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高校数学の質問スレ Part434
- 1 ：１３２人目の素数さん：2024/04/06(土) 13:00:48.28 ID:QDHCaaiE.net
- 【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part431
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1691291450/
高校数学の質問スレ Part430
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1689726231/
高校数学の質問スレ Part432
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1695900004/
高校数学の質問スレ Part433
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1709503076/
- 675 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 09:33:52.29 ID:o0a3kWmy.net
- >>671
とりあえずお前が来るとスレが荒れるから
消えてマジで
他に生き甲斐無いの？
- 676 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 09:50:32.74 ID:f/66fJc7.net
- a,b,cが0以上1以下の実数を動くとき
点(a+b+c,abc)の存在する領域を求めよ。という問題を教えてください。
(a+b,ab)なら、2次方程式の解の範囲を考えて解けたのですが。
- 677 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 10:04:04.25 ID:RTjy+j5k.net
- >>674
医者板でも長年発狂してる統失です
- 678 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 10:07:08.58 ID:yQo9uD3i.net
- >>671
どこに東大合格者()がいたんだよ？
まさか例のコテハン？いつ名乗ったんだよ、その根拠は？
どうせアンタがそう信じたいだけだろw
少なくともアンタみたいな日本語通じないアホが東大だなんだ言ってるのが本当に滑稽でw
- 679 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 11:00:48.33 ID:amlR4Bm9.net
- ∀p,q ∃t y = x^3 - px^2 -q = tx has three real roots
- 680 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 12:28:59.43 ID:uR7tkSNS.net
- 今日の積分発展問題
I_c = lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
I_s = lim[n→∞] ∫[0,n] xsin(nπx)/(1+x) dx
に対して、
I_cとI_sは等しいかどうか調べよ。
- 681 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 12:29:15.75 ID:a8YGSOSe.net
- 問題は >>676 のとおり。
a+b+c = s,
abc = u,
とおくと
0 ≦ u ≦ (s/3)^3, (0≦s≦2)
s−2 ≦ u ≦ (s/3)^3, (2≦s≦3)
- 682 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 13:19:41.15 ID:+M5vJLOr.net
- 2次方程式ｘ²-mx+12 = 0の1つの解が他の解の３倍であるとき、定数ｍを求めよ
- 683 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 13:35:17.84 ID:jSizIymp.net
- ゲームの話ですが
武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数の平均値はどうすれば計算できますか？
- 684 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 13:52:13.76 ID:a8YGSOSe.net
- 頂点A=Po のとき >>641, 643
(辺長) = 2y = 1.6376642611111 R
= 1.88721552972
S = (R-x)y = (√3)yy = 1.16131591827 RR
= 1.54221044212
頂点A が P3−P4 の中点のとき >>662
(辺長) = 2y = 1.6193729044 R = 1.86613689152
分母は sin(…) でした。ｽﾏｿ
S = (R･cos(π/7)＋x)y = (√3)yy = 1.13551891435 RR
= 1.5079524007
注) 辺長がｌの正7角形の場合
Ｒ = l/{2sin(π/7)} = 1.15238243548 l,
- 685 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 13:56:57.95 ID:amlR4Bm9.net
- n 回目にレベルkになる確率p[k,n]の漸化式を立ててp[10,k]を計算
Σ[k](1-p[10,k])
が答え
- 686 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 14:09:10.40 ID:a8YGSOSe.net
- >>682
他の解をaとおくと 一つの解は 3a,
(x-a)(x-3a) = xx -4ax + 3aa,
∴ 3aa = 12, a = ±2,
m = 4a = ±8,
- 687 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 14:22:13.09 ID:PmRsUfkf.net
- >>683
アイテムの価値を１、レベル0の価値をv[0]、レベル1の価値をv[1]、...、レベル10の価値をv[10]と仮定。
レベルkの武器に、アイテム1個を使ってレベルが上がる確率がpk、下がる確率がqk、
維持の確率が(1-pk-qk)だとすると、次の式が成立すると考えます。
v[k] + 1 = pk*v[k+1] + qk*v[k-1] + (1-pk-qk)*v[k]
価値v[k]の武器に、アイテム一個をつかうと、確率pkでレベルk+1の武器に、
確率qkでレベルk-1の武器に、確率(1-pk-qk)で変化無しという意味です。
k=0からk=9まで10個の式が作れ、変数はv[0]からv[10]まで11個あります。
この連立方程式を解いて、v[10]-v[0] の値が、レベル10の武器を作るまでに
必要なアイテムの数の平均値と考えられます。
- 688 ：イナ ：2024/04/29(月) 15:26:02.38 ID:XqbUyNt3.net
- 前>>661
>>666
