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不等式への招待 第10章
- 1 :不等式ヲタ ( ゚∀゚):2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
___ ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
|┃三 ./ ≧ \
|┃ |:::: \ ./ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=__ \ ハァハァ
|┃ ≡ ) 人 \ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第9章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 497 :132人目の素数さん:2020/08/26(水) 23:23:01 ID:oXbdk8QE.net
- a,b,c>0
$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
2020 China Norther MO ( ゚∀゚)ウヒョッ!
- 498 :132人目の素数さん:2020/09/01(火) 21:06:34.76 ID:2xmHjvQW.net
- Twitterから色々拾ってきた
https://i.imgur.com/wm73ysp.png
https://i.imgur.com/WZ2vouq.jpg
https://i.imgur.com/mRGlGoa.jpg
- 499 :132人目の素数さん:2020/09/01(火) 22:58:10.89 ID:g1e3GOfL.net
- うむ、よく訓練された不等式ヲタだな。
- 500 :132人目の素数さん:2020/09/02(水) 00:03:43.87 ID:3yJQ3R53.net
- (aa+1)(bb+1)(cc+1) = (a+b+c-abc)^2 + (ab+bc+ca-1)^2.
- 501 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 00:51:04.79 ID:PGJ1gE8Y.net
- (a+i)(b+i)(c+i) = (abc -a-b-c) + (ab+bc+ca-1)i,
(a-i)(b-i)(c-i) = (abc -a-b-c) - (ab+bc+ca-1)i,
辺々掛ける。
- 502 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 01:07:54.34 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>497
a,b,c>0 のとき
(a^3+b^3)/√(aa-ab+bb) + (b^3+c^3)/√(bb-bc+cc) + (c^3+a^3)/√(cc-ca+aa) ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2),
(略証)
コーシーで
(x^3+y^3)/√(xx-xy+yy) = √{(x^3+y^3)(x+y)} ≧ x^2 + y^2,
巡回的にたす。
- 503 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 02:47:25.14 ID:yitbZe7d.net
- >>501
からくりを見ると、当たり前の等式だったんだなあ ( ゚∀゚)ハァハァ…
- 504 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 13:48:56.02 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>500
実数でやるなら
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおく。
(左辺) = (abc)^2 + ((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + 1
= uu + (tt-2su) + (ss-2t) + 1
= (uu -2su +ss) + (tt -2t +1)
= (u-s)^2 + (t-1)^2,
- 505 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 14:48:46.83 ID:PGJ1gE8Y.net
- >>498
(上)
〔問題214〕
自然数n∈Nを固定する。
i=1,2,・・・・・,2n に対して |x_i| ≦ 1 の値をとるとき
Σ[1≦r<s≦2n] (s-r-n) x_r x_s
の取り得る最大の値を求めよ。
IMO Shortlist 2015 A-3
Inequalitybot [214]
(中)
△ABCにおいて、
F = {(sinA)^2 + 2(sinB)^2 + 3(sinC)^2} / {(sinA)(sinB)(sinC)}
とおく。
(1) △ABCの3辺の長さを BC=a, CA=b, AB=c とおき、
さらに△ABCの面積をSとする。
F を a,b,c,S で表わせ。
(2) Fの最小値を求めよ。
(下)
Problem 26
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=3 をみたすとき、
a(bb+cc)/(aa+bc) + b(cc+aa)/(bb+ca) + c(aa+bb)/(cc+ab) ≧ 3
が成立することを示せ。
- 506 :132人目の素数さん:2020/09/03(木) 16:26:15 ID:PGJ1gE8Y.net
- (中)
(1) 正弦定理
sin(A) = a/2R, sin(B) = b/2R, sin(C) = c/2R,
と
S = abc/4R,
より
F = 2R(aa+2bb+3cc)/abc = (aa+2bb+3cc)/2S,
(2)
ところで 面積S は a,b,c の関数である。(ヘロンの公式)
(aa+2bb+3cc)^2 - 11・16SS
= (aa+2bb+3cc)^2 - 11{2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 -a^4 -b^4 -c^4}
= (3・4・5){(bb/4-cc/3)^2 + 2(cc/3-aa/5)^2 + 3(aa/5-bb/4)^2}
≧ 0,
aa+2bb+3cc ≧ (4√11)S,
∴ F ≧ 2√11 = 6.63325
等号成立は a:b:c = √5:√4:√3 のとき。
- 507 :132人目の素数さん:2020/09/04(金) 01:17:36.55 ID:USkdw4WV/
- 【誰でもOK】手堅く月50万を稼ぐ手順
https://www.youtube.com/watch?v=QRRcJ3D-6uI
