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不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
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【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 103 ：１３２人目の素数さん：2019/05/18(土) 14:27:46.32 ID:SPl7kJbB.net
- θ = π/12 = π/3 - π/4 = π/4 - π/6 とおくと
加法公式により
sinθ = (√6 - √2)/4,
cosθ = (√6 + √2)/4,
tanθ = 2 - √3,
より
12H = 36(√3 -1)/(1+4√2 +√3) = 3.14150999
12G = 6(√3 -1)/(1+√3)^(1/3) = 3.141927918
12A = 2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234913
一方、
√2 + √3 = 3.1462643699
- 104 ：１３２人目の素数さん：2019/05/18(土) 15:56:23.58 ID:SPl7kJbB.net
- >>103
√2 + √3 = 12A + (2-√3)^2･(√3 -√2)･(√2 -1)^2 > 12A > 12G > π,
- 105 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 12:44:34.35 ID:9g/K/0vL.net
- 〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。
(不等式ぢゃねぇが、バーゼル問題に関連あり)
- 106 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 12:51:11.72 ID:9g/K/0vL.net
- >>105
マクローリン展開
Σ[k=1,∞] (1/k)x^(k-1) = -(1/x)log(1-x),
より
Σ[k=1,∞] 1/(kk･2^k) = -∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx,
Σ[k=1,∞] {1/kk - 1/(kk･2^k)} = -∫[1/2～1] (1/y)log(1-y) dy,
辺々引く。
ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
= -∫[1/2～1] log(1-y)/y dy + ∫[0～1/2] (1/x)log(x) dx,
= -∫[0～1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0～1/2] (1/x)log(1-x) dx
= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
= (log 1/2)^2
= (log 2)^2
= 0.4804530139182
http://club.informatix.co.jp/?p=3326
・数列総合スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/203-205
・オイラーの贈物スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1417406099/244-247
・円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/304-306
- 107 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 16:33:59.17 ID:FEiCVf4L.net
- 実数 x,y が x^2 + y^2 = 1 をみたすとき、f(x,y) = 15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値を求めよ。
何通りのやり方があるかな？
- 108 ：１３２人目の素数さん：2019/05/19(日) 19:02:51.22 ID:9g/K/0vL.net
- 解Ｉ．
f(x,y) = 16(xx+yy) - (-x+5y)^2 ≦ 16(xx+yy) = 16,
なお、最小値は
f(x,y) = (5x+y)^2 - 10(xx+yy) ≧ -10(xx+yy) = -10,
解ＩＩ．
軸を回して
(5x+y)/√26 = u,
(-x+5y)/√26 = v,
とおく。
f(x,y) = {16(5x+y)^2 - 10(-x+5y)^2}/26 = 16uu - 10vv,
- 109 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 00:59:07.00 ID:zfRpln9i.net
- 解III．
ラグランジュの未定乗数法
F(x,y;λ) = f(x,y) - λ(xx+yy-1)
とおく。
∂F/∂x = ∂f/∂x -2λx = 30x +10y -2λx = 0,
∂F/∂y = ∂f/∂y -2λy = 10x -18y -2λy = 0,
これらが自明でない解（x,y)≠(0,0) をもつことから
(30-2λ)(-18-2λ) = 10^2,
λ = -10, 16
- 110 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 01:02:30.53 ID:jCxCQMBM.net
- 条件式から、三角関数に置き換えるのしか思いつかぬ…
- 111 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 16:03:36.60 ID:jCxCQMBM.net
- ( ﾟ∀ﾟ)つ https://www.toshin.com/concours/
不等式がらみ
2018-9、2018-10、2019-3
あと気になる問題
2018-1、2018-6、2018-7
- 112 ：１３２人目の素数さん：2019/05/20(月) 23:48:57.47 ID:zfRpln9i.net
- 〔問題〕 2018-09
正の整数nに対し、|xx-yy| がn以下の奇数であるような整数x,yの組の個数をf(n), |xx-yy| がn以下の偶数であるような整数x,yの組の個数をg(n)で表わす。このとき
| f(n) - g(n) - (4log2)n | < 12√n,
が成り立つことを示せ。
http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180820.jpg
〔問題〕 2018-10
[0,1] で定義された連続な実数値関数ｆが（0,1）で連続な導関数ｆ' をもち、f(0)=0, f(1)=1 を満たすとき、
∫[0,1] {ｆ(x)}^2 dx + ∫[0,1] {ｆ'(x)}^2 dx
のとり得る最小値を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180920.jpg
〔問題〕 2019-03
nを正の整数、sを1より大きい実数とする。
0以上の実数 a1,a2,････,an が a1+a2+････+an = s を満たすとき、
Σ[k=1,n] (ak)^(k+1) を最大、および最小にする a1,a2,････,an の組（a1,a2,････,an）がそれぞれ一つずつ存在することを示せ。
http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20190220.jpg
- 113 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 01:04:52.11 ID:GJ4Ie8EK.net
- 2018-10
f(x) を微小変化させる。
f(x) → f(x) + ⊿(x) ただし ⊿(0) = ⊿(1) = 0,
f '(x) → f '(x) + ⊿ '(x)
与式の変化分は
∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + ∫[0,1] 2f '(x) ⊿ '(x) dx
= ∫[0,1] 2f(x)･⊿(x)dx + 2f '(1)⊿(1) - 2f '(0)⊿(0) - ∫[0,1] 2(d/dx)f '(x) ⊿(x) dx
= ∫[0,1] 2{f(x) - (d/dx)f '(x)}⊿(x)dx,
任意の微小変化⊿に対して非減少だから
f(x) - (d/dx)f '(x) = 0, ････ Euler-Lagrange 方程式
これを解くと
f(x) = a･e^x - b･e^(-x),
f(0)=0, f(1)=1 より a,bを求める。
f(x) = sinh(x)/sinh(1),
これを与式に入れて
1/tanh(1) = (e+1/e)/(e-1/e) = 1.3130353
- 114 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 21:17:26.14 ID:GJ4Ie8EK.net
- 例１
f(x) = tan(πx/4) のとき
f '(x) = π/{4･cos(πx/4)^2},
積分値 π/3 - 1 + 4/π = 1.3204371
例２
f(x) = x^c (c>1/2) のとき
f '(x) = c x^(c-1)
積分値 1/(2c+1) + cc/(2c-1) ≧ 1.32015717
等号は c = 1.132557 (4c^4 -7cc +3c -1 = 0 の根) のとき
たしかに 1.3130353 より大きい。
- 115 ：１３２人目の素数さん：2019/05/21(火) 21:23:37.75 ID:TfDD7bUD.net
- a,b,c,d >0 に対して、
(a^3+b^3)(a^3+c^3)(a^3+d^3)(b^3+c^3)(b^3+d^3)(c^3+d^3)
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
- 116 ：１３２人目の素数さん：2019/05/22(水) 11:07:06.07 ID:7SUOfge7.net
- >>113
例３
f(x) = mx + (1-m)x^3 (0<m<1) のとき
f '(x) = m + 3(1-m)xx,
積分値 4(51-39m+23mm)/105 ≧ 151/115 = 1.313043478
等号は m = 39/46 = 0.8478261 のとき。
m = 1/sinh(1) = 0.8509181 のときは 1.31305185
- 117 ：１３２人目の素数さん：2019/05/23(木) 00:14:12.95 ID:pMxXR6IF.net
- 例４
f(x) = arcsin(sin(1)･x) のとき
f '(x) = sin(1)/√{1 - sin(1)^2･xx},
積分値 2/tan(1) -1 + sin(1)arctanh(sin(1)) = 1.31599
例５
f(x) = {e^(cx) - 1}/(e^c - 1), (c>0) のとき
f '(x) = c･e^(cx)/(e^c - 1),
積分値 {(c+2)cosh(c) + (cc-c-1)sinh(c) -2}/{2c[cosh(c)-1]} ≧ 1.31387
等号は c = 0.46729 のとき。
- 118 ：１３２人目の素数さん：2019/05/23(木) 01:25:06.19 ID:pMxXR6IF.net
- >>115
(a^3+b^3)(c^3+d^3) = (AA+BB)(CC+DD)
= {(AA+BB)/2}CC + BB{(CC+DD)/2} + AA{(CC+DD)/2} + {(AA+BB)/2}DD
≧ ABCC + BBCD + AACD + ABDD,
同様にして
(a^3+c^3)(b^3+d^3) ≧ ACBB + CCBD + ACDD + AABD,
(a^3+d^3)(b^3+c^3) ≧ AABC + DDBC + ADCC + ADBB,
辺々掛けてコーシーで
(左辺) ≧ {(ABC)^(4/3) + (BCD)^(4/3) + (CDA)^(4/3) + (DAB)^(4/3)}^3
= {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3.
