純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

1 ：１３２人目の素数さん：2022/12/19(月) 23:31:09.57 ID:KRlSoN+A.net

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1
箱入り無数目を語る部屋
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 68
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659142644/1
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/1
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/1

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/1
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/1

つづく

33 ：１３２人目の素数さん：2022/12/23(金) 11:58:45.11 ID:k1PKOWrp.net

>>30-32
ラグランジュの分解式は理解できたかい？

34 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2022/12/23(金) 14:38:35.07 ID:QNRnWOpa.net

戻る
前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/832
より
(参考)
https://mathlog.info/articles/3161
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
はじめに
解説
nが合成数のとき
n=3,5,7のとき
n=11のとき
n=13のとき
n=17のとき
n=19のとき
原理的なところ
おわりに
参考文献
解説
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
(引用終り)
注）
・α±±＝は、前の±が右辺の式の+-に相当（原文では赤文字）、後の±が右辺の式の±に相当（原文では青文字）
　（すぐ上の式の4通り、α++、α-+、α--、α+- を表現している）
・410+178√5i ＝r(cosφ+isinφ)と極形式にすると
　410-178√5i ＝r(cosφ-isinφ)で
（410+178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5+isinφ/5)
（410-178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5-isinφ/5)
（r'＝r^1/5）
　となるので、虚部は+-で消えて、全体として実部のみ残ることが分かる

さて、（410+178√5i)^1/5 の部分に、1の5乗根ζの成分が、多分積の形で入っていると思われる
（クンマー拡大＆クンマー理論からね）
（手計算でやる気はしない（東大受験生クラスなら、ひょっとしてやれるかもｗ。ガウスなら喜々としてやるだろうｗ））
（いまエクセル計算で、r^2＝326520と出るので、これと5^1/5の両方に関係する数かも(添加するaは、ただ一つだから)）

なので、
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
が、位数5の巡回群によるクンマー拡大になっていることが計算でも示せて
α±±たちから、クンマー拡大Q(a^1/5,ζ)として、a∈Qなるaの値が求められそうだと

つまり、言いたかったのは、
上記のcos(2π/11)の表式から、ζ（の添加）を使って
クンマー拡大のa^1/5が、具体的に求められるだろうってことです
以上

35 ：わかるすうがく ：2022/12/23(金) 17:15:35.83 ID:vjYMqzPx.net

>>34
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
https://mathlog.info/articles/3161
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

3行目が誤り
正しくは以下の通り
(α±±＝-11/4{89+-25√5+-5√(410-+178√5i)})

実際の計算のところを見れば、平方根だと分かる
サボって式だけ盗む泥棒は必ず間違う

＞さて、５√（410+178√5i) の部分に、
＞1の5乗根ζの成分が、多分積の形で入っていると思われる

っていうか「求め方」でラグランジュの分解式作って
「実際の計算」で計算の仕方を🐎🦌でもわかるように
説明してるじゃん　ηが1の原始５乗根な

全く読んでないの？そりゃ🐎🦌未満の🦠だな

＞言いたかったのは、上記のcos(2π/11)の表式から、
＞ζ（の添加）を使ってクンマー拡大のa^1/5が、
＞具体的に求められるだろうってこと

ていうか順番逆だろｗ
β1^5＝-11/4{89+25√5+5√(410-178√5i)}
β2^5＝-11/4{89-25√5+5√(410+178√5i)}
β3^5＝-11/4{89-25√5-5√(410+178√5i)}
β4^5＝-11/4{89+25√5-5√(410-178√5i)}
で、５乗根の中身が全部計算されてんじゃん

（注：HPでは肝心の5乗のところが抜けてる
　　　計算トレースすれば気づくけど
　　　結果だけ盗む泥棒には絶対分からん）

追加される５乗根は１つではなくβ1,β2,β3,β4の４つ
１以外の１の５乗根が４つで
関係するラグランジュの分解式も４つだから
当然そうなる
（あとの１つの式β0は根の和だから-1
　β0~β4の5つの値から、逆ヴァンデルモンド行列で
　α0~α4という5つの根が出てくる)

36 ：わかるすうがく ：2022/12/23(金) 17:34:47.05 ID:vjYMqzPx.net

なんで、ラグランジュの分解式がベキに結び付くかといえば

β1(α0)=α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4　
　σ(β1(α0))
=β1(σ(α0))
=σ(α0)+σ(α1)η+σ(α2)η^2+σ(α3)η^3+σ(α4)η^4
=α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
=η^(-1)*(α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4)
=η^(-1)*β1(α0)
になるからだぞ　
（ηの逆数を掛けることで巡回する)

ちゃんと石井本の「8.巡回拡大はx^n-a=0で作れる」の
p474-475に書いてあるだろ　まず読みなよ
なんで読まずにウソ書くの？　意味ないじゃん

37 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 00:08:56.02 ID:WMwnzEw8.net

>>35
おっ、ありがとう
あんたも、たまに良いことをいうね

>β1^5＝-11/4{89+25√5+5√(410-178√5i)}
>β2^5＝-11/4{89-25√5+5√(410+178√5i)}
>β3^5＝-11/4{89-25√5-5√(410+178√5i)}
>β4^5＝-11/4{89+25√5-5√(410-178√5i)}
>で、５乗根の中身が全部計算されてんじゃん

なるほど、なるほど
なお、ポイントは冒頭の
「β1^5,β2^5,β3^5,β4^5∈Q(ζ5)となることが知られており」
のところだ（私には、しられておりませんでしたがｗ）
結構技巧を使うんだね（＾＾；

ところで
証明は？

>サボって式だけ盗む泥棒は必ず間違う

おーおー、大口たたくねｗ
どうぞ、上記の証明よろしくね！ｗｗ

あと
β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)
は？ どうなんだろ？
成り立ちそうだけど？

>（注：HPでは肝心の5乗のところが抜けてる
>　　　計算トレースすれば気づくけど
>　　　結果だけ盗む泥棒には絶対分からん）

ふっｗ
その前後は、きちんと5乗が入っているよね
それって、計算ミスではない！
単なる転記ミスだ
最終結果は、完全に正しいことが分かる

あと、このページ単純ミス多いね
冒頭のζ=ζ7→ζ=ζ11だね（そうでないと、意味不明になる）

さらに、その前のn=7のときで
x=ζ7は四次方程式
　↓
x=ζ7は６次方程式

なのでyは二次方程式
　↓
なのでyは３次方程式

だね。最終結果は、合っているようだが

ところで、ここで離散フーリエ変換やってみてよｗｗ
どこで、どう使うのか？ それを示せ！ｗｗ

38 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 05:19:22.12 ID:tBAGAWoe.net

メリークリスマス！
みんなよいコにしてたかな？

>>37
ほう、雑談がお礼をいうのは珍しい
雪でも降るんじゃないだろうか？

さて

＞ポイントは冒頭の
＞「β1^5,β2^5,β3^5,β4^5∈Q(ζ5)となることが知られており」
＞のところだ
　それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな

　簡単にいうと
　β1^5＝β1(α0)^5＝β1(α1)^5=β1(α2)^5=β1(α3)^5=β1(α4)^5
　だから
　5β1^5＝Σ[i=0~4] β1(αi)^5
　となって
　α0+α1+α2+α3+α4=-1
　を使えば残るのはQ上のη(=ζ5)の多項式だけ
　したがってQ（ζ5）

＞（私には、しられておりませんでしたがｗ）
　だから、本を読むときは計算までトレースしないと分からないよ
　石井本は、他の数学書と違ってそういうとこ親切に書いてるから
　真面目に読んだほうがいいよ

＞β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)は？ どうなんだろ？
＞成り立ちそうだけど？
　成り立ちませんな（バッサリ）

　2∈Q　だからって　√２∈Q　が成り立ちます？　
　んなこたぁないｗ

　ピタゴラスの時代ならともかく、
　今どきそんなこといってると、
　中学からやり直せっていわれるよ　マジで

＞その前後は、きちんと5乗が入っているよね
＞それって、計算ミスではない！単なる転記ミスだ
　でも、君、気づかなかったでしょｗ

＞最終結果は、完全に正しいことが分かる
　ホントに分かってる？

＞ところで、ここで離散フーリエ変換やってみてよ
＞どこで、どう使うのか？ それを示せ！
　( ﾟДﾟ)ﾊｧ?　ラグランジュの分解式が離散フーリエ変換なんだが

　君の脳ミソは常時睡眠中か？　起きろぉぉぉぉぉ！！！

39 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 05:22:59.86 ID:tBAGAWoe.net

もうね、雑談クンは、数学板に書くヒマがあったら
石井本を頭から丁寧に読んだほうが
よっぽど数学が分かるようになるよ

インプットしてない人が
アウトプットしたがっても
つまらんことしか言えんから

40 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 08:51:46.49 ID:WMwnzEw8.net

>>37 訂正と追加

訂正
β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)
　↓
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)

追加
要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
（a∈Q(ζ5)）

a∈Q(ζ5)が見つかれば、
クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)に成っていることが
一目瞭然なのです

41 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 09:10:14.99 ID:tBAGAWoe.net

>>40
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
　aは一つじゃないけど
　つまり、η、η^2、η^4、η^3　の巡回ρによって生成される
　ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a)　の　5乗根も追加される
　
　それも　石井本の9　ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
　証明全部読みなよ　全部書いてあるから

