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不等式への招待 第10章
- 1 :不等式ヲタ ( ゚∀゚):2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
___ ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
|┃三 ./ ≧ \
|┃ |:::: \ ./ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=__ \ ハァハァ
|┃ ≡ ) 人 \ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第9章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 157 :132人目の素数さん:2019/06/20(木) 03:01:03.41 ID:WxweZeE5.net
- >>143 >>144
(左辺) - (右辺) = 9abc + (1/a+1/b+1/c) -7 - 7(ab+bc+ca)
≧ 9abc + 9/(a+b+c) -7 - 7(ab+bc+ca) (AM-HM)
= 9abc + 2(a+b+c)^3 - 7(a+b+c)(ab+bc+ca)
= (a+b+c){(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)} + {(a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc}
= (a+b+c)F_0(a,b,c) + F_1(a,b,c)
≧ 0,
〔Schurの不等式〕
a,b,c≧0 または n:偶数のとき
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,
(略証)
bはaとcの中間にあるとして
(a-b)(b-c) ≧ 0, a^n - b^n + c^n ≧ 0,
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n - b^n + c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 ≧ 0,
- 158 :132人目の素数さん:2019/06/20(木) 04:06:49.82 ID:WxweZeE5.net
- >>145
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} (コーシー)
= 1 + (1/2) (aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)
= 1 + (1/2)XX
≧ (1/2) + X,
∴ (左辺) ≧ (1/2) + X + 1/X ≧ 5/2,
- 159 :132人目の素数さん:2019/06/25(火) 08:56:15.44 ID:4AX2BJg5.net
- >>120
4408. a,b & c がベクトルのとき
α=2
Sq.= |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2 = 0, (← 内積)
α=1 (Hlawka)
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| - |a+b| - |b+c| - |c+a| ≧ 0,
(略証)
(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|) (左辺)
= Sq. + (|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|) + (|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|) + (|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)
≧ 0.
[初代スレ.354-360, 364]
[第8章.388 (5), 450, 708, 795]
文献[3] 大関、p.33-34 例題8.
- 160 :132人目の素数さん:2019/06/26(水) 07:40:18.60 ID:jPrPUfqH.net
- >>72 >>142
コーシーで
(a+b)^2 / {(a+c)^2 + (b+c)^2} ≦ aa/(a+c)^2 + bb/(b+c)^2,
よって
(左辺) ≦ (aa+bb)/(a+b)^2 + cyclic
= 3/2 + (1/2){(a-b)/(a+b)}^2 + cyclic
≦ 3/2 + (a-b)^2 /(8ab) + cyclic
= 3/2 + {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/(8abc)
= 1/2 + (a+b)(b+c)(c+a)/(8abc),
- 161 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 10:49:31.64 ID:6zAehVNK.net
- 〔問題3078〕
Let a,b,c be nonzero real numbers such that 1/a + 1/b + 1/c = -4.
Prove that:
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 24(aa + bb + cc + a + b + c) + 4 -(a+b+c)/abc ≧ 0,
When does equality hold ? (K.Chikaya / Apr.29, 2019)
http://suseum.jp/gq/question/3078
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 352
- 162 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 13:49:42.14 ID:p6o04ivF.net
- Wirtinger型不等式に関する一考察
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf
- 163 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 15:50:01.53 ID:o768/cqk.net
- >>162
キタ━(゚∀゚)━!!!
- 164 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 17:05:59.72 ID:Nrnon5wS.net
- >>162
これ論文?
- 165 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 22:49:17.62 ID:NQIpUmMW.net
- ASU 128 All Soviet Union MO 1969 https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1862011p12597664
正の実数a_1,…,a_nに対して次の不等式が成立
a_1/(a_2+a_3)+a_2/(a_3+a_4)+…+a_n/(a_1+a_2)>n/4
- 166 :132人目の素数さん:2019/07/04(木) 23:03:38.04 ID:6zAehVNK.net
- >>161
〔類題〕
a,b,c は0でない実数で 1/a + 1/b + 1/c = -2 を満たす。 次を示せ。
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 8(8k-1)・(aa + bb + cc) - 64k・(a+b+c) + 16k(4k-3) - 16kk・(a+b+c)/abc ≧ 0,
k≧0 とする。等号が成立するのはいつか ?
- 167 :132人目の素数さん:2019/07/05(金) 00:07:26.17 ID:g7vswyLm.net
- >>165
左辺をSとおく。
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
3 S > 2Σ[k=1,n] {a_k + a_(k+1)}/{a_(k+1) + a_(k+2)} - n > 2n - n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ S ≧ n/3.
