不等式への招待 第10章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

538 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:09:34.88 ID:KH9c7ePZ.net

いや、そうなってくると藤原小澤も必要なくて古典的なフルヴィッツの形で示せてるのか
無知すぎてスマン

539 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 01:15:18.97 ID:T1BBTchP.net

有理式使っていいならAM-GMは簡単でしょ？
いわゆる2冪でやっといて減らす作戦でいける

540 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:36:59.49 ID:N42SrDUa.net

>>527
�兩n(a_1, a_2, ････, a_n)
　= (a_1)^2 + (a_2)^n + ････ + (a_n)^n - n(a_1)(a_2)････(a_n)
　= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
　+ Σ[i=1,n] a_i (Σ[j≠i] (a_j)^{n-1} - (n-1)Π[j≠i] a_j) /(n-1)
　= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
　+ Σ[i=1,n] a_i �兩{n-1}(i以外) /(n-1),

541 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 14:42:24.65 ID:hueUvkJf.net

ある人の作った問題

https://i.imgur.com/HLrsj0N.jpg

542 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 15:07:23.11 ID:Upg5ciqK.net

ある人って誰かね？

543 ：１３２人目の素数さん：2020/09/27(日) 22:25:26.77 ID:KH9c7ePZ.net

>>541
n=2のときが本質で、他は帰納法でしょうか

544 ：１３２人目の素数さん：2020/09/28(月) 01:14:12.03 ID:VdFe70Zi.net

>>541
数列 {a_n}n∈N と {b_n}n∈N が |a_n|≦1, |b_n|≦1 (∀n∈N) を満たす時、
次を示せ。
| Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k | ≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j| (∀n∈N)

(略証)
Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k
　= Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] a_i) (a_j - b_j) (Π[k=j+1,n] b_k),
三角不等式により
(左辺) ≦ Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] |a_i|) |a_j - b_j| (Π[k=j+1,n] |b_k|)
　≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j|
　= (右辺),

545 ：１３２人目の素数さん：2020/10/06(火) 20:34:14.40 ID:CqXEEU8P.net

〔問題944〕
a,b,c は相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1 を満たす。
　f(x,y) = log(y/x) / (1/x - 1/y),
に対して、
　f(a,b) + f(b,c) + f(c,a) ≦ 1/3
を示せ。

高校数学の質問スレPart407 - 944

546 ：１３２人目の素数さん：2020/10/12(月) 12:43:43.49 ID:xle55bMk.net

IMO2020ロシア大会第2問に不等式問題

https://i.imgur.com/5THoJvk.png

547 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 14:51:16.00 ID:Aceyovpj.net

>>545
0<x,y,　x≠y のとき
f(x,y) = log(y/x)/(1/x - 1/y)
　= log(y/x)/(√(y/x) - √(x/y))
　= 2t/(e^t - e^{-t})・√(xy)
　= t/sinh(t)・√(xy)
　≦ √(xy),
　等号成立は x=y のとき。

(左辺) = f(a,b) + f(b,c) + f(c,a)
　≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　≦ (1/3)(a+b+c + 2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ca))
　= (1/3)(√a + √b + √c)^2,
　等号成立は a=b=c のとき。

548 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:32:20.28 ID:nOU2oznJ.net

RMM、SP346のような抽象的なのは、どこから手を付けていいか分からんちんぽ。
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/10/24-RMM-SPRING-EDITION-2022-1.pdf

549 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 23:54:02.78 ID:w92dB+J+.net

>>548
うほっ大量の不等式！

550 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 04:12:15.55 ID:PHtzabu1.net

JP346.
　両辺に ab(a+b) >0 を掛けて通分すると
ab(a+b)(左辺 - 右辺) = (a-b)^2 {(a-b)^2 + (4 - k/4)ab},
　(4 - k/4) ≧ 0,
　k ≦ 16,

551 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 19:11:56.93 ID:wXRh3JRG.net

>>550
いや知りたいのは、SP346でござるよ

552 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 20:10:00.68 ID:PHtzabu1.net

JP347.
基本対称式を
　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,
とおく。
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u を掛けて通分すると
2(a+b)^2･(a+c)^2 + 2(b+c)^2･(b+a)^2 + 2(c+a)^2･(c+b)^2
　= 2(ss-t)^2 + 8su
　= s^4 + (5/3)tt + s(s^3 -4st+9u) + (tt-3su)/3
　≧ s^4 + (5/3)tt,
∴　(左辺) ≧ {s^4 + (5/3)tt}/st = (s^3)/t + 5t/(3s),

JP348.
　a/b=x, b/c=y, c/a=z　とおくと
　x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz = 3,　　　(← AM-GM)
　(x^4+y^4+z^4)(1+1+1) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2,　(←コーシー)
辺々掛ける。