正方形の面積は｛2sin(π/7)｝^2より大きく、
｛2cos(π/7)｝^2より小さい。
作図より1.3^2=1.69ぐらい。
ほとんど同じ面積になりそうな長方形は、
2sin(π/7)・2cos(π/14)=1.69202147163……
- 689 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 17:06:23.75 ID:jSizIymp.net
- >>685
>>687
ありがとうございます
理解に努めます
- 690 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 19:22:06.28 ID:a8YGSOSe.net
- 正方形の4頂点を
(x+y, y) (x-y, y) (x-y, -y) (x+y, -y)
とおく。
(x+y, y) が辺 P1-P2 上にある：
(R･sin(4π/7)-y)/(R･cos(4π/7)-x-y) = (y-R･sin(2π/7))/(x+y-R･cos(2π/7)),
∴ cos(3π/7)(x+y) + sin(3π/7)･y = R･cos(π/7),
(x-y, y) が辺 P2-P3 上にある：
(R･sin(6π/7)-y)/(R･cos(6π/7)-x+y) = (y-R･sin(4π/7))/(x-y-R･cos(4π/7)),
∴ cos(5π/7)(x-y) + sin(5π/7)･y = R･cos(π/7),
x を消去して y を求める。
y = R･[cos(π/7)+cos(2π/7)]/[cos(π/7)-cos(2π/7)+sin(2π/7)]
= 0.719552293661 R,
∴ S = (2y)^2 = 1.35852945988622
- 691 ：690：2024/04/29(月) 19:26:18.60 ID:a8YGSOSe.net
- ↑ S = (2y)^2 = 2.07102201325 RR,
- 692 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 20:43:17.87 ID:a8YGSOSe.net
- Rの円内にあるのに 2RRを超えるのは不合理。
∴ (x+y, y) は辺 Po-P1 上にある：
(R･sin(2π/7)-y)/(R･cos(2π/7)-x-y) = y/(x+y-R),
∴ cos(π/7)(x+y) + sin(π/7)･y = R･cos(π/7),
これと
cos(5π/7)(x-y) + sin(5π/7)･y = R･cos(π/7),
から xを消去して
y = 2cos(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)/{cos(π/7)+cos(3π/7)+sin(3π/7)}
= 0.65453593566 R,
辺長 = 2y =1.30907187132 R,
面積 S = (2y)^2 = 1.7136691642655 RR,
中心間の距離 x = 0.030256170633 R,
- 693 ：690：2024/04/30(火) 00:44:32.66 ID:ElCKljKY.net
- >>690
頂点 (x+y, y) は辺 P1-P2 上にある、と勘違いしてました。
それだと 頂点P1より右側になり、円外にハミ出してしまいますね。
>>666, >>668 の画像を見れば、
□の頂点が Po-P1 上に来ることは分かったはずですが…
>>688
かなり良い近似ですね。
- 694 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 07:24:35.36 ID:VcpWQbIP.net
- >>693
私の出題へのレスありがとうございます。
プログラムによる数値解
変数４つでもRでNelder-Meadは近似値を返してくるが、そのコードをWolframに移植すると期待外れ。
今月からWolframScriptが無料と教わって今月からWolframを始めた初心者なので正しく移植されていないのかもしれない。
変数を２つに減らしてRでコードしてみた。最初から７角形の１辺の長さ１で計算。
p[7]-A : p[1]-Aの長さの比を s : (1-s)
p[2]-B : p[3]-Bの長さの比を t : (1-t)
として
四角形の∠Bが直角となるように直線を引いてp[4],p[5]を通る直線の交点をC、
四角形の∠Cが直角となるように直線を引いてp[5],p[6]を通る直線の交点をD
とする。
作図過程
https://i.imgur.com/0yTF0EZ.gif
s=t=0.5で中点を選んだ場合
https://i.imgur.com/UDm9TvG.gif
四角形の辺の長さの差の二乗和と対角線の長さの差の二乗和の総和を返す関数を f として
fが最低値（正確には極小値をとるs,tをNelder-Mead法で求める。
その結果
https://i.imgur.com/lugs4Kf.gif
戻し値は
[1] 9.745713e-17
浮動小数点数での計算値なので０と考えてよいと思う。
その諸元
$A
[1] 0.5921734-8.616568e-17i
$B
[1] 1.53274+1.179433i
$C
[1] 0.3533069+2.119999i
$D
[1] -0.5872596+0.9405664i
$side
[1] 1.508551
- 695 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 07:35:04.41 ID:VcpWQbIP.net
- >>694
（補足）
図の通り、１辺の長さ１の正７角形での計算です。
出題では
計算しやすいので単位円に内接する正７角形にしましたが
最初は１辺の長さ１の正７角形で考えておりました。
A,Bの偏角を変数にするのなら単位円内接の方が楽ですが。
まあ、プログラムに数値計算させるので対して手間は変わりませんが。
本来はWolfram言語の学習に自分に課した課題だってのですが、
WolframでNelder-Meadはどうもうまくコードできません。
jupyter経由でのWolram言語でサクサクと作図できないので
R言語でプログラムに戻った。
Wolram言語使える方の解法のレスを期待します。
- 696 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 07:38:58.88 ID:VcpWQbIP.net
- >>694
（補足）
辺１の場合で面積とs,tの値。
s+t=1が必然なのならば、変数を１つ減らすことができるのだが。
東大合格者の御見解を希望します。
$area
[1] 2.275727
$ΔG
[1] 0.1761126
$s
[1] 0.5921734
$t
[1] 0.4078266
- 697 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 07:39:35.76 ID:rxxliZPS.net
- 出題云々のバカもスレチだしWolframの話題もスレチ
「高校数学」の「質問」スレだぞ
- 698 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 07:40:13.20 ID:rxxliZPS.net
- はい誘導
WolframAlphaを使いこなしてる人ってカッコイイ.....
