ケーラー多様体・ホッジ分解

1 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:04:18.51 ID:OoaCqu0y.net

複素多様体に栄光あれ！

2 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:22:10.79 ID:OoaCqu0y.net

z[λ]=x[λ]+iy[λ](λ=1,…,n)に対して
∂/∂z[λ]=(1/2)(∂/∂x[λ]-i∂/∂y[λ])
∂/∂z~[λ]=(1/2)(∂/∂x[λ]+i∂/∂y[λ])
dz[λ]=dx[λ]+idy[λ]
dz~[λ]=dx[λ]+idy[λ]
と定義する

df=d'f+d''fである
ただし
d'f=Σ(∂f/∂z[λ])dz[λ]
d''f=Σ(∂f/∂z~[λ])dz~[λ]

連続関数fの正則性は以下の式で表される
d''f=0

3 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:22:51.65 ID:OoaCqu0y.net

領域U⊂C^nで定義された複素微分形式は
dz[1],…,dz[n]
dz~[1],…,dz~[n]
を使って表される

以下の形の微分形式を、(p,q)次の微分形式、または単に(p,q)形式という
ω=Σf_[a_1,…,a_p,b_1,…,b_q] dz[a_1]∧…∧dz[a_p]∧dz~[b_1]∧･･･∧dz~[b_q]

ωが(p,q)形式の場合
dωは以下の(p+1,q)形式と(p,q+1)形式の和で書ける

dω=d'ω+d''ω

d'd'=0　d''d''=0　d'd''+d''d'=0　である

d''ω=0　となるとき　ωはd''-閉であるといい
ω=d''θと表せるときは　ωはd''-完全であるという

★ドルボー(Dolbeault)の補題
ωが半径rの多重円盤(D_r)^n上の(p,q)形式で、d''-閉、かつ、q>=ならば
rより小さい半径r'の多重円盤(D_r')^n上で、d''-完全である

4 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:35:35.68 ID:OoaCqu0y.net

Xをｎ次元複素多様体とするとき
ドルボーの補題の補題により、以下の層の系列は完全である
0→Ω~pー(i)→A~(p,0)ー(d'')→Ａ~(p､1)ー(d'')→…ー(d'')→A~(p,n)→0

Ω~p　正則ｐ次微分形式の芽の層
A~(p,q)　(p,q)次微分形式の芽の層

上記はΩ_pの細層による分解であることから、以下の定理が成り立つ

★ドルボー(Dolbeault)の定理
　H~q(X,Ω~p)≣Ker(ｄ’’:Γ(X,A~(p,q))→Γ(X,A~(p,q+1)))｜d''(Γ(X,A~(p,q-1)))

5 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:37:35.51 ID:sd5BVB79.net

自分のノートでやればいいじゃん

6 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:43:43.27 ID:OoaCqu0y.net

付記

ドルボーの補題は、実微分形式に関し
「閉形式は局所的に完全形式である」
とするポアンカレの補題の複素版である

そしてドルボーの定理は、同じく実微分形式に関し
0→Rー(i)→A~0ー(d)→Ａ~1ー(d)→…ー(d)→A~n→0
(R　実数の定数層
A~p　p次微分形式の芽の層)
が層の完全系列で、Rの細層による分解であることから証明される
ド・ラムの定理の複素版である

☆ド・ラム(de Rham)の定理
　H~q(X,R)≣Ker(ｄ:Γ(X,A~p)→Γ(X,A~(p+1)))｜d(Γ(X,A~(p-1)))

7 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 08:47:22.60 ID:OoaCqu0y.net

>>5
ここが私のノート（抜粋版）である

8 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 09:13:55.32 ID:OoaCqu0y.net

Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする

Eの接続とは、アーベル層としての準同型写像
　D:A~0(E)→A~1(E)
で、以下のライプニッツの公式を満たすものである
　D(fξ)=df・ξ+fDξ　f∈A~0　ξ=A~0(E)　

A~0（E)はEに値をとるp次微分形式の芽の層

接続Dは写像
　D:A~p(E)→A~(p+1)(E)
に拡張できる
　D(φξ)=dφ・ξ+((-1)^p)φDξ　φ∈A~p　ξ=A~0(E)

