分からない問題はここに書いてね 472

1 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 14:32:35.53 ID:1TXGqSHk.net

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 471
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630008892/

数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

2 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 16:52:08.18 ID:1TXGqSHk.net

P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
とする。
１　カントール集合は性質Pを持つ
２　位相空間Xが性質Pを持つならば、カントール集合に同相である。

3 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 18:11:35.41 ID:0z47rtf/.net

ベイブとベイズは情報を計算しきれなくてブタの方が勝ったの?

4 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 20:44:32.96 ID:1TXGqSHk.net

位相空間Xの一様位相構造はある擬距離族Ρによる一様位相構造と一致する。

5 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 21:09:13.68 ID:1TXGqSHk.net

カントール集合と有理数空間の特徴づけ
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2019/04/cantor_rationals_characterizations.pdf

6 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 21:19:30.07 ID:1TXGqSHk.net

カントール爺さんには無理芸

7 ：１３２人目の素数さん：2023/12/25(月) 21:52:37.42 ID:1TXGqSHk.net

一様位相構造Γとする。U∈Γに対し、V(0)⊂U、V(n+1)・V(n+1)・V(n+1)⊂V(n)、V(n)は対合的、を満たす集合列{U(n)}を作る。
ρ(x,y)=inf{1/2^n1+…+1/2^np|(x,y)∈V(n1)・V(n2)…V(np)}と定めると擬距離になる。

8 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 09:20:59.68 ID:aV2yPlw1.net

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

9 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 11:41:41.63 ID:I4inOvul.net

ここまでテンプレ

10 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 20:43:25.79 ID:I4inOvul.net

距離空間はパラコンパクトである

11 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 21:05:46.13 ID:S5czeSxx.net

>>10
え？

12 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 21:09:47.93 ID:tQz/cHAb.net

>>11
>>10 は間違ってないよ。

13 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 21:21:33.50 ID:I4inOvul.net

定義を確かめろ（笑）

14 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 21:26:12.76 ID:tQz/cHAb.net

>>13
ブルバキ数学原論 位相 vol.4 に証明がある。

15 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 21:37:56.85 ID:I4inOvul.net

>>14
ありがとう、しかし
位相空間論（森田）定理29.11（H.Stoneの定理）
M.E.Rudineの証明に沿ってる

ここまでくるのに息も絶え絶え

16 ：１３２人目の素数さん：2023/12/26(火) 22:54:54.95 ID:S5czeSxx.net

Rudin

17 ：１３２人目の素数さん：2023/12/27(水) 10:07:40.00 ID:4pBIh7es.net

RudinはWalter Rudinが有名だが
Stoneの定理の証明はMaryさんのものらしい。

Mary Ellen Rudin (December 7, 1924 – March 18, 2013)[1] was an American mathematician known for her work in set-theoretic topology.[2] In 2013, Elsevier established the Mary Ellen Rudin Young Researcher Award, which is awarded annually to a young researcher, mainly in fields adjacent to general topology.[3]

18 ：１３２人目の素数さん：2023/12/27(水) 16:45:46.64 ID:ZsMN/ovE.net

>>10
開近傍族Γ(n)={U(x;1/10n)|x∈X}をとるとSt^5(x,Γ(n))⊂U(x;1/n)。
但しU(x;r)はxを中心とした半径rの開球。St(A,Γ)は被覆Γに対する集合Aの星型集合。
よって任意の開被覆Αに対し、それを細分する局所有限な開被覆Βが存在する。

19 ：１３２人目の素数さん：2023/12/27(水) 17:16:24.04 ID:ZsMN/ovE.net

Stoneの定理はあまり応用ないんだろうな

20 ：１３２人目の素数さん：2024/01/10(水) 18:16:56.52 ID:F8u+YwnL.net

江戸の浪人

21 ：１３２人目の素数さん：2024/01/10(水) 23:18:03.42 ID:9Ar19oBn.net

Stone-Weierstrassの定理ほどにはなさそう

22 ：イナ ：2024/01/12(金) 07:11:45.58 ID:Y9NJMWaQ.net

落武者でいい、頭頂部に生えてくれ。

23 ：１３２人目の素数さん：2024/01/12(金) 09:09:02.43 ID:3VCxNAmL.net

カッパハゲと落武者ヘアってセットじゃないの

24 ：イナ ：2024/01/12(金) 16:49:19.88 ID:Y9NJMWaQ.net

ヘアスタイルを決めるのは自分じゃない。

25 ：１３２人目の素数さん：2024/01/17(水) 11:23:13.41 ID:04CZdvrN.net

x,y,z自然数として、全て共通の素因数を持たない場合にP(x,y,z)=1
共通の素因数を持つ場合にP(x,y,z)=0とした場合に
lim[x,y,z→∞]P(x,y,z)/(xyz)
の値は？

26 ：１３２人目の素数さん：2024/01/17(水) 11:27:27.20 ID:04CZdvrN.net

>>25 訂正
lim[n→∞]Σ[i=1,n]Σ[j=1,n]Σ[k=1,n]P(i,j,k)/(n^3)

27 ：prime_132：2024/01/23(火) 17:55:10.12 ID:sSGPqeUO.net

まず 1つの素数pに着目する。
　n=p に対して
　Σ[1≦i,j,k≦p] P(i,j,k) = p^3 -3p +2 = (p+2)(p-1)^2,
　(与式) = (p+2)(p-1)^2 / p^3,

次に 素数 2,3,5,7,……,p。 に着目して
　n = 2*3*5*7*……*p。 とおく。
　中国剰余定理を使って
　(与式) = Π[p：素数 2〜p。] (p+2)(p-1)^2 / p^3.