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623024247/
- 699 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 08:07:24.42 ID:d+6cGHAc.net
- 高校生にバカにされるのがそんなに楽しいのか尿瓶ジジイw
- 700 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 08:47:53.56 ID:VcpWQbIP.net
- >>696
それを前提にして計算
変数が一つにできればNewton-Raphsonが使えるので
横軸にs,縦軸に(AB-BC)^2+(AB-CD)^2+(AB-DA)^2+(BC-CD)^2+(BC-DA)^2+(CD-DA)^2+(AC-BD)^2 をおいて
グラフ化
https://i.imgur.com/shLKq4D.png
最小値をとるsは１つだけのようなのでこれを
Newton-Raphson法（R言語ではuniroot関数)でもとめると
> opt=optimize(f,c(0,1),tol=1e-16) ; opt
$minimum
[1] 0.5921734
$objective
[1] 7.888609e-31
で 二変数でのNelder-Meadと同じ結果。
言語仕様や関数を検索しながらWolframに移植するのが次の課題。
- 701 ：676：2024/04/30(火) 08:54:59.51 ID:CMYzy4AG.net
- >>681 様。
grapesで点をプロットすると確かに仰せのようになりますようです。
ありがとうございます。
できましたら >>681 の結果がどのように導けるのか
教えて頂けますでしょうか。
<(_ _)>
- 702 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 08:56:55.22 ID:VcpWQbIP.net
- 俺の出題に取り組んでいる東大合格者と比べて
罵倒しかできないPhioseくんらの集団が東大合格者だと思う人は
その旨とその根拠を投稿してください。
- 703 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 09:00:51.60 ID:VcpWQbIP.net
- 医学部だと統計から入ってRを使う人が多い（シリツ医は除く）が、
Pythonを使うひとも多いだろうな。
Wolfram言語は分数とか厳密値を返してくれるのが魅力ではある、
Rだと円を描くにも自作関数が必要。直線の交点の座標とか角度算出とか自分で作らなくちゃならん。
一度つくると再利用できる。
Wolframには幾多の関数が用意されている。
- 704 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 09:02:57.98 ID:VcpWQbIP.net
- >>698
WolframAlphaだと入力文字数制限があったり、タイムアウトするから
WolframScriptが使えた方がいいね。
- 705 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 09:14:44.22 ID:VcpWQbIP.net
- >>683
レベル０からは下がらないという設定でいいですか？
即ち、
レベル０でアイテムを１つ使用すると確率１でレベル１に上がるということで
いいでしょうか？
- 706 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 09:33:53.50 ID:VcpWQbIP.net
- 具体的な問題は計算する意欲がわく。
具体的な問題なので具体的な数値の方が現実味が増すので
数値を設定して問題化。乱数発生させて確率を設定して具体化。
武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています。
その確率は、それぞれ 1.00 0.27 0.37 0.57 0.91 0.20 0.90 0.94 0.66 0.63とする。
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数を item とする。
(1) itemの期待値を求めよ。
(2) itemの中央値を求めよ
(3) itemの分布は非対称である。itemの95%信頼区間（Highest Density Interval)を求めよ。
直感や御神託などあらゆるリソースを用いてよい。
確率は心の中にある、ゆえに期待値も心の中にある。
そして、ときに期待は裏切られる。
このシミュレーションをWolframScriptの次の課題にするかな。
- 707 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 10:08:11.53 ID:1h+NNAq/.net
- 折れ線と直線の交点求めるだけのゴミみたいなテーマをいつまでもいつまでも引きずる無能
- 708 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 11:56:07.02 ID:yB25sIh4.net
- >>706
湧いてるのは頭だろw
- 709 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 12:26:23.58 ID:U+kQ2foL.net
- はい誘導
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/
くだらねぇ問題はここへ書け
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/
もうこのスレで出題するなよ
- 710 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 12:35:30.55 ID:yB25sIh4.net
- 尿瓶ジジイってなんでここに固執してるの？
高校生相手にドヤりたいから？60の爺さんが？w
- 711 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 12:49:51.20 ID:Xmn0sVPJ.net
- 今日の積分
I_c = lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
I_s = lim[n→∞] ∫[0,n] xsin(nπx)/(1+x) dx
に対して、
I_cとI_sは等しいかどうか調べよ。
- 712 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 12:51:43.57 ID:VcpWQbIP.net
- 武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています。
レベルが高くなるほどレベルアップできるのが困難になるとする。
レベルL-１からLに上がる確率は1/Lと設定されているものとする。
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数を item とする。
(1) itemの期待値を求めよ。
(2) itemの中央値を求めよ。
RやWolframのようなインタープリタ型の言語だと時間がかかりすぎて計算が困難。
Cの達人の登場を待ちます。
- 713 ：692：2024/04/30(火) 14:06:32.35 ID:ElCKljKY.net
- 正7角形の辺長が1のとき
R = 1/{2sin(π/7)} = 1.15238243548
(辺長) = 2y = 1.309071871314 R = 1.508551431285
>>694 では
AB 1.50855153
BC 1.50855124
CD 1.50855116
DA 1.50855141
AC/√2 1.50855112
BD/√2 1.50855155
- 714 ：681：2024/04/30(火) 15:21:31.75 ID:ElCKljKY.net
- >>701
AM-GM不等式から u ≦ (s/3)^3,
u = (1-ab)(1-c) + (1-a)(1-b) + (s-2) ≧ s-2,
なので、これらは必要条件です。
一方、 (a, b, c) = (a, (s-a)/2, (s-a)/2) とすれば aについて連続で
a=s/3 のとき u = (s/3)^3,
0≦s≦2, a→0 のとき u→0,
2≦s≦3, a=s−2 のとき u = s-2.