553 ：１３２人目の素数さん：2020/10/14(水) 22:07:28.25 ID:OfAfCbWz.net

>>551
346はkについての一次式だから
与式⇔k≦4次式÷4次式
になる(割る時、除数の符号わそこまで難しくない)
分子も分母も(a-b)^2で割り切れる

554 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 17:59:01.64 ID:2j40wcqC.net

JP350.
　(a+b+c)^2 ≦ 3(aa+bb+cc),
x ≧ 1/√3　のとき
{1 + 3x(1-x)}^2 - (4-3xx) = 3(3xx-1)(x-1)^2 ≧ 0,
√(4-3xx) + 3x(x-1) ≦ 1,
x=a,b,c でたす。

JP351.
ABCが鈍角�凾ﾌときは
　Πcos(･) ≦ 0,
　(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺),
で成立するから以下では、ABCは鋭角Δとする。
　sin(A) = x,　sin(B) = y,　sin(C) = z
とおくと
　xyz > 0,
一方、題意より
　xx+yy+zz = 1 - 2xyz,
　xyz ≦ 1/8,
左辺に加法公式
　sin(A)sin(B) = cos(A)cos(B) - cos(A+B) = xy + z,
を入れれば
　(左辺) - (右辺) = (xy+z)(yz+x)(zx+y) - 4xyz + 5(xyz)^2
　= ････,
　がんばれ

JP352.
△不等式で
　|a+b+c| + |a-b| + |a-c| ≧ |(a+b+c) + (a-b) + (a-c)| = 3|a|,
巡回的にたすと
　3|a+b+c| + 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≧ 3(|a|+|b|+|c|),

555 ：１３２人目の素数さん：2020/10/15(木) 19:59:49.04 ID:2j40wcqC.net

UP346
　(左辺) = 1 + (x-1)exp(arctan(x))√(1+xx),　　←可積分
∴　x=1

UP347.
上の式は
0 = |x|^2 /m + |y|^2 /n - |x+y|^2 /(m+n)
　= xx' /m + yy' /n - (x+y)(x+y)' /(m+n),
mn(m+n) を掛けて通分する。
0 = nnxx' + mmyy' - mn(xy'+x'y)
　= (nx - my) (nx - my)'
　= |nx - my|^2
∴　x = (m/n)y,
これを下の式に入れて
　y = 1+2i,

UP534.
　(1/n)Σ[k=1,n-1] (k/n)sin(kπ/n)
　→ ∫[0,1] x･sin(πx) dx　　　(n→∞)
　= [ sin(πx)/π^2 - x･cos(πx)/π ](x=0,1)
　= 1/π,

(与式) ≒ (1 + π/n)^n
　= {(1+π/n)^(n/π)}^π
　→　e^π,　　(n→∞)

UP359.
Ω = ∫[0,π/2] θ･cosθ/[(sinθ)^3 + (cosθ)^3] dθ
　= (π/36){π√3 + log(97/8 + 7√3)}
　　- (1/144){ψ'(5/12) - ψ'(11/12)}
　= 0.71907287245537291248414214
ここに
ψ'(x) = {log(Γ(x))}" = {Γ'(x)/Γ(x)}'
　= Σ[k=0,∞] 1/(x+k)^2　　… トリガンマ函数

556 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 05:20:43.69 ID:QJC/WS82.net

JP351.
　cos(A) = x,　cos(B) = y,　cos(C) = z
とおくと、
に修正…

SP349.
　s = -log(sin(a)) >0,　　c = -log(cos(a)) >0,
とおく。
(左辺) = (e^{-s})^{√(c/s)} + (e^{-c})^{√(s/c)}
　= 2e^{-√(cs)}
　≦ 2e^{-log(2)/2}　　　　(*)
　= 2e^{log(1/√2)}
　= √2,
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき cs は急に大きくなる。

SP351.
　(1+t)^{1/3} + (1-t)^{1/3}
　= 2/[(1+t)^{2/3} - ((1+t)(1-t))^{1/3} + (1-t)^{2/3})
　≦ 2,

UP358.
|∫[a,b] e^{ix}/x dx | ≦ ∫[a,b] 1/x dx = log(b/a),
両辺を2乗する。

UP360.
　x = y = 1/3,

557 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 10:43:02.64 ID:QJC/WS82.net

http://www.551horai.co.jp/

(*) a が端(0,π/2) に近づくとき -√cs は大きくなる。(→0)

558 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 19:37:27.70 ID:QJC/WS82.net

SP353.
与式を辺々引くと
　λ(x-y) = √(λλyy-1) - √(λλxx-1)
　　= λλ(yy-xx)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)},
もし x-y≠0 ならば
　1 = - λ(x+y)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)}
　< 0,　(矛盾)
∴　x = y = z = 2/(λ√3),

559 ：１３２人目の素数さん：2020/10/16(金) 20:49:16.21 ID:QJC/WS82.net

SP353.　(別法)
t≧1 で　f(t) = t + √(tt-1)　は単調増加
与式より
　f(λx) = f(λy) = f(λz),
　λx = λy = λz,
λ>0 より
　x = y = z,