42 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 09:22:59.37 ID:WMwnzEw8.net

>>38
ありがとね

>　それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな

石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
一般の円分方程式論の範疇ってことと理解するよ

>　簡単にいうと
>　β1^5＝β1(α0)^5＝β1(α1)^5=β1(α2)^5=β1(α3)^5=β1(α4)^5
>　だから
>　5β1^5＝Σ[i=0~4] β1(αi)^5
>　となって
>　α0+α1+α2+α3+α4=-1
>　を使えば残るのはQ上のη(=ζ5)の多項式だけ
>　したがってQ（ζ5）

細かいところは、ちょっと違和感あるけど
大筋は、そうかも

細かいところとは、>>34のサイトにおける
β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4
（ηは1の5乗根ζ5）
で
β2は、η→η^2
β3は、η→η^3
β4は、η→η^4
と置き換えたものになっているってことで
上記冒頭部分がちょっと違う
（α0は、β0～β4まで固定で共通だしね）

>＞β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)は？ どうなんだろ？
>＞成り立ちそうだけど？
>　成り立ちませんな（バッサリ）

スマン
そこタイポで
訂正は>>40ね

43 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 09:35:32.52 ID:WMwnzEw8.net

>>41
ありがとね

（再録）
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
　aは一つじゃないけど
　つまり、η、η^2、η^4、η^3　の巡回ρによって生成される
　ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a)　の　5乗根も追加される
　それも　石井本の9　ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
　証明全部読みなよ　全部書いてあるから
(引用終り)

１）いまの場合は、>>21より
　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417
　種を明かすと>>372の方程式
　x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
　の左辺は
　Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
　方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
　その解法にはζ_5が必要だが
　最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
　(引用終り)
　とあるよね
２）だから、本質は”aは一つ”なんだよ
　見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
　そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから
３）”石井本の9　ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)”は、
　もっと一般の方程式論の場合だよ

44 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 09:51:42.27 ID:tBAGAWoe.net

>>42
＞＞それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
＞石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
　ラグランジュの分解式を理解していれば
　完全に正確に対応づけられるが

　ちょっとの違いもない
　逆に違うと言い張るなら、どこがどう違うか具体的に示してごらん
　即座に君の誤りを指摘してみせるから

細かいところは、ちょっと違和感あるけど
大筋は、そうかも

＞細かいところとは、
＞https://mathlog.info/articles/3161
＞における
＞β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4（ηは1の5乗根ζ5）
＞で
＞β2は、η→η^2
＞β3は、η→η^3
＞β4は、η→η^4
＞と置き換えたものになっているってことで
＞上記冒頭部分がちょっと違う
　悪いけど、β1^5がQ（ζ5）に属することだけ説明した
　その説明ではβ2、β3、β4は一切出てこないが
　それらの5乗も同様にできることは分かる筈

　ちなみに
　β1を　β(α、ζ)と表すなら
　β2は　β(α、ζ^2)=β(α、ρ(ζ))
　β3は　β(α、ζ^3)=β(α、ρ^3(ζ))
　β3は　β(α、ζ^4)=β(α、ρ^2(ζ))
　と表される
　βをfに置き換えれば、石井本のp412-421に対応させられる筈

　もうねこっちはここまで読み切ってるのよ
　君が式すっ飛ばして、文だけ読んでるだけって
　バレバレだから

　数学分かりたいんだよね？　
　だったら式読みなよ　自分で計算してみなよ
　それが数学だから　

　じゃ、数学板にクソ文書くのは直ちにやめて
　石井本を最初から読み返そう
　君にとって最も有意義な時間となることは間違いない

　ラグランジュの分解式の理屈を理解した私が保証しよう

　メリークリスマス！

45 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 09:59:36.19 ID:tBAGAWoe.net

>>43
＞だから、本質は”aは一つ”なんだよ
＞見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
＞（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
　じゃ、頑張ってその ”一つのa” を見つけてくれ
　もちろん、否定はしない

＞そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから
　それはないな
　４つの５乗根をただ足し合わせているわけではないから
　ちなみに
　1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
　のどれか１つを追加すれば、他の４つはｎ倍角の公式で生成できる

　じゃ、頑張って

＞”石井本の9　ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)”は、
＞もっと一般の方程式論の場合だよ
　君は言い訳しかしないね
　でもその言い訳が君を愚かにし、不幸にしているよ
　賢くなりたい、幸せになりたい、と思うなら、まず言い訳をやめることだね

46 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 12:39:12.84 ID:tBAGAWoe.net

>>40
>あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>>43
>本質は”aは一つ”なんだよ
>見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
>（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）

石井本の8．巡回拡大はx^n-a=0で作れる　の定理6.5(p473-475)を
読んで理解したならその質問はしないね
つまり質問するということは、全然分かってないってことｗ

答えは、a^(1/5)＝β1　だね　
もちろん、β2でもβ3でもβ4でも構わんが

ということで
β2、β3、β4∈Q(β1,ζ5)

47 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 12:54:53.74 ID:WMwnzEw8.net

>>45
ご苦労さん

１）石井本 第6章 「根号で表す」 7節 x^n-a=0の作る体
　クンマー拡大
　定理6.4 べきべき根拡大から巡回群を作る
２）また、同 8節 巡回拡大は x^n-a=0で作れる
　巡回拡大からべき根拡大へ
　定理6.5 巡回拡大からべき根拡大を作る
　定理6.6 デデキントの補題
　定理6.7 べき根拡大を作るべき根の存在
３）つまりは、クンマー拡大＆クンマー理論から
　方程式のガロア群は5次の巡回群>>43の場合
　基礎体をQとして、この拡大体は、Q（a^1/5,ζ）です（a∈Q（ζ））

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論

クンマー拡大

クンマー理論

48 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/24(土) 13:07:46.57 ID:WMwnzEw8.net

>>46
>答えは、a^(1/5)＝β1　だね　
>もちろん、β2でもβ3でもβ4でも構わんが

ようやく気づいたの？ｗ（>>47 ご参照）
(対して、あなた自身のレス>>45を対比して下さいｗ)

それは一つの可能性だね

その上で思ったのは、β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
すっきりするなと、考えたんだけど
すぐには浮かばなかったな

49 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 13:53:28.56 ID:tBAGAWoe.net

>>48
＞ようやく気づいたの？
　ウソはいけないな
　私のコメント>>47で君は初めて気づいた
　それが事実
＞あなた自身のレス>>45を対比して下さい
　誤魔化すのはよくないな
　「β1、β2、β3、β4に共通する因子」
　を具体的に示してもらうことで
　「すっきり」しようとした　
　それがホンネだろ？

　さて本題
＞それは一つの可能性だね
　それとはどれ？β１、β２、β３、β４？
　どれも答えだよ
　そしてそれが定理6.5の証明での
　「ラグランジュの分解式」
　によって具体的に示されている
　つまりβ1,β2,β3,β4∈Q(α,ζ5)で
　Q(α,ζ5)=Q(β1,ζ5)=Q(β2,ζ5)=Q(β3,ζ5)=Q(β4,ζ5)

　だから、
　「あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
　　β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)とできるか」
　に対するこの発言はやっぱり正しい
　「（そうできる）aは一つじゃないけど
　　（β1,β2,β3,β4のどれもaとなり得るから」

　これで完璧！
　メリークリスマス！

50 ：聖ニコラス：2022/12/24(土) 14:00:21.31 ID:tBAGAWoe.net

>>48
>β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
>すっきりするなと、考えたんだけど
>すぐには浮かばなかったな

実はα0~α4のどれでもいい
どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる

これが「共通因子」だなｗ

定理6.5の証明の
「ラグランジュの分解式」
が分かっていれば即答できたな

これで、おサルさんも冥途に行けるだろう

メリークリスマス！！！

51 ：１３２人目の素数さん：2022/12/24(土) 21:38:40.34 ID:/P8Bw71J.net

そもそも巾根解法なるものは、その前提として
数に対してその巾根が存在するということを自明であるとして話を進めているが、
そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。
実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、極限を伴う演算でのみ
巾根は求まるものだからだ。有理数体Qの元である2に対してその平方根
である√2が最初からあると思うのは間違いで、有理数の極限として生み出された
ものが√2だからだ。純代数的にやるのなら、Qには含まれない元θが代数的
関係θ＾2＝2を満たすものとしてそれをQに添加したものが体を成している
ことを了解して、そのθが2の平方根であるとしなければならない。つまり
体の代数拡大を考えていることになる。
でもそのような考え方で巾根をとらえるのなら、一般の代数方程式の解法で
巾根解法を考えなければならない必然性は無くなる。元の体K上で既約な
多項式P（ｘ）があるときに、方程式P(x)＝0の根を求めるのには、
Kには存在しない元θがK上の代数関係P(θ)=0を満たすものであるとしてやれば、
方程式P(x)=0の解の1つがθになるからだ。そうしてKにθを添加すると
体　K(θ）が得られることも同様だ。
そうして元の体Kを変えないK(θ）上の自己同形全体の為す群がガロア群である。

52 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 06:36:03.59 ID:bxcZkaLZ.net

>>51
>そもそも巾根解法なるものは、その前提として
>数に対してその巾根が存在する
>ということを自明であるとして話を進めているが、
>そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。

実際おさまらないのは
複素数体上の方程式は必ず複素数の根を持つという
「代数学の基本定理」の証明からも明らかであろう。

>実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、
>極限を伴う演算でのみ巾根は求まるものだからだ。

