ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

365 ：１３２人目の素数さん：2024/05/19(日) 23:19:06.33 ID:rfw4WfSo.net

>>358
>さて、”１のｎ乗根を冪根で表す話”と
>「三次方程式 還元不能」の関係については私は知らないが、
>君が苦し紛れに口からでまかせでいっただけで
>どういう論理的関係があるか君は全然分かってないね
>だって、引用を見てもそれに関する記述ないから
>検索したけど見つからなかったんでしょ？

１）デフォルト（既定値＝常識）は、特に断らないんだよね ；ｐ）
２）下記に、 ”「還元不能の場合 *1」 ガロア理論により不可能であることが証明されている. *1:“Casus Irreducibilis” の訳. 実累乗根で解くことが不可能である証明は, たとえば, ファン・デル・ヴェルデン (銀林浩訳)「現代代数学 2」p.235 参照”とあるよ（常識です）
　（多分、Coxのガロア理論にもあったと思う。なお、ファン・デル・ヴェルデン (銀林浩訳)「現代代数学 2」が入手困難みたい（1のみの販売）。大学の数学科図書館ならありそう）
３）”１のｎ乗根を冪根で表す話”と「三次方程式 還元不能」は、下記 長田直樹を見よ（ほとんど常識です）

(参考)
ｗｗｗ.port-k.com/entry/2021/10/24/092621
ノリの悪い日記
2021-10-24
陥没地帯 (262)
高校数学
2002 年大阪教育大学の問題. 最近の記事のちょっとした練習問題. 直前の記事の最後の方につけたのは, 基本的にはカルダノの解法であるが最後は三角関数で解を表している.
カルダノ解法のような有限回の純粋な代数手続きにおいて, 3 次方程式が有理数で既約で, すべて相異なる実数解をもつ場合は (つまり, すべて有理数でない 3 つの相異なる実数解をもつときは), 虚数 3 乗根の和の形でしか解がえられないことが知られており,「還元不能の場合 *1」と呼ばれている.
「還元不能の場合」を実のべき根だけで解こうとすることは, 久しく数学者の頭を悩ませた歴史的不可能問題のひとつであり, ガロア理論により不可能であることが証明されている.
2009 年の東北大, 2011 年の上智大, 2017 年の和歌山大にもこの問題と同様の出題があった. 2000 年の信州大の問題では, 3 つとも有理数解の場合は「還元不能の場合」とはならないことを背景にもつ問題が出題されている. この問題, 最後にオチがあるのがよい.

*1:“Casus Irreducibilis” の訳. 実累乗根で解くことが不可能である証明は, たとえば, ファン・デル・ヴェルデン (銀林浩訳)「現代代数学 2」p.235 参照.

//repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/284812/1/B92-01.pdf
RIMSKˆokyˆurokuBessatsu B92(2023),1–24
3次方程式の還元不能な場合 Cubic equations in the casus irreducibilis
長田直樹 東京女子大学
§10.おわりに
ド・モアブルにより虚数の項式の立方根抽出の問題は解決された。
オイラーは、ド・モアブルの定理を用いて任意の複素数の乗根を極形式で表した。
これは、ド・モアブルによる虚数の項式の立方根抽出法を一般化したもので、今日複素数の乗根を求める際に用いられるものである。