560 ：１３２人目の素数さん：2020/10/17(土) 13:08:39.01 ID:Ml1qOBSK.net

UP346.
　f(x) e^{arctan(x)} = ∫ (2xx) e^{arctan(x)} / √(1+xx) dx
とおく。
　f '(x) + f(x)/(1+xx) ＝ 2xx/√(1+xx),
　f '(x)√(1+xx) + f(x)/√(1+xx) = 2xx,
ここで
　f(x) = g(x)√(1+xx),
とおくと
　(1+xx)g '(x) + (1+x)g(x) = 2xx,
g(x) が n次多項式とすると
　g(x) = ax^n + ･･･
（左辺）= (n+1)ax^{n+1} + …
∴ n=1,
　(左辺) = 2ax^2 + g(1)(1+x),
　a=1,　g(1)=0,
　g(x) = x-1,
　f(x) = (x-1)√(1+xx),

561 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 13:13:01.21 ID:ZEBeZlNg.net

SP354.
　log(x^{xy}・y^{yz}・z^{zx})
　= log(x^{xy}) + log(y^{yz}) + log(z^{zx})
　= y･log(x^x) + z･log(y^y) + x･log(z^z)
　≦ y･(x^x - 1) + z･(y^y - 1) + x･(z^z - 1)
　= (y・x^x + ｚ・y^y + x・z^z) - (x+y+z),

*)　e^t ≧ 1+t　より　log(u) ≦ u-1,

562 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 19:36:39.48 ID:ZEBeZlNg.net

SP358.
コーシーで
　{(y+1)+(z+1)+(x+1)} {(z+1)(x+1)+(y+1)}{x^3/[(y+1)(z+1)] + cyclic}
　≧ (x+y+z)^3
　= s^3
よって
　(左辺) ≧ 4s^3 /(s+3)^2 + 3
　= s{(2s/(s+3))^2 + (s+3)/2s + (s+3)/2s - 1}
　= s(3-1)　　　　　　　(← AM-GM)
　= 2s
　≧ (右辺),
等号は s=3, x=y=z=1 のとき。

563 ：１３２人目の素数さん：2020/10/18(日) 21:26:39.70 ID:ZEBeZlNg.net

SP358.
コーシーで
　{ …… } {(z+1)＋(x+1) + (y+1)}{ …… }
　≧ (x+y+z)^3

　≧ s(3-1)　　　　　　　(← AM-GM)

JP360.
　tan(x)^2/{tan(x)^3+cot(x)} + cot(x)^2/{cot(x)^3+tan(x)}
　　- 2/{tan(x)^2 +cot(x)^2}
　= Σ {tan(x) + cot(x) -2}/{tan(x)^2 + cot(x)^2}
　= X / (XX+4X+2)
　≦ 1/(4+2√2),　　　　　　　　　　　(*)
ここに　X = tan(x) + cot(x) -2 ≧ 0,
∴　0 ≦ (左辺) - (右辺) ≦ 3/(4+2√2),

*)　(XX+4X+2) - (4+2√2)X = (X-√2)^2 ≧ 0,
等号成立は X = √2,　sin(2x) = 2 - √2,

564 ：１３２人目の素数さん：2020/10/19(月) 19:49:07.20 ID:wNxsDbEN.net

Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/nrEQJtL.jpg

565 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 20:12:27.86 ID:J8I4fsGY.net

〔問題558〕
正の実数 x,y,z が xyz=1 を満たすとき、以下を示せ。
x/(1+y+z)^3 + y/(1+z+x)^3 + z/(1+x+y)^3 ≧ 1/9 ≧ 1/(√xy + √yz + √zx)^2,

566 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:53:39.82 ID:F90OyzGB.net

>>565
問題番号がついてるけど、どこかのスレ番号で紹介されていたのかな？

567 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:54:13.75 ID:F90OyzGB.net

ああスマン。このスレの558の画像からか。

568 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:23:28.55 ID:qlrP4DQI.net

a,b,c > 1/2 のときに、aa+bb+cc+ab+bc+ca-a-b-c ≧0 を証明したい。
左辺を平方完成して、残り物 ab+bc+ca-3/4 にAM-GMする以外にﾊｧﾊｧできそうな方法はないかな？

569 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 06:24:46.82 ID:qlrP4DQI.net

>>564
左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に変えて同次にするんだろうと思うけど、そこで手が止まっている…

570 ：１３２人目の素数さん：2020/12/06(日) 02:09:47.83 ID:KT/cOuDT.net

>>568
　(左辺) = {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/2 - (a+b+c)
　　 = {(a+b)(a+b-1) + (b+c)(b+c-1) + (c+a)(c+a-1)}/2
　　> 0,
とか
　(左辺) = {4(a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/6 - (a+b+c)
　≧ (2/3)ss - s　　　　　　　(s=a+b+c)
　= (2/3)s(s - 3/2)
　> 0,
とか色々あるけど、単に
　a' = a - 1/2 > 0,　b' = b - 1/2 > 0,　c' = c - 1/2 > 0,
でいい希ガス…

571 ：１３２人目の素数さん：2020/12/07(月) 03:29:15.95 ID:8o9fiWHc.net

>>570
おぉ〜ありがとう！

572 ：１３２人目の素数さん：2020/12/14(月) 01:35:46.45 ID:gLda82Cm.net

a,b>0は定数とする. 0<s,t<1のとき
st/(as+bt)+(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)}の最大値を求めよ.

