ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

385 ：１３２人目の素数さん：2024/05/20(月) 11:37:33.73 ID:EtUxmvMT.net

>>380
>>Cox ガロワ理論 下 を見ると
>>9.1 ガウスと1のべき根 の節で ガウスDAを扱っている
>>Coxの同「歴史ノート」に、DAとの違いは
>>”我々はガロワ対応を用いて物事を述べている点である”
>>と記されている
>>これで、良いんじゃね？
>「ラグランジュの分解式」
>という鍵をどこの穴に指して回すか分かってないだろ

・分かってないね。ガロアは、ラグランジュの分解式を一般化した ”ガロア分解式”を考えた
　下記[補題2]の”重根を持たない方程式の根をa,b,c,…とすると､根の置換によりV=Aa+Bb+Cc⋯の様な根の有理式Vを作る事が出来る”は､仮にV=a+2b+3c…とすれば､あらゆる根の置換でVの値が変わるのは明白である”
　これが、 ”ガロア分解式”だ。V=Aa+Bb+Cc⋯ は、根 a,b,c,…がベクトルで A,B,C・・・がその係数に見えないか？
　これが、アルティンの視点で ガロア拡大を線形代数としてとらえるのです
・この視点では、ラグランジュの分解式は ”ガロア分解式”の一つの特殊形でしかない
　勿論、円周等分方程式論ではラグランジュの分解式が分かりやすいことは事実だが
　”ガロア分解式” vs ラグランジュの分解式 という対比を忘れてはいけません。そうしないと、ガロア理論が分からなくなるよ

(参考)
https://blog.goo.ne.jp/lemonwater2017/e/aa772b589f1a5c3b1bb27894d00e0f3c
象が転んだ
ガロアの最終論文(#3)〜ガロア群を作る(第1節)
2024年03月20日 16時47分15秒 | エヴァリスト･ガロア

　[補題1]は”有理多項式と既約多項式が共通根を持てば､有理多項式は既約多項式で割り切れる”は､多項式を整数に置き換えれば明らかである。[補題2]の”重根を持たない方程式の根をa,b,c,…とすると､根の置換によりV=Aa+Bb+Cc⋯の様な根の有理式Vを作る事が出来る”は､仮にV=a+2b+3c…とすれば､あらゆる根の置換でVの値が変わるのは明白である。
　”弱い単拡大定理”とされる[補題3]は”式Vを[補2]の条件に合う様に作れば､与えられた方程式の全ての根はVの有理式で表せる”というものだが､実際､V=φ(a,b,c,…)とすれば､この式は､b,c,d…についての対称式であり､結果､F(V,a)=0を得る。ガロアはラグランジュの手法ではなく､F(V,b)=0と仮定し､φ(a,…)=φ(b,…)と導き､重根の仮定に反するとの背理法で証明した。つまり､”根aはVの有理式で表せる”とガロアは主張したが､厳密には”根aは多項式で表される”が正解である。

Vの最小多項式g(x)こそが”ガロア分解式”となり､この式に(に=0をつけた)”ガロア(分解)方程式”は全ての根が任意の根の多項式で表され､元の方程式の根もガロア方程式の任意の根の多項式で表される。
　故に､元の方程式f(x)の係数体をK､Vの共役(係数の入替え)をV₁,V₂,…とすると､K(a,b,c,…)=K(V)=K(V₁)=K(V₂)=⋯となり､ガロア方程式がべき根で解ける事と元の方程式がべき根で解ける事は同値となる。

　そこで､f(x)=0は係数体K上では既約だが､Kにa,b,c,…を添加した体K(a,b,c,…)では可約となり､1次式にまで分解される。この時､K(a,b,c,…)を”ガロア分解体”と呼んだ。

つづく