- 119 ：１３２人目の素数さん：2019/05/25(土) 12:43:50.50 ID:PUxT0Cfi.net
- ( ﾟ∀ﾟ)つ Crux (2019年度)前期から。
4408, 4410, (4403)
https://cms.math.ca/crux/v45/n1/CRUXv45n1.pdf
OC418, 4411, 4417, 4418
https://cms.math.ca/crux/v45/n2/CRUXv45n2.pdf
4428, 4429
https://cms.math.ca/crux/v45/n3/CRUXv45n3.pdf
4431, 4432, 4433
https://cms.math.ca/crux/v45/n4/CRUXv45n4.pdf
- 120 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 08:56:15.60 ID:ijxfgc+2.net
- crux/v45/n1/Problems_45_1
4403.
Let m be an integer with m>1. Evaluate in closed form
Σ[k=1,n] (-1)^(k-1) C[n+1,k+1] k/(m+k) = {1 - m!(n+1)!/(m+n)!} /(m-1),
4408.
Let α∈(0,1]∪[2,∞) be a positive real number and let a,b & c be non-negative real numbers.
Prove that
a^α + b^α + c^α + (a+b+c)^α ≧ (a+b)^α + (b+c)^α + (c+a)^α.
4410.
Prove that
∫[0,π/4] √sin(2x) dx < √2 - π/4 = 0.6288154
(解答例)
sin(2x) ≦ min{2x, 1} より
(与式) < ∫[0,1/2] √(2x) dx + ∫[1/2,π/4] dx = π/4 - 1/6 = 0.6187315
- 121 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 11:11:36.98 ID:ijxfgc+2.net
- //cms.math.ca/crux/v45/n2/Problems_45_2.pdf
OC418.
Three sequences (a_0,a_1,････,a_n), (b_0,b_1,････,b_n), (c_0,c_1,････,c_2n) of non-negative real numbers are given such that for all 0≦i,j≦n we have a_i･b_j≦{c_(i+j)}^2.
Prove that
Σ[i=0,n] a_i・Σ[j=0,n] b_j ≦ (Σ[k=0,2n] c_k)^2
4417.
Let a,b & c be positive real numbers.
Further, let x,y & z be real numbers such that xy+yz+zx > 0.
Prove that
(yy+zz)a + (zz+xx)b + (xx+yy)c ≧ 2(xy+yz+zx)(abc)^(1/3).
(解答例) AM-GM で
(yy+zz)(zz+xx)(xx+yy) = (Y+Z)(Z+X)(X+Y)
= (X+Y+Z)(XY+YZ+ZX) - XYZ
≧ (8/9)(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)
≧ {(2/3)(xy+yz+zx)}^3.
4418.
Consider a convex cyclic quadrilateral with sides a,b,c,d & area S.
Prove that
(a+b)^5 /(c+d) + (b+c)^5 /(d+a) + (c+d)^5 /(a+b) + (d+a)^5 /(b+c) ≧ 64SS.
(解答例)
(ab+cd)/2 ≧ S,
(bc+da)/2 ≧ S,
(左辺) ≧ (a+b)^4 + (b+c)^4 + (c+d)^4 + (d+a)^2
≧ (4ab)^2 + (4bc)^2 + (4cd)^2 + (4da)^2
≧ 8(ab+cd)^2 + 8(bc+da)^2
≧ 8(2S)^2 + 8(2S)^2
= 64SS.
- 122 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 15:48:57.31 ID:ijxfgc+2.net
- //cms.math.ca/crux/v45/n3/Problems_45_3.pdf
4429.
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
√{(aa+bb+cc)/2(ab+bc+ca)} ≧ (a+b+c)/{√(a(b+c)) + √(b(c+a)) + √(c(a+b))}.
- 123 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 16:13:40.74 ID:ijxfgc+2.net
- //cms.math.ca/crux/v45/n4/Problems_45_4.pdf
4431.
Let x,y≧0 and x+y=2. Prove that
√(xx+8) + √(yy+8) + √(xy+8) ≧ 9.