573 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 06:19:31.83 ID:DAoaiwdi.net

1/(a+b) - (与式) = ab(s-t)^2 /[(a+b)(as+bt){a(1-s)+b(1-t}] ≧ 0,
等号成立は s=t のとき。

574 ：１３２人目の素数さん：2020/12/18(金) 13:22:00.83 ID:DAoaiwdi.net

コーシーで
　st/(as+bt) ≦ (at+bs)/(a+b)^2,
　(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)} ≦ {a(1-t)+b(1-s)}/(a+b)^2,
辺々たす。

575 ：１３２人目の素数さん：2020/12/19(土) 21:22:13.58 ID:iw6DTiTj.net

単位円に内接する正n角形のn個の頂点からの距離の和が最小になる点とその最小値を求めよ。

576 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 20:55:16.29 ID:QYPKWpxY.net

頂点A_k の極座標を (1, 2kπ/n)　点Pの極座標を (r, θ) とおく。
第二余弦定理より
PA_k = √{1 - 2r･cos(2kπ/n - θ) + rr} ≧ 1 - r･cos(2kπ/n - θ)
　等号成立は r=0 のとき
また
　Σ[k=1,n] cos(2kπ/n - θ) = Σ[k=1,n] {sin((2k+1)π/n - θ) - sin((2k-1)π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
　= {sin((2n+1)π/n - θ) - sin(π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
　= 0,
∴　Σ[k=1,n] PA_k ≧ n,
　等号成立は P=O のとき。

・nが偶数のとき　(n=2m)
三角不等式より
　PA_k + PA_{m+k} ≧ A_k A_{m+k} = 2,
　等号成立は P が線分 A_k A_{m+k} 上にあるとき。(← 円の直径)
∴　 Σ[k=1,n] PA_k = Σ[k=1,m] (PA_k + PA_{m+k}) ≧ Σ[k=1,m] 2 = 2m = n,
　等号成立は P=O のとき。

577 ：１３２人目の素数さん：2020/12/20(日) 23:01:24.01 ID:QYPKWpxY.net

ヴェクトルの内積を使えば
OA_k = 1　より

PA_k ≧ ↑PA_k・↑OA_k = (↑OA_k - ↑OP)・↑OA_k
　　= 1 - ↑OP・↑OA_k,

∴　Σ[k=1,n] PA_k ≧ n - ↑OP・{Σ[k=1,n] ↑OA_k} = n,
等号成立は ↑OP = o.

578 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 08:32:42.45 ID:NURKUP5N.net

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀ ） 　新年あけまして
　　　　 /　　　　 ヽ
　　　　 し、__X__,ノJ

　 　 　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　 　⌒ｌ 　おめでとうございます。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

正の数 a，b，c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (a+b+c)e,
e = 2.71828… は自然対数の底
>>299

579 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 13:31:16.81 ID:2x2Frbzp.net

>>578
eが出てくるのか…

580 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 06:38:55.14 ID:N51mYuOL.net

eが出てきても eじゃない…

(左辺) ≧ 2.7199579587(a+b+c)
等号は a=b=c = 0.9968783547581 のとき。

581 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 16:12:00.62 ID:+lbXmv47.net

すべての自然数nについて
Σ_{k=1}^n (k^(1/2)-1)≧(n/2)*((n/2)^(1/2)-1)
が成り立つことをしめせ

582 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 20:22:26.62 ID:N51mYuOL.net

k≧2 について
　(k-1)^3 - k(k-3/2)^2 = (3/4)k - 1 > 0,　　(AM-GM)
　(k-1)^{3/2} > (k - 3/2)√k = k^{3/2} - (3/2)√k,
　√k > (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
(左辺) = Σ_{k=2}^{n} (√k - 1)
　　> (2/3)(n^{3/2} - 1) - (n-1)
　　= (1/3)(2√n +1)(√n - 1)^2
　　> (n/2)(√(n/2) - 1),

583 ：１３２人目の素数さん：2021/01/03(日) 22:48:34.64 ID:N51mYuOL.net

積分を使えば簡単だが…
√k > ∫_{k-1}^{k} (√x)dx = (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),

