ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

532 ：１３２人目の素数さん：2024/05/25(土) 23:15:09.39 ID:w3r+RfL1.net

ラグランジュ分解式に戻る

そもそも>>414
(引用開始)
>4次のラグランジュ分解式は存在するか否か？
>Yes or No でお願いします。
ありがと
良い質問ですね by 池上彰ｗ
・回答：yes
・補足 （簡単に、係数を有理数体Qとして複素数体C内での体の拡大を考える）
１）ラグランジュ分解式の定義：n次代数方程式の根 a1,a2・・anに対し
　1のn乗根ωを使って、形式的なラグランジュ分解式
　a1ω+a2ω^2+・・+anω^n ここにω^n＝1 ができる
（普通は、ωを原始根（存在すれば）にとる）
２）いま問題の4次では X^4-1=0を考えて X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)と因数分解できて
　その根は、1,-1,i,-i の４つ
　よく見ると、X^4=1の根による体の拡大は、二次式X^2+1＝0による拡大でしかないのです（＾＾；
　4次のラグランジュ分解式は、形式的には存在するのですが、ほとんど役に立たないってこと
３）なお、別の例で素数p次の方程式に対して、X^p-1=0 から得られる1のp乗根は
　下記にある巡回クンマー拡大で活躍するのです
　つまり、ラグランジュ分解式の意義は、巡回クンマー拡大で必要となる1のp乗根を先取りしているってことですね
（よくある３次方程式のラグランジュ分解式による解法説明は、これです）
(引用終り)
だった

さて、4次のラグランジュ分解式に関し、4次方程式の解法を考えてみよう
下記の仏wikipedia、英wikipedia、日wikipediaの３つとも
ラグランジュ分解式は、解の公式には使われていない
日wikipediaでは、ラグランジュの分解式 u=r0+ir1-r2-ir3も調べたとあるので役に立たないわけではない
（解の公式としては、きれいに纏まらない？）

(参考)
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quartique
Équation quartique
（google訳）
4次方程式は、 3次方程式を解く方法が知られるとすぐに解けました。フェラーリ法、デカルト法が次々と開発されました。
以下で説明するラグランジュ法は、n次の多項式のn個の根から構築される対称多項式の特性に基づいています。
Méthode de Lagrange

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation
Quartic equation
Ferrari's solution
Galois theory and factorization
The symmetric group S4 on four elements has the Klein four-group as a normal subgroup. This suggests using a resolvent whose roots may be variously described as a discrete Fourier transform or a Hadamard matrix transform of the roots.

つづく