大学学部レベル質問スレ 25単位目

1 ：１３２人目の素数さん：2024/01/26(金) 01:10:58.77 ID:mTlLZHyZ.net

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 24単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/
大学学部レベル質問スレ 23単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/
大学学部レベル質問スレ 22単位目
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大学学部レベル質問スレ 21単位目
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大学学部レベル質問スレ 20単位目
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大学学部レベル質問スレ 19単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/

266 ：１３２人目の素数さん：2024/02/15(木) 16:23:44.21 ID:iheBb1PZ.net

SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ は S 上のセミノルムの族とする。
p から作られるS上の位相をθ_pと書くことにする。

下記の定理はフレッシェ空間を論じる際の基本的な定理であるから、
証明は省略する。ただし、手元に証明はあるので、要望があれば後で証明を書く。

定理1：SはCベクトル空間とする。p＝(p_λ)_λ はS上のセミノルムの族とする。
もしθ_pが距離化可能ならば、S上のセミノルムの可算無限集合 r＝{ r_n｜n≧1 }が
存在して、θ_p＝θ_r かつ r_n≦r_{n＋1} (n≧1)が成り立つ。特に、次が成り立つ。

(1.1) ∀p_λ∈p, ∃r_n∈r, ∃A＞0, ∀s∈S s.t. p_λ(s) ≦ A r_n(s).

267 ：１３２人目の素数さん：2024/02/15(木) 16:29:05.70 ID:iheBb1PZ.net

定理2：>>230の設定のもとで、
さらに次を満たすコンパクト集合の列 { K_j }_{j≧1} と、
X上の連続関数の列 {w_j}_{j≧1}が存在するとする。

・ K_1⊂⊂K_2⊂⊂・・・, ∪_j K_j＝X,
・ supp(w_1)⊂int(K_1), supp(w_j)⊂int(K_j)−K_{j−1} (j≧2), ∫_X|w_j(t)|dμ(t)＞0 (j≧1).

このとき、p：＝{ p_w }_{w∈C(X)} から作られるL_c(X)上の位相θ_pは距離化できない。

268 ：１３２人目の素数さん：2024/02/15(木) 16:29:44.18 ID:YlN93sc3.net

>>265
L_c={fはX上可積分| ｆの台はコンパク}の線形空間。
勘違いしてる。

269 ：１３２人目の素数さん：2024/02/15(木) 16:31:00.25 ID:iheBb1PZ.net

証明：定理1により、L_c(X) 上のセミノルムの可算無限列 r＝{ r_n }_{n≧1} が
存在して、次が成り立つ。

(2.1) ∀w∈C(X), ∃n≧1, ∃A＞0, ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A r_n(g).

n,A は w に依存するので、wごとにn,Aを1つずつ取って
n＝n_w, A＝A_w と置いておく。よって、次が成り立つ。

(2.2) ∀w∈C(X), ∀g∈L_c(X) s.t. p_w(g) ≦ A_w r_{n_w}(g).

270 ：１３２人目の素数さん：2024/02/15(木) 16:35:26.06 ID:iheBb1PZ.net

さて、g_j＝1_{K_j}∈L_c(X) と置いて、a_{n,j}：＝r_n(g_j) と置く。
さらに、b_j＝ j * max{ 1＋a_{n,j}｜1≦n≦j } (j≧1) と置く。

w(x)：＝Σ[k＝1〜∞] b_k w_k(x) / ∫_X|w_k(t)|dμ(t)

と置くと、w∈C(X) である。(2.2)により、任意の j≧1 に対して
p_w(g_j) ≦ A_w r_{n_w}(g_j)＝ A_w a_{n_w,j} である。
また、p_w(g_j)＝Σ[k＝1〜j] b_k ≧ b_j である。
また、j≧n_w のとき b_j≧j(1＋a_{n_w,j})である。よって、j≧n_w のとき

j(1＋a_{n_w,j}) ≦ b_j ≦ p_w(g_j) ≦ A_w a_{n_w,j} ≦ A_w (a_{n_w,j}＋1)

となるので、j≦A_w である。j≧n_w は任意だから矛盾。