584 ：１３２人目の素数さん：2021/01/04(月) 20:59:39.27 ID:OQ8TTvGy.net

最後は
　(左辺) > n((2/3)√n - 1)
　　> (n/2)(√(n/2) + √(n/3) - 2)　　(← 補題)
　　≧ (n/2)(√(n/2) - 1)　　　　　(n≧3)
　n=1, n=2 は明らか。

〔補題〕
　1/√2 + 1/√3 < 4/3.
(略証)
コーシーで
　(1/√2 + 1/√3)^2 ≦ (1+1)(1/2+1/3) = 5/3 < 16/9 = (4/3)^2,

585 ：１３２人目の素数さん：2021/01/05(火) 10:53:44.67 ID:7+Me0drG.net

GM-AM で
　1/√2 + 1/√n < 3/4 + (1/4 + 1/n) = 1 + 1/n,

586 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 18:50:24.31 ID:ZXZ11nuc.net

n が被ってしまった。。。。m 等にすべきか。
>>583 から
　Σ_{k=2}^{n} √k > √2 + ∫_[2}^{n} (√x) dx
　　= √2 + (2/3)(n√n - 2√2)
　　> (2/3)n√n - 1/2,　　　　　　　　(n≧2)

587 ：１３２人目の素数さん：2021/01/06(水) 19:13:16.60 ID:YFXd0DZ2.net

JMO2020本選5

588 ：１３２人目の素数さん：2021/01/07(木) 14:00:54.18 ID:PX1JcXUq.net

>>579

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (3/ln3)(a^3 +b^3 +c^3),

589 ：１３２人目の素数さん：2021/01/09(土) 17:51:38.85 ID:Gni2ACgE.net

ついでに…

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,

http://suseum.jp/gq/question/3221

590 ：１３２人目の素数さん：2021/01/10(日) 02:37:24.49 ID:k4Y9uhcW.net

〔問題〕
A, B, and C are non-negative real numbers. Prove that
3(A^4 + B^4 + C^4) ≧ (A^2 + B^2 + C^2)(AB + BC + CA) + (A^2 - B^2)^2 + (B^2 - C^2)^2 + (C^2 - A^2)^2
≧ (A^2 + B^2 + C^2)^2,

BMO-2016 Azerbaijan (改)
[数学オリンピック３１．018]

591 ：１３２人目の素数さん：2021/01/22(金) 05:19:03.42 ID:n9I3J2ea.net

>>589
　x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x｡},
　K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
　等号成立は　x。= 0.99703312297　のとき。
あとはコーシーで。

http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221

592 ：１３２人目の素数さん：2021/01/27(水) 16:42:45.22 ID:knjIwEAx.net

〔問題〕
�凾ﾌ各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
　(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
　　≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},

佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　(左)　Leibnizの不等式　(定理2.4.5)　p.88-89
　(右)　演習問題 2.57(改)　p.94

593 ：１３２人目の素数さん：2021/02/13(土) 23:28:41.35 ID:DMjAiYgV.net

a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…

594 ：１３２人目の素数さん：2021/02/14(日) 19:07:32.95 ID:EPktPcJq.net

>>593
a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 1 + 9/{(a+b+c)^2} ≧ 6/(a+b+c)

('A`) ｳｰﾑ…

595 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 19:11:23.08 ID:+p1DAQAM.net

底面を凸四角形ABCDとする四角錐V-ABCDについて、
すべての辺に接し、かつ中心が底面上にあるような球が存在するとする。
このとき、
　VA+VB+VC+VD ≦ AB+BC+CD+DA

[大数2021−2月宿題]

596 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 20:08:40.42 ID:ItHwm5kd.net

球の半径を1とし、球の中心をO、∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODAをa,b,c,dとすれば
AB+BC+CD+DA=2(cot a+cot b +cot c + cot d)、
VA+VB+VC+VD=cot a + tan a +cot b + tan b +cot c + tan c +cot d + tan d
∴ AB+BC+CD+DA-(VA+VB+VC+VD)
=cot a - tan a +cot b - tan b +cot c - tan c +cot d -tan d
以下a+b+c+d=π/2とcot x-tan xの凸性

597 ：１３２人目の素数さん：2021/02/16(火) 21:52:59.29 ID:1xlHv4Kk.net

大数ネタはご遠慮願いたいわ

598 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:07:29.10 ID:pOGUunX7.net

>>593-594
　文献[9]　佐藤(訳)、朝倉書店 (2013)
　演習問題1.86　p.40

599 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:14:31.35 ID:mKsTbiN1.net

Π[p:素数]cos(2π/p) > 0

600 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 00:22:20.07 ID:FhoAKrRQ.net

>>596
三行目では, VA=cot a + tan a になるってことですか？
tan a の出所がわからないです。

601 ：１３２人目の素数さん：2021/02/17(水) 01:31:32.48 ID:3OYBmM8w.net

あ、しまった>>596は撤回です

602 ：１３２人目の素数さん：2021/02/18(木) 15:24:16.44 ID:gfQsTfgF.net

内接円をもつ四角形ABCDで、内接円の中心を I とするとき

(IA+ID)^2+(IB+IC)^2 ≦ (AB+CD)^2

603 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 15:53:16.27 ID:mfVhACbJ.net

