■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
不等式への招待 第10章
- 1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:07.65 ID:e1oKVpnI.net
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
- 2 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:30.11 ID:e1oKVpnI.net
- 【不等式の和書】
[1] 不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸善出版，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年
http://amazon.jp/dp/4903342700、（正誤表+補遺）http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
http://amazon.jp/dp/4254111371
[10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091
【不等式のpdf】
[1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities. http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
[2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど. http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html
【おもな埋蔵地】
[1] JIPAM https://www.emis.de/journals/JIPAM/
[2] MIA http://mia.ele-math.com/volume/20
[3] AoPS https://artofproblemsolving.com/community
[4] Maths problems http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/index.html
[5] IMO http://www.imo-official.org/problems.aspx
[6] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
- 3 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2018/12/18(火) 21:47:58.79 ID:e1oKVpnI.net
- 諸君 私は不等式が好きだ
諸君 私は不等式が大好きだ
改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ
AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで
Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで
Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで
この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ
大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える
糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ
君達は一体何を望んでいる？ 更なる不等式を望むか？
『不等式！ 不等式！ 不等式！』
よろしい ならば証明だ！
rv―v―､ r-v-v
r､ ﾉ も（ ﾉ ま ( ,ｨx
(＼＼(＾} ) !! 厳. っ ( ） だ ( /)///7
{＾ヽ＾ヽ { ） し. と ( ） だ ( / 'ヽ /
＼ ｀Y ﾉ}_ ﾊ く ﾉ 乂 ノ {. 〈 /
〉,r彡ﾊ _＞ ＜ / ま ( 人＿ノ〉
V ∨ !! 改 も （) !! だ（ / 7 /
'v V 良 っ （). だ(/ /
'v V .を と 人＿,ノ〈 /
V V rfﾃ弐ミk / }'
'v ',仔r＝r弌ﾘ' /
'v '({ ヾ二ﾌ,j' /
} j个ー‐个ﾄ, /
}> ／ /＞ｭ<ﾄ､＼ノ{
＿j／ / | / :| | ＼＼
_,＞､__, イ＞＼／ _｣/＼￣{_
/ /:::::| ＼／＿_,＞|:::::∧ {
/| ./:::::/ 厂 |::::::::∧ |＼
/ :| /:::::/ |o 〔::::::::::::∧.| ＼
/ / /:::::/ :|o 丿:|:::::::::::::∧ ＼
- 4 ：１３２人目の素数さん：2018/12/18(火) 21:55:19.66 ID:e1oKVpnI.net
- 前スレ967の不等式、(3)が2019年度中国数学オリンピック第一問
(1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
---------------------------------------
(1)の証明
a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
---------------------------------------
〔予想〕
a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき
・n：奇数 (n≧5) ならば
-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),
・n:偶数 ならば
-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2.
- 5 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 01:42:03.32 ID:01wf4Nsj.net
- 削除依頼を出しました
- 6 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 05:34:28.01 ID:5zoTD2o3.net
- >>1
スレ立て乙
ついに２桁に到達したでござるな。
・次スレ用のメモ。
【過去スレ】
～.2ch.net/ → ～.5ch.net/
・過去スレのミラー置き場
http://onedrive.live.com/?id=D357AFBB34F5B26F%21110&cid=D357AFBB34F5B26F
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/highmath/471952/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/
- 7 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 05:36:05.68 ID:5zoTD2o3.net
- >>2
次スレ用のメモ
【不等式の和書】
[1] 不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p.
http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4621063510
[2] 不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p.
ASIN B000JA494Y,
[3] 不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太，近代科学社，1992年, 162p.
ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0,
http://www.kindaikagaku.co.jp/news/20120912/index.html
[4] 不等式入門 (数学のかんどころシリーズ9), 大関清太, 共立出版, 2012年, 186p.
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門 (数学ライブラリー教養篇4), 渡部隆一，森北出版，2005年, 154p.
ASIN 4627010494, ISBN 978-4-627-01049-9,
http://www.morikita.co.jp/books/book/84
[6] 不等式の工学への応用, 海津 聰(訳), 森北出版，2004年, 160p.