[初代.497, 501-502] [第2章.284]
- 168 :132人目の素数さん:2019/07/05(金) 02:15:12.85 ID:g7vswyLm.net
- >>165
S > (√2 -1)n
(略証)
(a+b+c)(b+c+d) > (b+c)(a+b+c+d),
より
{a/(b+c) + 1}{b/(c+d) + 1} > (a+b+c+d)/(c+d) = (a+b)/(c+d) + 1 ≧ 2√{(a+b)/(c+d)},
AM-GM より
{a/(b+c) + b/(c+d)}/2 > (√2){(a+b)/(c+d)}^(1/4) - 1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
S > (√2 -1)n,
(mahanmath および abch42 による。2011/May/08)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h271096p1468831
- 169 :132人目の素数さん:2019/07/06(土) 12:04:07.65 ID:oiEnJ4mP.net
- >>165
S_n > (γ/2)n = 0.494566817223496526 n
γ は Drinfel'd 定数。
(文献)
・V. G. Drinfel'd: Math. Zametki, 9 (2), p.113-119 (1971) "A cyclic inequality"
・安藤哲哉: 「不等式」 数学書房 (2012) §5.2.8
- 170 :132人目の素数さん:2019/07/07(日) 04:01:49.63 ID:NQih2PzA.net
- >>166
(略解)
(与式) = 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2 - (1/2)(1/a+1/b+1/c +2)^2
= 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2
≧ 0,
等号成立は k>0 かつ {a,b,c} = { -1/2, -√k, √k} のとき。
- 171 :132人目の素数さん:2019/07/07(日) 18:48:35.43 ID:NQih2PzA.net
- >>169
f(x) = e^(-x),
g(x) = 2/{exp(x) + exp(x/2)},
は下に凸である。
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共通接線は1本だけ存在する。それを
y = m・x + γ
とおく。、
m = -0.8562482144492661168
γ = (-m){1 - log(-m)},
- 172 :132人目の素数さん:2019/07/09(火) 02:35:03.06 ID:96Oo9tpn.net
- >>169
nを固定して考える。
S_n < (λ_n)・n,
n≦13 または n=15,17,19,21,23 のとき λ_n = 1/2,
一方、n=14 {0, 1+4δ, 2δ, 1+4δ, 4δ, 1+3δ, 5δ, 1+δ, 4δ, 1, 2δ, 1, 0, 1+2δ}
δ=1/60 のとき 0.4999880721 n
λ_14 < 0.4999880721
λ_24 < 0.499197
A.Zulauf: Math. Gazette, 43, p.182-184 (1959) "On a conjecture of L.J.Mordell II!
λ_111 < 0.49656
D.E.Daykin: J. London Math. Soc.(2), 3, p.453-462 (1971) "Inequalities for functions of cyclic nature"
γ/2 = 0.4945668172235
V.G.Drinfel'd: Math Notes, 9, p.68-71 (1971) "A cyclic inequality" (>>169 の英訳)
λ_{n+2} ≦ λ_n (?)
- 173 :132人目の素数さん:2019/07/09(火) 22:57:04.96 ID:96Oo9tpn.net
- |a| = √{(a_1)^2 + (a_2)^2 + ・・・・ + (a_n)^2} とおく。
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ・・・・ ≧ a_n ≧ 0 のとき
Σ[k=1,n] {√(n+1-k) - √(n-k)} a_k ≦ |a| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ・・・・・ = a_n のとき。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2-357
- 174 :132人目の素数さん:2019/07/09(火) 23:39:12.04 ID:96Oo9tpn.net
- ↑を修正....
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ・・・・ ≧ a_n ≧ 0 のとき
( a_1 + a_2 + ・・・・ + a_n) / √n ≦ |a| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ・・・・・ = a_n のとき。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式2-358
- 175 :132人目の素数さん:2019/07/14(日) 15:04:25.43 ID:Xfj84fYJ.net
- >>86
4353.
S(j) = (1/j)Σ[k=1,∞] 1/{k・C(j+k-1,j)}
= (j-1)!Σ[k=1,∞] (k-1)!/{(k+j-1)!・k},
とおくと階差は
S(j) - S(j+1) = 1/jj,
また
S(1) = Σ[k=1,∞] 1/kk = ζ(2),
より
S(j) = ζ(2) - Σ[k=1,j-1] 1/kk 〜 1/(j - 1/2),
lim[n→∞] (1/n)Σ[j=1,n] j・S(j) = lim[n→∞] n・S(n) = 1,
4359.
log(x) は上に凸だから Jensen で
3log((a^b+b^c+c^a)/3) ≧ b・log(a) + c・log(b) + a・log(c),
log(x) は上に凸だから
log(x) = - log(1/x) ≧ - (1/x - 1) = 1 - 1/x,
- 176 :132人目の素数さん:2019/07/14(日) 15:09:52.59 ID:Xfj84fYJ.net
- 〔問題〕
f(x) = e^(-x) とおくとき次を示せ。
f(f(f(1))) > 1/2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ casphy!-高校数学-不等式2-359)
- 177 :132人目の素数さん:2019/07/15(月) 12:26:35.29 ID:hmERs5gh.net
- π ≒ 22/7 (約率)
7π/2 = 11 - 0.0044257124
nが奇数のとき
|sin(11n)| > 1 - (1/2)(0.0044257124 n)^2 = 1 - 0.0000098nn,
nが偶数のとき
|sin(11n)| < 0.0044257124 n,
(分かスレ454-178,188)
- 178 :132人目の素数さん:2019/07/20(土) 11:09:50.76 ID:bSAoQnjE.net
- 1000
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました!
とても嬉しいです!
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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- 179 :132人目の素数さん:2019/07/20(土) 17:29:12.98 ID:E2uDcqfM.net
- (1)
a,b,c≧0 に対して、
√(1+aa+bb+cc-ab-bc-ca) ≧ (a+b+c-abc)/2.
(2)
a,b,c>0 に対して、
{(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3) + (a+b+c)/9 ≧ 4/3.
(3)
a,b,c>0 に対して、
5(a/b + b/c + c/a)^2 ≧ 2(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) + 27.
(4)
a,b,c>0, a+b+c=3 に対して、
(a^3+b^3)/(1+a) + (b^3+c^3)/(1+b) + (c^3+a^3)/(1+c) ≧ a^(5/2) + b^(5/2) + c^(5/2).
