高校数学の質問スレ Part426

561 ：１３２人目の素数さん：2023/03/21(火) 00:42:52.08 ID:OiMeg6o0.net

>>550
n番目の素数をP(n)とする
Π[i=1,n]?[j=0,∞](1/P(i))^jを展開するとP(n)以下の自然数の逆数を全て含むから
?[k=1,P(n)]1/k<Π[i=1,n]?[j=0,∞](1/P(i))^j
=Π[i=1,n]1/(1-1/P(i))=Π[i=1,n](1+1/(P(i)-1))≦2Π[i=2,n](1+1/P(i-1))
logP(n)<?[k=1,P(n)]1/k<2Π[i=1,n](1+1/P(i))　対数取って
log(logP(n))<log2+?[i=1,n]log(1+1/P(i))<log2+?[i=1,n]1/P(i)
n→∞のとき左辺が発散するので右辺も発散する