D^2(fξ)=D(df・ξ+fDξ)=d^2 f・ξ-df∧Dξ+df∧Dξ+f・D^2ξ=f・D^2ξ
となり、A~0（E)からA^2（E)へのA~0加群の層としての準同型写像となる

R=D^2　とおき、RをDの曲率と呼ぶ

9 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 09:26:59.16 ID:OoaCqu0y.net

Eを複素多様体X上の複素ベクトル束とする
hが以下の性質をもつとき、E上に定義された
エルミート(Hermite)構造であるという

各点x∈Xで、hはファイバー束E_xにエルミート内積h_xを与える
a)h_x(ξ,η)はξに関して線型
b)h_x(η,ξ)はh_x(ξ,η)~
c)ξ≠0ならば、h_x(ξ,ξ)>0
d)ξとηがC~∞ならば、h(ξ,η)もC~∞

Eの接続Dが以下の条件を満たすとき、h-接続、もしくは、hを保つ、という
　d(h(ξ,η))=h(Dξ,η)+h(ξ,Dη)　ξ,η∈A~0(E)

定理
　正則ベクトル束Eのエルミート構造hに対して
　hを保つD=D'+d''の形の接続が一つ、ただ一つ存在する
　（D'は、D=D'+D''と分解したときのA~(1,0)に対応する成分）

上記の接続を(E,h)の標準接続とよぶ

10 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 09:51:04.24 ID:i3aurVMs.net

>>8
接続って一体何を一般化したものなの？
曲面の場合とかだとどうなんの？

11 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 09:54:27.10 ID:OoaCqu0y.net

エルミート正則ベクトル束（E,h)に対して(det E,det h)を考える
det Eの接続形式ω_det(E)は、ω_det(E)=tr(ω_E)となる
またエルミー正則ベクトル束の接続形式は以下で与えられる
ω~i_j＝ΣΓ~i_j[a]dz[a]　但しΓ~i_j[a]h~ik(∂h~jk/∂z[a])

したがって(det E,det h)の接続形式は
Σω~i_i＝ΣΓ_a dz[a]　(Γ_a＝Γ~i_i[a])
となるがこのときΓ_aは計算可能である

hを行列Hで表した場合
　Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]
よって接続形式は以下のようになる
　Σω~i_i＝d’log(det H)
さらに曲率R_det(E)＝tr(R_E)は以下の式で与えられる
　tr(R_E)＝d''d'log(det H)

12 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 10:03:14.73 ID:OoaCqu0y.net

>>10
以下をお読みください
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B6%9A_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)

実のところ、
「標準接続では簡単な計算で曲率が求まる」
という点がポイントなので
微分幾何の一般論には踏み込みません
悪しからず

13 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 10:07:36.56 ID:7YOKKMWk.net

>>11
接続形式とは何？
この説明では、det EとEについてのみ考えるから定義はしないということ？

14 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 10:09:27.12 ID:7YOKKMWk.net

> hを行列Hで表した場合
>　Γ_a＝(det H)^(-1)∂(det H)/∂z[a]＝∂log(det H)/∂z[a]

これは基底に依存しないの？

15 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 15:34:09.86 ID:OoaCqu0y.net

>>13
Xの各点で、その近傍Uで枠の場e_1,…,e_rをとる
Dを任意の接続とすれば、De_jは
Eに値をとるU上の1次微分形式として
以下のように書ける
　De_j=Σ(i)　ω~i_je_i
この1次微分形式のつくるr×r行列ω=(ω~i_j)を
枠e_1,…,e_rに関するDの接続形式とよぶ

16 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 15:35:40.16 ID:0nP6/SOr.net

>>15
ありがとう

枠の場って何

17 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 15:41:35.85 ID:OoaCqu0y.net

>>14
正則局所枠e_1,…,e_rが以下の条件を満たすとき
点x∈Xで適合しているという
1)h_jk(x)=δ_jk
2)Γ~i_ja(x)=∂h_ji/∂z[a](x)=0