/////
/////_________
/////  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄| ̄ ̄
///// ___ (~) チリンチリン
///// / ≧ \ ノ,,
///// |::::: (● (● |
///// ヽ::::... .ワ.....ノ お久しぶりです
///// ( つ且 ~ つ 不等式の夏ですね
- 180 :132人目の素数さん:2019/07/21(日) 05:49:41.51 ID:4k/Gtesi.net
- >>177
π ≒ 355/113 (密率)
355 = 113π + 0.00003014435
|sin(355n)| < 0.00003014435・n
|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435・n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn
- 181 :132人目の素数さん:2019/07/21(日) 06:49:52.30 ID:4k/Gtesi.net
- >>179
(2)
A = (a+b+c)/3,
Q = √{(aa+bb+cc)/3},
T = {(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3),
とおく。
T + (1/3)A
= (T+T+T+A)/3
≧ (4/3)(TTTA)^(1/4) (AM-GM)
≧ (4/3)Q, (コーシー)
(3)
(a/b+b/c+c/a)^2 = 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9 + (a/b-1)^2 + (b/c-1)^2 + (c/a-1)^2
≧ 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9,
両辺に 36 をたす。
等号は a=b=c
- 182 :132人目の素数さん:2019/07/22(月) 05:15:00.06 ID:vDQA99OD.net
- >>179
(1)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
(右辺) = (s-u)/2 ≦ 1 のときは明らか。
よって s > 2+u とする。
(左辺)^2 = 1 + ss -3t
= 1 + ss/4 + (3/4s)(F_1 - 9u)
≧ 1 + ss/4 - 27u/(4s)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + su/2 -uu/4 - 27u/(4s) (← sに関して単調増加)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + (2+u)u/2 -uu/4 -27u/[4(2+u)] (← s>2+u)
= {(s-u)/2}^2 + (8+u)(1-u)^2 /[4(2+u)]
≧ {(s-u)/2}^2,
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur-1)
- 183 :132人目の素数さん:2019/08/10(土) 09:59:49.00 ID:CKganLkz.net
- a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2
出典 1978年度ソ連数学オリンピック
https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1869922p12680406
- 184 :132人目の素数さん:2019/08/10(土) 13:54:11.69 ID:v2NzGOZT.net
- >>183
ウホッ! いい不等式。
- 185 :132人目の素数さん:2019/08/10(土) 15:56:05.98 ID:oX3OQU5P.net
- [Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),
(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,
- 186 :132人目の素数さん:2019/08/11(日) 23:03:44.95 ID:GctloD3X.net
- >>183
d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b) >>185
(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。
n>2 のとき
m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).
- 187 :132人目の素数さん:2019/08/12(月) 16:47:05.09 ID:uLwjs1DH.net
- [ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]
(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0 (n:even)
δ = 1 (n:odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,
- 188 :132人目の素数さん:2019/08/13(火) 11:27:05.56 ID:Tk2MgydX.net
- 任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))
出典 ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編
- 189 :132人目の素数さん:2019/08/13(火) 14:08:52.58 ID:gccQR1zi.net
- 〔リウヴィルの定理〕
無理数αが整数係数のn次方程式の根(n次の代数的数)ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
p/q ∈ Q ⇒ |α - p/q| > c(α)/q^n.
(例)
|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5641.html
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/2007.html
- 190 :132人目の素数さん:2019/08/15(木) 00:49:47.21 ID:RxBWT0Y0.net
- y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
-π ≦ y < π,
1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,
- 191 :132人目の素数さん:2019/08/16(金) 01:59:00.40 ID:oNtuWoss.net
- 1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy, (|y|≦π/2)
1 - cos(y) ≧ 1, (|y|≧π/2)
1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy, (|y|≦π/3)
1 - cos(y) ≧ 1/2, (|y|≧π/3)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy, (|y|≦π/6)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746, (|y|≧π/6)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy, (|y|≦π/12)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742 (|y|≧π/12)
- 192 :132人目の素数さん:2019/08/21(水) 19:59:33.25 ID:a2bL2fVn.net
- △ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).
- 193 :132人目の素数さん:2019/08/26(月) 23:23:29.14 ID:ywejxerG.net
- >>192
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
∴ r[a] = 2S/(b+c-a).
示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.
傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ゚∀゚) スリスリ スリットォ!
- 194 :132人目の素数さん:2019/08/27(火) 21:03:14.32 ID:VdE/ZoR/.net
- 右側は楽勝だが、左側が分からぬ…
- 195 :132人目の素数さん:2019/08/28(水) 03:47:25.31 ID:vPFzkVBn.net
- C1552
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
C1532, B5017
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201903&t=mat&l=en
- 196 :132人目の素数さん:2019/08/28(水) 10:14:07.85 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
Is there a function f:R→R with the following properties:
(1) if x1≠x2 then f(x1)≠f(x2),
(2) there exist appropriate constants a,b > 0 such that
f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
for all x∈R ?
C.1532
Show that if a,b,c are positive numbers and
a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
then one of them is at least 1.
C.1552.
Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
log_a{2ab/(a+b)}・log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.
- 197 :132人目の素数さん:2019/08/28(水) 10:31:15.35 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
f(x_i^2) = f(a・x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴ 0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴ y_i = 1/2,
∴ f(a・x_1+b) = 1/2 = f(a・x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
a・x_1 + b = a・x_2 + b,
a>0 から
x1 = x2 (矛盾)
C.1532.
a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
a+b+c>0 で両辺を割ると
1 ≧ 1/abc,
abc ≧ 1.
C.1552.
log(a) < 0, log(b) < 0 より log(a)・log(b) > 0,
HM-GM より
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
(左辺)・log(a)・log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
≧ log(a)・log(b),
これを log(a)・log(b) >0 で割る。
- 198 :132人目の素数さん:2019/08/28(水) 14:17:25.93 ID:641rcCLM.net
- >>194
同感でござる。
(右)は
aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c), … ヘロン
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
= (a+b+c)/8S = 1/(4r),
∴ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},
- 199 :132人目の素数さん:2019/08/29(木) 12:56:45.26 ID:V/0HLVAJ.net
- >>192 >>194
(左)は
a+b+c = 2S/r,
abc = ab・2R sin(C) = 4SR,
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),
∴ コーシーで
r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
≧ r/(2Rr)^2
= 1/(4RRr),
- 200 :132人目の素数さん:2019/08/29(木) 19:49:05.56 ID:eU3p0wK7.net
- うひょっ! 自力では解ける気がしないなぁ…
- 201 :132人目の素数さん:2019/08/29(木) 20:28:20.84 ID:eU3p0wK7.net
- 絶対値がらみの不等式
x,y,z ∈R に対して、
(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.
