ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

563 ：１３２人目の素数さん：2024/05/26(日) 10:38:47.37 ID:CR0+n9/x.net

>>546
>方程式の群というのは元々純粋な置換群ではない。
>なぜなら、根から作られる有理式というものを
>考えなければ議論が進まず、その場合、群の作用は
>どうなるのかを考える必要がある。
>昔の数学者はあまり意識せずにうまくやっているが
>理論のconsistencyが問題になる場面というのは
>当然あるわけ。それでガロア理論も現在の形に
>なってきたのだと思う。

まあ、なんかグダグダですね
１）もともとは、(2次) 3次、4次方程式までは、根の置換とかは意識せずに
　式変形だけで解いてきた（下記 Galois theory Pre-history ご参照）
２）ところが、5次方程式で行き詰まる
　そこで、Lagrangeが「3次、4次方程式でうまく行った原理を追求して、それを使って5次方程式を解こう」とした
　それが、”the 1770 paper Réflexions sur la résolution algébrique des équations”です
　Lagrange分解式が、ここから始っているのです。もちろん、群も群論もなし。ただ、根の置換があったのです！
３）そして、5次方程式が冪根で可解でないことが、”Abel–Ruffini theorem”が判明
　ガロアはそれを受けて、「5次以上の方程式でも冪根で可解なものがある」とガロア理論を作った
　その背景には、レムニスケート曲線の等分問題があったという
　群という言葉と漠然とした概念はあったが、”群”の定義は無かったのです

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois theory
History
See also: Abstract algebra § Early group theory

Pre-history
This was first formalized by the 16th-century French mathematician François Viète, in Viète's formulas, for the case of positive real roots.
The cubic was first partly solved by the 15–16th-century Italian mathematician Scipione del Ferro, who did not however publish his results; this method, though, only solved one type of cubic equation.

A further step was the 1770 paper Réflexions sur la résolution algébrique des équations by the French-Italian mathematician Joseph Louis Lagrange, in his method of Lagrange resolvents, where he analyzed Cardano's and Ferrari's solution of cubics and quartics by considering them in terms of permutations of the roots, which yielded an auxiliary polynomial of lower degree, providing a unified understanding of the solutions and laying the groundwork for group theory and Galois' theory. Crucially, however, he did not consider composition of permutations.

The quintic was almost proven to have no general solutions by radicals by Paolo Ruffini in 1799, whose key insight was to use permutation groups, not just a single permutation. His solution contained a gap, which Cauchy considered minor, though this was not patched until the work of the Norwegian mathematician Niels Henrik Abel, who published a proof in 1824, thus establishing the Abel–Ruffini theorem.