フェルマーの最終定理の簡単な証明その４

428 ：日高：2020/09/06(日) 18:35:20 ID:6SrRw752.net

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はyが有理数のとき、xは無理数となるので、x,yは整数比とならない。
s,tは有理数、wが無理数のとき、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとなる。
sw,twが整数比となるので、式は成り立たない。
(2)はa=1以外のとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。