与えられた点x∈Xに対し、その点で適合した正則局所枠が必ず存在する

18 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 15:52:15.38 ID:OoaCqu0y.net

複素多様体Xのエルミート計量を
Xのリーマン計量gで以下の性質を満たすもの
として定義する
　g(ξ,η)=g(Jξ,Jη)　JはXの概複素構造
エルミート計量の与えられた複素多様体を
エルミート多様体という

　Φ(ξ,η)=g(ξ,Jη)
と書く、この2次微分形式をエルミート多様体(X,g)の
基本2次微分形式という

19 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 15:58:01.00 ID:OoaCqu0y.net

Xをn次元複素多様体
gをエルミート計量
Φをその基本2次微分形式とする

以下の2条件は同値である
1)標準接続のねじれ率が0である
2)dΦ=0である

上記の条件を満たすエルミート計量gをケーラー計量といい
（X,g)をケーラー多様体という
Φをケーラー微分形式とも呼ぶ

20 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 16:08:01.13 ID:OoaCqu0y.net

>>16
Xを複素多様体、Eをその上の複素ベクトル束でファイバーの次元をr
その射影をπ、x∈XにおけるファイバーをE_x＝π^(-1)(x)と書く

PをGL(r,C)を構造群とするEに同伴する主ファイバー束とし
その射影もπと書く

定義により、ｕ∈P_x＝π^(-1)(x)は同型写像u:C^r→E_xである
したがってu∈P_xはC^rの自然な基のuによる像として得られる
E_xの枠（順序のついた基）である

21 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 16:11:43.52 ID:OoaCqu0y.net

ケーラー多様体の例

１．リーマン面
　Xをリーマン面、すなわち１次元複素多様体とし
　gを任意のエルミート計量とする
　Xの実次元は2であるから、基本2次微分形式は必然的に閉じている
　したがってgはケーラー計量である

22 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 16:19:04.99 ID:OoaCqu0y.net

>>21
ケーラー多様体の例

２．複素トーラス
　z[1],…,z[n]をC^nの座標系とするとき、
　自然なケーラー計量とその基本2次微分形式Φは以下の通りである
　ds^2=Σdz[j]dz~[j]　Φ=(i/2)Σdz[j]∧dz~[j]

　e[1]=∂/∂z[1],…,e[n]=∂/∂z[n]
で与えられる正規直交枠をとれば、
接続形式ωは恒等的に０で、曲率形式Rも０になる　

23 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 16:30:05.76 ID:OoaCqu0y.net

>>22
ケーラー多様体の例

３．複素射影空間
P^n（C）をｎ次元射影空間とする
(ζ[0],…,ζ[n])をその斉次座標系とする

<ζ,ζ~>=Σζ[j]ζ~[j]
とおくと
　ds^2=2Σ(∂^2log<ζ,ζ~>/∂ζ[j]∂ζ~[k])dζ[j]dζ~[k]
　Φ=id'd''log<ζ,ζ~>
はそれぞれ複素射影空間のケーラー計量とその基本2次微分形式である

この計量をP^n(C）のフビニ・ストゥディ形式と呼ぶ

24 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 16:34:28.28 ID:OoaCqu0y.net

>>23
ケーラー多様体の例

４．代数多様体
ケーラー多様体Mの複素部分多様体Xに
Mのケーラー計量ds^2を制限すれば
ケーラー計量になる
（基本2次微分形式についても同様）

複素射影空間の閉複素部分多様体は
コンパクトなケーラー多様体の重要な例である

25 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 17:01:40.95 ID:OoaCqu0y.net

>>24
ケーラー多様体の例

５．複素双曲型空間
B_n={z∈C^n||z|^2<1}を考える

以下の計量はB_nのケーラー計量である
ds^2=2Σg_jkdz[j]dz~[k]
g_jk=∂^2/∂z[j]∂z~[k](1/log(1-|z|^2)^(n+1)

26 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 17:15:51.97 ID:OoaCqu0y.net