>>599
cos(π) = - 1,
cos(2π/3) = - 1/2,
cos(2π/5) = (√5 -1)/4 = 1/(2φ) = 0.309017
cos(2π/7) = 0.6234898
Π[p≧11] cos(2π/p) > Σ[p≧11] (1 - 2ππ/p^2)
　　> 1 - Σ[p≧11] 2ππ/p^2
　　> 1 - (2ππ)Σ[k≧5] 1/(2k+1)^2
　　= 1 - (2ππ)(ππ/8 - 1 - 1/9 - 1/25 - 1/49 - 1/81)
　　= 1 - (2ππ)・0.0498356
　　= 0.01628475
∴　(与式) > 0

なお
　Π[p≧7] cos(2π/p) = 0.3338
　Π[p≧11] cos(2π/p) = 0.5354
(与式) ≒ 0.05158

604 ：１３２人目の素数さん：2021/02/23(火) 16:29:58.81 ID:mfVhACbJ.net

Π[p≧11] cos(2π/p) > Π[p≧11] cos(2π/(p-1))
　> Π[n=5,∞] cos(π/n)
　= (2√2)Π[n=3,∞] cos(π/n)
　= (2√2)・0.114942　　　　　　　　(*)
　= 0.3251052

*) 数セミ増刊「数学の問題」第２集, 日本評論社 (1978)
　●117　によれば
　Π[n=3,∞] cos(π/n) = 0.114942044853296…

605 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:15:42.03 ID:SY070HAY.net

(2)
　|cosθ| ≦ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≦ -1/2,
　|cosθ| ≧ 1/2　　⇔　　cos(2θ) ≧ -1/2,

(4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　⇔　　cos(4θ) ≦ cos(72),

[分かスレ４６６-119]

606 ：１３２人目の素数さん：2021/03/03(水) 14:37:41.92 ID:SY070HAY.net

(2)
　cos(2θ) + 1/2 = 2 [(cosθ)^2 - 1/4],

(4)
　cos(4θ) - cos(72) = 8 [cos(18)^2 - (cosθ)^2] [cos(72)^2 - (cosθ)^2]

∴　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),

[分かスレ４６６-129]

607 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:39:49.08 ID:dHW5XVEt.net

(4)
　|cosθ| ≦ cos(72)　　⇒　　cos(4θ) ≧ cos(72),
　|cosθ| ≧ cos(72)　　←　　cos(4θ) ≦ cos(72),

608 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:43:07.41 ID:dHW5XVEt.net

〔問題157〕
x>0, y>0, z>0 ならば
　(x+y)^z + (y+z)^x + (z+x)^y >2,

[分かスレ４６６-157, 178]

609 ：１３２人目の素数さん：2021/03/06(土) 19:53:41.41 ID:VMjWPceO.net

>>180
そのわかすれの178のレスでx+y,y+z,z+xのうち1以上のものが少なくとも一つあるとしてるけど、それらのケースに帰着できるわけじゃないよね？
最小値はx=y=z=0.184付近だし
単にすぐに除外していいケース述べてるだけだよね？

610 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 06:25:23.53 ID:gfZuqlK8.net

全部1未満のとき
　0 < x, y, z < 1.
　f(z) = a^(1-z)　(a>0) は下に凸だから
　f(z) < f(0)(1-z) + f(1)z,　　(0<z<1)
　a^(1-z) < a(1-z) + z < a+z,
　a^z > a/(a+z),　　　…　ベルヌーイの不等式
∴　(x+y)^z > (x+y)/(x+y+z),
　巡回的にたす。

611 ：１３２人目の素数さん：2021/03/07(日) 07:55:47.98 ID:hMmQPJhz.net

>>609
なんで上から抑えるん？
最小値>2を示せでしょ？

612 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 06:18:44.76 ID:dMP4wwTf.net

〔問題596〕
正の実数 a,b,c が a+b+c = 1 を満たすとき
　(1/a - a)(1/b - b)(1/c - c) ≧ (3 - 1/3)^3,
　等号成立は a=b=c = 1/3.
を示せ。

[高校数学の質問スレ４１０-596,599,610]

613 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 22:08:55.30 ID:NWVdDcAf.net

「任意の自然数nに対して、n<2^nが成立」
これを色々な方法で証明せよ

よくある証明方法は帰納法、二項定理の利用、微分によるなどあるが、それ以外もあるんかな

614 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 06:14:13.22 ID:JY2ui+vd.net

帰納法
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1} > (n-1) + 1 = n,
あるいは
　2^n = 2^{n-1} + 2^{n-2} + ････ + 2 + 1 + 1 ≧ n + 1,
　　　　　　　　　　　(n+1)項

a_1, a_2, ････, a_n ≧ 0 のとき
(1+a_1)(1+a_2)････(1+a_n) = 1 + s_1 + ････ + s_n ≧ 1 + s_1,
　　s_k は k次の基本対称式
　　s_1 = a_1 + a_2 + ････ + a_n,
より
　2^n ≧ 1 + n