なので、これらは十分条件です。
- 715 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 15:57:42.29 ID:Ihu8IrO2.net
- a+b+c = s
a,b,c ∈ [0,1]^3
は1<s<2で６角形、それ以外で三角形
log(a) + log(b) + log(c)は極大点で最大、頂点のいずれかで最小
- 716 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 16:30:44.11 ID:VcpWQbIP.net
- >>712
この設定で１０００回シミュレーションしてみた結果
> summary(items3)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2540 669366 1529078 2227857 3122298 13173932
ゲームに嵌まると散財することが実感できる。
- 717 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 17:13:45.54 ID:CUnZsjR/.net
- >>716
スレ違いだって言ってんだろ
頭沸いて理解出来ない？
とっとと失せろ無能
- 718 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 17:48:23.68 ID:yB25sIh4.net
- >>716
質問スレで延々と勝手に数学もどきの出題を繰り返す日本語理解できないチンパンジーはこちらです
- 719 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 18:18:11.61 ID:ElCKljKY.net
- >>696
s + t = 1 は、
P1−P2 の中点Mと P5 を通る直線Lに関して対称ということですね。
そのとき
s = (R･sin(4π/7)−y}/{R･sin(4π/7)−R･sin(6π/7)}
= 2cos(π/7){1−cos(π/7)sin(3π/7)/[cos(π/7)+cos(3π/7)+sin(3π/7)]}
= 0.592173416655…
t = 0.407826583345…
面積 S = (2y)^2
= 1.7136691642655 RR
= 2.2757274208314
- 720 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 18:23:38.72 ID:1h+NNAq/.net
- 正三角形のときどうやればいいか上がってるのに
正方形の場合に全く応用できない
そのレベルの知能でアホな問題垂れ流す能無し
- 721 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 18:47:35.40 ID:G1dpTkaa.net
- プログラムで解いても
背後にある数学的なロジックは
分からない
- 722 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 18:50:37.12 ID:G1dpTkaa.net
- ◆怒涛のWolfram 一行入力
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
[z-y=8]
Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]
- 723 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 18:54:36.49 ID:G1dpTkaa.net
- ◆お題
『縦4マス、
横5マスの20マスの中に
ランダムに選ばれた
1から20個の宝が眠っている
AFKPBGLQ…の順で縦に宝を探していく
方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく
方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？』
ABCDE
FGHIJ
KLMNO
PQRST
※プログラムでは決してロジックが
理解できない
- 724 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 19:41:41.70 ID:mjLF6hIG.net
- 50円の割引券が1枚ある。
この割引券を使い、100円の商品Aか、200円の商品Bを50円引きで購入したい。
以下の①～③から正しいものを選べ。
①Aに割引券を使うほうが得である
②Bに割引券を使うほうが得である
③①、②のいずれも誤りである
- 725 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 20:38:09.28 ID:VcpWQbIP.net
- >>683
>レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
の確率に関しては情報がないため
下がる そのまま 上がる の確率は 形状パラメータ（１，１，１）のディリクレ分布に従って変動するとして計算する。
乱数発生させてWolfram言語でのシミュレーション（推敲希望）
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1p2=RandomVariate[DirichletDistribution[{1,1,1}]];
p={p1p2[[1]],p1p2[[2]],1-Total[p1p2]};
L=L + RandomChoice[p -> {-1,0,1}];
item++];
item
)
試行回数に上限がないの算出までに時間がかかる。
出力例
In[20]:= items=Table[sim[],100]
Out[20]= {134, 1452, 108, 256, 427, 137, 258, 817, 38, 191, 33, 1340, 21084, 74730, 201, 106, 2523, 2909, 623, 2024,
> 26, 74, 246, 203, 5135, 4473, 536, 6742, 1341, 171, 22, 144, 115, 61, 32, 90, 88, 697, 105, 120, 21503, 355,
> 26018, 15051, 199, 18576, 936, 194, 531, 801, 1457, 90, 114, 104787, 3017, 434, 176, 1180, 494, 144, 1411, 358,
> 25, 1960, 429, 129997, 1960, 8345, 364, 1185, 356, 190, 139, 301, 149814, 547, 132, 458, 12, 231, 1351170, 17175,
> 981, 353, 136, 104657, 7607, 18538, 1621, 265, 923, 260, 58, 768, 1141, 180, 122, 197, 112, 78}
summary(items)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
12.0 136.8 361.0 21304.2 1498.0 1351170.0
uncertainty interval(分位数で算出）
In[25]:= Quantile[items,{0.025,0.975}]
Out[25]= {25, 129997}