今日はここまで

27 ：１３２人目の素数さん：2021/02/07(日) 21:05:05.72 ID:9aHkgZ1B.net

教科書バカ乙

28 ：１３２人目の素数さん：2021/02/12(金) 22:02:12.69 ID:gtyJUbfP.net

Griffiths Harrisを手に入れた

29 ：１３２人目の素数さん：2021/02/13(土) 13:55:04.75 ID:9VxnU/uL.net

Hodge理論の応用というか良さを教えてくれ……

ベクトル束とかエルミート計量のあたりでお腹いっぱいなんだ

30 ：１３２人目の素数さん：2021/02/26(金) 21:19:45.39 ID:rpTyP75D.net

Hodge理論より
射影代数多様体の奇数次ベッチ数が偶数であることがわかる
このことから
ホップ多様体の非代数性が直ちに従う

31 ：１３２人目の素数さん：2021/03/25(木) 18:28:39.45 ID:66jxOSA6.net

線形代数からやり直した
以前よりもメトリクスとかに抵抗は無くなった

32 ：１３２人目の素数さん：2022/02/15(火) 22:20:15.97 ID:GxQZNHGh.net

GAGA原理

33 ：１３２人目の素数さん：2022/02/16(水) 00:48:43.35 ID:QrFwK/Bd.net

ホッジ予想とそのケーラーバージョン

34 ：１３２人目の素数さん：2022/02/16(水) 11:52:51.48 ID:EcBLBS7K.net

>>33
複素トーラスの場合は？

35 ：１３２人目の素数さん：2022/02/16(水) 15:41:39.31 ID:QNafBJLk.net

ケーラー版ホッジ予想はトーラスの場合に反例があってダメのようだ

36 ：１３２人目の素数さん：2022/02/17(木) 16:07:20.43 ID:yAQDZQul.net

ホッジ予想は純モチーフ圏の存在と深く関わるのだな

37 ：１３２人目の素数さん：2022/02/18(金) 00:31:50.65 ID:QJndzUT/.net

純モチーフの圏を混合モチーフの圏へと拡大すれば
ホッジ予想はどのような変更を受けるのだろうか？

38 ：１３２人目の素数さん：2022/02/25(金) 09:25:29.65 ID:WzFlXswR.net

>>37
2006年に代数学賞を受賞した人は
それが専門だった
今どうしているのかは知らないが

39 ：１３２人目の素数さん：2022/02/26(土) 13:13:52.57 ID:R8LTEUIf.net

ドリーニュ「ホッジの理論」あたりを読むと
みな同じような発想になるのかもしれません
もともとモチーフの思想というのはホッジ予想
やらテイト予想が素になっているわけですか

40 ：１３２人目の素数さん：2022/03/05(土) 21:36:50.21 ID:bcOL35Fq.net

ハッセ・ヴェイユのL関数はモチフィックL関数ともよばれる
確かに分母分子にあらわれるL因子は分解されたモチーフに
対応しているように見えるし、ラングランズによればそれら
は、保形表現からくるものと予想されてもいるわけなのだな
そうすると、モチーフというのは保形表現かもしくはそれに
非常にちかい何かであると思ってしまってもよいのだろうか

41 ：１３２人目の素数さん：2022/03/15(火) 21:44:27.43 ID:hV/bqvJ7.net

よろしいんじゃないですか

42 ：１３２人目の素数さん：2022/03/16(水) 10:47:04.26 ID:eXP6xtJq.net

何ば言うとっとか
独立九州帝国唯一のQ低ばい！

43 ：１３２人目の素数さん：2022/03/16(水) 10:47:57.74 ID:eXP6xtJq.net

ごめん誤爆たい

44 ：１３２人目の素数さん：2022/03/17(木) 21:50:12.97 ID:SPXwZZpG.net

ノンコンパクトでやりたい

45 ：１３２人目の素数さん：2022/03/26(土) 19:43:34.50 ID:yIrgTLm9.net

レフシェッツの(1,1)定理というのがあって
ホッジ予想はその一般化になっているらしい
このレフシェッツの定理をもとに、ホッジは
彼の予想、(k,k)を思いついたのであろうか