(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.
(1)(2)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1793790p11880112
- 202 :132人目の素数さん:2019/08/30(金) 08:39:13.74 ID:3MesnOrF.net
- お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの?😜
(分かスレ455-200)
- 203 :132人目の素数さん:2019/08/30(金) 08:53:58.84 ID:3MesnOrF.net
- >>201
|x+y| ≦ |x|+|y| 等号成立は xy≧0 (同符号)
(1)
証:依題、x,y,z 中必有2↑同号。
不妨設 x,y 同号, 則 |x+y|/(|x|+|y|) = 1.
又 0≦|y+z|/(|y|+|z|)≦1, 0≦|z+x|/(|z|+|x|)≦1, 故 〜〜
(2) Let x,y & z are arbitrary real numbers (not all zero).
Prove that
2/3 ≦ (|x+y|+|y+z|+|z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2,
(証) 題意より、x,y,z の中に必ず同符号の2つがある。
xy≧0 と置くことを妨げないから
(分子) = |x+y| + |y+z| + |z+x|
= |x| + |y| + (2Max{|y|,|z|} -|y| -|z|) + (2Max{|x|,|z|} -|z| -|x|)
= 2 Max{|y|,|z|} + 2 Max{|x|,|z|} -2|z|
= 2 Max{M,|z|} + 2(Max{m,|z|} -|z|)
≧ 2 Max{|x|,|y|,|z|}
≧ (2/3)(|x|+|y|+|z|),
ここに M = Max{|x|,|y|}, m = min{|x|,|y|} とおいた。
- 204 :132人目の素数さん:2019/08/31(土) 06:25:54.80 ID:45aPYUp8.net
- 〔補題〕
|x+z| + |x-z| = 2 Max{|x|, |z|},
|y+z| + |y-z| = 2 Max{|y|, |z|},
…とやるより、場合分けした方が簡単かな。
- 205 :132人目の素数さん:2019/09/08(日) 05:19:16.22 ID:BBoFSmJW.net
- ジュニア数檻から。
(1) x,y∈R に対して、(xy+x+y-1)^2 / {(x^2+1)(y^2+1)} の取りうる値の範囲。
(2) a,b,c,d∈R に対して、(aa+ac+cc)(bb+bd+dd) の取りうる値の範囲。
(3) a,b∈N に対して、min{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≦{√(4a+4b+5) - 1}/2
- 206 :132人目の素数さん:2019/09/08(日) 15:16:47.18 ID:NPxrtGxy.net
- (1)
(x+i)(y+i) = (xy-1) + (x+y)i,
∴ {(xy-1) + (x+y)}^2 + {(xy-1) - (x+y)}^2 = 2{(xy-1)^2 + (x+y)^2}
= 2 |(xy-1) + (x+y)i|^2
= 2 |(x+i)(y+i)|^2
= 2 (xx+1)(yy+1),
より [0,2]
等号成立は (x-1)(y-1)=2 (直角双曲線)
(2)
aa+ac+cc = (3/4)(a+c)^2 + (1/4)(a-c)^2 ≧ 0,
bb+bd+dd = (3/4)(b+d)^2 + (1/4)(b-d)^2 ≧ 0,
より [0,∞)
等号成立は a=b=c=d=0
(3)
左辺をLとおく。
Max{gcd(a,b+1), gcd(a+1,b)} ≧ L+1, (← 互いに素)
L(L+1) ≦ gcd((a+1)(b+1), ab) = gcd(a+b+1, ab) ≦ a+b+1,
- 207 :132人目の素数さん:2019/09/08(日) 15:54:03.88 ID:NPxrtGxy.net
- 訂正スマソ
(2)
等号成立は a=c=0 または b=d=0,
(3)
gcd(a,b+1)・gcd(a+1,b) = gcd((a+1)(b+1), ab) を使った。
- 208 :132人目の素数さん:2019/09/10(火) 18:20:55.90 ID:qdVlLmKr.net
- 2016 IMO Shortliset, A1, A8
https://artofproblemsolving.com/community/c482986_2016_imo_shortlist
個人的には関数方程式も好物なんですがね。
- 209 :132人目の素数さん:2019/09/11(水) 03:41:17.00 ID:1IJ7FHVd.net
- A1.
Let a,b,c be positive real numbers such that min(ab,bc,ca)≧1.
Prove that
{(aa+1)(bb+1)(cc+1)}^(1/3) ≦ {(a+b+c)/3}^2 + 1.
A8.
Find the largest real constant a_n such that
for all positive real numbers x_1, x_2, ・・・・, x_n satisfying 0 < x_1 < x_2 < ・・・・ < x_n,
we have
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ a_n・{Σ[k=0,n-1] k / x_(k+1) },
(x_0 = 0.)
答だけ書くと
a_1 = 1/2 = 0.5
a_2 = 12/25 = 0.48
a_3 = 0.4701514765959817784543884・・・・
(190t^4 - 6561t^3 + 574t^2 + 329t + 391 = 0 の正根 )
a_4 = 0.4643963253583455727840309・・・・
(489t^5 + 1965t^4 - 71t^3 + 602t^2 - 613t + 60 = 0 の正根 )
・・・・・・
a_n → 4/9 = 0.44444・・・・ (n→∞)
- 210 :132人目の素数さん:2019/09/11(水) 03:52:19.18 ID:1IJ7FHVd.net
- A8.
