ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

113 ：１３２人目の素数さん：2024/05/15(水) 11:18:09.13 ID:fRIY8WnR.net

>>104
ども、103です

>正則行列は非零因子ですよ？
>正則行列Aが零因子と仮定
>ある零でないBが存在してAB=0
>0=(A^(-1))0=(A^(-1))(AB)=((A^(-1))A)B=B だから矛盾　よってAは非零因子

この話は、私が以前に零因子を書いたときに、典拠つきで示しています！ｗ ；ｐ）
なお 試験答案としてみたとき
記述があらい

例えば
・行列Aを、nxnの正則行列とする（nは2以上の自然数）（注：下記のような 無限次元を除く）
　正則行列の定義より、Aの逆行列Bが存在し、AB=BA=Iが成り立つ(ここにIは単位行列)
　BをA^-1と書く
・いま、Aが零因子とする。仮に、右零因子X（X≠0）が存在して、AX＝0が成り立ったとする
　左辺にA^-1を左からかけると A^-1AX＝X
　同様に右辺は A^-1 0＝0
　即ちX＝0となり、X≠0に反する
　左零因子X'（X'≠0）が存在するときも、同様である
・よって、行列Aが正則行列であり逆行列を持つとき、行列Aは零因子ではない

これくらい書いた方がいいな（スペースと時間配分によるが）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
環の零因子（英: zero divisor）とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
定義
環 Rの元 a は、 ax=0となる
x≠ 0 が存在するとき、すなわち
∃x∈ R∖{0}:ax=0
を満たすときに左零因子（ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor）と呼ばれる
左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである

https://tad311.xsrv.jp/hsmath/
大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』
https://tad311.xsrv.jp/hsmath/biseki/A%5Einv.pdf
n次正方行列Aについての定理「XA=I⇔AX=I」の初等的証明 1）
注）
1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列Aに対して，XA=I（Iは単位行列）を満たす行列Xが存在するとき，それはAX=Iを満たす．逆に，行列XがAX=Iを満たすとき，それはXA=Iも満たす．（そのような行列XをAの逆行列A−1という．逆行列は存在しない場合もある．XA=Iを満たす行列XをAの左逆行列，AX=Iを満たす行列XをAの右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない）．