26(土) 23:56:47.06 ID:lnmePYpg.net
- あー、有理式なら肯定的という可能性があるんですね
ありがとうございます
- 536 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:37:31.86 ID:KH9c7ePZ.net
- 3次のAM-GM差の有理式の平方和表現はどうなるんだろう
- 537 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 00:49:47.04 ID:KH9c7ePZ.net
- あ、全ての有理数に対して非負な多項式で考えるから奇数次の場合は全ての変数を平方にしておかないといけなくて藤原小澤の結果の変数を平方にするだけか
- 538 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:09:34.88 ID:KH9c7ePZ.net
- いや、そうなってくると藤原小澤も必要なくて古典的なフルヴィッツの形で示せてるのか
無知すぎてスマン
- 539 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:15:18.97 ID:T1BBTchP.net
- 有理式使っていいならAM-GMは簡単でしょ？
いわゆる2冪でやっといて減らす作戦でいける
- 540 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:36:59.49 ID:N42SrDUa.net
- >>527
⊿_n(a_1, a_2, ････, a_n)
= (a_1)^2 + (a_2)^n + ････ + (a_n)^n - n(a_1)(a_2)････(a_n)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i (Σ[j≠i] (a_j)^{n-1} - (n-1)Π[j≠i] a_j) /(n-1)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i ⊿_{n-1}(i以外) /(n-1),
- 541 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:42:24.65 ID:hueUvkJf.net
- ある人の作った問題
https://i.imgur.com/HLrsj0N.jpg
- 542 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 15:07:23.11 ID:Upg5ciqK.net
- ある人って誰かね？
- 543 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 22:25:26.77 ID:KH9c7ePZ.net
- >>541
n=2のときが本質で、他は帰納法でしょうか
- 544 ：１３２人目の素数さん：2020/09/28(月) 01:14:12.03 ID:VdFe70Zi.net
- >>541
数列 {a_n}n∈N と {b_n}n∈N が |a_n|≦1, |b_n|≦1 (∀n∈N) を満たす時、
次を示せ。
| Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k | ≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j| (∀n∈N)
(略証)
Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k
= Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] a_i) (a_j - b_j) (Π[k=j+1,n] b_k),
三角不等式により
(左辺) ≦ Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] |a_i|) |a_j - b_j| (Π[k=j+1,n] |b_k|)
≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j|
= (右辺),
- 545 ：１３２人目の素数さん：2020/10/06(火) 20:34:14.40 ID:CqXEEU8P.net
- 〔問題944〕
a,b,c は相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1 を満たす。
f(x,y) = log(y/x) / (1/x - 1/y),
に対して、
f(a,b) + f(b,c) + f(c,a) ≦ 1/3
を示せ。
高校数学の質問スレPart407 - 944
- 546 ：１３２人目の素数さん：2020/10/12(月) 12:43:43.49 ID:xle55bMk.net
- IMO2020ロシア大会第2問に不等式問題
https://i.imgur.com/5THoJvk.png
- 547 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 14:51:16.00 ID:Aceyovpj.net
- >>545
0<x,y, x≠y のとき
f(x,y) = log(y/x)/(1/x - 1/y)
= log(y/x)/(√(y/x) - √(x/y))
= 2t/(e^t - e^{-t})・√(xy)
= t/sinh(t)・√(xy)
≦ √(xy),
等号成立は x=y のとき。
(左辺) = f(a,b) + f(b,c) + f(c,a)
≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
≦ (1/3)(a+b+c + 2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ca))
= (1/3)(√a + √b + √c)^2,
等号成立は a=b=c のとき。
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