615 ：１３２人目の素数さん：2021/03/11(木) 12:04:01.19 ID:qBeEcW7U.net

俺が考えていた証明

n(1/n-1/2^n)=1-n/2^n
=(Σ1/2^i)-n/2^n
>(Σ1/2^i)-(1/2+…+1/2^n)>0
よりn>0だから
1/n-1/2^n>0⇔n<2^n

616 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 02:13:29.47 ID:M36DVxm1.net

不等式ってこういう気まぐれ？なときもあるんだね。。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

617 ：１３２人目の素数さん：2021/03/15(月) 22:30:10.49 ID:on5dd3Wr.net

>>616
n=3のときの、ネビットの不等式に (;ﾟ∀ﾟ)=3ﾊｧﾊｧ した若い頃が懐かしい…

618 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:27:58.15 ID:Rkkg81B/.net

>>612
a+b+c = 1 より
　G = (abc)^{1/3} ≦ 1/3,　　　　　(AM-GM)

　1/y - y = (1+y)･(1/y - 1),
より
(1/a - 1)(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-a -b -c)/(abc) + (1/a + 1/b + 1/c) - 1
　= 1/a + 1/b + 1/c - 1
　≧ 3/G - 1
　≧ 2(1/G + 1)　　　(G≦1/3)
　= 2(1/3G + 1/3G + 1/3G + 1)
　≧ (2/(3G)^{1/4})^3,

(1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1+G)^3　　（コーシー)
　= (1/27)(3G+1+1+1)(1+3G+1+1)(1+1+3G+1)
　≧ ((4/3)(3G)^{1/4})^3,

辺々掛けて　(左辺) ≧ (8/3)^3.

619 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 08:34:06.62 ID:Rkkg81B/.net

〔問題3204〕
a≧b≧c≧d≧0 のとき
　(a+2b) (aa+bb) ≦ (a+b)^3
　(a+2b+3c) (aa+bb+cc) ≦ (a+b+c)^3,
　(a+2b+3c+4d) (aa+bb+cc+dd) ≦ (a+b+c+d)^3,

注)　5文字の場合は aa(b-d-2e) が出て来ます…orz

すうじあむ
　http://suseum.jp/gq/question/3204

620 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 01:32:04.79 ID:iElyCuOB.net

>>616
こういうのもなんか理由があるっぽい

621 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 19:31:57.99 ID:jAHOCp/v.net

〔例2.4.6〕
三角形の辺の長さを a,b,c, 面積を�凾ﾆすると
　�� ≦ (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

佐藤(訳), 文献９, 朝倉書店 (2013)　　p.89

622 ：１３２人目の素数さん：2021/04/08(木) 20:11:29.99 ID:jAHOCp/v.net

(略証)
　�� = (1/4)√{4(aabb+bbcc+ccaa) - (aa+bb+cc)^2}　　(Heron)
　　= (1/4)√{4(xy+yz+zx) - (x+y+z)^2}
　　≦ (1/4)√{9xyz/(x+y+z)}　　　　　　(Schur-1)
　　= (3/4)abc/√(aa+bb+cc),

* Schur-1
　F_1(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz
　　= x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≧ 0,

623 ：１３２人目の素数さん：2021/04/24(土) 23:51:27.16 ID:nN6RssoR.net

Twitterで拾った問題

https://i.imgur.com/UT7t9WF.jpg

624 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 04:42:31.91 ID:We8cr6tt.net

〔問題〕
正の実数 a,b,c について、次が成り立つことを示せ。
　{aa(b+c)+4}/(a+2)^3 + {bb(c+a)+4}/(b+2)^3 + {cc(a+b)+4}/(c+2)^3 ≧ 2/3.
等号成立は (a,b,c) = (1,1,1) のとき

625 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 05:46:51.43 ID:We8cr6tt.net

(略証)
{aa(b+c) + 2 + 2} / (a+1+1)^3
　≧ １/ {(1+1+1)[a/(b+c) + 1/2 + 1/2)]}　　(← コーシー)
　= (b+c) / {3(a+b+c)},
巡回的にたす。

626 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 10:47:03.87 ID:2luW0iZY.net

Twitterから拾った問題

https://i.imgur.com/MTQJIvZ.jpg

627 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 11:03:19.13 ID:YeL676w3.net

>>625
作問者の天真(Twitter:@bon_miss_tenma)です
こんなにあっさり解かれるとは思ってませんでしたw
ついでに620さんの問題も僕のだったりします、是非挑戦してください！