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https://www.youtube.com/watch?v=Gq9-CmrpVHo
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https://www.youtube.com/watch?v=9qyECT9f_ZE
動画編集者のディレクターになるメリットとデメリット
https://www.youtube.com/watch?v=PxK-wqLGrWw
【体験談】動画編集のディレクターという職業
https://www.youtube.com/watch?v=PLshf0PJyNo
動画編集者がYouTubeをやる3つのメリット
https://www.youtube.com/watch?v=V_b_lfaEtwQ
動画編集初心者が勉強始めてから案件獲得するまでの3ステップ
https://www.youtube.com/watch?v=pEt7NGOqm4U
【動画編集】案件を得るための4つの営業先【超初心者向け】
https://www.youtube.com/watch?v=S_iyjOUq2ZI
- 508 :132人目の素数さん:2020/09/13(日) 23:58:13.39 ID:JpJgDqA9.net
- a,b,c,d > 0
\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{cd} ≦ \sqrt[3]{(a+c+d)(a+c+d)}
あばばばばばば
∩___∩
|ノ ヽ/⌒) あびゃば
/⌒)(゚) (゚) / あびゃあばばば
/ / (_●)ミ / ∩――、
( ヽ |∪| / /(゚)ヽ _ ヽ
\ ヽノ / / (● (゚) |つ
/ / | (入_ノ ミ
| / | (_/ ノ
| /\ \ \___ノ゙ー-、
| / ) ) /\ _ \
(_ノ ( \ (⌒O /\ (_ノ
\_) \ノ / 、 )0
- 509 :132人目の素数さん:2020/09/14(月) 02:22:15.74 ID:8KYEGgmf.net
- 何かが変だ
- 510 :132人目の素数さん:2020/09/14(月) 04:14:30.54 ID:MMq0bu8b.net
- 何かおかしい、何となくそんな気がした。
TVに映る試合は俺とは全く縁もゆかりもない県同士の戦いだが、負けてる方をなんとな〜く応援している気分でいると、これまたなんとなくそろそろハルヒが騒ぎ出すような気がした。
- 511 :132人目の素数さん:2020/09/15(火) 07:33:01.17 ID:bL5lP9LW.net
- >>488
等号成立条件だけ。
最小値: {a,b,c} = {-1,0,1}
最大値: {a,b,c} = {1,1,1} {1,1,2/3}
- 512 :132人目の素数さん:2020/09/15(火) 21:41:55.44 ID:oug42vb/.net
- うむ
- 513 :132人目の素数さん:2020/09/15(火) 22:27:51.50 ID:5JiWovoE.net
- うむ、エレガントな証明を見せてもらおうか。
- 514 :132人目の素数さん:2020/09/21(月) 22:00:12.84 ID:uwUcrYFn.net
- >>488、>>511
等号成立条件は、たぶんこうぢゃなゐかな? ( ゚∀゚)ウヒョッ!
(a,b,c,d) = (t, kt, (1+ 1/k)t, k(k+1)t), ただし k, t > 0 とする。
- 515 :132人目の素数さん:2020/09/22(火) 13:24:21.97 ID:7+NxYT1p.net
- >>514
間違った。 >>513 は >>508 の等号成立条件。
- 516 :132人目の素数さん:2020/09/23(水) 14:21:02.58 ID:qMQmLmqf.net
- xが0以上のとき 5x^3-3x+1>0
微分法で簡単に示せるですが
不等式エキスパートの人なら巧みな多項式変形とかで示せるですか?
- 517 :132人目の素数さん:2020/09/23(水) 21:07:53.46 ID:63e1O9oo.net
- x√5 = X とおけば
5x^3 - 3x + 1 > 5x^3 - 3x + (2/√5)
= (X^3 - 3X + 2) /√5
= (X+2)(X-1)^2 /√5
≧ 0,
ただし、x=1/√5 で極小になることを
微分などの方法で知る必要がある…
- 518 :132人目の素数さん:2020/09/23(水) 21:14:37.25 ID:yFt7+l2/.net
- 相加相乗平均だけで示せないかな
- 519 :132人目の素数さん:2020/09/23(水) 22:26:05.40 ID:UPCkCEIn.net
- a≧b≧c≧d>0 かつ a+b+c+d=1 のとき、
(a+2b+3c+4d)(a^a)(b^b)(c^c)(d^d) ≦ 1.
- 520 :132人目の素数さん:2020/09/23(水) 22:35:07.36 ID:qMQmLmqf.net
- x=0のときは明らかなのでx>0として 5x^2 + 1/x > 3 を言えばよいが
相加相乗で左辺≧3*(5/4)^(1/3) >3 。
式変形だけで、例えば
x^16 - x + 1 = (x^8-1/2)^2+(x^4-1/2)^2+(x^2-1/2)^2+(x-1/2)^2
みたいな感じの巧みな変形でいけないものでしょうか。
- 521 :132人目の素数さん:2020/09/24(木) 10:06:27.00 ID:qc+lGULo.net
- >>518
X^3 + 1 + 1 ≧ 3X,
は 相加相乗平均(AM-GM) と思ってもいいし、
コーシー
(X^3 + 1 + 1)(1 + X^3 + 1)(1 + 1 + X^3)
≧ (X + X + X)^3
= (3X)^3,
の3乗根と思ってもいい。
- 522 :132人目の素数さん:2020/09/24(木) 10:21:36.43 ID:3a+g1aMq.net
- >>520-521
abc3数の相加相乗平均は、
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ba)
= (a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
と変形できるので、a=X・b=1・c=1を代入して……って>>517と同じ式変形やないかーい笑
y=f(x) とした関数は非負だと x=1/√5 で極小値かつ最小値をとる。
極小値だけ移動した g(x)=f(x)-極小値 を考える→
x軸に接する
→(x-1/√5)^2 または (X-1)^2を因数にもつ
という考えと同じ。
- 523 :132人目の素数さん:2020/09/24(木) 22:14:11.72 ID:shPxNCvG.net
- >>522
少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか?