ASIN 4627075812, ISBN 978-4-627-07581-8,
http://www.morikita.co.jp/books/book/437
[7] 不等式 (モノグラフ4), 梁取 弘(著)、矢野健太郎(監修), 科学新興新社, 1998年, 118p.
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～, 安藤哲哉, 数学書房, 2012年, 280p.
ASIN 4903342700, ISBN 978-4-903-34270-2,
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html
（正誤表+補遺) http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として, 佐藤淳郎(訳), 朝倉書店, 2013年, 260p.
http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11137-8
[10] 思考力を鍛える不等式 (大学への数学・別冊), 栗田哲也, 東京出版, 2014年, 135p,
ASIN 4887422091, ISBN 978-4-887-42209-4,
http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 https://seesaawiki.jp/w/loveinequality/
- 8 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 06:39:43.21 ID:K5b8go44.net
- >>6-7
乙。修正すべきことがたくさんあるね。
- 9 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 09:51:30.85 ID:K5b8go44.net
- >>4
> (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。
また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。
結局、次の3つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a.
(iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16.
(ii)のとき、4<b+c≦6に注意して
0 ≦ -27(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {3(a+b)+(b+c)+3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b+c)^4 ≦1296,.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≧-48.
(iii)のとき、-1≦d<b≦7に注意して
0 ≦ 9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b-d-2)^4 ≦1296.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
( ﾟ∀ﾟ) こんなものかな。次は(5)か…
- 10 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 16:49:09.59 ID:K5b8go44.net
- >>9
蛇足 ： (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。
- 11 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 18:10:46.72 ID:K5b8go44.net
- >>10
アホだ。ちゃんと書いとったわ。
- 12 ：１３２人目の素数さん：2018/12/19(水) 20:38:59.29 ID:K5b8go44.net
- >>4
> (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。
また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。
結局、次の5つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a.
(iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a.
(iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a.
(v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦32.
(ii)のとき、-2≦e+a<0 に注意して
0 ≦ -(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)-(e+a)}/5]^5
＝ {2 - (2/5)*(e+a)}^5
≦ (14/5)^5
＜ 512.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)>-512.
(iii)のとき、-1≦e≦5, 5<b+c-e≦9 に注意して
0 ≦ 27648(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {8(a+b)+3(b+c)+8(c+d)-12(d+e)-12(e+a)}/5]^5
＝ {3(b+c-e)-e-4}^5
≦ 24^5.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
(iv)のとき、5<b≦9 に注意して
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(d+e)}/3]^3 * [ {-(c+d)-(e+a)}/2]^2
＝ {(b+5)/3}^3 * {(b-5)/2}^2
≦ (14/3)^3 * 2^2
＜ 288.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)<288.
(v)のとき、-1≦d,e<b≦9 に注意して
0 ≦ -64(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)-4(c+d)-4(d+e)-4(e+a)}/5]^5
＝ (b-d-e-3)^5
≦ 8^5.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≧-512.
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 残りは一般のnの場合だが、こんなやり方じゃ場合分けで死ぬ…
- 13 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 04:43:23.11 ID:PuO49N5y.net
- 〔問題A-3〕
a, b ≧1 のとき不等式
(1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
が成り立つことを証明して下さい。
(近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03)
http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84 → 第21回(H30年)
http://suseum.jp/gq/question/2997
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-327
- 14 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 05:40:15.79 ID:v/6AAPaR.net
- >>4
一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。
- 15 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 22:59:48.76 ID:fXYd5inn.net