(略解)
3/{x_(j+1) - x_j} … 3個
j / x_j … j個
の(j+3)個で AM-HM すると
9/{x_(j+1) - x_j} + jj/x_j ≧ (j+3)^2 /x_(j+1)
9/{x_(j+1) - x_j} ≧ (j+3)^2 /x_(j+1) - jj/x_j,
j=0…n-1 でたして 9で割る。
Σ[j=0,n-1] 1/{x_(j+1) - x_j} ≧ (4/9)Σ[k=0,n-1] (k+2) / x_(k+1),
A8. の右辺は (k+2)/ x_(k+1) と訂正....orz >>209
- 211 :132人目の素数さん:2019/09/11(水) 04:55:06.64 ID:1IJ7FHVd.net
- >>208-210
あちこちに在るからKoMaL
KoMaL N.189 (1998/Nov)
http://www.komal.hu/verseny/1998-11/mat.e.shtml
KoMaL A.709 (2017/Nov)
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&l=en&h=201711&t=201711
American Math. Monthly, Problem 11145 (2005)
- 212 :132人目の素数さん:2019/09/11(水) 23:38:19.31 ID:1IJ7FHVd.net
- >>209
A1.
0≦k≦1,
a ' = (1-k)a + kb,
b ' = ka + (1-k)b,
とする。
(a 'a '+1)(b 'b '+1) - (aa+1)(bb+1)
= (D+ab)^2 + (-2D+aa+bb) +1 - (aa+1)(bb+1)
= D{D + 2(ab-1)}
≧ 0 (← ab≧1)
ここに D = k(1-k)(a-b)^2 とおいた。
∴ F(a,b,c) = (aa+1)(bb+1)(cc+1)
は (a,b,c) について上に凸。
F(a,b,c) ≦ F(a',b',c')
≦ ・・・・・
≦ F((a+b+c)/3, (a+b+c)/3, (a+b+c)/3)
- 213 :132人目の素数さん:2019/09/12(木) 00:38:37.35 ID:q8BKz8lq.net
- >>208
A4.
Find all functions f:(0,∞) → (0,∞) such that
for any x,y ∈ (0,∞),
x・f(xx)・f(f(y)) + f(y・f(x)) = f(xy)・{f(f(xx)) + f(f(yy))}.
A7.
Find all functions f:R→R such that f(0)≠0 and
for all x,y∈R,
f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + max{f(xx+yy), f(xx)+f(yy)}.
例 f(x) = -1, f(x) = x-1,
- 214 :132人目の素数さん:2019/09/12(木) 01:07:17.91 ID:q8BKz8lq.net
- >>212 (補足)
0≦k≦1 より
D = k(1-k)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ a'b' = D + ab ≧ ab ≧ 1
〔別法〕
d = (a+b+c)/3 とおく。
(aa+1)(bb+1) ≦ {[(a+b)/2]^2 + 1}^2,
(cc+1)(dd+1) ≦ {[(c+d)/2]^2 + 1}^2,
辺々掛けて
(aa+1)(bb+1)(cc+1)(dd+1) ≦ {[(a+b+c+d)/4]^2 + 1}^4
= (dd+1)^4,
- 215 :132人目の素数さん:2019/09/15(日) 09:13:16.60 ID:V+m2Snsf.net
- 昔の入試問題
https://i.imgur.com/xKwu9QK.jpg
- 216 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 01:34:11.70 ID:FF+PWEgn.net
- >>215
すべての実数xに対して定義された関数
f(x) = cos(x) + cos((√2)x)
について、
(1) f(x) = 2 を満たすxの値をすべて求めよ。
また、f(x) は周期関数ではないことを証明せよ。
(2) t = 6726π のとき、すべてのxに対して 不等式
| f(x+t) - f(x)| < 0.002
が成り立つことを証明せよ。
ただし、√2 = 1.41421356…… とする。
(1986 山梨医科大)
- 217 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 01:44:55.63 ID:FF+PWEgn.net
- >>216
(1)
f(x) = 2 ⇔
cos(x) = cos((√2)x) = 1, ⇔
x = 2mπ, (√2)x = 2nπ, (m,n∈Z) ⇒
m√2 = n (m,n∈Z) ⇔
m = n = 0,
よって x=0 のみ。
f(x)=2 となるxは0以外にないから、周期関数ではない。
- 218 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 02:00:54.51 ID:FF+PWEgn.net
- >>216
(2)
t は 2π の整数倍だから
cos(x+t) - cos(x) = 0,
また和積公式から
|cos((√2)(x+t) - cos((√2)x)| = 2|sin((√2)(x+t/2) sin(t/√2)|
≦ 2|sin(t/√2)|
= 0.001321107
- 219 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 02:03:03.70 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
p,q が自然数のとき |√2 - (p/q)| ≧ (6-4√2)/qq,
(略証)
・q=1 のとき
(左辺) ≧ √2 -1 = 0.41421356… > 0.34314575… = 6-4√2,
・q≧2, p/q ≧ 3/2 のとき
(左辺) ≧ 3/2 - √2 = (6-4√2)/4 ≧ (6-4√2)/qq,
・p/q < 3/2 のとき
1/qq ≦ |2qq - pp| = (√2 + p/q)|√2 - (p/q)| < (√2 + 3/2)|√2 - (p/q)|
(左辺) > (6-4√2)/qq,
ピーター・フランクルすれ-039
- 220 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 16:29:27.78 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
αは整数係数のn次方程式 f(x)=0 の根だから
f(α) = 0,
因数定理より
f(x) = f(x) - f(α) = (x-α)g(x,α)
p,q を整数(q≠0) とすれば
(q^n)f(p/q) は0でない整数。
1 ≦ |(q^n)f(p/q)| = |q|^n・|f(p/q)|
= |q|^n・|p/q - α| g(p/q,α)
≦ |q|^n・|p/q - α| / c(α),
- 221 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 16:49:30.42 ID:FF+PWEgn.net
- >>189
・n=2 の例
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575 (3/2)
c(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.26794919 (2/1)
c(√5) = 4(√5 -2)^2 = 0.22291236 (9/4)
c(√6) = (√6 -2)^2 = 0.20204103 (5/2)