46 ：１３２人目の素数さん：2022/04/03(日) 20:47:08.82 ID:Z9SZO7Jp.net

ドリーニュは絶対ホッジ類なるものを定義して
ホッジ類はすべて絶対ホッジ類であろうと予想し
アーベル多様体の場合には正しいことを証明した
このドリーニュによる予想とテイト予想が成立
するならホッジ予想も正しいことが言えるらしい
ホッジ予想とテイト予想は全く異なる文脈での
予想であるのにもかかわらず、絶対ホッジ類を
通じて結びつくところに一種の神秘性を感じる

47 ：１３２人目の素数さん：2022/05/16(月) 03:43:04.84 ID:/0aPWOOI.net

>>46
カラビヤウ多様体に対してはOKという話はありますか？

48 ：１３２人目の素数さん：2022/05/17(火) 04:27:27.13 ID:zSUl+yji.net

最近よく出てくるのは
Beauville-Bogomolov-Fujikiの公式

49 ：１３２人目の素数さん：2022/05/19(木) 20:48:51.76 ID:KVtiYqiV.net

やはりホッジは、レフシェッツの(1,1)定理に影響
されてホッジ予想にたどりついたということらしい
最近ではトロピカル幾何における(1,1)定理が確立
されたという話があるから、トロピカルバージョン
のホッジ予想というのも考えられてるかもしれない
専門家でないので詳しくないけども、カラビ・ヤウ
多様体のホッジ予想というのはあまり見ないですね
ヴォワザンという人が、整数版ホッジ予想（これが
もともとホッジの予想したバージョン）をいくらか
考察していたけど、試験的な意味合いなんだろうか

50 ：１３２人目の素数さん：2022/06/03(金) 06:13:24.10 ID:rQSOKwNG.net

BBF公式はVoisinの講演で出てきた。

51 ：１３２人目の素数さん：2022/06/07(火) 23:14:07.89 ID:w0noYSMm.net

VoisinはDemaillyの追悼研究集会でも講演する。

52 ：１３２人目の素数さん：2022/06/16(木) 22:11:45.39 ID:305I04pn.net

Demaillyの複素モース理論は天下一品

53 ：１３２人目の素数さん：2022/07/06(水) 22:46:21.78 ID:JNda/fXj.net

ホッジ理論の組み合わせ代数幾何への応用を
誰かわかりやすく解説してくれ

54 ：１３２人目の素数さん：2022/07/07(木) 18:59:01.55 ID:tf61frtx.net

マトロイドやってる工学部の人でつか

55 ：１３２人目の素数さん：2022/08/14(日) 09:06:29.33 ID:80eSoW1g.net

Demaillyの最後の論文によれば
複素多様体に付随した全実部分多様体の
Stein近傍を調べると面白いことが分かるかもしれないという。
多重種数の変形不変性への応用が示唆されている。

56 ：１３２人目の素数さん：2022/08/16(火) 22:56:26.38 ID:s4S94ApO.net

XとXの複素共役の直積の対角線の近傍

57 ：１３２人目の素数さん：2022/08/20(土) 21:57:41.18 ID:yumbgJFn.net

拡張作用素に対して
テンソル冪を上げていった時の局所化現象を解析するのだが
bounded geometryの仮定の下だと
結果は法ベクトル束の不変量だけで記述できる。

