大学学部レベル質問スレ 25単位目

187 ：１３２人目の素数さん：2024/02/09(金) 18:57:55.76 ID:XHg/aAlE.net

>>186

↓これのどこが間違っているのでしょうか？

(0, ∞) ∋ x → 1/x ∈ R が C^∞ 級であることを証明せよ。

d/dx 1/x = -1/x^2 でこれは連続だから少なくとも C^1 級ではある。

C^n 級ではあるが C^{n + 1} 級ではないとして矛盾を導く。

d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) である。
1/x は C^n 級であり、 C^n 級関数と C^n 級関数の積は C^n 級であるから、
d/dx 1/x = -(1/x)*(1/x) も C^n 級である。

よって、 1/x は C^{n + 1} 級である。

これは矛盾である。

よって 1/x は C^∞ 級である。