c(√7) = (3/2)(3-√7)^2 = 0.18823820 (8/3)
c(√8) = (1/4)(√8 -2)^2 = 0.17157288 (3/1)
c(√10) = 6(√10 -3)^2 = 0.15800423 (19/6)
c(√11) = (3/2)(√11 -3)^2 = 0.15037689 (10/3)
c(√12) = (1/2)(4-√12)^2 = 0.14359354 (7/2)
c(√13) = 180(5√13 -18)^2 = 0.13867497 (649/180)
c(√14) = 2(4-√14)^2 = 0.13348181 (15/4)
c(√15) = (1/6)(√15 -3)^2 = 0.12701665 (4/1)
c(√17) = 8(√17 -4)^2 = 0.12123996 (33/8)
c(√18) = (4/9)(9-2√18)^2 = 0.117749006 (9/2)
c(√19) = (39/2)(3√19 -13)^2 = 0.11470688 (170/39)
c(√20) = (√20 -4)^2 = 0.11145618 (9/2)
c(√50) = 14(√50 -7)^2 = 0.070708874 (99/14)
c(√99) = (1/18)(√99 -9)^2 = 0.050125629 (10/1)
c(√200) = (7/4)(√200 -14)^2 = 0.35354437 (99/7)
c(√n) ≦ 1/(2√n),
- 222 :132人目の素数さん:2019/09/16(月) 17:37:47.01 ID:FF+PWEgn.net
- >>220
ここに 1/c(α) は α-1≦x≦α+1 における |g(x,α)| の最大値。
(なお、 |(p/q) - α| >1 のときは明らか。)
- 223 :132人目の素数さん:2019/09/20(金) 13:27:55.61 ID:KyAOfC1j.net
- 2800
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました!
マジで嬉しいです!
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います!
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
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- 224 :132人目の素数さん:2019/09/23(月) 12:07:10.78 ID:8OPrFZ2d.net
- [NKSΣ@nkswtr][2019/9/23 10:58:45]
x_kが全て正のとき、不等式がなりたつ
https://pbs.twimg.com/media/EFHSqW1VUAAxAt3.jpg
[Tweet URL: https://twitter.com/nkswtr/status/1175952611234566146 ]
(deleted an unsolicited ad)
- 225 :132人目の素数さん:2019/09/23(月) 18:13:40.99 ID:2PqEJji0.net
- x_k >0, Σ[k=1,n] x_k = S のとき
(S/n)^S ≦ Π[k=1,n] (x^k)^(x_k),
(略証)
{x・log(x)}" = 1/x > 0, (下に凸)
Jensenより
S・log(S/n) ≦ Σ[k=1,n] (x_k)log(x_k),
等号成立は x_1=x_2=…=x_n
- 226 :132人目の素数さん:2019/09/24(火) 06:33:10.11 ID:CUDTSBu2.net
- 〔Problem6〕
Construct a bounded infinite sequence x_0,x_1,x_2,…… such that
|x_i - x_j||i - j| > 1
for every pair of distinct i,j.
次の不等式をみたす有界無限実数列: x_0,x_1,x_2,… を1つ与えよ。
i≠j ⇒ |x_i - x_j||i - j| > 1,
IMO-1991(32nd,Sweden)問題6-改.
数セミ、1991年10月号
- 227 :132人目の素数さん:2019/09/24(火) 06:37:31.33 ID:CUDTSBu2.net
- >>226
x_j = k { j √m - 1/2 }, k=1+2√m,
ここに m は平方数でない自然数。{ a } はaの小数部分
(富蘭平太氏の解)
- 228 :132人目の素数さん:2019/09/24(火) 12:46:05.02 ID:X/bhMtKR.net
- https://i.imgur.com/cdAdjkJ.jpg
昔どっかで拾ったやつ。パソコン内の画像ファイルを整理していて見つけた。詳細不明。
- 229 :132人目の素数さん:2019/09/25(水) 16:48:12.69 ID:rBwhMx0MX
- >>228 Muirhead
- 230 :132人目の素数さん:2019/09/26(木) 08:01:36.36 ID:C1ckjksZ.net
- 〔問題〕
Prove that, for a,b,c,・・・・ > 0,
Σ[cycl] (ab)^3 /c^5 ≧ Σ[cycl] ab/c,
コーシーで
(c+d+・・・・+a+b)^2 (左辺) ≧ (右辺)^3,
は出るけど、
(右辺) ≧ (a+b+c+ ・・・・)
は成り立つのかな??
- 231 :132人目の素数さん:2019/09/26(木) 23:50:54.84 ID:C1ckjksZ.net
- 3文字のときはコーシーで簡単だが・・・・
(右辺)^2 = (ab/c+bc/a+ca/b) (ca/b+ab/c+bc/a) ≧ (a+b+c)^2,
文献[8] 安藤(2012) p.124 例題3.1.3(1) および p.144 例題3.2.2(1)
・3文字の別解
ab/c + bc/a + ca/b ≧ √{3(aa+bb+cc)} を使う。
(右辺)^2 ≧ 3{(ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b)} = 3(aa+bb+cc),
アイルランドMO (2007)
文献[8] 安藤(2012) p.162 例題3.3.5(2)
文献[9] 佐藤(2013) p.56 演習問題 1.113
- 232 :132人目の素数さん:2019/09/27(金) 00:00:31.56 ID:ncViLEfF.net
- >>224
東京工大 (1990) かな。
- 233 :132人目の素数さん:2019/09/27(金) 17:30:14.59 ID:ncViLEfF.net
- >>230
4文字以上では不成立かな。
a,b,c,d >0
ab/c + bc/d + cd/a + da/b ≧ a+b+c+d,
の凡例
a,b,cを固定する。
(左辺) - (右辺) = (ab/c -a-b-c) + (bc/d) + (c/a + a/b -1)d,
c/a + a/b <1 ならば d→∞ で負になる。
a=m, b=(m+1)m, c=1, d≧(m+1)m^3 のとき負。
- 234 :132人目の素数さん:2019/10/10(木) 09:05:52.04 ID:4MNDsrsX.net
- >>227
i≠j とする。
|i-j| ≧ 1,
| {i√m} - {j√m} | < 1,
さて、
(i-j)√m - {i√m} + {j√m} = [ i√m ] - [ j√m ] = n,
の両辺を2乗して移行すれば
(i-j)^2・m - nn = ({i√m}-{j√m})(2|i-j|√m -{i√m} +{j√m})
m≠平方数 ゆえ、左辺は0でない整数。
1 ≦ |(i-j)^2・m - nn| ≦ |{i√m}-{j√m}|(1+2√m)|i-j| = |x_i-x_j||i-j|
- 235 :132人目の素数さん:2019/10/14(Mon) 21:12:53 ID:OfKxP42X.net
- ここの住人は積分不等式とかは興味ないかな?
