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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 891 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:41:50.88 ID:2UAex/JZ.net
- 有限体K、乗法群K*
- 892 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:22.97 ID:2UAex/JZ.net
- 乗法群K*は巡回群である
- 893 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:42:58.37 ID:2UAex/JZ.net
- 生成元を原始根
という
- 894 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:42.40 ID:2UAex/JZ.net
- 部分体と
- 895 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:43:52.05 ID:2UAex/JZ.net
- 拡大体
- 896 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:45:59.06 ID:2UAex/JZ.net
- KはF上のVector空間
- 897 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:47:32.43 ID:2UAex/JZ.net
- dim_F K=[K: F]
- 898 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:49:41.51 ID:2UAex/JZ.net
- [L: F]=[L: K][K: F]
- 899 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:50:56.24 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上代数的である
- 900 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:51:34.15 ID:2UAex/JZ.net
- αはK上超越的である
- 901 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:25.29 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする
- 902 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:38.21 ID:2UAex/JZ.net
- 次数最小の
- 903 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:52:47.75 ID:2UAex/JZ.net
- モニックな
- 904 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:00.28 ID:2UAex/JZ.net
- 既約多項式
- 905 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:53:39.48 ID:2UAex/JZ.net
- αのK上の最小多項式f(x)
- 906 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:54:52.42 ID:2UAex/JZ.net
- αを根とする次数最小のモニックな既約多項式
- 907 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:55:46.75 ID:2UAex/JZ.net
- LはK上代数的
- 908 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:56:48.65 ID:2UAex/JZ.net
- Kにαを添加した体
- 909 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:57:05.64 ID:2UAex/JZ.net
- K(α)
- 910 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:58:22.10 ID:2UAex/JZ.net
- Kに添加した体
- 911 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:09.35 ID:2UAex/JZ.net
- 単純拡大
- 912 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 04:59:21.42 ID:2UAex/JZ.net
- 単拡大
- 913 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:08:50.46 ID:2UAex/JZ.net
- K[]X→K[α]⊂L
- 914 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:18.87 ID:2UAex/JZ.net
- X→α代入
- 915 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:09:46.69 ID:2UAex/JZ.net
- これは環同型写像
- 916 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:10:27.28 ID:2UAex/JZ.net
- K[α]の商体K(α)
- 917 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:12.53 ID:2UAex/JZ.net
- K上の有理関数体と同型
- 918 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:11:28.53 ID:2UAex/JZ.net
- K(x)
- 919 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:13:37.98 ID:2UAex/JZ.net
- 写像: K[ X]/(f)→K(α)
- 920 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:14:05.62 ID:2UAex/JZ.net
- この場合、写像X'→α
- 921 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:15:18.43 ID:2UAex/JZ.net
- 同型写像でありK[α]は体になる
- 922 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:16:07.90 ID:2UAex/JZ.net
- すなわちK[α]=K(α)
- 923 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:17:10.54 ID:2UAex/JZ.net
- K⊂L、α∈Lとする
- 924 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:18:11.38 ID:2UAex/JZ.net
- αを体K上代数的とする
- 925 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:19:21.97 ID:2UAex/JZ.net
- [K(α): K]=n
- 926 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:20:37.67 ID:2UAex/JZ.net
- f(x)のLにおける根
- 927 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:25:59.74 ID:2UAex/JZ.net
- 2つの有限体は元の数が等しければ互いに同型である
- 928 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:19.76 ID:2UAex/JZ.net
- 制限σ|F
- 929 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:27:48.19 ID:2UAex/JZ.net
- 自己同型写像
- 930 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:28:03.52 ID:2UAex/JZ.net
- 恒等写像
- 931 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 05:29:55.55 ID:2UAex/JZ.net
- q=p^r、r≧1
- 932 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:01.92 ID:WcEyG/Gg.net
- -(-a)=a
- 933 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:18:31.59 ID:WcEyG/Gg.net
- 0a=a0=0
- 934 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:19:46.40 ID:WcEyG/Gg.net
- (-a)b=a(-b)=-ab
- 935 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:29:10.24 ID:WcEyG/Gg.net
- a(b-c)=ab-ac
- 936 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:31:38.30 ID:WcEyG/Gg.net
- (b-c)a=ba-ca
- 937 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:33:38.35 ID:WcEyG/Gg.net
- 三則が可能
- 938 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 12:34:07.40 ID:WcEyG/Gg.net
- 可換、簡約が可能とは限らない
- 939 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:00:59.24 ID:WcEyG/Gg.net
- 単位的環
- 940 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:02:54.39 ID:WcEyG/Gg.net
- 正則R*
- 941 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 13:08:47.72 ID:WcEyG/Gg.net
- (ma)b=a(mb)=mab