具体的には
x^(1/n)=exp(1/n∫[1,x]1/zdz)
なる関数であらわせる

（∫[1,x]1/zdzは、log(x)と呼ばれる）

>有理数体Qの元である2に対して
>その平方根である√2が
>最初からあると思うのは間違いで、
>有理数の極限として生み出されたものが√2だからだ。

-1に対してその平方根√-1は
有理数の極限としても存在しない

>純代数的にやるのなら、
>Qには含まれない元θが代数的関係θ＾2＝2を満たすものとして
>それをQに添加したものが体を成していることを了解して、
>そのθが2の平方根であるとしなければならない。
>つまり体の代数拡大を考えていることになる。

実数Rから複素数Cへの拡大は
代数的関係i^2=-1を満たす元iの
Rへの添加にほかならない

>でもそのような考え方で巾根をとらえるのなら、
>一般の代数方程式の解法で
>巾根解法を考えなければならない
>必然性は無くなる。

>元の体K上で既約な多項式P（ｘ）があるときに、
>方程式P(x)＝0の根を求めるのには、
>Kには存在しない元θがK上の代数関係P(θ)=0を満たすものである
>としてやれば、方程式P(x)=0の解の1つがθになるからだ。
>そうしてKにθを添加すると体　K(θ）が得られることも同様だ。

その場合、「根を求める」というより
「根をベキ根でで表示する」というのが適切だ
その際、１のベキ根を適宜追加することになるが
１のベキ根自体、より低い次数のベキ根で表せる

一旦ここで切る

53 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 06:50:38.63 ID:bxcZkaLZ.net

>>52
>そうして元の体Kを変えないK(θ)上の
>自己同形全体の為す群がガロア群である。
　そして、θがベキ根で表せるのは
　ガロア群が可解であるとき、
　すなわち、剰余群が巡回群となるような正規部分群を次々とっていって、
　単位群まで縮小可能となるとき、その時に限る
　
　その場合KとK(θ)の間の中間体Mで
　　M上でのK(θ)のガロア群が正規部分群
　　K上でのMのガロア群が剰余群
　となるようなものが存在する
　したがって、Kにベキ根を追加した体Mを次々と生成すれば
　やがてK(θ)に行きつく
　θがベキ根そのものとは限らないが、
　ベキ根で表せることは明らかだろう
　
　そしてガロア群が巡回群となるときに
　用いるのがラグランジュの分解式

　したがって、ベキ根解法とは
　つまるところラグランジュの分解式である

54 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2022/12/25(日) 09:30:49.45 ID:4mPovfMa.net

>>34 追加補足

まず(参考)
https://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt 2007
Department of Mathematics, University of York,
P6
(1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
branch of planar geometry.
But things are not so simple. If we look at the solutions to x
5 - 2 = 0, something quite different
happens：
（図があるが略（というかここには示せない））
（言葉で書くと、複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、頂点の一つが実数α =2^1/5で、そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）
α =2^1/5
ω：1の5乗根
We will see later on how to obtain these expressions for the roots. A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of the roots of x^5 - 2 using the same reasoning as in
the previous example. But this reasoning also gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon
according to:
（図があるが略（というかここには示せない））
（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図）
This is not a geometrical symmetry! Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to x^p - 2 = 0 have p(p - 1) symmetries.
(P7 Exercise 7 に、この部分が問題として出されている）
追記
余談だが、表紙のサッカーボールの図があり、表紙を開くとP2にこれを交代群A5のCaylayグラフにした見事な図示がある
これは、一見の価値ありです！
(引用終り)

つづく

55 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2022/12/25(日) 09:31:50.94 ID:4mPovfMa.net

>>54
つづき

さて、>>34 https://mathlog.info/articles/3161 Mathlog 子葉
β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4　｜ηは1の5乗根で、ラグランジュ・ソルベントになっている
　↓(η→η^3への置き換え)
β3＝α0+α1η^3+α2η^6+α3η^9+α4η^12=α0+α1η^3+α2η^+α3η^4+α4η^2

ここちょうど、上記 Everittの ”α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図”に相当している
ここで、Mathlog 子葉にあるのは、η 1の5乗根のη→η^3への置き換え

なので、 Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
そのうちのω＝1の5乗根 による拡大（置換）を扱っている（説明している）図ってことだね！

上記の”α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図”は
あみだくじで表現するなら（石井本 第2章群 6節 あみだくじのなす群 ご参照）
0,1,2,3,4
　↓
(あみだ)(ここには書けないので各自考えて下さい）
　↓
0,2,4,1,3
となります
以上

56 ：漆肆参　 ◆i.6b92fBQS7D ：2022/12/25(日) 09:48:48.81 ID:bxcZkaLZ.net

おサルの1クン　やっと、(Z/5Z)×　が何なのか学び始めたね

>>54
＞（図があるが略（というかここには示せない））
＞（言葉で書くと、
＞　複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、
＞　頂点の一つが実数α =2^1/5で、
＞　そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）

Z/5Zは　α→αω→αω^2→αω^3→αω^4　と置換する
しかし

＞（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図））

これが、ω(αではない！）に関する(Z/5Z)×の働き

つまり　ω→ω^3→ω^4(=ω^9)→ω^2(＝ω^12=ω^27)→ω(=ω^6=ω^36=ω^81)

＞This is not a geometrical symmetry!
　そう単純な幾何学的対称性ではない

　ただ、円の五等分点と考えて、
　円の長さを三倍に引き伸ばした上で
　三周させる形に巻きなおすと
　ω→ω^3→ω^4→ω^2→ω　
　の対応が得られる

57 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 09:58:42.75 ID:bxcZkaLZ.net

>>55
＞Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
＞Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
＞そのうちのω＝1の5乗根 による拡大（置換）を扱っている（説明している）図ってことだね！

　位数４（５ではない！）の群（Z/5Z）×　
　（つまりω→ω^3→ω^4→ω^2→ω）
　による拡大は、クンマー拡大じゃなくて円分拡大

　クンマー拡大は位数5の群(Z/5Z)による拡大な
　（α→αω→αω^2→αω^3→αω^4→α）

58 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 10:11:04.93 ID:bxcZkaLZ.net

>>55
つまり
https://mathlog.info/articles/3161
のβ1~β4は、円分拡大に対応する
じゃ、クンマー拡大は？

それは
　α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4　を
　α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4　に
置き換えること（およびその繰り返し）に対応する

　α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
＝η^4(α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4)

つまり5角形の頂点を逆回りに巡回させる
その群は（Z/5Z）になる

α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4の5乗は、Q(η)の元で表せるので
α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4は、その5乗根として表せるってこと

で、円分拡大のガロア群(Z/5Z)×の元に対応する
ラグランジュの分解式４つの値と、根の和からなる、
合計５つの値に逆ヴァンデルモンド行列を掛けると
根が出てくる、って仕掛けですな

59 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/25(日) 10:15:31.60 ID:4mPovfMa.net

>>50
>実はα0~α4のどれでもいい
>どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
>σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
>β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる
>これが「共通因子」だなｗ
>定理6.5の証明の
>「ラグランジュの分解式」
>が分かっていれば即答できたな

１）大体は、それで良いが
　いま、β1とか具体的数式で与えられているから
　石井 定理6.5のように、具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）
　を与えて
２）β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、a^1/5と1の原始5乗根ηとで
　具体的表式で示せれば、これぞクンマー拡大の典型例となる
　そう思ったわけです
３）どうぞ、やってみてね！ｗ
４）なお、石井本では詳しく説明していないが、抽象的議論なら、下記の定理 6.3は必須だな
（数学科の教程なら、この定理は普通は入るだろうが、石井本は一般大衆向けだからね。類似のことは石井本の定理5.6の前後にあるけど、下記の定理 6.3ほどすっきり書かれていない）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/573 より
https://sitmathclub.github.io/research/
芝浦工業大学 数理科学研究会
https://sitmathclub.github.io/research/pdf/2015/shibaura/document/ishikawa_p.pdf
2015
多項式の解法
芝浦工業大学　数理科学研究会
石川 直幹
P12
定理 6.3
有理式 f(x1,x2,・・,xn) を変えない置換によって 他の有理式 φ(x1,x2,・・,xn)が変わらないならば
φ＝(a0+a1f+a2f^2+・・)/(a'0+a'1f+a'2f^2+・・)
のような恒等式が成り立つ
(注：つまり、φは式 fの有理式で表される)

P28
3 分解式の作り方
3.1 三次の場合
このままだと 分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
とになってしまうので これの由来を説明する
(以下略。原文参照のこと。要するに、数ある分解式で、1次式で良さそうなものがこれって話です)
(引用終り)
以上

60 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 10:21:09.26 ID:bxcZkaLZ.net

Q→Q(η)→Q(η,β1)
F20⊃C5⊃{e}

つまり
[Q(η,β1):Q]=20
[Q(η,β1):Q(η)]=5
[Q(η):Q]=4

61 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/25(日) 10:35:28.03 ID:4mPovfMa.net

>>56
(引用開始)
＞This is not a geometrical symmetry!
　そう単純な幾何学的対称性ではない
　ただ、円の五等分点と考えて、
　円の長さを三倍に引き伸ばした上で
　三周させる形に巻きなおすと
　ω→ω^3→ω^4→ω^2→ω　
　の対応が得られる
(引用終り)

