Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 70

400 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 08:08:03.83 ID:cjhsCEK3.net

>>398
>で、おれが論破してんだよ （>>396 の通り）

一応 下記の補足を貼っておく
おっと、ツッコミはなしなｗ　；ｐ）

細部の理解はしていない
知識として知っているだけだから

要するに、圏論のためには、グロタンディーク宇宙を使うのがスタンダードで、到達不能基数と関連している
このときの議論は、ZFCを主として使う。NBG集合は使われない！（ZFCの方が公理がシンプルで、この種の基礎論には合っているんだ）

そして、ＩＵＴは圏論を使っているから、望月氏はZFCGの議論を補足している
但し、過去のグロタンディークの議論をなぞっているだけ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。

モデルと無矛盾性
ZFCの下では、κ が強到達不能であるときVκ がZFCのモデルになる。 ZFの下では、κ が弱到達不能であるとき構成可能集合のLκ がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。

VがZFCの標準モデルで κ がVの到達不能基数であるとき、 Vκ はZF集合論のintended modelになり、 Def(Vκ )はNBG集合論のintended modelになり、 Vκ +1はMK集合論のintended modelになる。 ここで、Def(X)はXの Δ0 定義可能な部分集合である（en:constructible universe）。

到達不能基数による真クラスの存在性
ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom「任意の集合 x に対して、x
∈{\displaystyle \in } U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。」と同値である。 ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される（これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意）。 この公理系は、例えば全ての圏は 適切な米田埋め込みを持つということを証明するのに役立つ。

到達不能基数のモデル理論的な二つの特徴付け
二つ目は、ZFCの下で κが到達不能基数であることと (Vκ, ∈)が二階述語論理のZFCのモデルであることが 同値であることが証明できる。

この場合、上のreflection propertyによって、 あるα < κが存在して(Vα, ∈)が一階述語論理の ZFCの標準モデルとなる。 だから到達不能基数の存在はZFCの標準モデルの存在より強い仮定である。

脚注
1^ ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9