58 ：１３２人目の素数さん：2022/08/21(日) 01:07:46.33 ID:iG+hXXJr.net

まだやってんのか孤独ジジイ

59 ：１３２人目の素数さん：2022/08/21(日) 06:21:43.03 ID:oUIZN+eU.net

査読レポートが大変

60 ：１３２人目の素数さん：2022/08/30(火) 14:47:32.10 ID:zv0MG8Nx.net

今月は二本

61 ：１３２人目の素数さん：2022/10/17(月) 22:45:53.24 ID:h6xhJsZ7.net

概ケーラー多様体が、ケーラー多様体で無いことを示すにはどうすれば良いのですか？
例えば、シンプレクティック多様体だけと、ケーラーでないことを示すなどです。

62 ：１３２人目の素数さん：2022/10/18(火) 07:22:07.67 ID:Z0HAlFkv.net

>>61
Voisinの論文を見よ

63 ：１３２人目の素数さん：2022/10/18(火) 07:24:23.84 ID:Z0HAlFkv.net

訂正
広中の論文を見よ
またはそれを解説した小平の東大セミナリーノートでもよい

64 ：１３２人目の素数さん：2022/10/18(火) 21:40:29.46 ID:Z0HAlFkv.net

交点数の問題

65 ：１３２人目の素数さん：2022/10/21(金) 00:37:11.49 ID:5NyqHQsq.net

>>64
何と何の交点数か？
可積分性がトポロジカルな量で分かるとは思えんが

66 ：１３２人目の素数さん：2022/10/21(金) 06:58:54.53 ID:iuJDWzcy.net

広中を見よ

67 ：１３２人目の素数さん：2023/02/02(木) 18:05:16.41 ID:6IKyk847.net

レフシェッツ分解は？

68 ：１３２人目の素数さん：2023/02/11(土) 22:29:04.52 ID:IKuJadEs.net

ポテンシャル論なしの複素多様体論は可能だが
チャーン類なしの複素多様体論は考えにくい

69 ：１３２人目の素数さん：2023/03/05(日) 22:42:49.25 ID:RJM37LOD.net

混合ホッジ構造あるいは混合ホッジ加群の場合はどうなのかしらん
コンパクト性とかはいらないのかね？

70 ：１３２人目の素数さん：2023/03/05(日) 22:45:30.47 ID:+YGnGRd2.net

Deligneを見よ

71 ：１３２人目の素数さん：2023/03/25(土) 06:59:53.70 ID:1W6Cag5a.net

結局Mixed Hodge moduleは使わなくてもよい

72 ：１３２人目の素数さん：2023/08/07(月) 04:54:17.84 ID:nq2yUjGb.net

落月屋梁

73 ：１３２人目の素数さん：2023/11/15(水) 12:52:39.12 ID:k96Zk90z.net

VoisinはCollege de Franceにいるのだね

74 ：１３２人目の素数さん：2023/11/15(水) 18:41:13.28 ID:MvLZy9BB.net

四元数体上の多様体にもホッジ分解定理やホッジ理論があるの？

75 ：１３２人目の素数さん：2023/11/16(木) 06:44:51.65 ID:fUP4Yuoe.net

quartenionic K\“ahlerというのはある

76 ：１３２人目の素数さん：2023/11/18(土) 06:44:15.07 ID:jA9P68SC.net

>>74
非コンパクト多様体にもある。

77 ：１３２人目の素数さん：2023/11/19(日) 00:55:43.60 ID:VYr6k/a4.net

リーマン面に相当するものを
四元数体で求めるとどうなるの？

78 ：１３２人目の素数さん：2023/12/04(月) 00:33:58.64 ID:q7dryHmB.net

quatenionic Kaehler manifoldというのがある

79 ：１３２人目の素数さん：2023/12/04(月) 09:09:03.77 ID:Rs3APKLq.net

四元数的リーマン面と1次元の
quatenionic Kaehler manifold
が一致するのかどうか

80 ：１３２人目の素数さん：2023/12/22(金) 06:58:33.09 ID:2klI76d6.net

1994年にESIで開かれた
quatenic Kaehler manifoldのworkshopに出席していた
日本人数学者が
８月に亡くなった

81 ：１３２人目の素数さん：2024/01/19(金) 23:11:37.73 ID:5wD4O50v.net

訂正
quatenic--->quartenionic

82 ：１３２人目の素数さん：2024/03/12(火) 02:14:22.84 ID:UV5vpFMi.net

N田さん？

83 ：１３２人目の素数さん：2024/03/13(水) 16:02:11.88 ID:BBAO+XZ+.net

>>78
ハイパーケーラー多様体とどっちが4元数リーマン面に相応しい？

84 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 09:28:10.15 ID:XPmS7v4a.net

N田に訊け

85 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 11:33:40.48 ID:UcKHj9Zq.net

