ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

137 ：１３２人目の素数さん：2024/05/15(水) 16:10:41.26 ID:fRIY8WnR.net

これいいね

https://www.met-sp.jp/proof-that-a-nonregular-matrix-is-a-zero-or-a-zero-factor/
数理経済学的特別計画
非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明
2023年11月24日

この記事では、非正則な正方行列が零行列または零因子であることを証明します。まず、いくつかの基本的な定義を整理し、その後で証明に進みます。

目次
1.非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明
1-1.証明
1-2.具体例
1-3.あわせて読みたい記事

定義を整理していきましょう。
Aをn 次正方行列とします。

n次正方行列
について、その行列式が非ゼロである場合、すなわち
det(A)≠0である場合、
Aを正則行列といいます。

一方で、行列式がゼロである場合、
det(A)＝0、
は非正則行列と言われます。

零行列というのは、全成分が
0 である行列のことです。

(左)零因子というのは、零行列ではないが、
B≠0 で
AB＝0 を満たすものが存在する行列です。つまり、
0 でないし、
0 でない行列とかけたのに、
0になることがあるような行列です。

(補足1)：0 を零因子に含める場合もありますが、今回は0と零因子を区別することにします。
(補足2)：行列全体は可換でないので、左零因子と右零因子は区別されます。従って両側零因子であることを示すには、右零因子であることを示す必要がありますが、転置行列が左零因子であることを示せばよいので、正方行列が左零因子であることが示せれば、自動的に右零因子にもなるので、結果的に自動的に両側零因子になります。

証明(非正則な正方行列が零行列または零因子であること)
A の固有値をλ1,λ2,・・・,λn とします。
Aは非正則行列ですので、det(A)＝0です。
det(A)＝λ1λ2・・・λn
ですので、
λ1λ2・・・λn＝0
が成り立ちます。
したがって少なくとも一つの固有値
λiが0でなければなりません。

0を固有値として持つので、対応する固有ベクトルvを（v≠0)とします。
次に、vとn-1個のベクトルを並べて、
nxn行列
(v,0,・・・,0)
を考えます。

v が固有値0 に対応する固有ベクトルであることから、
A と (v,0,・・・,0) の積は
A(v,0,・・・,0) ＝0
となります。

このことは、A が零行列であるか、(左)零因子であることを意味します。
以上により証明を終了します。

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つづく