不等式への招待 第10章

19 ：１３２人目の素数さん：2018/12/26(水) 09:35:55.89 ID:2DcmDNkQ.net

〔補題〕
自然数mについて
　4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),

(略解)
　a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
　b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
　a_m < b_m,

(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1　より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
a_m は単調増加。

(3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m　より
b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1,
b_m は単調減少。

よって
a_1 < a_2 < ････ < a_m < ････ < b_m < ････ < b_2 < b_1
ゆえ収束する。
極限値　１