- 726 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 21:47:56.63 ID:VcpWQbIP.net
- >>725
自己推敲
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1p2=RandomVariate[DirichletDistribution[{1,1,1}]];
p={p1p2[[1]],p1p2[[2]],1-Total[p1p2]};
d=RandomChoice[p -> {-1,0,1}];
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++];
item
)
- 727 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 22:08:03.20 ID:CMYzy4AG.net
- >>714 ありがとうございます。
>u = (1-ab)(1-c) + (1-a)(1-b) + (s-2) ≧ s-2
この変形は普通に思い浮かぶものなのですか？
なんか天才の狂気じみたヒラメキに見えるのですが( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
- 728 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 22:29:16.36 ID:VcpWQbIP.net
- >>726
可読性向上
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1=RandomReal[]; (* runif(1) *)
p2=RandomReal[1-p1]; (* runif(1,0,1-p1) *)
p3=1-p1-p2;
d=RandomChoice[{p1,p2,p3} -> {-1,0,1}]; (* sample(c(-1,1,1),1,prob=c(p1,p2,p3)) *)
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++];
item
)
sim[]
- 729 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 22:31:01.13 ID:VcpWQbIP.net
- >>723
デジャブかな？過去スレでみたような。
- 730 ：714：2024/04/30(火) 22:56:30.77 ID:ElCKljKY.net
- >>727
そうかもね。
a, b, c のうち2つが1に近づくとき等号だから
1-a, 1-b, 1-c などの2次式になるんぢゃね？
- 731 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:24:58.84 ID:dbyjbpZp.net
- ７７
- 732 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 02:45:38.59 ID:vlziLzZU.net
- 尿瓶ジジイのゴミみたいな自演
- 733 ： ：2024/05/01(水) 03:48:57.93 ID:d9hBLn+1.net
- 前>>688
厳密解が見えた。立式中。ちょっと待ってて。
ゴールデンウィーク中にやる。
自分で作図したら目が覚めた。
すでにある答案や綺麗な作図に惑わされてはいけない。
- 734 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 06:58:09.54 ID:kfVYB1fe.net
- Wolfram言語の練習問題
＞武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
＞その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
＞また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています
を計算問題化。
設定された確率に関しては情報がないので、「下がる そのまま 上がる」の確率は無作為に決定されるとして計算する。
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
d = RandomChoice[ RandomReal[1,3] -> {-1,0,1} ]; (* sample(c(-1,0,1),1,prob=runif(3) *)
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++;
];
item
)
問題 レベル10まで到達するために必要なアイテムの数が1000以下である確率の近似値を計算せよ。
備忘録
RandomChoiceは自動で正規化されるようなのでコードが簡略化できた。
RandomChoice[RandomReal[1,3]] // #/Total[#] & とする必要はなかった。
RandomChoiceでChoiceする個数を指定すると１個でもリストで返してくる。
In[1]:= RandomChoice[Range[10]]
Out[1]= 10
In[2]:= RandomChoice[Range[10],1]
Out[2]= {7}
- 735 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:33:40.58 ID:mCjWTIo5.net
- #上限を設定しないとシミュレーションがなかなか終わらないので到達レベル、上下確率、アイテム数を設定できるように修正。
sim = \(level=10,p=runif(3),limit=NULL){
item=0
L=0
while(L<level && item < ifelse(is.null(limit),Inf,limit+2)){
item=item+1
d=sample(c(-1,0,1),1,prob=p)
if(!(L==0 & d==-1)) L=L+d
}
return(item)
}
#上下確率は一様分布に従うとしアイテムが1000以下でレベル10に達する確率を10万回のシミュレーションで出してみる。
replicate(1e5,sim(level=10,p=runif(3),limit=1000) < 1002 |> mean()
> (replicate(1e5,sim(level=10,p=runif(3),limit=1000)) < 1002) |> mean()
[1] 0.67713
シミュレーションはRの方が書きやすい。
分数で結果を返す必要がないし。
- 736 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 09:59:50.71 ID:FxX5gtGv.net
- x>y≧0とする。
f(x,y) = x√x-2x√y+y√y
g(x,y) = x√x-2y√x+y√y
について、f(x,y)およびg(x,y)が負となることがあるならば、その(x,y)の一例を与えよ。
負となることがないならば、それを証明せよ。
- 737 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 10:50:53.72 ID:sgJI4piv.net
- age
- 738 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 12:04:05.10 ID:YLWuTEmf.net