- 正整数t,k,mがあって、t^2>kmを満たす。
このとき次の不等式が成立
Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k
- 16 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 00:39:01.84 ID:VHyUt/tL.net
- 迫力満点なのを…
http://mobile.twitter.com/cho_san111000/status/954730066033831940
(deleted an unsolicited ad)
- 17 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 01:38:05.87 ID:AdUIceWu.net
- 変なのが住み着いたな
- 18 ：１３２人目の素数さん：2018/12/25(火) 01:39:21.03 ID:AdUIceWu.net
- そういうのは自分のブロクの中だけに留めとけよ
- 19 ：１３２人目の素数さん：2018/12/26(水) 09:35:55.89 ID:2DcmDNkQ.net
- 〔補題〕
自然数mについて
4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),
(略解)
a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
a_m < b_m,
(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1 より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
a_m は単調増加。
(3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m より
b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1,
b_m は単調減少。
よって
a_1 < a_2 < ････ < a_m < ････ < b_m < ････ < b_2 < b_1
ゆえ収束する。
極限値 １
- 20 ：１３２人目の素数さん：2018/12/26(水) 23:29:50.65 ID:2DcmDNkQ.net
- >>19 (続き)
3<π<4 √(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3)) より a_0 < 1 < b_0
3<π<3.2 √(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3)) より a_1 < 1 < b_1
m>1 のときも a_m < 1 < b_m
- 21 ：１３２人目の素数さん：2018/12/28(金) 01:30:14.08 ID:NvXV1n10.net
- >>19
極限値はウォリスの公式
C[2m,m] = (2m)! / (m!)^2 ～ 4^m / √(πm),
またはスターリングの公式
log(n!) = (n+1/2)log(n) - n + (1/2)log(2π) + 1/(12n) + O(1/n^3)
log{C[2m,m]} = log{(2m)!} - 2log(m!) = m log(4) - (1/2)log{π(m+1/4)} + O(1/m^3)
から出る。
- 22 ：１３２人目の素数さん：2018/12/29(土) 11:48:56.87 ID:Ca6iUqF7T
- f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d が任意の実数 x (resp. 任意の x>=0)に対して
f(x)>=0 を満たす条件を a,b,c,d の式で表せ、という古典的な問題
解けたけど、昔から答は知られている気もする。
答の書いてある本とか論文とかWEBを知ってる人いる?
自分の解は複雑で5chには書けないけど、誰も知らないなら論文に投稿する。
- 23 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 00:06:21.22 ID:HV303Epp.net
- ∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) ≧ 9 (abc)^(4/3),
[第９章.395, 397]
- 24 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 08:18:44.24 ID:xFQI3nN2.net
- botの104が面白いな
- 25 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 11:28:11.24 ID:HV303Epp.net
- Inequalitybot [104]
(aa+bb+cc)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|,
[前スレ.574, 576]
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式２-196
じゅー君 (作)
- 26 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 12:27:27.17 ID:HV303Epp.net
- >>23
x^2019 - x^31 + 3 ≧ 2．08319787624644064040 x^(4/3),
等号成立は x = 0．99794707802373850618 のとき。
(6053x^2019 - 89x^31 - 12 = 0 の正根)
最良値 9．040481720894526247626
人
／⌒＼ （＿_）
＼●／（＿＿）／⌒＼
∩ （・∀・ ）＼●／ あけおめでござる。
Y ￣ ||ｙ|| ￣`''φ
Lノ /ニ|| ! ソ >
乂/ﾉ ﾊ ヽー´
`ー-、＿_|
- 27 ：１３２人目の素数さん：2019/01/07(月) 14:07:43.34 ID:nTHVJaxN.net
- >>23
〔問題390〕
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 - a^31 + 3) (b^2019 - b^31 + 3) (c^2019 - c^31 + 3) > 3 (a^4 + b^4 + c^4),
[前スレ.390]
- 28 ：１３２人目の素数さん：2019/01/08(火) 01:02:25.62 ID:WdFpB4mR.net
- >>27
x0 = 0．99794707802373850618 とおく。 >>26
(x^2019 - x^31 + 3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 + 1 + 1} ≧ 3k (x/x0)^4,
ここに k = 2．98882413327445720383
(左辺) = (a^2019 - a^31 + 3)(b^2019 - b^31 + 3)(c^2019 - c^31 + 3)
≧ k [{(a/x0)^12 + 1 + 1} {1 + (b/x0)^12 + 1} {1 + 1 + (c/x0)^12}]^{1/3}
≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4} (←コーシー)
= (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3．01349390694842082546 (a^4 + b^4 + c^4)
等号成立は a=b=c=x0.
- 29 ：１３２人目の素数さん：2019/01/08(火) 23:08:11.82 ID:WdFpB4mR.net
- >>28 訂正ｽﾏｿ
k/(x0^4) = 3．0134939069６484208254
- 30 ：１３２人目の素数さん：2019/01/09(水) 15:53:33.07 ID:Cl/0e+Ah.net
- ｘ はn次元ベクトル
||x||_p はp-norm
p>q>0に対して、||x||_p ≦ ||x||_q ≦ n^(1/q - 1/p)*||x||_p.