f,gを[0,1]上滑らか、かつ(f(0),g(0))=(f(1),g(1))となる関数としたとき
2π∫_0^1 {f(x)g’(x)-f’(x)g(x)}dx≦[∫_0^1 √{(f’(x))^2+(g’(x))^2} dx]^2
- 236 :132人目の素数さん:2019/10/15(火) 00:45:39.69 ID:eja156vF.net
- (u, v) = (f(x), g(x)) とおく。
x∈[0,1] で (u, v) は閉曲線Cを描く。
∫[0,1] {f(x)g’(x)- f’(x)g(x)}dx = ∫_C (udv-vdu) = {Cの内部の有向面積(反時計周り→正)},
∫[0,1] √{(f’(x))^2 + (g’(x))^2}dx = ∫_C √{(du)^2 + (dv)^2} = (Cの長さ),
2π(面積) ≦ (長さ)^2
等号はCが円周 f(x)^2 + g(x)^2 = c^2 のとき。
- 237 :132人目の素数さん:2019/10/15(火) 01:20:58.22 ID:eja156vF.net
- 訂正
4π(面積) ≦ (長さ)^2
・参考書
数セミ増刊「数学100の問題」 日本評論社 (1984)
「等周問題」 p.176-177
香具師が変分法を作り、シャボン玉がコンパクト概念
を生んだ。 (森 毅)
- 238 :132人目の素数さん:2019/10/15(火) 02:06:55.09 ID:O93uxOk1.net
- >>236
>>237
正解です
いわゆる等周不等式
想定していた解法はfとgをフーリエ級数展開する方法でした
- 239 ::2019/10/17(木) 05:36:05 ID:eT2GFlgw.net
- >>237
参考書の方法の概要
長さが一定(L=2π)で面積Sが最大の閉曲線をCとする。
もしCが凹ならば、鏡映により凸に変更すればもっと広くなる。(矛盾)
∴ Cは凸閉曲線である。
Cの二等分点をA,Bとする。
Cの内部を線分ABによって分割し、面積をS1, S2とする。
もし S1>S2 ならば S1を2つ接いだ方が広くなる。(矛盾)
∴ S1=S2
よって S1を最大にすればよい。
C上に一点Pをとる。
APより外側の部分はAPに固定し、BPより外側の部分はBPに固定し、∠APBを変える。
ΔAPBの面積だけが変わり、∠APB=90゚のとき最大になる。
(A,B以外の) C上の任意の点Pについても同様だから、
CはABを直径とする円周である。(S=π) (終)
- 240 :132人目の素数さん:2019/10/17(木) 07:08:12.82 ID:eT2GFlgw.net
- >>239
シュタイナー (J. Steiner) の対称化
- 241 :132人目の素数さん:2019/10/17(木) 21:33:31 ID:MQ0StxZa.net
- >>240
実は曲線が極座標表示可能だとしたらイェンゼン使えばすぐ分かります
曲線をr=r(θ) (0≦θ≦2π)とすれば
4π×面積=2π∫_0^(2π) r^2 dθ=4π^2(1/(2π)) ∫_0^(2π) r^2 dθ
≦ 4π^2{(1/(2π)) ∫_0^(2π) |r| dθ}^2 (∵イェンゼン)
≦ {∫_0^(2π) √(r^2+(r’)^2) dθ}^2
=周長^2
さらに等号成立はr’≡0からrは定数⇒曲線は円
ということもすぐにわかります
- 242 ::2019/10/18(Fri) 08:22:53 ID:nO1XpZx3.net
- 4π(面積) = 2π∫[0,2π] r^2 dθ
= ∫[0,2π] dθ ∫[0,2π] r^2 dθ
≧ {∫[0,2π] r dθ}^2 (←シュワルツ)
う〜む。
- 243 :132人目の素数さん:2019/10/18(金) 14:30:07.06 ID:nO1XpZx3.net
- (例) 辺の長さ L/4 の正方形
∫[0,2π] r dθ = 8∫[0, π/4] L/(8cosθ) dθ
= ∫[0, π/4] L/cosθ dθ
= ∫[0, π/4] L/(cosθ)^2 cosθdθ
= ∫[0, 1/√2] L/(1-ss) ds
= ∫[0, 1/√2] (L/2){1/(1+s) + 1/(1-s)} ds
= [ (L/2)log{(1+s)/(1-s)} ](s:0→1/√2)
= L log(1+√2)
= 0.881373587 L
よって
4π×(面積) = 4π(L/4)^2
= (π/4)L^2
= 0.785398163 L^2
> 0.77681940 L^2
= (0.881373587 L)^2
= (∫[0,2π] r dθ)^2
- 244 :132人目の素数さん:2019/10/18(金) 15:04:58.66 ID:48cliLMb.net
- ∫rdθが周長より長いならいいんだけど。
- 245 :132人目の素数さん:2019/10/19(土) 01:59:47.67 ID:j0qSwPAR.net
- >>242 や >>243 を考えると、
{∫[0,2π] r dθ}^2 を経由するのは無理筋かも。
>>244 だと、ますます無理っぽい・・・・
- 246 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 07:51:32.79 ID:S8xxgIdK.net
- 〔問題921〕
1/3 < ∫[0→∞] {sin(x)/(1+x)}^2 dx < 1/2
を示せ。
[分かスレ456脇-921]
- 247 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 09:07:33 ID:S8xxgIdK.net
- I_k = ∫[kπ,(k+1)π] {sin(x)/(1+x)}^2 dx
= ∫[0,π] {sin(t)/(1+kπ+t)}^2 dt とおく。
I = Σ[k=0,∞] I_k,
(下限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
> ∫[0,π] sin(t)^2 dt /(1+(k+1/2)π)^2
= 2π/(2+(2k+1)π)^2,