(解答例)
{√(xx+8) + √(yy+8)}^2 = (xx) + (yy+8) + 2√(xx+8)√(yy+8)
= 14 + (x+y)^2 + 2(1-xy) + 2√{49 + 8(x+y)^2 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
= 18 + 2(1-xy) + 2√{81 + 14(1-xy) + (1-xy)^2}
≧ 18 + 2(1-xy) + 2{9 + (7/9)(1-xy)}
= 36 + (32/9)(1-xy),
∴ √(xx+8) + √(yy+8) ≧ 6 + (2/9)(1-xy)
(xy+8) = 9 - (1-xy) ≧ {3 - (2/9)(1-xy)}^2,
よって
(左辺) ≧ {6 + (2/9)(1-xy)} + {3 - (2/9)(1-xy)} = 9,
- 124 ：１３２人目の素数さん：2019/05/26(日) 19:12:28.07 ID:ijxfgc+2.net
- 〔類題〕
x, y≧0 かつ x+y = 2 のとき
√(xx+8) + √(yy+8) + 2√(xy+8) ≦ 12,
- 125 ：１３２人目の素数さん：2019/05/27(月) 00:02:09.94 ID:EyPYWN4T.net
- >>116
例６
f(x) = mx + nx^3 + (1-m-n)x^5 (0<m, 0<n, m+n<1) のとき
f '(x) = m + 3nxx + 5(1-m-n)x^4,
積分値 (4/3465)(1660mm +1164mn +263nn -2990m -1065n +2485) ≧ 15331/11676 = 1.31303528606
等号は m = 3785/4448 = 0.850944245 n = 630/4448 = 0.14163669 1-m-n = 33/4448 = 0.007419065 のとき。
これは 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1) = 1.31303528550 より大きい。
なお m = 1/sinh(1) = 0.850918128 n = 1/{6sinh(1)} = 0.14181969 1-m-n = 0.0072621837 のとき 1.31303529111
- 126 ：１３２人目の素数さん：2019/05/27(月) 14:10:31.73 ID:EyPYWN4T.net
- >>124
√z は 上に凸だから Jensen ですね。
- 127 ：１３２人目の素数さん：2019/05/28(火) 06:11:55.41 ID:xWwuUG0H.net
- >>115
(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+d^3)(d^3+a^3) = (A+B)(B+C)(C+D)(D+A)
= (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB) + (AC-BD)^2
≧ (A+B+C+D)(ABC+BCD+CDA+DAB), >>92
(左辺) ≧ (A+B+C+D)^(3/2)･(ABC+BCD+CDA+DAB)^(3/2)
≧ 4 (ABC + BCD + CDA + DAB)^2
= 4 {(abc)^3 + (bcd)^3 + (cda)^3 + (dab)^3}^2
≧ {(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2}^3,
- 128 ：１３２人目の素数さん：2019/05/29(水) 14:50:44.53 ID:pVbDo3+L.net
- >>120
4408.
α-1 ≦ 0 または α-1 ≧ 1 ゆえ
x^(α-1) は下に凸。
a^(α-1) + (a+b+c)^(α-1) ≧ (a+b)^(α-1) + (c+a)^(α-1),
a^α + a(a+b+c)^(α-1) ≧ a(a+b)^(α-1) + a(c+a)^(α-1),
循環的にたす。
α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
α≦1 のとき
(左辺) - (右辺) = (-α)(1-α)(2-α)∫[a,∞] ∫[b,∞] ∫[c,∞] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
α≧2 のとき
(左辺) - (右辺) = α(α-1)(α-2)∫[0,a] ∫[0,b] ∫[0,c] (x+y+z)^(α-3) dx dy dz ≧ 0,
- 129 ：１３２人目の素数さん：2019/05/30(木) 00:23:28.75 ID:S7fbSkoD.net
- >>94
4388.
u = abc,
p = aab +bbc +cca,
q = abb +bcc +caa,
とおくと
p+q+2u = (a+b)(b+c)(c+a),
q-p = (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿,
4u ≦ p+u, 4u ≦ q+u,
また
b(aa+2ca+bc) = p+2u -cca,
c(bb+2ab+ca) = p+2u -aab,
a(cc+2bc+ab) = p+2u -bbc,
より
(左辺) = 8(p+2u -cca)(p+2u -aab)(p+2u -bbc)
= 8{(p+2u)^3 -p(p+2u)^2 +(p+2u)qu -u^3}
= 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + 3(p+u)u + (q+u)u}
≦ 8u{2(p+u)^2 + (p+u)(q+u) + (p+u)(q+u)}
≦ 16u(p+u)(p+q+2u)
= 4(p+u)(q+u)(p+q+2u)
= (p+q+2u)^3 - (p+q+2u)(p-q)^2
= {(a+b)(b+c)(c+a)}^3 - (a+b)(b+c)(c+a)⊿⊿,
- 130 ：１３２人目の素数さん：2019/05/30(木) 11:42:57.13 ID:S7fbSkoD.net
- >>85
4348.
q = 2p(1-p) とおくと
1/2 - q = 2(1/2 - p)^2 ≦ |1/2 - p|,
∴ 1-q, q は 1-pとpの間にある。Jensen より
(1-p)^n + p^n ≧ (1-q)^n + q^n,
4349.
t/√(t+8) は単調増加だからチェビシェフにより
(与式) ≧ xx/√(x^3 +8) + yy/√(y^3 +8) + zz/√(z^3 +8),
Max{x,y,z} = X ≧2 のとき
X^4 - (X^3 +8) = (X-2)(X^3 +XX+2X+4) ≧ 0,
(与式) > 1,
x,y,z ≦ 2.7945 のとき
xx/√(x^3 +8) ≧ (11x-5)/18, etc.
(与式) ≧ {11(x+y+z)-15}/18 = 1,
等号は x=y=z=1 のとき。
- 131 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 02:44:07.56 ID:6xVHiY/M.net
- 〔問題074〕
△ABCが鋭角三角形のとき
{sin(A)+sin(B)+sin(C)} / {cos(A)+cos(B)+cos(C)}
の取りうる値の範囲を求めよ。
大学への数学 2012年/Dec. 宿題
[第６章.872-873]
Inequalitybot [074]
- 132 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 03:20:03.90 ID:6xVHiY/M.net
- 古い問題だ････
(略解)
x = cos((A-B)/2) ∈ [cos(C/2), 1] とおく。
(与式) = {2cos(C/2)･x + sin(C)} / {2sin(C/2)･x + cos(C)}
= tan(C) + 2cos(3C/2)･x / {[2sin(C/2)･x + cos(C)]cos(C)} = g(x),
g(cos(C/2)) = 1 + 1/{sin(C)+cos(C)} ∈ [1 + 1/√2, 2)
A+B+C=180ﾟ ゆえ (0, 60ﾟ] の角と [60ﾟ, 90ﾟ] の角がある。
0<C≦60ﾟ とすれば cos(3C/2) ≧ 0, g(x)は単調増加,
g(x) ≧ g(cos(C/2)) ≧ 1 + 1/√2, (最小)
等号は x = cos(C/2) = 1, {A, B} = {45ﾟ, 90ﾟ}, C=45ﾟ のとき
60ﾟ≦C≦90ﾟ とすれば cos(3C/2) ≦ 0, g(x)は単調減少,
g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2, (上限)
等号は x = cos(C/2) = 1, A=B→90ﾟ, C→0ﾟ のとき
- 133 ：１３２人目の素数さん：2019/06/01(土) 03:27:51.68 ID:6xVHiY/M.net
- 最後は
g(x) ≦ g(cos(C/2)) < 2, (上限)
等号は x = cos(C/2) = 1/√2, {A, B}→{0ﾟ,90ﾟ}, C=90ﾟ のとき
でした。
- 134 ：１３２人目の素数さん：2019/06/05(水) 03:41:46.20 ID:+pVPgegT.net
- 〔補題555〕
X,Y,Z ≧ 0, X+Y+Z = S のとき
S/(1 + S/3) ≧ X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z) ≧ S/(1 + S),
分かスレ４７８-555
- 135 ：１３２人目の素数さん：2019/06/05(水) 05:08:45.40 ID:huLv9E9/.net
- >>134
面白い不等式でつね、ｳﾋｯ
- 136 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 06:36:27.58 ID:0ZLkhJ7v.net
- >>85
4346.