今年もよろしくお願いします ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
- 31 ：１３２人目の素数さん：2019/01/10(木) 04:13:48.85 ID:4mlVGqNc.net
- >>30
||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ････ + |x_n|^p)^{1/p}
p次平均ノルム
p≧1
- 32 ：１３２人目の素数さん：2019/01/10(木) 06:11:46.62 ID:4mlVGqNc.net
- >>28
x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば
(x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ････},
(x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ････},
(x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ････},
- 33 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1：2019/01/16(水) 00:31:34.87 ID:YX5hCMKx/
- a(0)=b(0)=1, ∀n(nが自然数ならばa(n+1)=a(n)+2b(n)かつb(n+1)=a(n)+b(n)) が成り立つとすると,
自然数 n に対して m が 2n より大きい自然数ならば a(2n)/b(2n)<a(m)/b(m) が成り立ち,
自然数 n に対して m が (2n+1) より大きい自然数ならば a(2n+1)/b(2n+1)>a(m)/b(m) が成り立つ.
- 34 ：１３２人目の素数さん：2019/01/20(日) 05:29:41.07 ID:3c2tpFSV.net
- >>13
左:
0 < t < 1/2 ⇒ 1-t > t,
1/2 < t < 1 ⇒ t > 1-t,
(中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
= [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1)
= (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
= (1/2)^{a+b-2},
右:
ヤングの不等式より
t^{a-1}･(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),
(中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2)
= [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
= 1,
- 35 ：１３２人目の素数さん：2019/01/22(火) 05:49:20.92 ID:hfoTnJ0x.net
- 〔前スレ.950〕
a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 325, 336 )
( //suseum.jp/gq/question/3013 )
- 36 ：１３２人目の素数さん：2019/01/22(火) 06:04:00.30 ID:hfoTnJ0x.net
- >>35
bはaとcの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c) ≧ 0,
(c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,
s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺 - 右辺)･ssu
= [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
= (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
= [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)･2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
= 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
≧ 0,
(b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
(a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,
- 37 ：１３２人目の素数さん：2019/01/25(金) 08:47:28.94 ID:dfwh8WQW.net
- a,b,c >0 のとき
(1) (abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2･(a^3 +b^3 +c^3)
バルカンMO-2015、P1
(2) a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)･√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)},
セルビアMO-2017、P1改
(3) (a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a),
クロアチアMO-2018、A1改
ｶﾞｲｼｭﾂかも知れませんが････
- 38 ：１３２人目の素数さん：2019/02/04(月) 16:57:27.17 ID:KxBFZY2a.net
- a,b,c>0に対して、1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≧ (3√3)/{2√(aa+bb+cc)}.
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごきげんよう
- 39 ：１３２人目の素数さん：2019/02/05(火) 12:41:14.63 ID:xI3EwwZt.net
- とりあえず改造････
a,b,c>0 に対して
1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}.
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごぶさたでござる。
- 40 ：１３２人目の素数さん：2019/02/05(火) 20:23:14.73 ID:lfo16SY3.net
- >>39
なんと！元の不等式はヌルヌルでござったか…
- 41 ：１３２人目の素数さん：2019/02/11(月) 18:01:27.73 ID:dvi1QDx1.net
- 等式だけど
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2.
これって何か背景あるのかな？
- 42 ：１３２人目の素数さん：2019/02/12(火) 17:06:09.82 ID:zTm0tcyX.net
- >>41
行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。
- 43 ：１３２人目の素数さん：2019/02/16(土) 01:12:40.14 ID:fRyCy6GA.net
- >>41
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2.