- t≧1 ⇒ t^6+1 ≧ 2t^3 ≧ 2t^2
0<t≦1 ⇒ t^6+1 ≧ 2t^3 ≧ 2t^4
- 739 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 13:11:02.13 ID:j7aeZLGo.net
- >>683
追加補足
例えば、レベル i への成功確率を100-5i、失敗確率は全て0.1（但しレベル1以上）だとすると、
mathematicaでは次のようにして計算できます。
v=Table[x[i],{i,0,10}];
u=Table[Boole[i!=10],{i,0,10}];
M={
{ 5,95, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{10, 0,90, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0,10, 5,85, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0,10,10,80, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0,10,15,75, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0,10,20,70, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0,10,25,65, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,30,60, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,35,55, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,40,50},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,100}}/100;
Reduce[v+u==M.v,Delete[v,1]]
- 740 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 13:11:43.23 ID:j7aeZLGo.net
- 続き
20 130 3490 19445 76033 666209
Out[6]= x[1] == -- + x[0] && x[2] == --- + x[0] && x[3] == ---- + x[0] && x[4] == ----- + x[0] && x[5] == ----- + x[0] && x[6] == ------ + x[0] &&
19 57 969 3876 11628 81396
10556593 37908457 492959263 2889951391
> x[7] == -------- + x[0] && x[8] == -------- + x[0] && x[9] == --------- + x[0] && x[10] == ---------- + x[0]
1058148 3174444 34918884 174594420
In[7]:= %//N
Out[7]= x[1.] == 1.05263 + x[0.] && x[2.] == 2.2807 + x[0.] && x[3.] == 3.60165 + x[0.] && x[4.] == 5.01677 + x[0.] && x[5.] == 6.53879 + x[0.] &&
> x[6.] == 8.18479 + x[0.] && x[7.] == 9.97648 + x[0.] && x[8.] == 11.9418 + x[0.] && x[9.] == 14.1173 + x[0.] && x[10.] == 16.5524 + x[0.]
シミュレーションを行うなら、
Table[pq[i]={95-5*i,10*Boole[i>0],5+5*i-10*Boole[i>0]}/100,{i,0,9}]
Sim:=(For[L=count=0,L<10,count++,L+=RandomChoice[pq[L]->{1,-1,0}]];count)
n=100000;sum=0;Do[sum+=Sim,n];sum/n//N
数秒待たされますが、16.556、16.552、16.5607等の値が得られます。
- 741 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 13:21:44.69 ID:AD3i5GdB.net
- >>736
x≧0, y≧0 より
f(x,y) + g(x,y) = 2(x−y)(√x−√y) ≧ 0,
∴ f(x,y) <0, g(x,y) <0 となることはない。
- 742 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 14:05:30.22 ID:AD3i5GdB.net
- >>715
断面三角形の「頂点」は立方体 [0,1]^3 の稜だから
a,b,c のうち2つは 0 か 1
0≦s≦1 … u = 0･0･s = 0,
1≦s≦2 … u = 0･(s-1)･1 = 0,
2≦s≦3 … u = (s-2)･1･1 = s-2,
- 743 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 14:10:59.67 ID:oovJ6Flh.net
- 50円の割引券が1枚ある。
この割引券を使い、100円の商品Aか、200円の商品Bを50円引きで購入したい。
以下の①～③から正しいものを選べ。
①Aに割引券を使うほうが得である
②Bに割引券を使うほうが得である
③①、②のいずれも誤りである
- 744 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 14:33:21.69 ID:a9i08X5o.net
- レス乞食大量発生中
- 745 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 15:04:48.18 ID:AD3i5GdB.net
- >>692
重心間の距離
x = R･{[cos(π/7)+sin(π/7)][2cos(π/7)-1]−1}/{2cos(2π/7)[1+2sin(π/7)]}
= 0.030256170633 R
cos(π/7)−cos(2π/7)−cos(4π/7) = 1/2,
−sin(π/7) + sin(2π/7) + sin(4π/7) = (1/2)√7,
- 746 ： 【豚】 ：2024/05/01(水) 16:13:22.51 ID:05InBZP6.net
- 前>>733
>>666
正7角形と正方形の中心はわずかにずれるから、
中心付近に原点をとるのを避け、
正7角形をx軸に正対させ、正中線にy軸をとると、
正方形の1辺の長さの半分をaとして、
正方形の面積は4a^2
y軸上の正7角形の頂点の座標は(0,1+cos(π/7))
正方形の上辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)
正方形の下辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
一方、正7角形の下辺右端の座標は(sin(π/7),0)
そこから正方形の右下端
(a, 1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a)
