ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

445 ：１３２人目の素数さん：2024/05/22(水) 10:54:52.23 ID:xNwHU3Ng.net

なんか、”不勉強と誤解の複雑骨折”ですね ；ｐ）
下記を再録しますね

（再録）
>>438
>デタラメ。ま〜た不理解の複雑骨折してますね。
>先に書いたように、適切に定義を行えば
>ラグランジュ分解式=べき根 になるのだから、べき根解法に
>おけるラグランジュ分解式の意義は言わずもなが。
>1のn乗根はラグランジュ分解式を構成するために必要
>なんですよ。基礎体に含まれてなければ、他所から取ってきて
>新たに添加するの。
>基礎体に1のn乗根が含まれているn次巡回拡大を
>「クンマー拡大」と呼ぶ。

これはこれは、箱入り無数目のもう一人（おサルさん>>9のお友達ですね）
やれやれ
勝手に”不理解の複雑骨折”とか言われてもねｗ

１）例えば、石井のガロア本「頂を踏む」第6章の最後のまとめにもありますが
　基礎体Kが、適切に1のn乗根を含んでいると仮定する
　このとき、「クンマー拡大」が説明がつきます
２）1のn乗根をべき根で表すことができることは、ガウスが証明しているので
　ガロア理論で方程式の可解性を論じるには
　”基礎体Kが、適切に1のn乗根を含んでいる”という仮定をおくことで
　方程式の可解性の説明がすっきりするのです
まあ、どのガロア理論の本でもそうですよ
(引用終り)

さて、上記につき 下記一例をご紹介
大阿久 俊則先生 ガロア理論入門
12 方程式のべき根による可解性
定理12.1 で、
基礎体として”Kをすべての1のべき乗根を含むようなCの部分体”とおいています
1のべき乗根については、先に ”8 1のn乗根”で論じています

繰り返しますが、”不勉強と誤解の複雑骨折”ですね
ふつう、いまどきの ガロア理論での扱いは、これですよ

(参考)
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/index_jp.html
大阿久 俊則 (おおあく としのり)
東京女子大学名誉教授（元数理科学科教授）
https://www.lab.twcu.ac.jp/~oaku/galois.pdf
ガロア理論入門（体と群と方程式）大阿久俊則
目次
8 1のn乗根
9 2項方程式と巡回拡大
10 3次方程式のガロア群と根の公式
11 可解群
12 方程式のべき根による可解性

P45
12 方程式のべき根による可解性

定義12.1
KをCの部分体とする．f(x)∈K[x]に対して方程式f(x)=0が K上でべき根によって解ける またはK上可解であるとは，
f(x)=0のすべての根がKの元から出発して，べき乗根（2項方程式の根）と1のべき乗根および四則演算を組み合わせて表示できることと定義する．
ただし表示とは理論的な意味であり，具体的な表示を求めることができるかどうかは問わない．

定理12.1
Kをすべての1のべき乗根を含むようなCの部分体，f(x)∈K[x]を2次以上の多項式とする．
このとき，方程式f(x)=0がK上べき根によって解けるための必要十分条件はf(x)のK上の分解体Lのガロア群Gal(L/K)が可解群となることである．
証明
略