4元ケーラー多様体における
ホッジ分解の類似はどうなるか

86 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 12:53:00.10 ID:HSy5p4O3.net

ホッジ分解は一般のリーマン多様体で成立する結果だが

87 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 14:40:50.74 ID:UcKHj9Zq.net

そういう意味ではないのだよ

88 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 16:45:59.52 ID:KasSkUbT.net

では正確な意味を述べよ

89 ：１３２人目の素数さん：2024/03/14(木) 23:16:59.50 ID:XPmS7v4a.net

正確な意味が述べられるくらいなら
論文にしているだろう

90 ：１３２人目の素数さん：2024/03/15(金) 09:09:16.98 ID:8QDMDRfQ.net

複素多様体はカラテオドリーが1932年頃に研究を推奨し
ホップ多様体の発見と小平の埋め込み定理によって
大きな関心を呼んだ。
それに対し
ハイパーケーラー多様体や四元数的多様体への興味は
限定的なものにとどまっている印象を受ける。

91 ：１３２人目の素数さん：2024/03/15(金) 19:06:46.36 ID:MVw7chLe.net

カラビ・ヤウ多様体を知らないのか？
弦理論ではめっちゃ重要だぞ

92 ：１３２人目の素数さん：2024/03/15(金) 20:08:25.55 ID:82/O2cc8.net

弦理論は物理で重要だろうが
数学として残るのは
群のような基本概念である。
カラテオドリーはアインシュタインとも親しかったが
彼が推奨した複素多様体論の研究から
連接層という基本概念が生まれた

93 ：１３２人目の素数さん：2024/03/15(金) 23:18:56.03 ID:82/O2cc8.net

群論におけるケイリーやクロネッカーの役割を
連接層の理論において果たしたのがカルタンやセールで
群論の創始者たちであるラグランジュ、アーベル、ガロアの役割を
連接層の理論において果たしたのが
ワイエルシュトラス、カルタン、そして岡潔であった。

94 ：１３２人目の素数さん：2024/03/16(土) 18:57:57.26 ID:6AvwhGVQ.net

二次方程式の解が無限個ある四元数で代数多様体って何だろ？

95 ：１３２人目の素数さん：2024/03/16(土) 21:51:28.15 ID:IHg5tN+m.net

方程式論にこだわっていたら
複素多様体論さえ不可能だった

96 ：１３２人目の素数さん：2024/03/16(土) 23:29:34.06 ID:EV8a7lJ6.net

四元数を行列で書けば終わり

97 ：１３２人目の素数さん：2024/03/17(日) 00:31:48.47 ID:MlmIC0MN.net

>>96
何が？

98 ：１３２人目の素数さん：2024/03/17(日) 13:07:03.68 ID:bq5eHCz2.net

>>96
>>94

99 ：１３２人目の素数さん：2024/03/17(日) 20:12:51.92 ID:MlmIC0MN.net

>>98
それでは答えになっていないだろう

100 ：１３２人目の素数さん：2024/03/18(月) 11:37:47.34 ID:SxZiIk9E.net

質問じゃね？

101 ：１３２人目の素数さん：2024/03/18(月) 15:16:39.64 ID:h5Ng1Y1S.net

4元数は複素2×2行列（実4×4行列）で書けるから、
4元数の代数方程式は、複素2×2行列の方程式、つまり4つの複素連立方程式に帰着される。
後の処理は通常の複素幾何的手法でできる。

102 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 18:27:56.65 ID:bkwMl2kT.net