= (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2, (複号同順)
同じことだけど････
- 44 ：１３２人目の素数さん：2019/02/16(土) 01:20:11.40 ID:fRyCy6GA.net
- 数セミ3月号 NOTE より
n個の正数 x_1, x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。
それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき
n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}),
[前スレ.866, 872]
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式
- 45 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 01:07:20.81 ID:3W69H09M.net
- >>44
NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの？
- 46 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 18:08:19.89 ID:3JHzAJ6Y.net
- >>45
畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れ ましたことやら。
溜池通信
http://tameike.net/writing/shanghai27.htm
- 47 ：１３２人目の素数さん：2019/02/18(月) 23:35:18.28 ID:3W69H09M.net
- >>46
いい加減にしろよ馬鹿が
- 48 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 06:44:03.40 ID:u2k/hpyq.net
- >>45
それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。
- 49 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 07:16:40.17 ID:4ATqaV2Y.net
- 記事のコメントには、ヤコブスタールの不等式そのものであるとか指摘はなかったけど、ZZZは知らなかったのか？
- 50 ：１３２人目の素数さん：2019/02/20(水) 23:05:39.15 ID:u2k/hpyq.net
- 学術誌レベルの新規性を要求されちゃカナワンよなぁ。
雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。
- 51 ：１３２人目の素数さん：2019/02/21(木) 00:14:53.49 ID:vd6keGE+.net
- ヤコブスタールの不等式は、一般人には有名じゃないの？
コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど…
- 52 ：１３２人目の素数さん：2019/02/22(金) 02:26:44.49 ID:C/jpUJqi.net
- 読者（一般人）に有名でなければ 再発見でもOK
ということで願いたい。
- 53 ：１３２人目の素数さん：2019/03/05(火) 01:25:25.02 ID:gNDCshUz.net
- 〔問題3043〕
A, B, C は正の実数で次式を満たす。
M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1),
n = 1, 2, ････
このとき次式を示せ。
{(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p,
ただし p = 1/(n+1).
by K. Chikaya (2019/Feb)
http://suseum.jp/gq/question/3043
- 54 ：１３２人目の素数さん：2019/03/05(火) 18:54:10.14 ID:jTRcgByS.net
- 難しいな。
- 55 ：１３２人目の素数さん：2019/03/08(金) 19:36:03.74 ID:aQYf5MtB.net
- bot59の不自然な不等式は何なんですかね？
- 56 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 06:26:00.80 ID:3JHzAJ6Y.net
- 〔bot-59〕
x,y,z>0 のとき次を示せ。
4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz,
カナダMO-2012 A.1
左から AM-GM するだけ....
4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw,
- 57 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 07:57:40.75 ID:Vpcwz/ga.net
- なるほど！
カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。
- 58 ：１３２人目の素数さん：2019/03/09(土) 23:16:13.39 ID:Vpcwz/ga.net
- a,b,c,d,e>0 に対して、
(abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3
- 59 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 00:59:41.06 ID:gRQ8L5Xj.net
- >>58
abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H,
a+b+c+d+e = 5A,
abcde = G^5,
だから
A^(n-1)･H ≧ G^n ≧ A･H^(n-1) … Sierpinskiの不等式
の右側でござるか。
・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80
- 60 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 10:40:22.46 ID:gRQ8L5Xj.net
- >>58
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。 与式は
(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。 左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(4,1) (3,1,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
(4,1) A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
(3,1) 4(A^3)(B+C+D+E) + …
(2,2) 6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
(2,1,1) 12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
(1,1,1,1) 24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,
AM-GM より (A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
(3,1) ≧ 16v,
(2,2) ≧ 12v,
(2,1,1) ≧ 72v,
(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),
- 61 ：１３２人目の素数さん：2019/03/11(月) 10:43:09.35 ID:gRQ8L5Xj.net
- >>60
訂正ｽﾏｿ
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(４) (3,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
- 62 ：１３２人目の素数さん：2019/03/12(火) 00:28:15.75 ID:iP2fXkuo.net
- >>60
Muirhead から
(4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v,
ですね。
一般のnについても、同様に成立。
- 63 ：１３２人目の素数さん：2019/03/13(水) 08:42:52.77 ID:fplJdFRX.net
- 奥が深いですね。勉強になります。
- 64 ：１３２人目の素数さん：2019/03/13(水) 08:51:11.62 ID:fplJdFRX.net
- B.5009
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201902&t=mat&l=en
C.1511
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201812&t=mat&l=en
B.4980
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201810&t=mat&l=en
C.1493, B.4968の分数の取りうる値は？
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201809&t=mat&l=en
- 65 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 04:36:47.63 ID:QG1K7uiM.net
- 〔B.5009〕
Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that
2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6, (2019/Feb)
(略証)
コーシーで
(xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27,
あるいは AM-HM で
1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3,
AM-GM で
(左辺) ≧ 3･2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3･2 = 6,
等号成立は x=y=z=1.
