ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

25 ：１３２人目の素数さん：2024/05/13(月) 20:42:44.92 ID:YJmu02Uw.net

前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/995
より訂正版投稿

(引用開始)
整数環Ｚ上の行列環を考える
行列
(1　0）
(0　2）
の整数環Ｚ上の行列環での逆行列は？　ないよね？
で、これって零因子行列？　違うよね？
(引用終り)

・なるほど、なかなかいいツッコミだね
・その話は、下記の松本眞 広大
　”命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）”だね
　つまり、R＝Zとすると、Rx＝{1}つまり 整数環Z中には、±1以外は逆元を持たないのです
　したがって、detA∈Rx となるときは、常にdetA＝±１つまり、行列式が±１ってことだね
・上記例示の行列（これ(1　0)と(0　2）とからなる行列（2行にわたるので1行におさめた））は、detA＝2で零因子ではないが（有理数体Qでは逆がある）
　逆行列も持たないね

まあ、下記の松本眞 広大 命題1.4.1. の通りってことで、謹んで訂正しますです、はい
ありがとね

(参考)>>972より再録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II：環と加群(注：5/28版：38ページ以降大幅書き直し予定)松本　眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論　19

P4
1.1 環上の加群
1.1.1 環、単位環、整域、体
環(R,+,0,x)とは、(R,+,0)が加法群であって、(R,x)が半群であり、左分配法則(a+b)xc=axc+bxc
と右分配法則cx(a+b)=cxa+cxbを満たすもの。
axbをしばしばa・bまたはabと書く。可換環とは、積が可換な環のこと。そうでないものを非可換環という。
単位環(R,+,0,x,1)とは、環であって、(R,x,1)がモノイドであるもの。

P19
1.4単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でnxmの成分の行列の集合をあらわす。
成分ごとの和とスカラー倍により、ランクnmの自由加群Rとなる。
n=mのとき、Mn,m(R)をMn(R)で表す。積が入り、単位環となる。
その積に関する（モノイドの）可逆元の集合Mn(R)xは群をなす。
これをGLn(R)で表す。
A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。

命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群）。
証明. A˜をAの余因子行列とする。線形代数でならったようにAA˜=det(A)・En=AA˜である。
従って、det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
逆に、Aが可逆ならばAB=Enのdeterminantをとってdet(A)det(B)=1、すなわちdet(A)∈Rx。
(引用終り)