素数は無数にある (ユークリッド編『原論』第9巻,命題20) から
p。→ ∞ とする。収束するかな？

なお、C = Π[p>2：素数] p(p-2)/(p-1)^2 = 0.6601618158465…

28 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 15:55:57.12 ID:02gDREfj.net

〔問題104〕
　∫[0,π/2] sin(x)/(1+√sin(2x)) dx
を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434−104,117

29 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 15:58:17.36 ID:02gDREfj.net

x ⇔ π/2−x　の対称性から
(与式)
　= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
　= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
　cos(x)−sin(x) = sin(t),
　−(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt
　= [ t−tan(t/2) ](0→π/2)
　= π/2 − 1.

30 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 16:30:35.30 ID:dy1+YXAv.net

スレチ

31 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 20:04:16.88 ID:7M1IAzMV.net

この問題解ける方いませんか？

32 ：１３２人目の素数さん：2024/04/17(水) 00:36:01.72 ID:qbH/8Fwh.net

∫1/(1+cos(t)) dt
　= sin(t)/(1+cos(t))
　= (1-cos(t))/sin(t)
　= tan(t/2),

(参考書)
森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987)
　第�W篇, 第3章, §40, p.187-192

33 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 14:02:58.11 ID:5x2KJli+.net

分からない問題

34 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 02:09:54.32 ID:AD3i5GdB.net

〔問題538〕
　∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx

　高校数学の質問スレ_Part434 - 538

ヒント：x = π−t で置換する。　(565)

35 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 02:11:37.57 ID:AD3i5GdB.net

I = ∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx　　(置換 x = π−t)
　= ∫[0,π] (π-t) sin(t)/[2−cos(t)^2] dt

(第1式 + 第2式)/2 より
I　= (π/2)∫[0,π] sin(x)/[2−cos(x)^2] dx　(置換 u=cos(x))
　= (π/2)∫[-1,1] du/(2-uu)
　= (π/(4√2))∫[-1,1] {1/(√2 +u) + 1/(√2 -u)} du
　= (π/(4√2))[ log|(√2 +u)/(√2 -u)| ](u：-1→1)
　= (π/√2) log(1+√2)
　= 1.9579198…

36 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 02:13:41.01 ID:AD3i5GdB.net

〔問題642〕
ab>0とする。
　∫[a,b] cos(x-(ab/x)) dx
を求めよ。

高校数学の質問スレ_Part434 - 642

37 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 02:15:24.17 ID:AD3i5GdB.net

　I =∫[a,b] cos(x−ab/x) dx　　(置換 t=ab/x)
　　= ∫[a,b] cos(ab/t−t) (ab/tt)dt,

(第1式 + 第2式)/2 より
　I = (1/2)∫[a,b] cos(x−ab/x) (1+ab/xx)dx
= (1/2)∫[a,b] cos(x−ab/x) (x−ab/x)' dx　(置換 u=x-ab/x)
= (1/2)∫[a-b,b-a] cos(u) du
　　= [ (1/2)sin(u) ](u：a-b→b-a)
　　= sin(b-a),

38 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 01:31:31.20 ID:HrSDZOU2.net

〔問題760〕
N=2^m　(mは自然数) とするとき
　cos(Nπ/7) + cos(2Nπ/7) + cos(4Nπ/7),
　sin(Nπ/7) + sin(2Nπ/7) + sin(4Nπ/7),
を求む。

高校数学の質問スレ_Part434 - 760

39 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 01:38:43.53 ID:HrSDZOU2.net

mについての帰納法による。
m=1のとき N=2,
　cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7) =−1/2,
　sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7) = (√7)/2,
また
　(8Nπ/7) − (Nπ/7) = Nπ = (2πの整数倍)。
mで成立すれば m+1 でも成立する。　(終)

40 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 16:26:52.58 ID:kA6jMeIR.net

分からない問題

41 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 22:36:32.57 ID:FHpKUwcZ.net

閉集合であることの証明について教えてください。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10297255300

42 ：１３２人目の素数さん：2024/05/02(木) 23:07:46.15 ID:2SgEedok.net

fを(0,1)に制限した写像f'が同相写像f':(0,1)→S^1＼{(0,1)}を引き起こすことは簡単だから読者まかせなんやろ

43 ：１３２人目の素数さん：2024/05/03(金) 10:59:34.13 ID:FraDNOsb.net

どないなっとんねん

44 ：１３２人目の素数さん：2024/05/05(日) 12:59:25.83 ID:IFtE60+o.net

〔問題829-改〕
一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
その内接円の内部or周上に点Pをとる。
このとき積 AP･BP･CP の最大値を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434 - 829

45 ：１３２人目の素数さん：2024/05/05(日) 13:02:17.23 ID:wSl1ZfLp.net

>>44
スレチ

46 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 01:25:44.46 ID:pOat3wNb.net

〔類題〕
N=2^m　(mは自然数) とするとき
　cos(Nπ/15) + cos(2Nπ/15) + cos(4Nπ/15) + cos(8Nπ/15) = 1/2,
　sin(Nπ/15) + sin(2Nπ/15) + sin(4Nπ/15) + sin(8Nπ/15) = (√15)/2,
を示せ。

31 や 63 でもできそう…