- 524 ::2020/09/25(金) 01:49:19.72 ID:a6NySAb6.net
- >>523
> 少し話が逸れるんだけど4次や5次の相加相乗にも同じように直接平方完成する変形があるんでしょうか?
なんと出来るらしい。
https://mathoverflow.net/questions/279969/wanted-positivity-certificate-for-the-am-gm-inequality-in-low-dimension
AMとGMの差は非負多項式で表すことが可能 https://gyazo.com/0e13cfb59b28c529dd5adbfed354bd16
具体的な恒等式(5次) https://gyazo.com/58b89593fc30a48f70ab35cee68d31e5
具体的な恒等式(2次・3次・4次)https://gyazo.com/4726111c57e1863fca1b9fcd64678b23
アドルフ・フルヴィッツによる1891年の論文
Hurwitz, A. (1891). Ueber den Vergleich des arithmetischen und des geometrischen Mittels. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 108, 266-268. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-4160-3_35
nが奇数の場合を示したらしい: 藤原和将・小澤徹(応用物理)による2014年の論文 Fujiwara, Kazumasa, and Tohru Ozawa. Identities for the Difference between the Arithmetic and Geometric Means, (2014).
http://m-hikari.com/ijma/ijma-2014/ijma-29-32-2014/ozawaIJMA29-32-2014.pdf
nが偶数の場合を示しているらしい: ハーディ・リトルウッド・ポリア『不等式』第2章
なおこの問題は、ヒルベルトの第17問題(いつも正の有理式は平方和で表せる)の特殊な場合でもある。
最初に見付けたのページは医師でアマチュア数学者の佐藤郁郎によるコラムだったが、いかんせん読みにくく参考までに。(NGなのでURL貼らない)
因数分解の算法(その11)
因数分解の算法(その14)
因数分解の算法(その18)
- 525 :132人目の素数さん:2020/09/25(金) 02:15:38.40 ID:Bm3x9keW.net
- >>524
めっちゃ詳しくありがとうございます!
まさか本当に出来るとは驚きです
第17問題のwikiを読んだ感じでは非負な斉次多項式に対して一般にこういうことは出来ないようですね
この不可能性はモデル理論的な話があるようでこれも面白そうです
- 526 :132人目の素数さん:2020/09/25(金) 06:52:57.18 ID:kUKUaPs5.net
- >>524
ウホッ!興奮してきた…
- 527 :132人目の素数さん:2020/09/25(金) 13:45:47.22 ID:C/C9yJEj.net
- (x_1)^n, ・・・・・, (x_n)^n の相加平均をA, 相乗平均をG,
兩n = n(A^n - G^n) = Σ x^n - nΠ x,
とおく。
兩2(a,b) = aa +bb -2ab = (a-b)^2,
兩3(a,b,c) = a^3 +b^3 +c^3 - 3abc
= (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,
兩4(a,b,c,d) = a^4 +b^4 +c^4 +d^4 - 4abcd
= (aa-bb)^2 + (cc-dd)^2 + 2(ab-cd)^2
= (aa-cc)^2 + (bb-dd)^2 + 2(ac-bd)^2
= (aa-dd)^2 + (bb-cc)^2 + 2(ad-bc)^2,
兩5(a,b,c,d,e)
= a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 -5abcde
= (a-b)(a^4 -b^4)/4 + (a-c)(a^4 -c^4)/4 +
・・・・・ + (d-e)(d^4 -e^4)/4
+ a兩4(b,c,d,e)/4
+ b兩4(c,d,e,a)/4
+ c兩4(d,e,a,b)/4
+ d兩4(e,a,b,c)/4
+ e兩4(a,b,c,d)/4,
* (x-y)(x^4-y^4) = (x+y)(xx+yy)(x-y)^2 ≧ 0,
- 528 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 22:14:27.50 ID:lnmePYpg.net
- >>527
なるほど、5次の場合は
1/4(x+y)(x^2+y^2)(x-y)^2
=1/6(x^3+y^3)(x-y)^2+1/12(x+y)(x^2-y^2)^2
を利用すると>>524の藤原小澤の表示と一致するのか
藤原小澤の論文は流し読みしたけどテクすぎて全然わからん
表示の仕方の自由度高そうだし何か行列式的な表示とか対称式の空間上の作用素みたいなのを見つけて綺麗に示せないもんかね
>>525
訂正
てっきり不可能性がモデル理論的に分かると思っていたけど今日モデル理論の本借りて見てみたら肯定的な証明が書かれていた
17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
- 529 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 22:49:49.44 ID:yIQAC3t7.net
- 元の十七問題はΣ多項式^2でかけるか?でそれは誰かの反例が出た
後に実閉体まで話広げるとΣ実閉包の元^2でかける事が証明された(Artin)
永田先生の可換体論の5章に証明がある
- 530 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 23:07:14.49 ID:lnmePYpg.net
- 自分の読んでる「幾何学的モデル理論入門」(最近、改訂版が出たばかりらしい)に実閉体の第17問題が肯定的に解けることを利用して有理数体の場合も証明できるかのように書いてるように見えるんです…
- 531 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 23:15:05.52 ID:yIQAC3t7.net
- >>624
どんなステートメントが書いてあるんですか?
