不等式への招待 第10章

96 ：１３２人目の素数さん：2019/04/23(火) 17:56:42.13 ID:7u2F758f.net

>>78　(追加)

4319.
Let x_1,x_2,････,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2,
such that (x_1)^α + (x_2)^α + ････ +(x_n)^α = n.
Prove the following inequality:
　　Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n.

(略証)
　x ≦ (α-1 +x^α)/α　より
　1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α
　= 1 + (1+X)(α-1 +X)/α
　= 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2
　≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2･(X-1)^2　　(← α≧3/2)
　= 3{1 +y +(3/8)yy}
　≦ 3 e^y,　　　　　　　　　　　(←補題)
ここに　X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1),
題意により
　y_1 +y_2 + ････ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+････+X_n -n) = 0,　
　(左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+････+y_n) = 3^n.

〔補題〕
　y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y.

　x>0, X>0, α≧3/2　のとき　y > -7/9 > -0.9323381774

さて、補題をどう示すか････