628 ：１３２人目の素数さん：2021/04/25(日) 19:29:46.14 ID:We8cr6tt.net

〔問題620〕
正の実数 a,b,c が aa+bb+cc=3 を満たすとき、次を示せ。
　(2a+1)/(b+c+1)^3 + (2b+1)/(c+a+1)^3 + (2c+1)/(a+b+1)^3 ≧ 1/3,
等号成立は (a,b,c)=(1,1,1) のとき。

(略解)
　(左辺) ≧ (b+c+1)/(b+c+1)^3 + (c+a+1)/(c+a+1)^3 + (a+b+1)/(a+b+1)^3
　　= 1/(b+c+1)^2 + 1/(c+a+1)^2 + 1/(a+b+1)^2　　(← チェビシェフ)
　　≧ 9/{(b+c+1)^2 + (c+a+1)^2 + (a+b+1)^2}　　(← AM-HM / コーシー)
　　≧ 3/{(bb+cc+1) + (cc+aa+1) + (aa+b+1)}
　　= 3/{2(aa+bb+cc)+3}
　　= 1/3,　　　　　　(← 題意)

629 ：１３２人目の素数さん：2021/04/26(月) 02:25:57.94 ID:y9M7sTQu.net

(補足)
チェビシェフで
(a+1/2)/(b+c+1)^3 + (b+1/2)/(c+a+1)^3 - (a+1/2)/(c+a+1)^3 - (b+1/2)/(b+c+1)^3
　= (a-b) {1/(b+c+1)^3 - 1/(c+a+1)^3}
　≧ 0,
循環的にたすと
　(左辺) - 1/(b+c+1)^2 - 1/(c+a+1)^2 - 1/(a+b+1)^2 ≧ 0,

630 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 04:23:14.87 ID:B9p/ERZg.net

>>624
>>626

〔問題34〕
a,b,c > 0 のとき
　(a(b+c)+1)/(b+c+1)^2 + (b(c+a)+1)/(c+a+1)^2 + (c(a+b)+1)/(a+b+1)^2 ≧ 1,
　Inequalitybot [34]　☆5
　JMO-2010　問4

Inequalitybot も問題番号で検索できるようになってます。

631 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 07:27:45.63 ID:B9p/ERZg.net

>>589
〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
　(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　USAMO-2004, Q5
　Inequalitybot [48]　☆6

632 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 16:58:32.60 ID:B9p/ERZg.net

>>619
　(a+b)^3 - (a+2b)(aa+bb) = aab + (2a-b)bb ≧ 0,
　(a+b+c)^3 - (a+2b+3c)(aa+bb+cc) = aab + (2a-b)bb + (2a+b-2c)cc + 6abc ≧ 0,
　(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)(aa+bb+cc+dd)
= aa(b-d) + (2a-b-d)bb + (2a+b-2c-d)cc + (2a+b-3d)dd + 6(abc+abd+acd+bcd) ≧ 0,

633 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 17:05:44.79 ID:B9p/ERZg.net

これと以下を組み合わせた問題があった。
〔補題〕
a+b+c+… = 1 のとき
　　(a^a)(b^b)… ≦ (aa+bb+…),
(略証)
a+b+c+… = s　とおく。
y=log(x) は上に凸だから Jensen で
　a･log(a) + b･log(b) + ････ ≦ s･log((aa+bb+････)/s)
　(a^a)(b^b)… ≦ {(aa+bb+…)/s}^s,
s=1 とおく。

634 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 19:31:51.11 ID:B9p/ERZg.net

〔問題〕
　tan(1/2) > cos(1).
これの証明はどうすれば出来ますか？

　高校数学の質問スレ４１１- 028, 936

635 ：１３２人目の素数さん：2021/04/28(水) 23:28:33.43 ID:Tu1Xrn91.net

t = tan(1/2)とおいて
tan(1/2)-cos(t)=(t^3+t^2+t-1)/(t^2+1)
なのでコレが＋を言えば良い
tan(1/2)=0.546302.....
t^3+t^2+t-1は単調増大で0になるのはt=0.543689....
とりあえず5次までマクローリン展開して
tan(1/2)
>1/2+(1/3)(1/2)^3+(2/15)/(1/2)^5=131/240=0.54583333......

636 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:03:41.02 ID:mxa1BnUU.net

>>634
θ = 1/2　とおいて
tanθ - cos(2θ) = tanθ - 1 + 2(sinθ)^2
　= tanθ - 3/2 + {1/2 + 2(sinθ)^2}
　≧ tanθ - 3/2 + 2sinθ　　(AM-GM)
　= tanθ + 2sinθ - 3θ
　≧ 0,　　　(Snellius-Huygensの式)

637 ：１３２人目の素数さん：2021/04/29(木) 02:45:36.56 ID:NbeeKPJA.net

このスネル・ホイヘンスの不等式、以前からどうやって見つけたのか気になってるヤツだ

638 ：１３２人目の素数さん：2021/04/30(金) 23:51:02.05 ID:nccWEVYf.net

>>636
上手だなあ