I_0 = 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 = 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
k≧2 のとき
I_k > 2π/(2+(2k+1)π)^2
> 2π/{(2+(2k+1)π)(2+(2k+3)π)}
= 1/(2+(2k+1)π) - 1/(2+(2k+3)π),
Σ[k=2,∞] I_k > 1/(2+5π) = 0.056471768
これらより、I > 0.342284922 > 1/3,
(上限)
I_k = ∫[0,π] sin(t)^2 {1/(1+kπ+t)^2 + 1/(1+(k+1)π-t)^2}/2 dt
< ∫[0,π] sin(t)^2 dt {1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}/2 dt
= (π/4){1/(1+kπ)^2 + 1/(1+(k+1)π)^2}
= π{1/(2+2kπ)^2 + 1/(2+(2k+2)π)^2},
∴ Σ[k=1,∞] I_k = π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/(2+2kπ)^2
< π/{4(1+π)^2} + 2πΣ[k=2,∞] 1/{(2+(2k-1)π)(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + Σ[k=2,∞] {1/(2+(2k-1)π) - 1/(2+(2k+1)π)}
= π/{4(1+π)^2} + 1/(2+3π)
= 0.04578836 + 0.087529053
= 0.133317413
< 2/15,
0<x<π では sin(x) < (4/ππ)x(π-x),
I_0 < (2/π)^4 ∫[0,π] {x(π-x)/(1+x)}^2 dx
= (2/π)^4 ・ 1.8581544248371
= 0.30521248563
< 1/3,
∴ I < 7/15
なお、実際の値は
I_0 = 0.28136039736534
I_1 = 0.0496240021299
I = 0.3990209885942
- 248 :132人目の素数さん:2019/10/26(土) 09:18:45.67 ID:S8xxgIdK.net
- >>247
I_0 > 2π/(2+π)^2 = 0.2376755653426
I_1 > 2π/(2+3π)^2 = 0.0481375886732
∫{x(π-x)/(1+x)}^2 dx = (1/3)(1+x)^3 - (2+π)(1+x)^2 + (6+6π+π^2)(1+x) - (1+π)^2/(1+x) - 2(2+3π+π^2)log(1+x),
- 249 :132人目の素数さん:2019/10/28(月) 13:09:51.57 ID:M55VqgNP.net
- >>247
|y| ≦ π/2 のとき
((√2)/π) |y| ≦ |sin(y/2)| ≦ |y/2|, ・・・・ Jordanの不等式
1 - (1/2)yy ≦ cos(y) = 1- 2sin(y/2)^2 ≦ 1 - (2y/π)^2,
π/2 ずらすと
0≦x≦π のとき sin(x) ≦ (4/π^2)・x(π-x),
- 250 :132人目の素数さん:2019/11/11(月) 01:05:02.45 ID:RnIwgTT0.net
- a,b,c>0 に対して、
1/a + 1/b + 1/c ≦ (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3 b^3 c^3).
IMO 1967 らしい
- 251 :132人目の素数さん:2019/11/11(月) 23:31:55.51 ID:uIUz6082.net
- a^8 (2個), b^8 (3個), c^8 (3個) の8個で AM-GM する。
(2a^8 + 3b^8 + 3c^8) /8 ≧ a^2・b^3・c^3 = (abc)^3 /a,
循環的にたす。
- 252 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 02:21:11 ID:dGHte+xL.net
- 問題
x>-2,y>0として
ye^x>log(yx+2y)
- 253 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 03:42:47.71 ID:ksIBXQAO.net
- >>250
何年度かね?
http://web.archive.org/web/20080213055134/http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html
- 254 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 06:15:32.35 ID:XcoIZ5AW.net
- >>252
e^t >= 1+t, 1+t >= log(t+2)より
ye^x = e^{(log y) + x} >= log y + (x+1)
>= log y + log(x+2) = log(yx+2y)
二つの等号を同時に成立させるx, yはない。
- 255 :132人目の素数さん:2019/11/12(火) 21:42:38.58 ID:WvFYjXT5F
- >>250 ただのMuirhead
- 256 :132人目の素数さん:2019/11/13(水) 01:43:38.75 ID:HL1mwdTs.net
- >>252
題意より y(x+2) > 0,
(1/e)t ≧ log(t) より、
y e^x = (1/e)y (1/e)e^(x+2) ≧ (1/e)y(x+2) ≧ log{y(x+2)},
等号成立は x=-1, y=e のとき。
- 257 :132人目の素数さん:2019/11/15(金) 10:38:04.46 ID:co/VrloJ.net
- Σ[n=1->∞](1/{(n+1)(n!)^2})^(1/n) < e
(オリジナル)
飛び道具を使わずに示したいんだけど、どうもうまくいかない。
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