x = tan(A), y = tan(B), z = tan(C) とおくと
sin(A+B+C) = cos(A)cos(B)cos(C){tan(A) + tan(B) + tan(C) - tan(A)tan(B)tan(C)}
= cos(A)cos(B)cos(C)(x+y+z-xyz) = 0 (← 与式)
∴ A+B+C = π,
{A,B,C} は三角形の頂角をなす。
フランダースの不等式から
sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(√3)/2}^3,
一方、与式から
8tan(A)tan(B)tan(C) = 8xyz = 8(x+y+z) = (3√3)/{cos(A)cos(B)cos(C),
より
sin(A)sin(B)sin(C) = {(√3)/2}^3,
等号成立条件から A=B=C =π/3, x=y=z = √3,
>>130
4349.
コーシーで
(左辺) ≧ {f(x)+f(y)+f(z)}^2 /(xy+yz+zx) ≧ (1/3){f(x)+f(y)+f(z)}^2, (←題意)
ここに
f(t) = tt/(t^3 +8)^(1/4)
f "(t) = (1/32){9t^6 + (t^3 -64)^2}/(t^3 +8)^(9/4) > 0, (t>-2)
f(t) は t>-2 で下に凸。
f(t) ≧ (23t-11)/(12√3),
f(x)+f(y)+f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1) = √3,
(左辺) ≧ 1,
http://cms.math.ca/crux/v45/n4/Solutions_45_4.pdf
- 137 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 06:42:18.15 ID:0ZLkhJ7v.net
- >>120
4410.
y = √x は上に凸だから
1 + √sin(2x) ≦ (√2)√{1+sin(2x)} = (√2)[sin(x)+cos(x)],
よって
(与式) ≦ ∫[0,π/4] {(√2)[sin(x)+cos(x)] - 1} dx = √2 - π/4,
なお、 (与式) = Γ(3/4)^2 / √(2π) = 0.5990701173678
>>136
フランダースぢゃなかった･･･
- 138 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 07:17:01.72 ID:0ZLkhJ7v.net
- >>120 >>137
4410.
√sin(2x) < √(2x) (0<x<π/12)
√sin(2x) < (√2)[sin(x)+cos(x)] - 1 (π/12<x<π/4)
とすると
(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {(√2)[cos(x)+sin(x)] -1} dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + (1 - π/6)
= 0.602693468
(与式) = 0.599070117
- 139 ：１３２人目の素数さん：2019/06/10(月) 17:22:10.92 ID:0ZLkhJ7v.net
- >>120
4410.
ジョルダンの不等式
(√2)|sin(x -π/4)| ≧ |1 - 4x/π| (0≦x≦π/2)
から
yy = sin(2x) = cos(2x-π/2) = 1 - 2sin(x-π/4)^2 ≦ 1 - (1-4x/π)^2,
これは楕円の1/4
・中心 (π/4, 0)
・長半径１, 短半径π/4
・面積 (π/4)^2 = 0.616850275
- 140 ：１３２人目の素数さん：2019/06/11(火) 00:54:55.96 ID:a3rUuuK+.net
- >>120 >>139
4410.
ジョルダンの不等式
|sin(π/4 - x)| ≧ (3/π)|π/4 - x| (π/12 < x < 5π/12)
から
yy = sin(2x) = cos(π/2 - 2x) = 1 - 2sin(π/4 - x)^2 ≧ 1 - (1/bb)(π/4 - x)^2,
これは楕円の一部
・中心 (π/4,0)
・長半径 a=1, 短半径 b=π/(3√2),
・面積 ab(π+2)/8,
(与式) < ∫[0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] a√{1 - (1/bb)(π/4 - x)^2} dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + ab･(π+2)/8
= (1/3)(π/6)^(3/2) + π(π+2)/(24√2)
= 0.12629224364 + 0.47590613074
= 0.60219837438
- 141 ：１３２人目の素数さん：2019/06/11(火) 07:27:30.94 ID:a3rUuuK+.net
- >>120 >>139 >>140
4410.
√sin(2x) < √(2x), (0<x<π/12)
√sin(2x) < {1 + sin(2x)}/2, (π/12<x<π/4) GM-AM
とすると
(与式) < ∫［0,π/12] √(2x) dx + ∫[π/12,π/4] {1+sin(2x)}/2 dx
= (1/3)(π/6)^(3/2) + [ x/2 - cos(2x)/4 ](x=π/12,π/4)
= (1/3)(π/6)^(3/2) + π/12 + (1/8)√3
= 0.1262922436 + 0.2617993878 + 0.2165063510
= 0.6045979824
- 142 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:03:00.11 ID:SNdqfAoO.net
- a,b,c >0 に対して、
Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2} ≦ 3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc).
既出でおぢゃるかな？
- 143 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:05:30.12 ID:SNdqfAoO.net
- a,b,c∈R、a+b+c=1 のとき、
9abc + (1/a + 1/b + 1/c) ≧ 7(ab+bc+ca+1).
- 144 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:06:18.37 ID:SNdqfAoO.net
- >>143
訂正 a,b,c>0
- 145 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:09:36.73 ID:SNdqfAoO.net
- a,b,c>0 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) + √{(ab+bc+ca)/aa+bb+cc} ≧ 5/2
- 146 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:12:01.88 ID:SNdqfAoO.net
- 三角形の辺長 a,b,c に対して、
a^3/(b+c-a) + b^3/(c+a-b) + c^3/(a+b-c) ≧ 4*(2R-r)^2
- 147 ：１３２人目の素数さん：2019/06/14(金) 22:16:48.22 ID:SNdqfAoO.net
- 0≦a,b,c≦1に対して、
aa + bb +cc ≦ aab + bbc + cca + 1.