なるほど
単純ではないが、
幾何学的な見方ってことね

>>57
>　による拡大は、クンマー拡大じゃなくて円分拡大

そこは
クンマー拡大を
円分拡大（ζの添加（ζはｎ乗根））
　↓
べき根拡大（a^1/n (a∈K(ζ))の添加）
の二段階に分けて考えているってことだよ

広い意味で、クンマー拡大という用語に、
必要なζの添加（ζはｎ乗根）のプロセスを含めているってこと

62 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 10:39:58.90 ID:bxcZkaLZ.net

>>59
＞いま、β1とか具体的数式で与えられているから
＞具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）を与えて
＞β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです

　β1^5,β2^5,β3^5,β4^5は、全部Q(η)の元
　そしてそれら４つの数は、円分拡大の巡回群で巡回する
　上記を利用すれば、できるね　うん

　ま、頑張って

63 ：漆肆参　 ：2022/12/25(日) 10:46:23.15 ID:bxcZkaLZ.net

>>61
＞広い意味で
　勝手に広げちゃダメだよ

クンマー理論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

つまり「べき根拡大」の箇所を「クンマー拡大」というのであって
「ζの添加」の箇所は「円分拡大」

要するに、おサルの1は、今初めて円分体と円分拡大を学んでいるってこと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93

64 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/25(日) 23:47:16.02 ID:4mPovfMa.net

>>62
>　ま、頑張って

なんだよｗ
それは、おれのセリフだよｗｗ

>>63
>＞広い意味で
>　勝手に広げちゃダメだよ

良いんだよ
私的な試行錯誤のときはｗ
自由に考えて良いんだ
それが出来ないやつは、落ちこぼれる

但し、院試では正規の用語を使うべし
院試は、独創性のような採点不可能な能力を見るのでは無く
ちゃんと学部の勉強が出来ているかを見るためのもの
正規の用語は、その採点の一部ですから

それで、クンマー理論・クンマー拡大のベースの体の話に戻ると
元の体は、有理数体Qであっても
べき根を取る a^1/n で、aの属する体はQを拡大した体になるべし
具体例は、下記の”11乗して1になる数を求める円分多項式”にある
（但し、下記の C0^5 ∈ Q(√-11)→C0^5 ∈ Q(√-11,σ) σは1の5乗根 だろうね、C0はラグランジュ・リゾルベントを使っているから）
（ラグランジュ・リゾルベントの利点は、巧まずして、例えばσ1の5乗根を導入するところにあるんだよね。フーリエじゃないよ、ラグランジュ！ｗ）

(参考)
https://ror.hj.to/ja/issei/entries/3493-fcf68e7d004ec28d1b29db440ee69b38/node
元祖ワシ的日記
眠れない夜に円分多項式 （一応その３）2008年05月28日

11乗して1になる数を求める円分多項式
F11(x) = x^10 + x^9 + x^8 + ... + x + 1 = 0
の根は10次の方程式ながら解けてしまうのです。

ガロア理論では5次以上の方程式に解の公式がないこともまた証明されているので、このような次数の高い方程式が解けてしまうのはまた実にフシギだなぁと思うわけです。
ちなみに解ける理由を一言でいうと、F11のガロア群、すなわち1の11乗根はZ/10Zに同型だから累乗根を数回繰り返すことで解ける。ということになりますがチンプンカンプンですね。
しかも、多くの数学の本では具体的な解き方というのが明かされていないのです。ということで具体的にこの方程式を解いてみる。というのがこのシリーズの主題です。前回はF7(x)を解きました。今回は7の次の素数である11にチャレンジです。

C0 = ξ + σξ^4 + σ^2ξ^5 + σ^3ξ^9 + σ^4ξ^3
σは1の5乗根でσ^5 = 1
C0^5 ∈ Q(√-11)
(引用終り)
以上

65 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/26(月) 07:00:37.85 ID:QjvnggET.net

>>64
>>　ま、頑張って
>　　なんだよ　それは、おれのセリフだよ
　　　自分の疑問は自分で解決してこそ快感が得られるんだよ
　　　ま、頑張って、ケツ拭きな

>　　広い意味で
>>　勝手に広げちゃダメだよ
>　　良いんだよ　私的な試行錯誤のときは　自由に考えて良いんだ　
>　　それが出来ないやつは、落ちこぼれる
　　　間違うのは良いけど、間違いをなかったことにするのはダメだね
　　　間違いを認めないヤツが、落ちこぼれる　君がいい例さ
　　　だから逆行列も無限乗積も初歩で間違っただろ
　　　君の「定義も読まずに直感だけでウソ分かりする」学習法が間違ってるのさ
　　　中学・高校の数学では通用したからって
　　　大学の数学でも通用すると思ったら大失敗
　　　まずそこを受け入れないとね

66 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/26(月) 07:18:01.89 ID:QjvnggET.net

>>64
>クンマー理論・クンマー拡大のベースの体の話に戻ると
　戻ってばっかりだね

>元の体は、有理数体Qであっても、べき根を取る a^1/n で、
>aの属する体はQを拡大した体になるべし
　a∈Q(η)だっていってるじゃん（ηは1の5乗根）
　君、物覚え悪いね

>具体例は、下記の”11乗して1になる数を求める円分多項式”にある
>（但し、C0^5 ∈ Q(√-11)→C0^5 ∈ Q(√-11,σ) σは1の5乗根 だろうね、
>　C0はラグランジュ・リゾルベントを使っているから）

「だろうね」じゃないよ
「ただしσは1の5乗根でσ^5 = 1」って書いてあるじゃん
読みなよ　君、日本語読めないの？

ところで
B0 = ξ + ξ^4 + ξ^5 + ξ^9 + ξ^3
B1 = ξ^2 + ξ^8 + ξ^10 + ξ^7 + ξ^6
ってあるけど、これが何をやってるか、君、分かる？

僕？もちろん、分かったよ
有名なアレだね、アレ

>（ラグランジュ・リゾルベントの利点は、巧まずして、
>　例えばσ1の5乗根を導入するところにあるんだよね。
>　フーリエじゃないよ、ラグランジュ！ｗ）
　あ、分かってないｗ
　なんで、ラグランジュ・リゾルベントが５乗根になるのか
　石井本にも書いてあるし、>>58にも書いてあるのに
　君って日本語の文章が全く読めない文盲ニホンザルなんだね

　ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
　「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
　工学部では離散フーリエ変換習わないの？んなことないだろｗ
　君がどうせ不勉強なだけだろ　だから数学でオチコボレるんだよ

67 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/26(月) 08:01:02.61 ID:QjvnggET.net

くだらん計算

B0-B1
= ξ + ξ^4 + ξ^5 + ξ^9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^6

(B0-B1)^2
=(ξ + ξ^4 + ξ^ 5 + ξ^ 9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^ 6)^2
= ξ^2 + ξ^5 + ξ^ 6 + ξ^10 + ξ^4 - ξ^3 - ξ^9 - 1 - ξ^8 - ξ^ 7
+ξ^5 + ξ^8 + ξ^ 9 + ξ^ 2 + ξ^7 - ξ^6 - ξ - ξ^ 3 - 1 - ξ^10
+ξ^6 + ξ^9 + ξ^10 + ξ^ 3 + ξ^8 - ξ^7 - ξ^2 - ξ^ 4 - ξ - 1
+ξ^10 + ξ^2 + ξ^ 3 + ξ^ 7 + ξ - 1 - ξ^6 - ξ^ 8 - ξ^ 5 - ξ^ 4
+ξ^4 + ξ^7 + ξ^ 8 + ξ + ξ^6 - ξ^5 - 1 - ξ^ 2 - ξ^10 - ξ^ 9
- ξ^3 - ξ^6 - ξ^ 7 - 1 - ξ^5 + ξ^ 4 + ξ^10 + ξ + ξ^9 + ξ^8
- ξ^9 - ξ - ξ^ 2 - ξ^6 - １ 　+ ξ^10 + ξ^ 5 + ξ^7 + ξ^4 + ξ^3
- 1 - ξ^3 - ξ^ 4 - ξ^8 - ξ^2 + ξ + ξ^ 7 + ξ^9 + ξ^6 + ξ^5
- ξ^8 - 1 - ξ - ξ^5 - ξ^10 + ξ^ 9 + ξ^ 4 + ξ^6 + ξ^3 + ξ^2
- ξ^7 - ξ ^10 - 1 - ξ^4 - ξ^9 + ξ^ 8 + ξ^ 3 + ξ^5 + ξ^2 + ξ
=10(-1)+ξ+ξ^2+ξ^3+ξ^4+ξ^5+ξ^6+ξ^7+ξ^8+ξ^9+ξ^10
=-11

68 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/26(月) 08:19:30.32 ID:QokK4Ea5.net

>>67
ありがと
ついでに
そのB0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな

>>66
>　ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
>　「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる

だれも言わないみたい
そういう意味では、独創（独走？ｗ）か
個人的かつ妄想的 数学用語の使い方だな

>>65
ご苦労様
数学科の落ちこぼれさん
場末の5ｃｈで必死に吠えるの図か
ご苦労さまですｗ

69 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/26(月) 08:31:42.13 ID:QjvnggET.net

>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
　自分で気づきなよ　なんのために検索してんの

>>　ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
>>　「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
>だれも言わないみたい
　誰も言わないとそうだといえないんだ　自分の頭で考えないの？