で何ができるの？

103 ：１３２人目の素数さん：2024/03/19(火) 18:34:09.88 ID:2wCSFQfm.net

複素関数論があるように、四元数関数論もある
https://arxiv.org/pdf/math/0209166.pdf

104 ：１３２人目の素数さん：2024/03/20(水) 13:29:25.26 ID:YIpNyLh8.net

サンキュー

105 ：１３２人目の素数さん：2024/03/21(木) 14:36:14.15 ID:s8g9j7qn.net

>>103
四元数で普通に微分を定義すると、微分可能な関数は1次関数しか無いんだな

106 ：１３２人目の素数さん：2024/03/22(金) 05:30:43.15 ID:cjhLnx3U.net

2002年にarXivに出たベルギーとロシアの人の
共同研究

107 ：１３２人目の素数さん：2024/03/22(金) 20:41:22.90 ID:cjhLnx3U.net

あまり有名ではない

108 ：１３２人目の素数さん：2024/03/22(金) 23:35:07.90 ID:KszqPJsx.net

四元数関数論自体が有名で無い

109 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 05:54:40.74 ID:6USwmLvg.net

8元数関数論ほどではない

110 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 08:38:31.85 ID:6USwmLvg.net

多元数関数論は無い
あるのは多変数関数論

111 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 11:44:27.86 ID:vHrlgd3o.net

そこをなんとかガンガレよって話

112 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 20:27:18.77 ID:8gz3Va4f.net

Quaternionic analysis
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternionic_analysis

113 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 21:04:47.32 ID:6USwmLvg.net

あまり熱くなれなさそう

114 ：１３２人目の素数さん：2024/03/23(土) 23:58:03.82 ID:8gz3Va4f.net

複素関数論の真似事をしても、新たな進展は無かったというのが結論

115 ：１３２人目の素数さん：2024/03/24(日) 00:27:50.72 ID:MkmEY59Q.net

クォータニオンよりもクリフォード代数

116 ：１３２人目の素数さん：2024/03/24(日) 22:22:33.94 ID:hk1dPYgr.net

クリフォードになるとケーラーから遠くなる

117 ：１３２人目の素数さん：2024/03/27(水) 14:43:13.21 ID:MA/zdQyl.net

>>105
1次関数で近似するのが微分なのに
あんまりじゃね？

118 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 01:36:11.44 ID:5z4SS6tR.net

複素微分可能なら、コーシー・リーマンを満たし、べき級数展開可能になる。

四元数の意味で微分可能なら、さらに強く1次関数になってしまう。

119 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 01:39:37.04 ID:5z4SS6tR.net

ただ、流石に微分が1次関数しかないと意味が無いので、
四元数の意味の微分の定義を全微分可能のように書き換えて定義する。

でも結局ほとんど新しい事は出てこなくて、知られた結果の書き換えに過ぎない。

120 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 07:16:44.58 ID:juayPT9x.net

ガウスなら知られた公式を
4元数を使って書いてみるだろう

121 ：１３２人目の素数さん：2024/03/29(金) 07:36:11.19 ID:2G9Zdwxi.net

20年くらい前って物理屋とかも四元数の実用面から色々やってたでしょ
結局CGでしか生き残らなかった

122 ：１３２人目の素数さん：2024/04/03(水) 23:21:53.86 ID:6AHC+t6L.net

これと言った難問がなかった

123 ：１３２人目の素数さん：2024/04/06(土) 18:13:40.78 ID:xozPP15q.net

>>120
そこで「これは意味なし」と判断して、発表しないのがガウス

124 ：１３２人目の素数さん：2024/04/16(火) 21:18:03.11 ID:h9QdmK4e.net

ガウスがCRをやったらRumin複体も解明できるだろうか

125 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 17:39:34.97 ID:WRaJc4pY.net

多重種数の変形不変性はまだ解けない

126 ：１３２人目の素数さん：2024/04/29(月) 12:44:52.42 ID:or3lrBic.net

CR versionは？

127 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 21:20:22.55 ID:dbyjbpZp.net

佐々木多様体上ではどうなるか

128 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 22:39:40.86 ID:dbyjbpZp.net

normal spc

129 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:04:35.11 ID:dbyjbpZp.net

58位

130 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:20:06.34 ID:dbyjbpZp.net

５０

131 ：１３２人目の素数さん：2024/04/30(火) 23:26:06.50 ID:dbyjbpZp.net

２２

132 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 07:56:29.44 ID:sgJI4piv.net

60位

133 ：１３２人目の素数さん：2024/05/01(水) 12:53:22.89 ID:UsUgg8VN.net

孤立特異点論との関連