- 148 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 01:54:41.88 ID:0c/9SYr+.net
- Komal の C.1552 が面白すぎて困るなり。
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
- 149 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 08:30:02.99 ID:d+NNwnLK.net
- >>147
(aab+bbc+cca +1) - (aa+bb+cc) = 1 - aa(1-b) - bb(1-c) - cc(1-a)
≧ 1 - a(1-b) - b(1-c) - c(1-a)
= (1-a)(1-b)(1-c) + abc
≧ 0,
>>148
そりゃ、KoMaL
C.1552
Prove that if 0<a<1 and 0<b<1 then log_a{2ab/(a+b)}・log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1,
A = log(a) < 0, B = log(b) < 0,
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log_a{2ab/(a+b)} = log{2ab/(a+b)}/ log(a) ≧ log(ab)/{2log(a)} = (A+B)/(2A) > 0,
log_b{2ab/(a+b)} ≧ (A+B)/(2B) > 0,
辺々掛けて
(左辺) ≧ (A+B)^2 /(4AB) ≧ 1,
- 150 ：１３２人目の素数さん：2019/06/15(土) 15:16:11.47 ID:0c/9SYr+.net
- >>149
さすがでござるな。難しくてkomal.
- 151 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 07:07:43.58 ID:HwIhVDIU.net
- >>112 (下)
〔問題〕 2019-03
・最大は a_1 = ････ = a_(n-1) = 0, a_n = s のときで (s>1)
最大値 s^(n+1).
・極小点では
(k+1)(a_k)^k = 2t (未定乗数)
より
a_1 = t, a_k = {2t/(k+1)}^(1/k),
このとき
f(t) = t + Σ[k=2,n] {2t/(k+1)}^(1/k)
は単調増加で f(0)=0, f(s) > s だから
f(t)=s は 0<t<s にただ一つの解をもつ。
n=2のとき t = s - {√(1+6s) - 1}/3,
- 152 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 10:38:35.53 ID:HwIhVDIU.net
- 〔補題554〕
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(2) E(k) = ∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
E(k)は第二種の完全楕円積分
分かスレ４５３－554,555
- 153 ：１３２人目の素数さん：2019/06/16(日) 20:46:24.95 ID:HwIhVDIU.net
- 〔補題559〕
0<k<1 のとき
(1') 2√(1-kk/2) ≧ √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 - (k･cosφ)^2} ≧ 1 + √(1-kk),
(2') (π/2)√(1-kk/2) ≧ Ｅ(k) ≧ (π/4){1 + √(1-kk)},
- 154 ：１３２人目の素数さん：2019/06/18(火) 06:37:15.80 ID:1unLBUnb.net
- 〔問題541〕
長半径a, 短半径a√(1-kk) である楕円の周長を K,
半径 a の円周の長さを L,
半径 a√(1-kk) の円周の長さを M とする。すなわち
K = 4a E(k),
L = 2πa,
M = 2πa√(1-kk),
とするとき
√{(LL+MM)/2} ≧ K ≧ (L+M)/2,
等号成立は K=L=M (k=0) のとき。
分かスレ４５３-541
〔問題537〕
zは複素数で |z|≦1 のとき
|(1+z)exp(-z) - 1| ≦ |z|^2
等号成立は z=-1 のとき。
分かスレ４５３-537
- 155 ：１３２人目の素数さん：2019/06/18(火) 07:17:42.66 ID:1unLBUnb.net
- >>111
〔問題〕 2018-07改
任意の実数 x,y に対して
F(2xx,2yy) = F((x+y)^2,(x-y)^2)
が成立するような、実数係数のxとyの多項式 F(x,y) は
ある実数係数のuとvの多項式G(u,v)により
F(x,y) = G(x+y, xy(x-y)^2),
と表わされることを示せ。
http://www.toshin.com/concours/img/mondai_20180620.jpg
- 156 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 01:05:37.07 ID:WxweZeE5.net
- >>154 (下)
(左辺) = |∫[0,z] (-z') exp(-z') dz'|
≦ ∫(0,|z|) |z'| exp(|z'|) |dz'|
= ∫(0,|z|) r exp(r) dr (r=|z'|)
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|) (|z|≦1)
= |z|^2,
- 157 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 03:01:03.41 ID:WxweZeE5.net
- >>143 >>144
(左辺) - (右辺) = 9abc + (1/a+1/b+1/c) -7 - 7(ab+bc+ca)
≧ 9abc + 9/(a+b+c) -7 - 7(ab+bc+ca) (AM-HM)
= 9abc + 2(a+b+c)^3 - 7(a+b+c)(ab+bc+ca)
= (a+b+c){(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)} + {(a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc}
= (a+b+c)F_0(a,b,c) + F_1(a,b,c)
≧ 0,
〔Schurの不等式〕
a,b,c≧0 または n:偶数のとき
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0,
(略証)
bはaとcの中間にあるとして
(a-b)(b-c) ≧ 0, a^n - b^n + c^n ≧ 0,
F_n(a,b,c) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n - b^n + c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2 ≧ 0,
- 158 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 04:06:49.82 ID:WxweZeE5.net
- >>145
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /{a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} (コーシー)
= 1 + (1/2) (aa+bb+cc)/(ab+bc+ca)
= 1 + (1/2)XX
≧ (1/2) + X,
∴ (左辺) ≧ (1/2) + X + 1/X ≧ 5/2,
- 159 ：１３２人目の素数さん：2019/06/25(火) 08:56:15.44 ID:4AX2BJg5.net
- >>120
4408. a,b & c がベクトルのとき
α=2
Sq．= |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2 = 0, (← 内積)
α=1 (Hlawka)
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| - |a+b| - |b+c| - |c+a| ≧ 0,
(略証)
(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|) (左辺)
= Sq. + (|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|) + (|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|) + (|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|)
≧ 0.
[初代スレ.354-360, 364]
[第８章.388 (5), 450, 708, 795]
文献[3] 大関、p.33-34 例題8.
- 160 ：１３２人目の素数さん：2019/06/26(水) 07:40:18.60 ID:jPrPUfqH.net
- >>72 >>142
コーシーで
(a+b)^2 / {(a+c)^2 + (b+c)^2} ≦ aa/(a+c)^2 + bb/(b+c)^2,
よって
(左辺) ≦ (aa+bb)/(a+b)^2 + cyclic
= 3/2 + (1/2){(a-b)/(a+b)}^2 + cyclic
≦ 3/2 + (a-b)^2 /(8ab) + cyclic
= 3/2 + {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/(8abc)
= 1/2 + (a+b)(b+c)(c+a)/(8abc),
- 161 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 10:49:31.64 ID:6zAehVNK.net
- 〔問題3078〕
Let a,b,c be nonzero real numbers such that 1/a + 1/b + 1/c = -4.