- 942 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:21:50.44 ID:uY+yy519.net
- 零環{0}
- 943 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:22:44.76 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0
0×0=0
よって0は単位元である
- 944 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:04.63 ID:uY+yy519.net
- 零環は0しかない
- 945 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:23:38.25 ID:uY+yy519.net
- 零元0
- 946 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:25:49.53 ID:uY+yy519.net
- 環R≠{0}
零環を除くとする
- 947 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:28:31.67 ID:uY+yy519.net
- a≠0を元に持つ
- 948 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:30.58 ID:uY+yy519.net
- 0≠a=ae=a0=0
となり矛盾
- 949 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:29:46.32 ID:uY+yy519.net
- よってe≠0
- 950 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:34:24.40 ID:uY+yy519.net
- 0+0=0と分配律により
∀a、a+0=aでありa=0とすると
0+0=0
(0+0)a=0a、0a+0a=0a
∴0a=0
- 951 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:08.61 ID:uY+yy519.net
- a(0+0)=a0
a0+a0=a0
∴a0=0
- 952 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:35:33.88 ID:uY+yy519.net
- よって0a=a0=0となる
- 953 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:36:50.84 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=a
- 954 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:37:59.13 ID:uY+yy519.net
- (a⁻¹)⁻¹=a
- 955 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:39:24.43 ID:uY+yy519.net
- 群Gに置いて
aa⁻¹=e
これはaの逆元がa⁻¹
a⁻¹の逆元がaであることを示す
- 956 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:10.63 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元はA⁻¹であり
A=a⁻¹とすると
(a⁻¹)⁻¹=a
- 957 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:40:56.31 ID:uY+yy519.net
- 加法群において
a+(-a)=0
- 958 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:41:47.62 ID:uY+yy519.net
- これはaの逆元が-a
-aの逆元がaであることを示す
- 959 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:42:31.10 ID:uY+yy519.net
- Aの逆元は-A⇔表せるから
A=-aとして
- 960 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:43:00.41 ID:uY+yy519.net
- -(-a)=aとなる
- 961 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:50:20.06 ID:uY+yy519.net
- R*
- 962 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:51:33.59 ID:uY+yy519.net
- a, b∈Rの中でa⁻¹、b⁻¹が存在するものだけを考える
- 963 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:52:48.42 ID:uY+yy519.net
- a, b∈R*⇒a⁻¹, b⁻¹∈R*である
- 964 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:53:55.04 ID:uY+yy519.net
- a⁻¹, b⁻¹∈R*⇒b⁻¹a⁻¹, a⁻¹b⁻¹∈R*である
- 965 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:54:39.08 ID:uY+yy519.net
- するとab∈R*⇒b⁻¹a⁻¹∈R*となる
- 966 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:55:19.10 ID:uY+yy519.net
- (ab)(b⁻¹a⁻¹)=eより逆元が存在する
- 967 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:56:05.15 ID:uY+yy519.net
- ab∈R*より積に関してR*は閉じている
- 968 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:57:37.64 ID:uY+yy519.net
- Rに関してae=ea=aでありR*に制限しても単位元eは同じものが同じ役割を持つ。すなわち単位元は存在する。
- 969 ：１３２人目の素数さん：2023/05/22(月) 23:58:49.01 ID:uY+yy519.net
- 結合律もRで成り立つのでR*に制限しても成り立つ
- 970 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:20.23 ID:wmZr8viD.net
- Rに関して0を除外した場合
- 971 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:04:46.61 ID:wmZr8viD.net
- R*は群をなすかどうか
- 972 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:38.95 ID:wmZr8viD.net
- 結果的に群をなす
- 973 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:05:51.06 ID:wmZr8viD.net
- ことがわかった
- 974 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:10.63 ID:wmZr8viD.net
- 積に関して閉じている
- 975 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:38.66 ID:wmZr8viD.net
- 単位元の存在
- 976 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:06:52.84 ID:wmZr8viD.net
- 逆元の存在
- 977 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:08.98 ID:wmZr8viD.net
- 結合律の成立
- 978 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:07:41.93 ID:wmZr8viD.net
- 逆元を持つ元のみの集合
- 979 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:03.49 ID:wmZr8viD.net
- 結局0が除外サれるだけ
- 980 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:24.77 ID:wmZr8viD.net
- 0には逆元は存在しない
- 981 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:08:52.26 ID:wmZr8viD.net
- 加法群としてならば存在する
- 982 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:13.42 ID:wmZr8viD.net
- R*=R-{0}
- 983 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:10:38.04 ID:wmZr8viD.net
- R\{0}
- 984 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:05.63 ID:wmZr8viD.net
- R=R*と仮定すると
- 985 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:12:38.12 ID:wmZr8viD.net
- 0∈Rより0∈R*となる
- 986 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:14.73 ID:wmZr8viD.net
- ∀a∈R*、a⁻¹が存在するから
- 987 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:27.77 ID:wmZr8viD.net
- a=0として
- 988 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:13:46.12 ID:wmZr8viD.net
- 0×0⁻¹=e
- 989 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:02.50 ID:wmZr8viD.net
- ∀a、0a=0より
- 990 ：１３２人目の素数さん：2023/05/23(火) 00:14:21.28 ID:wmZr8viD.net
- 0=eとかり不合理
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