- 66 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:04:01.19 ID:QG1K7uiM.net
- 〔C.1511〕
B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD.
Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane. (2018/Dec)
(略証)
・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。
ADの中点 = BCの中点 をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。
問題図は点Fに関して対称である。
⊿PAF ≡ ⊿QDF、 ⊿PBF ≡ ⊿QCF
PA = QD、 PB = QC
ここで、⊿PDQ ⊃ ⊿PCQ だから
QD + PD ≧ QC + PC,
∴ PA + PD ≧ PB + PC,
・B=C の場合は△不等式となる。
・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。
- 67 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:10:51.33 ID:QG1K7uiM.net
- 〔B.4980〕
Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ････, a_n be positive real numbers. Prove that
1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ････ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2]
where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number.
( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.) (2018/Oct)
(左側)
(分母) < a_1+a_2+････+a_n により成立。
また ε>0, a_i = ε^(i-1) とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε,
ε→0 とすれば1に近づく。
(右側)
nが偶数のとき、隣合うペアについて
a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1,
だから成立。
nが奇数のときは、分母（a_{j-1}+a_j+a_{j+1}）が最小となるような j に対して
a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1,
残った偶数項を隣合うペアに分ける。 後略
- 68 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:30:26.45 ID:QG1K7uiM.net
- 〔C.1493〕
A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c.
Show that b ≧ √2. (2018/Sep)
(略解)
2⊿ = bc･sin(A) ≦ bc ≦ bb,
b ≧ √(2⊿),
等号成立は直角2等辺⊿
- 69 ：１３２人目の素数さん：2019/03/14(木) 05:33:39.14 ID:QG1K7uiM.net
- 〔B.4968〕
Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers:
1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1,
a+b+c+d = 4. (2018/Sep)
(略解)
abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1, (← GM-AM)
1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1),
1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a),
1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab),
(左辺) ≧ 1,
等号条件から a=b=c=d=1.
- 70 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 05:38:56.61 ID:dNAYt8q7.net
- >>68
bを底辺としたときの高さ（辺bに下した垂線の長さ）m はc以下だから
2⊿ = bm ≦ bc ≦ bb,
- 71 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 06:08:30.13 ID:3VSzAGCU.net
- >>69
ワクワクするね
- 72 ：１３２人目の素数さん：2019/03/15(金) 07:03:09.00 ID:3VSzAGCU.net
- a,b,c>0 に対して、
3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}.
- 73 ：１３２人目の素数さん：2019/03/25(月) 11:16:31.87 ID:PVNNz8L/.net
- n番目の素数をp(n)とおくとき、n≧5に対して、
p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k).
- 74 ：１３２人目の素数さん：2019/03/28(木) 19:15:24.33 ID:dISuNBxT.net
- Crux (2018年度)から。
4302, 4304, 4308, 4309, 4310
https://cms.math.ca/crux/v44/n1/Problems_44_1.pdf
4311, 4316, 4319, 4320
https://cms.math.ca/crux/v44/n2/Problems_44_2.pdf
4321, 4322, 4327, 4329
https://cms.math.ca/crux/v44/n3/Problems_44_3.pdf
4335, 4336, 4340
https://cms.math.ca/crux/v44/n4/Problems_44_4.pdf
4348, 4349, 4350
https://cms.math.ca/crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf
4353, 4359, 4360
https://cms.math.ca/crux/v44/n6/Problems_44_6.pdf
4367
https://cms.math.ca/crux/v44/n7/Problems_44_7.pdf
4376、4377, 4380 ←ﾊｧﾊｧ
https://cms.math.ca/crux/v44/n8/Problems_44_8.pdf
4388, 4389
https://cms.math.ca/crux/v44/n9/Problems_44_9.pdf
4398, 4399
https://cms.math.ca/crux/v44/n10/Problems_44_10.pdf
春ですな ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
総レス数 1007
345 KB
新着レスの表示
掲示板に戻る
全部
前100
次100
最新50
read.cgi ver.24052200