Prove that:
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 24(aa + bb + cc + a + b + c) + 4 -(a+b+c)/abc ≧ 0,
When does equality hold ? (K.Chikaya / Apr.29, 2019)
http://suseum.jp/gq/question/3078
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 352
- 162 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 13:49:42.14 ID:p6o04ivF.net
- Wirtinger型不等式に関する一考察
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf
- 163 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 15:50:01.53 ID:o768/cqk.net
- >>162
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
- 164 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 17:05:59.72 ID:Nrnon5wS.net
- >>162
これ論文？
- 165 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 22:49:17.62 ID:NQIpUmMW.net
- ASU 128 All Soviet Union MO 1969 https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1862011p12597664
正の実数a_1,…,a_nに対して次の不等式が成立
a_1/(a_2+a_3)+a_2/(a_3+a_4)+…+a_n/(a_1+a_2)>n/4
- 166 ：１３２人目の素数さん：2019/07/04(木) 23:03:38.04 ID:6zAehVNK.net
- >>161
〔類題〕
a,b,c は0でない実数で 1/a + 1/b + 1/c = -2 を満たす。 次を示せ。
32(a^4 + b^4 + c^4 + a^3 + b^3 + c^3) - 8(8k-1)･(aa + bb + cc) - 64k･(a+b+c) + 16k(4k-3) - 16kk･(a+b+c)/abc ≧ 0,
k≧0 とする。等号が成立するのはいつか ?
- 167 ：１３２人目の素数さん：2019/07/05(金) 00:07:26.17 ID:g7vswyLm.net
- >>165
左辺をSとおく。
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
3 S > 2Σ[k=1,n] {a_k + a_(k+1)}/{a_(k+1) + a_(k+2)} - n > 2n - n = n.
ただし a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2 とした。
∴ S ≧ n/3.
[初代.497, 501-502] [第２章.284]
- 168 ：１３２人目の素数さん：2019/07/05(金) 02:15:12.85 ID:g7vswyLm.net
- >>165
S > (√2 -1)n
(略証)
(a+b+c)(b+c+d) > (b+c)(a+b+c+d),
より
{a/(b+c) + 1}{b/(c+d) + 1} > (a+b+c+d)/(c+d) = (a+b)/(c+d) + 1 ≧ 2√{(a+b)/(c+d)},
AM-GM より
{a/(b+c) + b/(c+d)}/2 > (√2){(a+b)/(c+d)}^(1/4) - 1,
循環的に加えて AM-GM を使えば
S > (√2 -1)n,
(mahanmath および abch42 による。2011/May/08)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h271096p1468831
- 169 ：１３２人目の素数さん：2019/07/06(土) 12:04:07.65 ID:oiEnJ4mP.net
- >>165
S_n > (γ/2)n = 0.494566817223496526 n
γ は Drinfel'd 定数。
(文献)
・V. G. Drinfel'd: Math. Zametki, ９ (2), p.113-119 (1971) "A cyclic inequality"
・安藤哲哉： 「不等式」 数学書房 (2012) §5.2.8
- 170 ：１３２人目の素数さん：2019/07/07(日) 04:01:49.63 ID:NQih2PzA.net
- >>166
(略解)
(与式) = 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2 - (1/2)(1/a+1/b+1/c +2)^2
= 8{(2a+1)(aa-k)/a}^2 + 8{(2b+1)(bb-k)/b}^2 + 8{(2c+1)(cc-k)/c}^2
≧ 0,
等号成立は k>0 かつ {a,b,c} = { -1/2, -√k, √k} のとき。
- 171 ：１３２人目の素数さん：2019/07/07(日) 18:48:35.43 ID:NQih2PzA.net
- >>169
f(x) = e^(-x),
g(x) = 2/{exp(x) + exp(x/2)},
は下に凸である。
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共通接線は1本だけ存在する。それを
y = m･x + γ
とおく。、
m = -0.8562482144492661168
γ = (-m){1 - log(-m)},
- 172 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 02:35:03.06 ID:96Oo9tpn.net
- >>169
nを固定して考える。
S_n < (λ_n)･n,
n≦13 または n=15,17,19,21,23 のとき λ_n = 1/2,
一方、n=14 ｛0, 1+4δ, 2δ, 1+4δ, 4δ, 1+3δ, 5δ, 1+δ, 4δ, 1, 2δ, 1, 0, 1+2δ}
δ=1/60 のとき 0.4999880721 n
λ_14 < 0.4999880721
λ_24 < 0.499197
A.Zulauf: Math. Gazette, ４３, p.182-184 (1959) "On a conjecture of L.J.Mordell II!
λ_111 < 0.49656
D.E.Daykin: J. London Math. Soc.(2), ３, p.453-462 (1971) "Inequalities for functions of cyclic nature"
γ/2 = 0.4945668172235
V.G.Drinfel'd: Math Notes, ９, p.68-71 (1971) "A cyclic inequality" (>>169 の英訳)
λ_{n+2} ≦ λ_n (?)
- 173 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 22:57:04.96 ID:96Oo9tpn.net
- |ａ| = √{(a_1)^2 + (a_2)^2 + ････ + (a_n)^2} とおく。
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0 のとき
Σ[k=1,n] {√(n+1-k) - √(n-k)} a_k ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-357
- 174 ：１３２人目の素数さん：2019/07/09(火) 23:39:12.04 ID:96Oo9tpn.net
- ↑を修正....
〔補題〕
a_1 ≧ a_2 ≧ ････ ≧ a_n ≧ 0 のとき
( a_1 + a_2 + ････ + a_n) / √n ≦ |ａ| ≦ Σ[k=1,n] {√k - √(k-1)} a_k,
等号成立は a_1 = a_2 = ･････ = a_n のとき。
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-358
- 175 ：１３２人目の素数さん：2019/07/14(日) 15:04:25.43 ID:Xfj84fYJ.net
- >>86
4353.
S(j) = (1/j)Σ[k=1,∞] 1/{k･C(j+k-1,j)}
= (j-1)!Σ[k=1,∞] (k-1)!/{(k+j-1)!･k},
とおくと階差は
S(j) - S(j+1) = 1/jj,
また
S(1) = Σ[k=1,∞] 1/kk = ζ(2),
より
S(j) = ζ(2) - Σ[k=1,j-1] 1/kk ～ 1/(j - 1/2),
lim[n→∞] (1/n)Σ[j=1,n] j･S(j) = lim[n→∞] n･S(n) = 1,
4359.
log(x) は上に凸だから Jensen で
3log((a^b+b^c+c^a)/3) ≧ b･log(a) + c･log(b) + a･log(c),
log(x) は上に凸だから
log(x) = - log(1/x) ≧ - (1/x - 1) = 1 - 1/x,
- 176 ：１３２人目の素数さん：2019/07/14(日) 15:09:52.59 ID:Xfj84fYJ.net
- 〔問題〕
f(x) = e^(-x) とおくとき次を示せ。
f(f(f(1))) > 1/2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ casphy!-高校数学-不等式２-359)
- 177 ：１３２人目の素数さん：2019/07/15(月) 12:26:35.29 ID:hmERs5gh.net
- π ≒ 22/7 (約率)
7π/2 = 11 - 0.0044257124
nが奇数のとき
|sin(11n)| > 1 - (1/2)(0.0044257124 n)^2 = 1 - 0.0000098nn,
nが偶数のとき
|sin(11n)| < 0.0044257124 n,
(分かスレ４５４-178,188)
- 178 ：１３２人目の素数さん：2019/07/20(土) 11:09:50.76 ID:bSAoQnjE.net
- 1000
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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- 179 ：１３２人目の素数さん：2019/07/20(土) 17:29:12.98 ID:E2uDcqfM.net
- (1)
a,b,c≧0 に対して、
√(1+aa+bb+cc-ab-bc-ca) ≧ (a+b+c-abc)/2.
