ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

414 ：１３２人目の素数さん：2024/05/21(火) 11:35:56.58 ID:lIT9+VVv.net

>>406
>4次のラグランジュ分解式は存在するか否か？
>Yes or No でお願いします。

ありがと
良い質問ですね by 池上彰ｗ

・回答：yes
・補足 （簡単に、係数を有理数体Qとして複素数体C内での体の拡大を考える）
１）ラグランジュ分解式の定義：n次代数方程式の根 a1,a2・・anに対し
　1のn乗根ωを使って、形式的なラグランジュ分解式
　a1ω+a2ω^2+・・+anω^n ここにω^n＝1 ができる
（普通は、ωを原始根（存在すれば）にとる）
２）いま問題の4次では X^4-1=0を考えて X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)と因数分解できて
　その根は、1,-1,i,-i の４つ
　よく見ると、X^4=1の根による体の拡大は、二次式X^2+1＝0による拡大でしかないのです（＾＾；
　4次のラグランジュ分解式は、形式的には存在するのですが、ほとんど役に立たないってこと
３）なお、別の例で素数p次の方程式に対して、X^p-1=0 から得られる1のp乗根は
　下記にある巡回クンマー拡大で活躍するのです
　つまり、ラグランジュ分解式の意義は、巡回クンマー拡大で必要となる1のp乗根を先取りしているってことですね
（よくある３次方程式のラグランジュ分解式による解法説明は、これです）

https://enakai00.はてな.com/entry/2015/11/13/143302
めもめも
2015-11-13
ガロア理論のメモ（その６）：べき根拡大と可解群

補題6.2
――――――――――
多項式 f(X)=X^n−1∈F[X] の分解体を E とする時、E=F(ω) となる ω∈E が存在して、Aut(F(ω)/F) はアーベル群 G の部分群に同型となる。

定理6.1
――――――――――
多項式 f(X)=X^n−a∈F[X] の分解体を E とする時、Aut(E/F) は可解群となる。このような拡大をべき根拡大とよぶ。
また、αn=a を満たす α∈E を用いて、E=F(α,ω) が成立する。ここに、ω は1の原始 n 乗根であり、{α,αω,αω^2,⋯,αω^n−1}⊂E が f(X) の相違なる n 個の根となる。

（証明）
補題6.2の ω∈E を用いて、体の拡大の列 E⊃F(ω)⊃F を構成した上で、次の自己同型群の列が可解群の条件を満たすことを証明する。

注）f(X)=X^n−a の既約性を要求しておくべきだが、デフォルトとしているのかな

https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/
中野　伸（教授） 学習院
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture2022.html
2022年度
代数II
講義ノート（ラフ）
代数? 2022年度版（全体）
各節のページは以下のリンクから…
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2022/13kummer.pdf
§13. クンマー拡大
以下において扱う体はすべてC の部分体とする．また，自然数nに対して，ζn ∈ C を1の原始n乗根とする．すなわち，ζn∈C× であって，その位数がnであるとする（ζn=e^2πi/n であるとしてよい）．

つづく