- 532 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 23:32:33.79 ID:lnmePYpg.net
- こんな感じです
微妙な言い回しなんでもしかしたら肯定的に言ってるわけではないかも…
https://dotup.org/uploda/dotup.org2265448.jpg
- 533 ::2020/09/26(土) 23:44:50.71 ID:lzfEoiqI.net
- >>528
> 17問題が肯定的なのか否定的なのか混乱してきた…
一部が肯定的に解決された(部分的に可能)
https://i.imgur.com/Jit5Abl.jpg
- 534 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 23:49:36.06 ID:yIQAC3t7.net
- >>532
thx
確か上がってる反例はΣ整式^2では表せない例でΣ有理式^2では表せるんだったかな?
Artinの定理の正確なステートメント覚えてない(かつ永田先生の本が現在部屋のどこにあるかわからん)のでわかんないけどΣ有理式^2で表すのは有理係数でもいけるのかもしれない
任意の実閉包の中で0以上 →Σ有理式^2で表示できる
だったかも
確か右が言えてない場合に標数0の加法的付値体て0未満になる構造が存在する事示してそれを上手いこと微調整して通常のRの中で0以下に出来る事を示すんだったような
- 535 :132人目の素数さん:2020/09/26(土) 23:56:47.06 ID:lnmePYpg.net
- あー、有理式なら肯定的という可能性があるんですね
ありがとうございます
- 536 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 00:37:31.86 ID:KH9c7ePZ.net
- 3次のAM-GM差の有理式の平方和表現はどうなるんだろう
- 537 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 00:49:47.04 ID:KH9c7ePZ.net
- あ、全ての有理数に対して非負な多項式で考えるから奇数次の場合は全ての変数を平方にしておかないといけなくて藤原小澤の結果の変数を平方にするだけか
- 538 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 01:09:34.88 ID:KH9c7ePZ.net
- いや、そうなってくると藤原小澤も必要なくて古典的なフルヴィッツの形で示せてるのか
無知すぎてスマン
- 539 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 01:15:18.97 ID:T1BBTchP.net
- 有理式使っていいならAM-GMは簡単でしょ?
いわゆる2冪でやっといて減らす作戦でいける
- 540 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 14:36:59.49 ID:N42SrDUa.net
- >>527
兩n(a_1, a_2, ・・・・, a_n)
= (a_1)^2 + (a_2)^n + ・・・・ + (a_n)^n - n(a_1)(a_2)・・・・(a_n)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i (Σ[j≠i] (a_j)^{n-1} - (n-1)Π[j≠i] a_j) /(n-1)
= Σ[i<j] (a_i - a_j)[(a_i)^{n-1} - (a_j)^{n-1}] /(n-1)
+ Σ[i=1,n] a_i 兩{n-1}(i以外) /(n-1),
- 541 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 14:42:24.65 ID:hueUvkJf.net
- ある人の作った問題
https://i.imgur.com/HLrsj0N.jpg
- 542 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 15:07:23.11 ID:Upg5ciqK.net
- ある人って誰かね?
- 543 :132人目の素数さん:2020/09/27(日) 22:25:26.77 ID:KH9c7ePZ.net
- >>541
n=2のときが本質で、他は帰納法でしょうか
- 544 :132人目の素数さん:2020/09/28(月) 01:14:12.03 ID:VdFe70Zi.net
- >>541
数列 {a_n}n∈N と {b_n}n∈N が |a_n|≦1, |b_n|≦1 (∀n∈N) を満たす時、
次を示せ。
| Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k | ≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j| (∀n∈N)
(略証)
Π[i=1,n] a_i - Π[k=1,n] b_k
= Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] a_i) (a_j - b_j) (Π[k=j+1,n] b_k),
三角不等式により
(左辺) ≦ Σ[j=1,n] (Π[i=1,j-1] |a_i|) |a_j - b_j| (Π[k=j+1,n] |b_k|)
≦ Σ[j=1,n] |a_j - b_j|
= (右辺),
- 545 :132人目の素数さん:2020/10/06(火) 20:34:14.40 ID:CqXEEU8P.net
- 〔問題944〕
a,b,c は相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1 を満たす。
f(x,y) = log(y/x) / (1/x - 1/y),
に対して、
f(a,b) + f(b,c) + f(c,a) ≦ 1/3
を示せ。
高校数学の質問スレPart407 - 944
- 546 :132人目の素数さん:2020/10/12(月) 12:43:43.49 ID:xle55bMk.net
- IMO2020ロシア大会第2問に不等式問題
https://i.imgur.com/5THoJvk.png
- 547 :132人目の素数さん:2020/10/13(火) 14:51:16.00 ID:Aceyovpj.net
- >>545
0<x,y, x≠y のとき
f(x,y) = log(y/x)/(1/x - 1/y)
= log(y/x)/(√(y/x) - √(x/y))
= 2t/(e^t - e^{-t})・√(xy)
= t/sinh(t)・√(xy)
≦ √(xy),
等号成立は x=y のとき。
(左辺) = f(a,b) + f(b,c) + f(c,a)
≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
≦ (1/3)(a+b+c + 2√(ab) + 2√(bc) + 2√(ca))
= (1/3)(√a + √b + √c)^2,
等号成立は a=b=c のとき。
- 548 :132人目の素数さん:2020/10/13(火) 23:32:20.28 ID:nOU2oznJ.net
- RMM、SP346のような抽象的なのは、どこから手を付けていいか分からんちんぽ。
http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/10/24-RMM-SPRING-EDITION-2022-1.pdf
- 549 :132人目の素数さん:2020/10/13(火) 23:54:02.78 ID:w92dB+J+.net
- >>548
うほっ大量の不等式!