までの傾きはsin(2π/7)/cos(2π/7)だから、
｛a-sin(π/7)｝｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝
=1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
｛sin(2π/7)/cos(2π/7)+sin(π/7)/cos(π/7)+2｝a
= ｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝sin(π/7)+cos(π/7)+1
2倍角の公式より、
[2sin(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+sin(π/7)/cos(π/7)+2]a
=[2sin^2(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+cos(π/7)+1
通分して｛2sin(π/7)cos^2(π/7)+2sin(π/7)cos^2(π/7)-sin(π/7)+4cos^3(π/7)-2cos(π/7)｝a
=2sin^2(π/7)cos^2(π/7)+2cos^4(π/7)-cos^2(π/7)+2cos^3(π/7)-cos(π/7)
a=cos(π/7)｛2cos(π/7)-1｝｛cos(π/7)+1｝/｛4cos^3(π/7)+4sin(π/7)cos^2(π/7)-sinπ/7-2cos(π/7)｝
=1.37348980186/2.09841771404
=0.65453593565
∴4a^2=1.71366916427
- 747 ： 【豚】 ：2024/05/01(水) 16:15:33.02 ID:05InBZP6.net
- 前>>733
>>666
正7角形と正方形の中心はわずかにずれるから、
中心付近に原点をとるのを避け、
正7角形をx軸に正対させ、正中線にy軸をとると、
正方形の1辺の長さの半分をaとして、
正方形の面積は4a^2
y軸上の正7角形の頂点の座標は(0,1+cos(π/7))
正方形の上辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)
正方形の下辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
一方、正7角形の下辺右端の座標は(sin(π/7),0)
そこから正方形の右下端
(a, 1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a)
までの傾きはsin(2π/7)/cos(2π/7)だから、
｛a-sin(π/7)｝｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝
=1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
｛sin(2π/7)/cos(2π/7)+sin(π/7)/cos(π/7)+2｝a
= ｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝sin(π/7)+cos(π/7)+1
2倍角の公式より、
[2sin(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+sin(π/7)/cos(π/7)+2]a
=[2sin^2(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+cos(π/7)+1
通分して｛2sin(π/7)cos^2(π/7)+2sin(π/7)cos^2(π/7)-sin(π/7)+4cos^3(π/7)-2cos(π/7)｝a
=2sin^2(π/7)cos^2(π/7)+2cos^4(π/7)-cos^2(π/7)+2cos^3(π/7)-cos(π/7)
a=cos(π/7)｛2cos(π/7)-1｝｛cos(π/7)+1｝/｛4cos^3(π/7)+4sin(π/7)cos^2(π/7)-sinπ/7-2cos(π/7)｝
=1.37348980186/2.09841771404
=0.65453593565
∴4a^2=1.71366916427
- 748 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 16:41:41.76 ID:oovJ6Flh.net
- 次の極限をaで表せ。
ただしaは実数の定数で、a≠-2とする。
Σ[k=0,∞] 1/(k^2+ak+1)
- 749 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 16:49:37.95 ID:bYmgV8Yf.net
- 一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB,BC,CA上にそれぞれ点D,E,Fをとる。
ただしD,E,Fは△ABCの頂点には一致しないものとする。
（1）s,t,uは0より大きく1より小さい実数とする。AD=s、BE=t、CF=uのとき、△DEFの面積をs,t,uで表せ。
（2）△ADFの重心をP、△BEDの重心をQ、△CFEの重心をRとする。
(△PQRの面積)≧(△DEFの面積)
を示せ。
（3）（2）の不等式において等号が成立する場合をすべて求めよ。
- 750 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 16:54:16.12 ID:lmX+G2vB.net
- mを自然数とする。
以下の極限が収束するかどうかを判定せよ。
lim[n→∞] Σ[k=2,n] 1/[k{(logk)^m}]
- 751 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 18:16:34.89 ID:YLWuTEmf.net
- (3 s t + 3 s u - 3 s + 3 t u - 3 t - 3 u + 9 )/9 ≧ stu + (1-s)(1-t)(1-u)
- 752 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 19:13:42.89 ID:lcM/C+EM.net
- (3 s t + 3 s u - 3 s + 3 t u - 3 t - 3 u + 9 )/27 ≧ stu + (1-s)(1-t)(1-u)
- 753 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 19:19:55.66 ID:lcM/C+EM.net
- https://www.wolframalpha.com/input?i=%283+x+y+%2B+3+y+z+%2B+3+x+z+-3x+-3y+-3z%2B+9+%29+-+27x+y+z-+27+%281-x%29%281-y%29%281-z%29&lang=ja
- 754 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 20:15:34.70 ID:mCjWTIo5.net
- >>747
Rでの作図に用いた数値と合致しております。お疲れ様でした。
正方形の1辺の長さ
> abs(A-B)
[1] 1.309072
> abs(A-B)^2
[1] 1.713669
対角線の交点と原点（7角形の重心）との距離
> abs(intsect(A,C,B,D))
[1] 0.0302562