(2)
a,b,c>0 に対して、
{(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3) + (a+b+c)/9 ≧ 4/3.
(3)
a,b,c>0 に対して、
5(a/b + b/c + c/a)^2 ≧ 2(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) + 27.
(4)
a,b,c>0, a+b+c=3 に対して、
(a^3+b^3)/(1+a) + (b^3+c^3)/(1+b) + (c^3+a^3)/(1+c) ≧ a^(5/2) + b^(5/2) + c^(5/2).
/////
/////＿＿＿＿＿＿＿＿_
///// ￣￣￣￣￣￣|￣￣
///// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
///// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
///// |::::: (● (● |
///// ヽ::::... .ワ.....ノ お久しぶりです
///// ( つ且 ~ つ 不等式の夏ですね
- 180 ：１３２人目の素数さん：2019/07/21(日) 05:49:41.51 ID:4k/Gtesi.net
- >>177
π ≒ 355/113 (密率)
355 = 113π + 0.00003014435
|sin(355n)| < 0.00003014435･n
|cos(355n)| > 1 - (1/2)(0.00003014435･n)^2 = 1 - 4.5434102×10^(-10) nn
- 181 ：１３２人目の素数さん：2019/07/21(日) 06:49:52.30 ID:4k/Gtesi.net
- >>179
(2)
A = (a+b+c)/3,
Q = √{(aa+bb+cc)/3},
T = {(aaa+bbb+ccc)/3}^(1/3),
とおく。
T + (1/3)A
= (T+T+T+A)/3
≧ (4/3)(TTTA)^(1/4) (AM-GM)
≧ (4/3)Q, (コーシー)
(3)
(a/b+b/c+c/a)^2 = 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9 + (a/b-1)^2 + (b/c-1)^2 ＋ (c/a-1)^2
≧ 2(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) - 9,
両辺に 36 をたす。
等号は a=b=c
- 182 ：１３２人目の素数さん：2019/07/22(月) 05:15:00.06 ID:vDQA99OD.net
- >>179
(1)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
(右辺) = (s-u)/2 ≦ 1 のときは明らか。
よって s > 2+u とする。
(左辺)^2 = 1 + ss -3t
= 1 + ss/4 + (3/4s)(F_1 - 9u)
≧ 1 + ss/4 - 27u/(4s)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + su/2 -uu/4 - 27u/(4s) (← sに関して単調増加)
≧ 1 + {(s-u)/2}^2 + (2+u)u/2 -uu/4 -27u/[4(2+u)] (← s>2+u)
= {(s-u)/2}^2 + (8+u)(1-u)^2 /[4(2+u)]
≧ {(s-u)/2}^2,
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur-1)
- 183 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 09:59:49.00 ID:CKganLkz.net
- a,bは固定された正の実数であり、数列x_1,…,x_nは0<a≦x_1≦…≦x_n≦bであるものとする。
このとき次の不等式が成立する
Σx_k*Σ1/x_k≦(a+b)^2/(4ab)*n^2
出典 1978年度ソ連数学オリンピック
https://artofproblemsolving.com/community/c893771h1869922p12680406
- 184 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 13:54:11.69 ID:v2NzGOZT.net
- >>183
ウホッ！ いい不等式。
- 185 ：１３２人目の素数さん：2019/08/10(土) 15:56:05.98 ID:oX3OQU5P.net
- [Reverse triangle inequality]
If x,y,z >0 & y is between x and z, then
(x/y + y/x -2) + (y/z + z/y -2) ≦ (x/z + z/x -2),
(short proof)
(x-y)(y-z) ≧ 0,
RHS - LHS = (x-y)(y-z) (x+z)/(xyz) ≧ 0,
- 186 ：１３２人目の素数さん：2019/08/11(日) 23:03:44.95 ID:GctloD3X.net
- >>183
d(x,y) := x/y + y/x -2 ≧ 0,
とおくと、
LHS(n) = nn + Σ(i<j) d(x_i,x_j)
RHS(n) = nn + [nn/4] d(a,b),
また、a≦y≦b ならば
d(a,y) + d(y,b) ≦ d(a,b) >>185
(略証)
nについての帰納法による。
n=2 のとき
d(x_1, x_2) ≦ d(a,b).
ゆえ成立する。
n>2 のとき
m := [n/2]
とおく。メジアン y := x_{m+1} を除く n-1 変数に対しては、帰納法の仮定より
LHS(n-1) ≦ RHS(n-1) = (n-1)^2 + [(n-1)^2 /4] d(a,b).
また
LHS(n) - LHS(n-1) = (2n-1) + Σ(i=1,m) d(x_i,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,x_j)
≦ (2n-1) + Σ(i=1,m) d(a,y) + Σ(j=m+2,n) d(y,b)
≦ (2n-1) + m (d(a,y) + d(y,b))
≦ (2n-1) + m d(a,b).
したがって
LHS(n) ≦ nn + ([(n-1)^2 /4] + [n/2])d(a,b) = nn + [nn/4]d(a,b) = RHS(n).
- 187 ：１３２人目の素数さん：2019/08/12(月) 16:47:05.09 ID:uLwjs1DH.net
- [ (n-1)^2 /4 ] + [ n/2 ] = [ nn/4 ]
(short proof)
δ = mod(n, 2)
δ = 0 (n：even)
δ = 1 (n：odd)
then
[ (n-1)^2 /4 ] = ((n-1)^2 -1+δ)/4,
[ n/2 ] = (n-δ)/2,
[ nn/4 ] = (nn-δ)/4,
- 188 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 11:27:05.56 ID:Tk2MgydX.net
- 任意の実数xに対して次の不等式が成立
sinx+sin(√2x)≦2-1/(100(1+xx))
出典 ピーター・フランクルの中学生でも分かる大人でも解けない問題集代数編
- 189 ：１３２人目の素数さん：2019/08/13(火) 14:08:52.58 ID:gccQR1zi.net
- 〔リウヴィルの定理〕
無理数αが整数係数のn次方程式の根（n次の代数的数）ならば、
ある定数 c(α) >0 が存在して、
p/q ∈ Q ⇒ |α - p/q| > c(α)/q^n.