- 550 :132人目の素数さん:2020/10/14(水) 04:12:15.55 ID:PHtzabu1.net
- JP346.
両辺に ab(a+b) >0 を掛けて通分すると
ab(a+b)(左辺 - 右辺) = (a-b)^2 {(a-b)^2 + (4 - k/4)ab},
(4 - k/4) ≧ 0,
k ≦ 16,
- 551 :132人目の素数さん:2020/10/14(水) 19:11:56.93 ID:wXRh3JRG.net
- >>550
いや知りたいのは、SP346でござるよ
- 552 :132人目の素数さん:2020/10/14(水) 20:10:00.68 ID:PHtzabu1.net
- JP347.
基本対称式を
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u を掛けて通分すると
2(a+b)^2・(a+c)^2 + 2(b+c)^2・(b+a)^2 + 2(c+a)^2・(c+b)^2
= 2(ss-t)^2 + 8su
= s^4 + (5/3)tt + s(s^3 -4st+9u) + (tt-3su)/3
≧ s^4 + (5/3)tt,
∴ (左辺) ≧ {s^4 + (5/3)tt}/st = (s^3)/t + 5t/(3s),
JP348.
a/b=x, b/c=y, c/a=z とおくと
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz = 3, (← AM-GM)
(x^4+y^4+z^4)(1+1+1) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2, (←コーシー)
辺々掛ける。
- 553 :132人目の素数さん:2020/10/14(水) 22:07:28.25 ID:OfAfCbWz.net
- >>551
346はkについての一次式だから
与式⇔k≦4次式÷4次式
になる(割る時、除数の符号わそこまで難しくない)
分子も分母も(a-b)^2で割り切れる
- 554 :132人目の素数さん:2020/10/15(木) 17:59:01.64 ID:2j40wcqC.net
- JP350.
(a+b+c)^2 ≦ 3(aa+bb+cc),
x ≧ 1/√3 のとき
{1 + 3x(1-x)}^2 - (4-3xx) = 3(3xx-1)(x-1)^2 ≧ 0,
√(4-3xx) + 3x(x-1) ≦ 1,
x=a,b,c でたす。
JP351.
ABCが鈍角凾フときは
Πcos(・) ≦ 0,
(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺),
で成立するから以下では、ABCは鋭角Δとする。
sin(A) = x, sin(B) = y, sin(C) = z
とおくと
xyz > 0,
一方、題意より
xx+yy+zz = 1 - 2xyz,
xyz ≦ 1/8,
左辺に加法公式
sin(A)sin(B) = cos(A)cos(B) - cos(A+B) = xy + z,
を入れれば
(左辺) - (右辺) = (xy+z)(yz+x)(zx+y) - 4xyz + 5(xyz)^2
= ・・・・,
がんばれ
JP352.
△不等式で
|a+b+c| + |a-b| + |a-c| ≧ |(a+b+c) + (a-b) + (a-c)| = 3|a|,
巡回的にたすと
3|a+b+c| + 2(|a-b|+|b-c|+|c-a|) ≧ 3(|a|+|b|+|c|),
- 555 :132人目の素数さん:2020/10/15(木) 19:59:49.04 ID:2j40wcqC.net
- UP346
(左辺) = 1 + (x-1)exp(arctan(x))√(1+xx), ←可積分
∴ x=1
UP347.
上の式は
0 = |x|^2 /m + |y|^2 /n - |x+y|^2 /(m+n)
= xx' /m + yy' /n - (x+y)(x+y)' /(m+n),
mn(m+n) を掛けて通分する。
0 = nnxx' + mmyy' - mn(xy'+x'y)
= (nx - my) (nx - my)'
= |nx - my|^2
∴ x = (m/n)y,
これを下の式に入れて
y = 1+2i,
UP534.
(1/n)Σ[k=1,n-1] (k/n)sin(kπ/n)
→ ∫[0,1] x・sin(πx) dx (n→∞)
= [ sin(πx)/π^2 - x・cos(πx)/π ](x=0,1)
= 1/π,
(与式) ≒ (1 + π/n)^n
= {(1+π/n)^(n/π)}^π
→ e^π, (n→∞)
UP359.
Ω = ∫[0,π/2] θ・cosθ/[(sinθ)^3 + (cosθ)^3] dθ
= (π/36){π√3 + log(97/8 + 7√3)}
- (1/144){ψ'(5/12) - ψ'(11/12)}
= 0.71907287245537291248414214
ここに
ψ'(x) = {log(Γ(x))}" = {Γ'(x)/Γ(x)}'
= Σ[k=0,∞] 1/(x+k)^2 … トリガンマ函数
- 556 :132人目の素数さん:2020/10/16(金) 05:20:43.69 ID:QJC/WS82.net
- JP351.
cos(A) = x, cos(B) = y, cos(C) = z
とおくと、
に修正…
SP349.
s = -log(sin(a)) >0, c = -log(cos(a)) >0,
とおく。
(左辺) = (e^{-s})^{√(c/s)} + (e^{-c})^{√(s/c)}
= 2e^{-√(cs)}
≦ 2e^{-log(2)/2} (*)
= 2e^{log(1/√2)}
= √2,
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき cs は急に大きくなる。
SP351.