- 755 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 23:09:37.73 ID:QBB0w06A.net
- >>750
・m=1 のとき
1/{k・log(k)}
≧ log(1+1/k) / log(k)
= log(k+1)/log(k) − 1
≧ log{log(k+1)/log(k)}
= log(log(k+1)) − log(log(k)),
より
Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)}
≧ log(log(n+1))−log(log(2))
→ ∞ (n→∞)
∴ 発散
* x ≧ log(1+x) を使った。
・m>1 のとき
Σ[k=3,n] 1/{k・log(k)^m}
≦ Σ[k=3,n] ∫[k-1,k] 1/{x・log(x)^m} dx
= ∫[2,n] 1/{x・log(x)^m} dx
= (1/(m-1))[ −1/log(x)^{m-1} ](x=2,n)
= (1/(m-1))( 1/log(2)^{m-1} − 1/log(n)^{m-1} )
→ (1/(m-1)) 1/log(2)^{m-1} (n→∞)
∴ 収束
- 756 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 23:24:55.24 ID:AD3i5GdB.net
- γ ' = Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)} − log(log(n))
= 0.79467864… (おいらの定数)
- 757 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 23:29:57.47 ID:oiWny2jK.net
- え？一次式？
- 758 ：756：2024/05/02(木) 00:12:52.18 ID:HrSDZOU2.net
- 訂正
γ ' = lim[n→∞] ( Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)} − log(log(n)) )
= 0.79467864… (おいらの定数)
- 759 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 00:15:24.39 ID:QhmUzXll.net
- 微分して定数なら一次式になる？
ホント？
- 760 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 00:44:14.85 ID:HrSDZOU2.net
- >>745
mを自然数とする。
cos(2^{m-1}･π/7) + cos(2^{m}･π/7) + cos(2^{m+1}･π/7)
=−1/2 + 2cos(π/7)δ(m,1)
sin(2^{m-1}･π/7) + sin(2^{m}･π/7) + sin(2^{m+1}･π/7)
= (√7)/2 + 2sin(π/7)δ(m,1)
- 761 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 00:48:04.62 ID:HrSDZOU2.net
- >>759
微分して定数（≠0）なら一次式になる。
微分して ０ なら定数になる。
- 762 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 05:46:28.56 ID:QhmUzXll.net
- What is Y ?
- 763 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 11:59:02.49 ID:HrSDZOU2.net
- γ = lim[n→∞] ( Σ[k=1,n] 1/k − log(n) )
= 0.577215665… (オイラーの定数)
- 764 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 14:52:35.46 ID:2SgEedok.net
- もしかしてγ’は“定数γの微分”ではなく“γっぽいべつの定数”の意味？
- 765 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 14:57:23.33 ID:2SgEedok.net
- 収束証明はダメなんじゃないの
受験数学では
単調増大有界数列は収束する
は禁止だよ
- 766 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 15:05:10.52 ID:W5Q+jvGD.net
- 禁止というほどではない
実数の公理なのに使っていけないとは言えないだろ
- 767 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 15:45:08.55 ID:ZE4O8QQ4.net
- そんなのが許されるなら
a1 = 0
a[n+1] = √(a[n]+1)
が収束する事を示せ
が秒で終わってしまう
- 768 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 16:27:04.01 ID:wE1o1pXx.net
- 上に有界と単調増加両方だから秒では終わらない
- 769 ：755：2024/05/02(木) 16:43:43.49 ID:HrSDZOU2.net
- >>765
- 770 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 16:48:09.26 ID:x/eY51eo.net
- 定数使う数式は
ろくなもんじゃない
- 771 ：755：2024/05/02(木) 16:52:36.95 ID:HrSDZOU2.net
- >>765
高校数学では実数の公理は教えないんだね。
完備性がないから、コーシー列でも収束するとは限らん？
となると、使える手が少ないなぁ。
- 772 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 17:01:33.65 ID:kwBHyfY1.net
- 数学の前に日本語の勉強からしたらどうだ？
- 773 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 17:26:45.93 ID:HrSDZOU2.net
- >>767
もし収束するなら極限は
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
しかない。
φ−a[n+1] = {1/(φ+a[n+1])} (φ−a[n]),
φ−a[1] = φ > 0 だから φ−a[n+1] > 0,
∴ 1 ≦ a[n+1] < φ,
また
0 < 1/(φ+a[n+1]) ≦ 1/(φ+1),
より
0 < φ−a[n+1]
< (φ−a[1])/(φ+1)^n
= φ/(φ+1)^n
と挟み撃ちにするのかな。まで 59秒…
- 774 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 17:51:26.19 ID:ZE4O8QQ4.net
- 受験数学で証明抜きに使っていいのは検定教科書に載ってるものと問題文に使っていいと言われてるものだけ
教科書に載ってる証明できますかも出題される
その場合はもちろん「教科書に載ってるので明らか」は禁止
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