(例)
|√2 - p/q| > c(√2) / q^2,
c(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.3431457505
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5641.html
http://www.nippyo.co.jp/shop/book/2007.html
- 190 ：１３２人目の素数さん：2019/08/15(木) 00:49:47.21 ID:RxBWT0Y0.net
- y = x - (π/2) - 2π[ (x+π/2) / 2π ],
とおくと
-π ≦ y < π,
1 - sin(x) = 1 - cos(y) ≧ 2(y/π)^2,
- 191 ：１３２人目の素数さん：2019/08/16(金) 01:59:00.40 ID:oNtuWoss.net
- 1 - cos(y) ≧ (2y/π)^2 = 0.4052847 yy, (|y|≦π/2)
1 - cos(y) ≧ 1, (|y|≧π/2)
1 - cos(y) ≧ (1/2)(3y/π)^2 = 0.45594533 yy, (|y|≦π/3)
1 - cos(y) ≧ 1/2, (|y|≧π/3)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/6)}(6y/π)^2 = 0.4886807 yy, (|y|≦π/6)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/6) = (2-√3)/2 = 0.1339746, (|y|≧π/6)
1 - cos(y) ≧ {1 - cos(π/12)}(12y/π)^2 = 0.4971507 yy, (|y|≦π/12)
1 - cos(y) ≧ 1 - cos(π/12) = 1 - (1+√3)/(2√2) = 0.0340742 (|y|≧π/12)
- 192 ：１３２人目の素数さん：2019/08/21(水) 19:59:33.25 ID:a2bL2fVn.net
- △ABCの辺長 a,b,c、外接円、内接円、傍接円の半径 R, r, r[a], r[b], r[c] に対して、
1/(2R^3) ≦ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4) + ≦ 1/(16r^3).
- 193 ：１３２人目の素数さん：2019/08/26(月) 23:23:29.14 ID:ywejxerG.net
- >>192
Aに対する傍接円の中心をOとすると、
△ABC = △OAB + △OAC - △OBC.
∴ r[a] = 2S/(b+c-a).
示すべき不等式は a,b,c のみで表せるから、伝家の宝刀 "ぬるぽ変換"でなんとかなりそう。
※ ぬるぽ変換とは、x = (b+c-a)/2、y = (c+a-b)/2、z = (a+b-c)/2.
傍接円の半径なんて初めて求めたでござるよ。( ﾟ∀ﾟ) ｽﾘｽﾘ ｽﾘｯﾄｫ！
- 194 ：１３２人目の素数さん：2019/08/27(火) 21:03:14.32 ID:VdE/ZoR/.net
- 右側は楽勝だが、左側が分からぬ…
- 195 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 03:47:25.31 ID:vPFzkVBn.net
- C1552
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201905&t=mat&l=en
C1532, B5017
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201903&t=mat&l=en
- 196 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:14:07.85 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
Is there a function f：Ｒ→Ｒ with the following properties:
(1) if x1≠x2 then f(x1)≠f(x2),
(2) there exist appropriate constants a,b > 0 such that
f(xx) - {f(ax+b))}^2 > 1/4.
for all x∈Ｒ ?
C.1532
Show that if a,b,c are positive numbers and
a+b+c ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca,
then one of them is at least 1.
C.1552.
Show that if 0<a<1 and 0<b<1 then
log_a{2ab/(a+b)}･log_b{2ab/(a+b)} ≧ 1.
- 197 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 10:31:15.35 ID:641rcCLM.net
- B.5017.
a,b > 0 とする。
2次方程式 xx = ax+b は相異なる2実根 x_1≠x_2 をもつ。
f(x_i^2) = f(a･x_i+b) = y_i
とおくと、性質(2)から
y_i - (y_i)^2 ≧ 1/4.
∴ 0 ≧ (y_i - 1/2)^2
∴ y_i = 1/2,
∴ f(a･x_1+b) = 1/2 = f(a･x_2+b),
性質(1) (fは単射) から
a･x_1 + b = a･x_2 + b,
a>0 から
x1 = x2 (矛盾)
C.1532.
a+b+c ≧ 1/ab + 1/ca + 1/ab = (a+b+c)/abc,
a+b+c>0 で両辺を割ると
1 ≧ 1/abc,
abc ≧ 1.
C.1552.
log(a) < 0, log(b) < 0 より log(a)･log(b) > 0,
HM-GM より
2ab/(a+b) ≦ √(ab),
log(2ab/(a+b)) ≦ (1/2){log(a)+log(b)} < 0,
したがって
(左辺)･log(a)･log(b) = {log(2ab/(a+b))}^2
≧ (1/4){log(a)+log(b)}^2
≧ log(a)･log(b),
これを log(a)･log(b) >0 で割る。
- 198 ：１３２人目の素数さん：2019/08/28(水) 14:17:25.93 ID:641rcCLM.net
- >>194
同感でござる。
(右)は
aa ≧ aa - (b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c),
16SS = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c), … ヘロン
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
r[a]/aa = 2S/{(-a+b+c)aa} ≦ 2S/{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
= (a+b+c)/8S = 1/(4r),
∴ r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≦ (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])/(4r)^2 = 1/{r(4r)^2},
- 199 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 12:56:45.26 ID:V/0HLVAJ.net
- >>192 >>194
(左)は
a+b+c = 2S/r,
abc = ab･2R sin(C) = 4SR,
1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c] = 1/r,
より
1/aa + 1/bb + 1/cc ≧ 1/ab + 1/bc + 1/ca
= (a+b+c)/abc = (2S/r)/(4RS) = 1/(2Rr),
∴ コーシーで
r[a]/(a^4) + r[b]/(b^4) + r[c]/(c^4)
≧ (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2 / (1/r[a] + 1/r[b] + 1/r[c])
= r (1/aa + 1/bb + 1/cc)^2
≧ r/(2Rr)^2
= 1/(4RRr),
- 200 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 19:49:05.56 ID:eU3p0wK7.net
- うひょっ！ 自力では解ける気がしないなぁ…
- 201 ：１３２人目の素数さん：2019/08/29(木) 20:28:20.84 ID:eU3p0wK7.net
- 絶対値がらみの不等式
x,y,z ∈R に対して、
(1) District Olympiad 1993,Ion Bursuc.
1 ≦ |x+y|/(|x|+|y|) + |y+z|/(|y|+|z|) + |z+x|/(|z|+|x|) ≦ 3.
(2) Gillis Olympiad 5778 (Israel National '17-'18).
2/3 ≦ (|x+y| + |y+z| + |z+x|)/(|x|+|y|+|z|) ≦ 2.
(1)(2)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1793790p11880112
- 202 ：１３２人目の素数さん：2019/08/30(金) 08:39:13.74 ID:3MesnOrF.net
- お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に 200get していいの？😜
(分かスレ４５５-200)
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