(1+t)^{1/3} + (1-t)^{1/3}
= 2/[(1+t)^{2/3} - ((1+t)(1-t))^{1/3} + (1-t)^{2/3})
≦ 2,
UP358.
|∫[a,b] e^{ix}/x dx | ≦ ∫[a,b] 1/x dx = log(b/a),
両辺を2乗する。
UP360.
x = y = 1/3,
- 557 :132人目の素数さん:2020/10/16(金) 10:43:02.64 ID:QJC/WS82.net
- http://www.551horai.co.jp/
(*) a が端(0,π/2) に近づくとき -√cs は大きくなる。(→0)
- 558 :132人目の素数さん:2020/10/16(金) 19:37:27.70 ID:QJC/WS82.net
- SP353.
与式を辺々引くと
λ(x-y) = √(λλyy-1) - √(λλxx-1)
= λλ(yy-xx)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)},
もし x-y≠0 ならば
1 = - λ(x+y)/{√(λλyy-1) + √(λλxx-1)}
< 0, (矛盾)
∴ x = y = z = 2/(λ√3),
- 559 :132人目の素数さん:2020/10/16(金) 20:49:16.21 ID:QJC/WS82.net
- SP353. (別法)
t≧1 で f(t) = t + √(tt-1) は単調増加
与式より
f(λx) = f(λy) = f(λz),
λx = λy = λz,
λ>0 より
x = y = z,
- 560 :132人目の素数さん:2020/10/17(土) 13:08:39.01 ID:Ml1qOBSK.net
- UP346.
f(x) e^{arctan(x)} = ∫ (2xx) e^{arctan(x)} / √(1+xx) dx
とおく。
f '(x) + f(x)/(1+xx) = 2xx/√(1+xx),
f '(x)√(1+xx) + f(x)/√(1+xx) = 2xx,
ここで
f(x) = g(x)√(1+xx),
とおくと
(1+xx)g '(x) + (1+x)g(x) = 2xx,
g(x) が n次多項式とすると
g(x) = ax^n + ・・・
(左辺)= (n+1)ax^{n+1} + …
∴ n=1,
(左辺) = 2ax^2 + g(1)(1+x),
a=1, g(1)=0,
g(x) = x-1,
f(x) = (x-1)√(1+xx),
- 561 :132人目の素数さん:2020/10/18(日) 13:13:01.21 ID:ZEBeZlNg.net
- SP354.
log(x^{xy}・y^{yz}・z^{zx})
= log(x^{xy}) + log(y^{yz}) + log(z^{zx})
= y・log(x^x) + z・log(y^y) + x・log(z^z)
≦ y・(x^x - 1) + z・(y^y - 1) + x・(z^z - 1)
= (y・x^x + z・y^y + x・z^z) - (x+y+z),
*) e^t ≧ 1+t より log(u) ≦ u-1,
- 562 :132人目の素数さん:2020/10/18(日) 19:36:39.48 ID:ZEBeZlNg.net
- SP358.
コーシーで
{(y+1)+(z+1)+(x+1)} {(z+1)(x+1)+(y+1)}{x^3/[(y+1)(z+1)] + cyclic}
≧ (x+y+z)^3
= s^3
よって
(左辺) ≧ 4s^3 /(s+3)^2 + 3
= s{(2s/(s+3))^2 + (s+3)/2s + (s+3)/2s - 1}
= s(3-1) (← AM-GM)
= 2s
≧ (右辺),
等号は s=3, x=y=z=1 のとき。
- 563 :132人目の素数さん:2020/10/18(日) 21:26:39.70 ID:ZEBeZlNg.net
- SP358.
コーシーで
{ …… } {(z+1)+(x+1) + (y+1)}{ …… }
≧ (x+y+z)^3
≧ s(3-1) (← AM-GM)
JP360.
tan(x)^2/{tan(x)^3+cot(x)} + cot(x)^2/{cot(x)^3+tan(x)}
- 2/{tan(x)^2 +cot(x)^2}
= Σ {tan(x) + cot(x) -2}/{tan(x)^2 + cot(x)^2}
= X / (XX+4X+2)
≦ 1/(4+2√2), (*)
ここに X = tan(x) + cot(x) -2 ≧ 0,
∴ 0 ≦ (左辺) - (右辺) ≦ 3/(4+2√2),
*) (XX+4X+2) - (4+2√2)X = (X-√2)^2 ≧ 0,
等号成立は X = √2, sin(2x) = 2 - √2,
- 564 :132人目の素数さん:2020/10/19(月) 19:49:07.20 ID:wNxsDbEN.net
- Twitterで拾った問題
https://i.imgur.com/nrEQJtL.jpg
- 565 :132人目の素数さん:2020/10/20(火) 20:12:27.86 ID:J8I4fsGY.net
- 〔問題558〕
正の実数 x,y,z が xyz=1 を満たすとき、以下を示せ。
x/(1+y+z)^3 + y/(1+z+x)^3 + z/(1+x+y)^3 ≧ 1/9 ≧ 1/(√xy + √yz + √zx)^2,
- 566 :132人目の素数さん:2020/10/22(木) 23:53:39.82 ID:F90OyzGB.net
- >>565
問題番号がついてるけど、どこかのスレ番号で紹介されていたのかな?