>場末の5ｃｈで必死に吠えるの図
　それ、大学１年の数学でオチコボレた君じゃん
　ご苦労様

70 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/26(月) 08:38:51.02 ID:QjvnggET.net

>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
　まあ、おサルさんには一生見つけられないだろうから
　冥途の土産に教えてあげるよ

美的数学のすすめ　ガウス和
https://biteki-math.はてなブログ.com/entry/2015/03/17/013543

「へーほーじょーよ」って言葉があるだろ？

それにしても、なんだ、直接計算しなくても求まるじゃんｗ

71 ：１３２人目の素数さん：2022/12/26(月) 23:37:15.06 ID:SO0v4DPk.net

ハーイ、1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}でーす。
実に簡単に巾根を使って書けますね。

72 ：１３２人目の素数さん：2022/12/26(月) 23:58:04.00 ID:SO0v4DPk.net

今度丸善から

抽象代数学史概講　代数方程式から近代代数学へ
著者名 三宅　克哉 訳
原書名 A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra
という本が出るよ。

73 ：現代数学の彼岸 ：2022/12/27(火) 05:52:14.06 ID:+ufoBjtG.net

>>71
>1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}
>実に簡単に巾根を使って書けますね。

でも、実は平方根と５乗根で書ける

1の5乗根は平方根だけで書ける
1の7乗根は平方根と立方根だけで書ける

74 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 08:01:47.94 ID:54Cbbi6K.net

巾根の中を実数に（正負どちらも許す）制限した場合に、
円のｎ等分方程式は如何に解かれるか？

すくなくとも1^{1/n}という表示による解はあるのだが。

たとえばn=11の場合を11よりも小さい巾の根で根号の中身は
すべて実数であるという表示を用いて表せるだろうか？

75 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 09:13:16.91 ID:IQVienvL.net

なんで実数に制限するの？
池沼の考えることは分からんねｗ

76 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/27(火) 11:10:17.96 ID:6dMNL3dI.net

これ、面白いな
https://gigazine.net/news/20221207-particle-physics-computer-program-maintenance-retiree/
gigazine
2022年12月07日
素粒子物理学に必須級のソフトウェア「FORM」の保守はたった1人の老科学者が担っている、新しい機器では使えなくなり研究が停滞する危険性

1980年代に開発され、それ以来30年以上にわたって最先端の素粒子物理学で使われ続けているソフトウェア「FORM」の陳腐化が進んでおり、もし使えなくなればこの分野の研究者にとって手痛い打撃になる危険性があると、科学系ニュースサイトのQuanta Magazineが報じました。

Crucial Computer Program for Particle Physics at Risk of Obsolescence | Quanta Magazine
https://www.quantamagazine.org/crucial-computer-program-for-particle-physics-at-risk-of-obsolescence-20221201/

Quanta Magazineによると、科学の中でも素粒子物理学は特に長大な方程式を扱う研究分野だとのこと。例えば、大型ハドロン衝突型加速器で新しい素粒子を探す研究では、粒子が光速に近い速度で衝突する結果を予測するためにファインマン・ダイアグラムという図が何千枚も作成されますが、その1つ1つが何百万項からなる複雑な数式を内包しています。

このような数式の計算には数式処理システムと呼ばれるソフトウェアが必要ですが、その中でも傑出しているのがオランダの素粒子物理学者であるJos Vermaseren氏によって開発された「FORM」です。

これまでFORMの保守を一手に担ってきたVermaseren氏ですが、記事作成時点で73歳と高齢にさしかかっており、後継者も現れていません。その原因の1つは、「論文の発表を重要視し研究ツールへの貢献が軽視されがちなアカデミアのインセンティブ構造にある」と、Quanta Magazineは指摘しています。

つづく

77 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/27(火) 11:10:48.62 ID:6dMNL3dI.net

>>76
つづき

よりユーザーフレンドリーな「Mathematica」といった数式処理システムを選ぶ研究者もいますが、MathematicaはFORMに比べて桁違いに動作が遅いので、素粒子物理学者はいずれFORMを使わなければ計算できない問題に取り組めなくなる可能性が危惧されています。

https://en.wikipedia.org/wiki/FORM_(symbolic_manipulation_system)
FORM (symbolic manipulation system)
Its original author is Jos Vermaseren of Nikhef, the Dutch institute for subatomic physics. It is widely used in the theoretical particle physics community, but it is not restricted to applications in this specific field.[1]

Contents
1 Features
2 Example usage
3 History
4 Applications in high-energy physics and other fields
(引用終り)
以上

78 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/27(火) 11:13:44.23 ID:6dMNL3dI.net

>>75
ご苦労様です
スレ主です
年末忙しいので
レスするヒマないが
落ち着いたらまた

79 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 11:32:31.89 ID:Hatu8KFK.net

>>76
面白い　１が言ったら　つまらない

80 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 11:36:19.51 ID:VRfHkim5.net

つまらなくても情報は情報

81 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 11:40:08.30 ID:Hatu8KFK.net

>>74
いかにも劣等生が無理矢理考えた問題　乙

82 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 11:44:59.69 ID:Hatu8KFK.net

>>75
まぁ、複素数のn乗根なんて
どうやって計算すんだ？
と言いたいんだろうな

83 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 11:48:34.40 ID:Hatu8KFK.net

>>80
空でも集合
単位元だけでも群
0だけでも0次元線形空間

84 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 16:13:15.18 ID:SY0eh102.net

【芸能人体調不良】　多すぎ　【救急車のサイレン】
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/body/1651722234/l50
https://o.5ch.net/203u2.png

85 ：１３２人目の素数さん：2022/12/27(火) 22:36:44.33 ID:54Cbbi6K.net

空数学は、公理が１つも無し、論理も無し、命題も無し。最も単純な数学だ。

86 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/27(火) 23:42:19.67 ID:p2TgDrx+.net

>>75
>なんで実数に制限するの？
>池沼の考えることは分からんねｗ

そうだね
日本の数学教程が貧弱なのかも

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2018highschool-math/op2018-004.pdf
高校生のための現代数学講座 東京大学
「複素数」 玉原国際セミナーハウス
講義 (4) 　松尾 厚 2018 年
「初等幾何と複素数」
中学校の数学において，三角形や円などの図形に注目し，三角形の合同・相似や
円の接線の性質などを利用して，平面上の種々の図形について成立する諸定理を証
明する手法を学んだ。そのような内容は，初等幾何と呼ばれる分野に属する。
初等幾何の諸定理は，座標やベクトルを用いて計算することにより，中学校で学
んだ方法とは異なる方法で示すこともできる。さらに，平面上の図形の回転と拡大
に関連するような定理については，複素数の積を利用することも有力な手段である。

https://manabitimes.jp/math/778
高校数学の美しい物語
複素数の存在意義と様々な例 2021/03/07

複素数のメリット
・複素数平面を考えると「複素数の積」が「回転」に対応します。そのため実数の範囲では煩雑な回転の計算が楽になります。
・実数関数の定積分で，複素数の世界を考えることで簡単に値を求められるものがいくつも存在します。これは複素関数論の留数定理という強力な定理によっています。
・量子力学という現代物理の分野では，状態を複素数で表すことがあります（古典力学では「状態」は位置や速度などの実数で表します）。
複素数の恩恵をありがたく享受しましょう！

https://www.juen.ac.jp/math/journal/files/vol26/nakazawa26.pdf
上越数学教育研究，第26号，上越教育大学数学教室，2011年，pp.113-122.
複素数学習における幾何的アプローチについて
中澤 健二
上越教育大学修士課程１年
大学生になって初めて複素平面に触れ
た。それまで形を持たなかったように感じた
複素数a + biが極形式により三角関数ともベ
クトルとも関係を持ち，視覚的に捉えること
ができた。絶対値や偏角も，計算と図表と合
わせて理解し，求められるようになった。頭
の中で「繋がりのある数学の世界」が広がっ
ていき，複素数理解の深まりを実感できた。

87 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 07:23:43.44 ID:ohlxo9pA.net

>>86
教程以前に学生の勉学意欲が貧弱　だから能力も貧弱
数学書の文章も読めない　
書かれてる式の計算もできない
それじゃ数学わかるわけない

88 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 07:25:55.64 ID:ohlxo9pA.net

>>86
＞（参考）
一読もせずに漫然とコピペする馬鹿にはなりたくないもんだね

89 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 13:55:41.09 ID:Nlb5LCC+.net

>>87
>>88
13 １３２人目の素数さん sage 2022/12/28(水) 08:23:01.73 ID:ohlxo9pA
おまえら　いいたいこというなら
顔と実名だせよ　チンカス

90 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 14:40:15.07 ID:ohlxo9pA.net

>>89
15１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:04.91ID:Nlb5LCC+
このスレと何の関係があるんだ？

16１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:44.66ID:Nlb5LCC+
侮辱することは犯罪にはならんぞ
お前はアホなのか？

91 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 14:41:06.81 ID:em/FvuC8.net

>>90
頭弱いからコピペでしか対応できなくて草

92 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 15:17:33.19 ID:ohlxo9pA.net

>>91
草じゃなく糞の間違いだろ？

93 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 15:18:15.59 ID:x4VVg6a2.net