- 567 :132人目の素数さん:2020/10/22(木) 23:54:13.75 ID:F90OyzGB.net
- ああスマン。このスレの558の画像からか。
- 568 :132人目の素数さん:2020/12/03(木) 06:23:28.55 ID:qlrP4DQI.net
- a,b,c > 1/2 のときに、aa+bb+cc+ab+bc+ca-a-b-c ≧0 を証明したい。
左辺を平方完成して、残り物 ab+bc+ca-3/4 にAM-GMする以外にハァハァできそうな方法はないかな?
- 569 :132人目の素数さん:2020/12/03(木) 06:24:46.82 ID:qlrP4DQI.net
- >>564
左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に変えて同次にするんだろうと思うけど、そこで手が止まっている…
- 570 :132人目の素数さん:2020/12/06(日) 02:09:47.83 ID:KT/cOuDT.net
- >>568
(左辺) = {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/2 - (a+b+c)
= {(a+b)(a+b-1) + (b+c)(b+c-1) + (c+a)(c+a-1)}/2
> 0,
とか
(左辺) = {4(a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/6 - (a+b+c)
≧ (2/3)ss - s (s=a+b+c)
= (2/3)s(s - 3/2)
> 0,
とか色々あるけど、単に
a' = a - 1/2 > 0, b' = b - 1/2 > 0, c' = c - 1/2 > 0,
でいい希ガス…
- 571 :132人目の素数さん:2020/12/07(月) 03:29:15.95 ID:8o9fiWHc.net
- >>570
おぉ〜ありがとう!
- 572 :132人目の素数さん:2020/12/14(月) 01:35:46.45 ID:gLda82Cm.net
- a,b>0は定数とする. 0<s,t<1のとき
st/(as+bt)+(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)}の最大値を求めよ.
- 573 :132人目の素数さん:2020/12/18(金) 06:19:31.83 ID:DAoaiwdi.net
- 1/(a+b) - (与式) = ab(s-t)^2 /[(a+b)(as+bt){a(1-s)+b(1-t}] ≧ 0,
等号成立は s=t のとき。
- 574 :132人目の素数さん:2020/12/18(金) 13:22:00.83 ID:DAoaiwdi.net
- コーシーで
st/(as+bt) ≦ (at+bs)/(a+b)^2,
(1-s)(1-t)/{a(1-s)+b(1-t)} ≦ {a(1-t)+b(1-s)}/(a+b)^2,
辺々たす。
- 575 :132人目の素数さん:2020/12/19(土) 21:22:13.58 ID:iw6DTiTj.net
- 単位円に内接する正n角形のn個の頂点からの距離の和が最小になる点とその最小値を求めよ。
- 576 :132人目の素数さん:2020/12/20(日) 20:55:16.29 ID:QYPKWpxY.net
- 頂点A_k の極座標を (1, 2kπ/n) 点Pの極座標を (r, θ) とおく。
第二余弦定理より
PA_k = √{1 - 2r・cos(2kπ/n - θ) + rr} ≧ 1 - r・cos(2kπ/n - θ)
等号成立は r=0 のとき
また
Σ[k=1,n] cos(2kπ/n - θ) = Σ[k=1,n] {sin((2k+1)π/n - θ) - sin((2k-1)π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
= {sin((2n+1)π/n - θ) - sin(π/n - θ)}/{2sin(π/n)}
= 0,
∴ Σ[k=1,n] PA_k ≧ n,
等号成立は P=O のとき。
・nが偶数のとき (n=2m)
三角不等式より
PA_k + PA_{m+k} ≧ A_k A_{m+k} = 2,
等号成立は P が線分 A_k A_{m+k} 上にあるとき。(← 円の直径)
∴ Σ[k=1,n] PA_k = Σ[k=1,m] (PA_k + PA_{m+k}) ≧ Σ[k=1,m] 2 = 2m = n,
等号成立は P=O のとき。
- 577 :132人目の素数さん:2020/12/20(日) 23:01:24.01 ID:QYPKWpxY.net
- ヴェクトルの内積を使えば
OA_k = 1 より
PA_k ≧ ↑PA_k・↑OA_k = (↑OA_k - ↑OP)・↑OA_k
= 1 - ↑OP・↑OA_k,
∴ Σ[k=1,n] PA_k ≧ n - ↑OP・{Σ[k=1,n] ↑OA_k} = n,
等号成立は ↑OP = o.
- 578 :132人目の素数さん:2021/01/01(金) 08:32:42.45 ID:NURKUP5N.net
- ∧_∧
( ´Д` ) 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
l⌒ ⌒l おめでとうございます。
⊂ ( ) ⊃
V ̄V
正の数 a,b,c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (a+b+c)e,
e = 2.71828… は自然対数の底
>>299
- 579 :132人目の素数さん:2021/01/02(土) 13:31:16.81 ID:2x2Frbzp.net
- >>578
eが出てくるのか…
- 580 :132人目の素数さん:2021/01/03(日) 06:38:55.14 ID:N51mYuOL.net
- eが出てきても eじゃない…
(左辺) ≧ 2.7199579587(a+b+c)
等号は a=b=c = 0.9968783547581 のとき。
- 581 :132人目の素数さん:2021/01/03(日) 16:12:00.62 ID:+lbXmv47.net
- すべての自然数nについて
Σ_{k=1}^n (k^(1/2)-1)≧(n/2)*((n/2)^(1/2)-1)
が成り立つことをしめせ
- 582 :132人目の素数さん:2021/01/03(日) 20:22:26.62 ID:N51mYuOL.net
- k≧2 について
(k-1)^3 - k(k-3/2)^2 = (3/4)k - 1 > 0, (AM-GM)
(k-1)^{3/2} > (k - 3/2)√k = k^{3/2} - (3/2)√k,
√k > (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
(左辺) = Σ_{k=2}^{n} (√k - 1)
> (2/3)(n^{3/2} - 1) - (n-1)
= (1/3)(2√n +1)(√n - 1)^2
> (n/2)(√(n/2) - 1),
- 583 :132人目の素数さん:2021/01/03(日) 22:48:34.64 ID:N51mYuOL.net
- 積分を使えば簡単だが…
√k > ∫_{k-1}^{k} (√x)dx = (2/3)(k^{3/2} - (k-1)^{3/2}),
- 584 :132人目の素数さん:2021/01/04(月) 20:59:39.27 ID:OQ8TTvGy.net
- 最後は
(左辺) > n((2/3)√n - 1)
> (n/2)(√(n/2) + √(n/3) - 2) (← 補題)
≧ (n/2)(√(n/2) - 1) (n≧3)
n=1, n=2 は明らか。
〔補題〕
1/√2 + 1/√3 < 4/3.
(略証)
コーシーで
(1/√2 + 1/√3)^2 ≦ (1+1)(1/2+1/3) = 5/3 < 16/9 = (4/3)^2,
- 585 :132人目の素数さん:2021/01/05(火) 10:53:44.67 ID:7+Me0drG.net
- GM-AM で
1/√2 + 1/√n < 3/4 + (1/4 + 1/n) = 1 + 1/n,
- 586 :132人目の素数さん:2021/01/06(水) 18:50:24.31 ID:ZXZ11nuc.net
- n が被ってしまった。。。。m 等にすべきか。
>>583 から
Σ_{k=2}^{n} √k > √2 + ∫_[2}^{n} (√x) dx
= √2 + (2/3)(n√n - 2√2)
> (2/3)n√n - 1/2, (n≧2)
- 587 :132人目の素数さん:2021/01/06(水) 19:13:16.60 ID:YFXd0DZ2.net
- JMO2020本選5
- 588 :132人目の素数さん:2021/01/07(木) 14:00:54.18 ID:PX1JcXUq.net
- >>579
正の数 a, b, c に対して
(a^2021 -a^3 +3)(b^2021 -b^3 +3)(c^2021 -c^3 +3) > (3/ln3)(a^3 +b^3 +c^3),
- 589 :132人目の素数さん:2021/01/09(土) 17:51:38.85 ID:Gni2ACgE.net
- ついでに…
正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,
http://suseum.jp/gq/question/3221
- 590 :132人目の素数さん:2021/01/10(日) 02:37:24.49 ID:k4Y9uhcW.net
- 〔問題〕
A, B, and C are non-negative real numbers. Prove that
3(A^4 + B^4 + C^4) ≧ (A^2 + B^2 + C^2)(AB + BC + CA) + (A^2 - B^2)^2 + (B^2 - C^2)^2 + (C^2 - A^2)^2
≧ (A^2 + B^2 + C^2)^2,
BMO-2016 Azerbaijan (改)
[数学オリンピック31.018]
- 591 :132人目の素数さん:2021/01/22(金) 05:19:03.42 ID:n9I3J2ea.net
- >>589
x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x。)^2 + x。+ x。},
K = 0.30406358311 > 0.30341307554・・・ = 1/(3ln3),
等号成立は x。= 0.99703312297 のとき。
あとはコーシーで。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221
- 592 :132人目の素数さん:2021/01/27(水) 16:42:45.22 ID:knjIwEAx.net
- 〔問題〕
凾フ各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
(左) Leibnizの不等式 (定理2.4.5) p.88-89
(右) 演習問題 2.57(改) p.94
- 593 :132人目の素数さん:2021/02/13(土) 23:28:41.35 ID:DMjAiYgV.net
- a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
( ゚∀゚) ハァハァ…
- 594 :132人目の素数さん:2021/02/14(日) 19:07:32.95 ID:EPktPcJq.net
- >>593
a, b, c > 0
1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 1 + 9/{(a+b+c)^2} ≧ 6/(a+b+c)
('A`) ウーム…
- 595 :132人目の素数さん:2021/02/16(火) 19:11:23.08 ID:+p1DAQAM.net
- 底面を凸四角形ABCDとする四角錐V-ABCDについて、
すべての辺に接し、かつ中心が底面上にあるような球が存在するとする。
このとき、
VA+VB+VC+VD ≦ AB+BC+CD+DA
[大数2021−2月宿題]
- 596 :132人目の素数さん:2021/02/16(火) 20:08:40.42 ID:ItHwm5kd.net
- 球の半径を1とし、球の中心をO、∠OAB、∠OBC、∠OCD、∠ODAをa,b,c,dとすれば
AB+BC+CD+DA=2(cot a+cot b +cot c + cot d)、
VA+VB+VC+VD=cot a + tan a +cot b + tan b +cot c + tan c +cot d + tan d
∴ AB+BC+CD+DA-(VA+VB+VC+VD)
=cot a - tan a +cot b - tan b +cot c - tan c +cot d -tan d
以下a+b+c+d=π/2とcot x-tan xの凸性
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