>>92
バカが反応した

94 ：１３２人目の素数さん：2022/12/28(水) 15:19:44.41 ID:ohlxo9pA.net

>>93
友達いないのか？

95 ：１３２人目の素数さん：2022/12/29(木) 14:48:01.83 ID:DuM7GG4h.net

実係数多項式が1次あるいは２次の多項式の積に必ず分解できることを
ガウスは証明したとして学位を得た。
しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
そのことを自覚していたはずだと思われる。

でも、学位は取り消しにはならなかったね。

96 ：１３２人目の素数さん：2022/12/29(木) 15:35:44.24 ID:672StsPz.net

>>95
さすがにガウスより出来のいい教授なんていなかったでしょ
（Mathematice Genealogyによると
　ガウスの師はパッフ（Pfaff）とある
　パフィアンの名前の由来になった人ですね）
https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Friedrich_Pfaff

97 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 15:50:18.61 ID:672StsPz.net

>>59
>β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
>a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
>これぞクンマー拡大の典型例となる
　cos(2nπ/11)　(n=1~5)　を根とする５次方程式の場合だが
　実は根を表示する４つのラグランジュ分解式　L1~L4は
　L1*L4=11、L2＊L3=11　という等式を満たすので
　L3=11/L2、L4=11/L1　と表せる
　したがって、L1とL2が求まればよい
　
　完全解決ではないが、４つが２つになったので、一応書いとく

98 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 17:34:50.39 ID:672StsPz.net

素数pについて、円のp等分を考える場合
cos(2nπ/p)　(n=１~(p-1)/2)　を根とする
(p-1)/2次多項式のラグランジュ分解式m＝((p-1)/2)-1個について
もしmが偶数なら、互いにその積がpとなるm/2個の対が存在する

99 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/29(木) 17:59:37.93 ID:Dt/DNUrE.net

>>95
>ガウスは証明したとして学位を得た。
>しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
>そのことを自覚していたはずだと思われる。
>でも、学位は取り消しにはならなかったね。

それが”時代の進歩”ってやつでしょう
かつ、学位は取り消されるべきものではないのだろうと思う（学位は人に出されるもの）
学会のなんとか賞も、多少の瑕疵が分かっても、同様なのでしょう（なんとか賞も人に対して出されるもの）

(参考) （和文はしょぼいので、英文ご参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
代数学の基本定理

歴史
17世紀前半にアルベール・ジラール（フランス語版、英語版）らによって主張され、18世紀の半ばからジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ（英語版）、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ピエール＝シモン・ラプラスらが証明を試み、その手法は洗練されていった。1799年にカール・フリードリヒ・ガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の証明を与えた（ただし、現在ではガウスの最初の証明も完全ではなかったことが分かっている[注 1]）。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。

注釈
1.^ ガウスの最初の証明は幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備がある。

つづく

100 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/29(木) 18:00:00.64 ID:Dt/DNUrE.net

>>99
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
Fundamental theorem of algebra

History
The other one was published by Gauss in 1799 and it was mainly geometric, but it had a topological gap, only filled by Alexander Ostrowski in 1920, as discussed in Smale (1981).[7]

The first rigorous proof was published by Argand, an amateur mathematician, in 1806 (and revisited in 1813);[8] it was also here that, for the first time, the fundamental theorem of algebra was stated for polynomials with complex coefficients, rather than just real coefficients. Gauss produced two other proofs in 1816 and another incomplete version of his original proof in 1849.

None of the proofs mentioned so far is constructive. It was Weierstrass who raised for the first time, in the middle of the 19th century, the problem of finding a constructive proof of the fundamental theorem of algebra. He presented his solution, which amounts in modern terms to a combination of the Durand?Kerner method with the homotopy continuation principle, in 1891. Another proof of this kind was obtained by Hellmuth Kneser in 1940 and simplified by his son Martin Kneser in 1981.

Without using countable choice, it is not possible to constructively prove the fundamental theorem of algebra for complex numbers based on the Dedekind real numbers (which are not constructively equivalent to the Cauchy real numbers without countable choice).[9] However, Fred Richman proved a reformulated version of the theorem that does work.[10]
(引用終り)
以上

101 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 18:04:23.36 ID:672StsPz.net

>>99-100
なんだ、箱入り無数目スレで、撃沈されたんで
今度は、このスレに逃げてきたのかい？

あちこち逃げ回ってばっかりだねぇ
数学学びたいんなら、まず国語からやりなおしたほうがいいな

102 ：１３２人目の素数さん：2022/12/29(木) 18:05:09.23 ID:DuM7GG4h.net

平面代数曲線が突然途切れておしまいになることはないのだ、
というような自明では無いことをさらりと書いて（あるいは仮定して）、
だから2つの曲線が交点を持つ（そこもまたJordan閉曲線定理を利用）
と言って論を進めていた。もちろんそれらは正しいのだが、証明をせずに
正しいとして使っている。

103 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 18:23:36.68 ID:672StsPz.net

>>97
＞cos(2nπ/11)　(n=1~5)　を根とする５次方程式の場合だが
＞実は根を表示する４つのラグランジュ分解式　β1~β4は
＞β1*β4=11、β2＊β3=11　という等式を満たすので
＞β3=11/β2、β4=11/β1　と表せる
＞したがって、β1とβ2が求まればよい

　こう書くと、２と11/2　みたいな感じで
　とらえられるかもしれんが全然違う

　実際にcos(2nπ/11)　(n=1~5)から
　ラグランジュ分解式の値を計算したから
　いうのだが
　
　β1、β2、β3、β4は、全部絶対値√11の複素数であり
　β1とβ4、β2とβ3は、互いに共役である

　β1β4=11、β2β3=11　は式の計算でも確かめられるが
　それ以上のことはさすがに式だけでは見当もつかなかった
　EXCELさん　アリガトウ
（数式処理システム持ってないせいもあるが、
　数値計算でEXCEL使いまくり）

104 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2022/12/29(木) 20:39:37.35 ID:Dt/DNUrE.net

>>103
ご苦労様です

105 ：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2022/12/29(木) 20:41:30.86 ID:Dt/DNUrE.net

>>102
>平面代数曲線が突然途切れておしまいになることはないのだ、
>というような自明では無いことをさらりと書いて（あるいは仮定して）、
>だから2つの曲線が交点を持つ（そこもまたJordan閉曲線定理を利用）
>と言って論を進めていた。もちろんそれらは正しいのだが、証明をせずに
>正しいとして使っている。

そうなんですよね
でも、数学史を見ると、そういうことは至るところにあって
例えば、フーリエ級数をつきつめて考えたカントール
そこから、無限集合論を構築したという（下記）

Jordan閉曲線定理；この曲線は連続だとします
では、”連続とはなにか”？

そこから説き起こさないと、厳密な数学にはなりません
しかし、ガウスがDR論文を書いたとき、
まだ時代はそこまで進んでいなかった
さすがのガウスも、現代の目からは、ちょっとギャップのある学位論文だったってことですね

(参考)
http://jishukukan.com/824
神戸の自習室 自習空間
カントール　 心を病んだ数学者は集合論的にどこに帰属できたか
9月 23, 2017

ゲオルク・カントール　集合論の基礎を確立したドイツの数学者
ゲオルク・カントール（１８４５－１９１８年）は、現代数学を記述する上で欠くことのできない集合論の基礎を確立したドイツの数学者です。

ゼノンのパラドックスに代表されるように、古代ギリシャ以来人々の直感と相容れない姿を見せてきた無限。

カントールは、フーリエ級数を研究する中で、この無限という概念の曖昧性に気づき、自ら開拓した集合論を武器として、闇に包まれた無限のベールを一枚また一枚とはぎ取っていきました。

彼があみだした対角線論法という証明法は、その論理展開の鮮やかさで彼の名前とともに後世の人々に語り継がれています。

曖昧さを排除して厳密に　集合論の起源
学校や職場で「厳密に定義しろ」とか「曖昧な言い方をするな」とかいったお叱りを受けることがありますよね。しかし、厳密に正確に曖昧さを排除して物を語り伝えるには、どうすればいいのでしょうか。

私達が思うのと同じように、カントールも悩み続けたことでしょう。そして、たどり着いたのが集合論だったのです。
(引用終り)
以上

106 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 21:33:51.49 ID:672StsPz.net

>>104　いえるのはそれだけですか　なさけないねぇ

107 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/29(木) 22:08:47.84 ID:Dt/DNUrE.net

>>103
>　β1、β2、β3、β4は、全部絶対値√11の複素数であり
>　β1とβ4、β2とβ3は、互いに共役である

それ、クンマー理論との関係で、1の5乗根との対応つかない？
つまり、複素数を極形式 re^iθ で表したとき
θ＝72°、144°、216°、288°
のどれかに
なってないかな？

108 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/29(木) 22:18:10.23 ID:672StsPz.net

>>107
自分で根からラグランジュ分解式の値を求めて確かめてみたら？
まあ、そんな単純なことなら誰も苦労しませんよ
ということで　

下手な考え　休むに似たり

109 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/29(木) 23:08:31.54 ID:Dt/DNUrE.net

>>108
ああ、やってみるよ
ありがとうね

110 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 08:37:58.63 ID:bjNnsn/s.net

さて、そろそろ投下するか

n=1　X-1
ζ1=1

n=2　X^2-1=(X-1)(X+1)
ζ2=-1

n=3　X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)
X^2+X+1=(X-ζ3)(X-ζ3^2)

ラグランジュ分解式
ζ3+ζ3^2　�@
ζ3-ζ3^2　�A

�@=-1

�A^2
=(ζ3-ζ3^2)^2
=(ζ3+ζ3^2)^2-4ζ3*ζ3^2
=(-1)^2-4*1
=1-4
=-3

したがって
�A=√(-3)

ζ3　 = 1/2(�@+�A) = (-1+√(-3))/2
ζ3^2 = 1/2(�@-�A) = (-1-√(-3))/2

111 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 08:48:39.97 ID:bjNnsn/s.net

n=4 X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)
X=(-1)^(1/2)

n=5 X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)

ラグランジュ分解式
ζ5+ ζ5^2+ζ5^4+ ζ5^3　�@
ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3　�A
ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3　�B
ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3　�C

�@=-1

�B^2
=(ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3)^2
=(ζ5+ζ5^4- ζ5^2- ζ5^3)^2
=(ζ5+ζ5^4+ ζ5^2+ ζ5^3)^2-4*(ζ5+ζ5^4)(ζ5^2+ζ5^3)
=(-1)^2-4(ζ5^3+ζ5+ζ5^4+ζ5^2)
=(-1)^2-4(-1)
=1-(-4)=5

したがって

�B=√5

ζ5 +ζ5^4=1/2(�@+�B)=(-1+√5)/2
ζ5^2+ζ5^3=1/2(�@-�B)=(-1-√5)/2

112 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 08:49:50.18 ID:bjNnsn/s.net

>>111を踏まえて

�A^2
=(ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)+i(ζ5^2-ζ5^3))^2
=((ζ5-ζ5^4)^2-(ζ5^2-ζ5^3)^2+2i(ζ5-ζ5^4)(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5^2+ζ5^3-2)-(ζ5^4+ζ5-2)+2i(ζ5^3-ζ5-ζ5^4+ζ5^2))
=((-1-2i)√5)

�C^2
=(ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)-i(ζ5^2-ζ5^3))^2
=((ζ5-ζ5^4)^2-(ζ5^2-ζ5^3)^2-2i(ζ5-ζ5^4)(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5^2+ζ5^3-2)-(ζ5^4+ζ5-2)-2i(ζ5^3-ζ5-ζ5^4+ζ5^2))
=((-1+2i)√5)

�A*�C
=(ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3)(ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3)
=((ζ5-ζ5^4)+i(ζ5^2-ζ5^3))((ζ5-ζ5^4)-i(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5-ζ5^4)^2+(ζ5^2-ζ5^3)^2)
=((ζ5^2+ζ5^3-2)+(ζ5^4+ζ5-2))
=-5

�A＋�C
=(�A^2＋2�A*�C＋�C^2)^(1/2)
=√(-2√5-10)

�A−�C
=(�A^2-2�A*�C＋�C^2)^(1/2)
=√(-2√5+10)

ζ5-ζ5^4　
=1/2(�A+�C)
=√(-2√5-10)/2
=i√(10+2√5)/2

ζ5^2-ζ5^3
=i/2(�A-�C)
=i√(10-2√5)/2

113 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 08:50:51.16 ID:bjNnsn/s.net

>>112　したがって

ζ5
=1/4(�@+�B+�A+�C)
=(-1+√5)/4+i√(10+2√5)/4

ζ5^4
=1/4(�@+�B-�A-�C)
=(-1+√5)/4-i√(10+2√5)/4

ζ5^2
=1/4(�@-�B+i�A-i�C)
=(-1-√5)/4+i√(10-2√5)/4

ζ5^3
=1/4(�@-�B-i�A+i�C)
=(-1-√5)/4-i√(10-2√5)/4

114 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 08:53:48.54 ID:bjNnsn/s.net

>>110-113
ま、この程度は高校生どころか
中学生でもできるだろう
所詮二次方程式だからね

1ことSET Aクンにはできるかな？

もちろん　これで終わりではない
続きがあるのだよ　乞うご期待

115 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:08:39.78 ID:ObhvbfaG.net

√2=ζ_8+ζ_8^{-1}

116 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:12:05.79 ID:OGmV5zzW.net

ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。

117 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:13:37.94 ID:OGmV5zzW.net

大学の頃図書館にあって参照していて、もう一度見たいと思って
アマゾンで見たら絶版になってプレミアまで付いていた本が
オンデマンドで復刊されている...。高いわｗ

岩波基礎数学選書 体とガロア理論
藤�ｱ源二郎 | 2020/12/10
オンデマンド (ペーパーバック)
￥8,580

Wikipedia含めてwebに必要な情報はある程度落ちている時代に
手元に置いておく価値があるかは微妙。

118 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 09:16:42.42 ID:bjNnsn/s.net

>>116
そこは、そもそも指標とは何なのか、から、来年頑張らせてもらうｗ

年末はとりあえず　「ラグランジュであそぼ」

119 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 09:21:17.51 ID:bjNnsn/s.net

>>116-117
大学の頃は、整数論は「敬して遠ざける」態度だったが
実にもったいないことをした
専門とするか否かはともかくとして、円分多項式は実に面白い
三角関数が分かってるなら、なんとかなるだろう（理屈はともかく）

120 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:34:25.23 ID:OGmV5zzW.net

円分体の場合は、ラグランジュ分解式の計算は全てガウス和の計算に帰する。
そして、ガウス和の積に関してJacobi和との間にある関係式が成立する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C
ので、結局「べき根の中身」の計算はJacobi和から計算される。

χをk次の指標とすると
G(χ)^k=χ(-1)pΠ_{j=1}^{k-2}J(χ,χ^j)∈Q(exp(2πi/k).

121 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:45:55.43 ID:OGmV5zzW.net

>>119
円分体は特別な体で、様々な理論（類体論、岩澤理論等）
の雛型にもなった重要な体。ガウスが"Disquisitiones Arithmeticae"
の第7章で扱った歴史的な意味もある。「目の付け所」はいいと思う。

122 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:56:04.15 ID:OGmV5zzW.net

志村五郎が「数学のあゆみ」だったか、大昔の冊子に書いていたと思うが
「合同関係式」の最も簡単な場合が三角函数の場合。
具体的にはpを奇素数とするとき
sin(px)≡(-1)^{(p-1)/2}sin(x)^p 　(mod p)
が成立する。意味は
左辺はsin(x)の整数係数多項式であらわされるが
その多項式としての合同関係を言う。
これを使って、平方剰余の相互法則が得られる。
函数の世界にこんな秘密が隠されていることが
垣間見れるのも数論の魅力。

123 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 09:59:55.06 ID:OGmV5zzW.net

ガロア理論の本が山ほど出ているが
正直「志」が低いというか、19世紀数学の気韻には
遠く及ばない。

124 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 10:26:38.12 ID:ObhvbfaG.net

>>123
ではガロア理論をめぐる話をまとめて
数学の現況に迫り
将来の展望を夢見ることができるような本を
出版計画に加えることにしましょう

125 ：１３２人目の素数さん：2022/12/30(金) 10:43:49.31 ID:JCUkh7Yn.net

抽象化による一般論は、個別の個性を切り捨てて成立するもの。

126 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/30(金) 17:03:17.27 ID:ck8O6OW4.net

無料だと
当然制限あると思うが
後でトライしていみる

https://pictblog.com/mathematica-free
ピクトの思考録
【Mathematica】オンライン上で無料でMathematicaが使えるようになった。2020.08.02
目次
そもそも「Mathematica」って？
無料でMathematicaを使うための準備
終わりに

127 ：現代数学の系譜 雑談 ：2022/12/30(金) 17:07:43.55 ID:ck8O6OW4.net

>>123-125
コメントありがとう
ございます/

128 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:24:04.57 ID:bjNnsn/s.net

>>114
続きを投下するか

n=6

X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)

((-X)^2+(-X)+1)=X^2-X+1

ζ6　=-ζ3^2= (1+√(-3))/2
ζ6^5=-ζ3 = (1-√(-3))/2

n=7

X^7-1=(X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)

ラグランジュ分解式
ζ7+　　ζ7^3+　　ζ7^2+ζ7^6+　　ζ7^4+　　ζ7^5　�@
ζ7-ω^2ζ7^3+ω　ζ7^2-ζ7^6+ω^2ζ7^4-ω　ζ7^5　�A
ζ7+ω　ζ7^3+ω^2ζ7^2+ζ7^6+ω　ζ7^4+ω^2ζ7^5　�B
ζ7-　　ζ7^3+　　ζ7^2-ζ7^6+　　ζ7^4-　　ζ7^5　�C
ζ7+ω^2ζ7^3+ω　ζ7^2+ζ7^6+ω^2ζ7^4+ω　ζ7^5　�D
ζ7-ω　ζ7^3+ω^2ζ7^2-ζ7^6+ω　ζ7^4-ω^2ζ7^5　�E

(ω=ζ3=ζ6^2　ω^2=ζ6^4、ζ6=-ω^2　ζ6^5=-ω)

�@=(ζ7+ζ7^6)+　　(ζ7^3+ζ7^4)+　　(ζ7^2+ζ7^5)
�B=(ζ7+ζ7^6)+ω　(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)
�D=(ζ7+ζ7^6)+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)+ω　(ζ7^2+ζ7^5)

129 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:26:21.37 ID:bjNnsn/s.net

>>128
�@=-1

�B^2
=　　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7　+ζ7^6)+ω　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7　+ζ7^6)+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^4)+　　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7　+ζ7^6)+　　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^3+ζ7^4)+ω　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2+ζ7^5)
=　　((ζ7^2+ζ7^5+2)　　　　　+(ζ7^5+ζ7^6+ζ7　+ζ7^2)+(ζ7^5+ζ7　+ζ7^6+ζ7^2))
+ω　((ζ7^4+ζ7^2+ζ7^5+ζ7^3)+(ζ7^4+ζ7^5+ζ7^2+ζ7^3)+(ζ7^4+ζ7^3+2　　　　　))
+ω^2((ζ7^3+ζ7　+ζ7^6+ζ7^4)+(ζ7^6+ζ7　+2　　　　　)+(ζ7^3+ζ7^6+ζ7　+ζ7^4))
=　　(2+ζ7　+ζ7　+ζ7^2+ζ7^2　　　　　　　　　　　　+ζ7^5+ζ7^5+ζ7^6+ζ7^6+ζ7^2+ζ7^5)
+ω　(2　　　　　　+ζ7^2+ζ7^2+ζ7^3+ζ7^3+ζ7^4+ζ7^4+ζ7^5+ζ7^5　　　　　　+ζ7^4+ζ7^3)
+ω^2(2+ζ7　+ζ7　　　　　　　+ζ7^3+ζ7^3+ζ7^4+ζ7^4　　　　　　+ζ7^6+ζ7^6+ζ7　+ζ7^6)
=　　(ζ7^2+ζ7^5-2*ζ7^4-2*ζ7^3)
+ω　(ζ7^4+ζ7^3-2*ζ7　-2*ζ7^6)
+ω^2(ζ7　+ζ7^6-2*ζ7^2-2*ζ7^5)
=(ω^2-2ω)�D

130 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:26:49.46 ID:bjNnsn/s.net

>>129

�D^2
=　　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7　+ζ7^6)+ω^2(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^3+ζ7^4)+ω　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7　+ζ7^6)+ω　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^4)+　　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7　+ζ7^6)+　　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2+ζ7^5)
=　　((ζ7^2+ζ7^5+2)　　　　　+(ζ7^5+ζ7^6+ζ7　+ζ7^2)+(ζ7^5+ζ7　+ζ7^6+ζ7^2))
+ω　((ζ7^3+ζ7　+ζ7^6+ζ7^4)+(ζ7^6+ζ7　+2　　　　　)+(ζ7^3+ζ7^6+ζ7　+ζ7^4))
+ω^2((ζ7^4+ζ7^2+ζ7^5+ζ7^3)+(ζ7^4+ζ7^5+ζ7^2+ζ7^3)+(ζ7^4+ζ7^3+2　　　　　))
=　　(2+ζ7　+ζ7　+ζ7^2+ζ7^2　　　　　　　　　　　　+ζ7^5+ζ7^5+ζ7^6+ζ7^6+ζ7^2+ζ7^5)
+ω　(2+ζ7　+ζ7　　　　　　　+ζ7^3+ζ7^3+ζ7^4+ζ7^4　　　　　　+ζ7^6+ζ7^6+ζ7　+ζ7^6)
+ω^2(2　　　　　　+ζ7^2+ζ7^2+ζ7^3+ζ7^3+ζ7^4+ζ7^4+ζ7^5+ζ7^5　　　　　　+ζ7^4+ζ7^3)
=　　(ζ7^2+ζ7^5-2*ζ7^4-2*ζ7^3)
+ω　(ζ7　+ζ7^6-2*ζ7^2-2*ζ7^5)
+ω^2(ζ7^4+ζ7^3-2*ζ7　-2*ζ7^6)
=(ω-2ω^2)�B

131 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:27:45.10 ID:bjNnsn/s.net

>>130

�B*�D
=　　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7　+ζ7^6)+ω　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7　+ζ7^6)+　　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^4)+ω　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7　+ζ7^6)+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^3+ζ7^4)+　　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2+ζ7^5)
=　　((ζ7^2+ζ7^5+2)+(ζ7^6+ζ7+2)+(ζ7^4+ζ7^3+2)
+ω　(2*(ζ7+ζ7^6)+(ζ7^3+ζ7^4)+(ζ7^2+ζ7^5))
+ω^2(2*(ζ7+ζ7^6)+(ζ7^3+ζ7^4)+(ζ7^2+ζ7^5))
=(-1)+2+2+2+(-1)(2*(-1))
=7

�B^3
=�B*(ω^2-2ω)�D
=7(ω^2-2ω)
=7(-3ω-1)
=7(3-3√(-3))/2-7
=21/2-7-21√(-3)/2
=7/2-21√(-3)/2

�D^3
=5*(ω-2ω^2)�B
=7(ω-2ω^2)
=7(-3ω^2-1)
=7(3+3√(-3))/2-7
=21/2-7+21√(-3)/2
=7/2+21√(-3)/2

�@=-1
�B=(7/2-21√(-3)/2)^(1/3)
�D=(7/2+21√(-3)/2)^(1/3)

ζ7　+ζ7^6=1/3(�@+　　�B+　　�D)
ζ7^4+ζ7^3=1/3(�@+ω^2�B+ω　�D)
ζ7^2+ζ7^5=1/3(�@+ω　�B+ω^2�D)

132 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:29:21.82 ID:bjNnsn/s.net

>>131
�C=(ζ7-ζ7^6)+　　(ζ7^2-ζ7^5)+　　(ζ7^4-ζ7^3)
�A=(ζ7-ζ7^6)+ω　(ζ7^2-ζ7^5)+ω^2(ζ7^4-ζ7^3)
�E=(ζ7-ζ7^6)+ω^2(ζ7^2-ζ7^5)+ω　(ζ7^4-ζ7^3)

�C^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)-(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)^2+(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6)^2-2(ζ7+ζ7^2+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))
=((ζ7^2+ζ7^4+ζ7+2ζ7^3+2ζ7^5+2ζ7^6)
+(ζ7^6+ζ7^3+ζ7^5+2ζ7+2ζ7^2+2ζ^6)
-2(ζ7^4+ζ7^5+1+ζ7^6+1+ζ7^2+1+ζ+ζ^3)
=(ζ7+ζ7^3+ζ7^2+ζ7^6+ζ7^4+ζ7^5)-2(1+1+1)
=-7

�C=√(-7)

133 ：わかるすうがく 近谷蒙 ：2022/12/30(金) 17:30:14.03 ID:bjNnsn/s.net

>>132
�A^2
=　　(ζ7　-ζ7^6)(ζ7-ζ7^6)+ω　(ζ7　-ζ7^6)(ζ7^2-ζ7^5)+ω^2(ζ7　-ζ7^6)(ζ7^4-ζ7^3)
+ω　(ζ7^2-ζ7^5)(ζ7-ζ7^6)+ω^2(ζ7^2-ζ7^5)(ζ7^2-ζ7^5)+　　(ζ7^2-ζ7^5)(ζ7^4-ζ7^3)
+ω^2(ζ7^4-ζ7^3)(ζ7-ζ7^6)+　　(ζ7^4-ζ7^3)(ζ7^2-ζ7^5)+ω　(ζ7^4-ζ7^3)(ζ7^4-ζ7^3)
=　　((ζ7^2+ζ7^5-2)　　　　　 +(ζ7^6-ζ7^2-ζ7^5+ζ7　) +(ζ7^6-ζ7^5-ζ7^2+ζ7　) )
+ω　((ζ7^3-ζ7　-ζ7^6+ζ7^4) +(ζ7^3-ζ7^6-ζ7　+ζ7^4) +(ζ7　+ζ7^6-2)　　　　　 )
+ω^2((ζ7^5-ζ7^3-ζ7^4+ζ7^2) +(ζ7^4+ζ7^3-2) +(ζ7^5-ζ7^4-ζ7^3+ζ7^2) )
=　　(-2+ζ7 +ζ7 +ζ7^6+ζ7^6+ζ7^2+ζ7^5-ζ7^2-ζ7^2-ζ7^5-ζ7^5)
+ω　(-2+ζ7^4+ζ7^4+ζ7^3+ζ7^3+ζ7　+ζ7^6-ζ7 -ζ7 -ζ7^6-ζ7^6)
+ω^2(-2+ζ7^2+ζ7^2+ζ7^5+ζ7^5+ζ7^4+ζ7^3-ζ7^4-ζ7^4-ζ7^3-ζ7^3)
=(2-ω)�B

�A�B
=　　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7-ζ7^6)+ω　(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^2-ζ7^5)+ω^2(ζ7　+ζ7^6)(ζ7^4-ζ7^3)
+ω　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7-ζ7^6)+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2-ζ7^5)+　　(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^4-ζ7^3)
+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7-ζ7^6)+　　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2-ζ7^5)+ω　(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^4-ζ7^3)
=　　((ζ7^2-ζ7^5)+(ζ7-ζ7^6)+(ζ7^4-ζ7^3)
+ω　((ζ7^3+ζ7　-ζ7^6-ζ7^4)+(ζ7^4+ζ7^5-ζ7^2-ζ7^3)+(ζ7^6+ζ7^2-ζ7^5-ζ7　))
+ω^2((ζ7^5+ζ7^3-ζ7^4-ζ7^2)+(ζ7^5+ζ7^6-ζ7　-ζ7^2)+(ζ7^3+ζ7^6-ζ7　-ζ7^4))
=(-2ω^2+1)�C
=(2ω+3)�C